Programowanie matematyczne

Metody optymalizacji - lista 1
Sfomułować poniższe problemy jako zadania programowania matematycznego.
Ćwiczenia – wyznaczyć geometrycznie rozwiązania zadań 2, 3, 5, 10 i 12.
Laboratorium – wszystkie zadania rozwiązać przy pomocy Solvera w Excelu.
1. Huta potrzebuje do swojej produkcji węgla z zawartością fosforu nie większą niż 0,03% i zawartością siarki nie
większą niż 0,3%. Na rynku dostępne są trzy gatunki węgla w cenach 450, 450, 675 (zł za tonę) o zawartościach
fosforu odpowiednio 0,06%, 0,04% i 0,02% i siarki - 0,2%, 0,4% i 0,3%. Jak należy je zmieszać, aby otrzymać
najniższą cenę i nie przekroczyć dopuszczalnych zawartości fosforu i siarki.
2. Firma produkuje dwa produkty A i B, których rynek zbytu jest nieograniczony. Każdy z produktów wymaga obróbki
na każdej z maszyn: I, II, III. Czasy obróbki (w godzinach) dla każdego z produktów są następujące:
A
B
I
0,5
0,25
II
0,4
0,3
III
0,2
0,4
Maksymalny tygodniowy czas pracy maszyn I, II, III wynosi odpowiednio 40, 36, 36 godzin. Zysk ze sprzedaży jednej
sztuki A i B stanowi odpowiednio 1000 i 600 zł. Określić tygodniowe normy produkcji wyrobów A i B
maksymalizujące zysk.
3. Przy produkcji produktów P1 i P2 wykorzystuje się aluminium i miedź. W obróbce elementów wykorzystuje się
frezarki i tokarki (patrz tabela):
objętość zasobów
zasoby
aluminium [kg]
miedź [kg]
tokarki [roboczogodz.]
frezarki [roboczogodz.]
zysk na 1 sztukę produktu [zł]
normy na 1 sztukę produktu
P1
P2
10
70
20
50
300
400
200
100
300
800
570
420
5600
3400
Określić wielkość produkcji P1 i P2 maksymalizującą zysk.
4. Producent napojów posiada dwie różne maszyny do rozlewania A i B. Maszyna A zaprojektowana dla butelek
półlitrowych, a maszyna B – dla litrowych, ale każdą z nich można wykorzystać dla obu typów butelek z pewną stratą
efektywności zgodnie z tabelą:
Maszyna
A
B
Liczba butelek produkowanych w ciągu 1 minuty
Butelki półlitrowe
Butelki litrowe
50
20
40
30
Każda z maszyn może pracować codziennie przez 6 godzin pięciodniowego tygodnia pracy. Zysk od butelki
półlitrowej wynosi 4 centy, a od litrowej – 10 centów. Tygodniowa produkcja nie może przewyższać 50 000 litrów;
rynek przyjmuje nie więcej niż 44 000 butelek półlitrowych i 30 000 litrowych. Producent chce maksymalizować
swój zysk przy dostępnych środkach.
5. Między dwoma miastami kursują codziennie pociągi zwykłe i pospieszne. W tabeli pokazano skład pociągu każdego
typu, liczbę dostępnych w parku wagonów różnych typów do tworzenia składów oraz maksymalną liczbę pasażerów,
na którą przeznaczony jest wagon każdego typu:
pociągi
pospieszny
zwykły
liczba pasażerów
park wagonów
wagony
bagażowy
1
1
12
pocztowy
1
8
2 klasa
5
8
58
81
1 klasa
6
4
40
70
Określić liczbę pociągów pospiesznych oraz zwykłych, które należy codziennie formować na podstawie istniejącego
parku tak, aby liczba przewożonych pasażerów była maksymalna.
6. Z bel papieru (półfabrykaty) o szerokości 210 cm należy wyprodukować co najmniej
30 rolek o szerokości 62 cm,
60 rolek o szerokości 55 cm,
60 rolek o szerokości 40 cm.
Zminimalizować liczbę półfabrykatów tak, aby była zachowana liczba rolek.
7. Firma zajmuje się zestawianiem diety, zawierającej w skrajnym przypadku 20 jednostek białek, 30 j. węglowodanów,
10 j. tłuszczów i 40 j. witamin. Jak osiągnąć ten cel w najtańszy sposób przy zestawionych w tabeli cenach za 1kg
(lub 1litr) pięciu dostępnych produktów?
białka
węglowodany
tłuszcze
witaminy
cena
chleb
2
12
1
2
6
soja
12
0
8
2
18
ryba
10
0
3
4
16
owoce
1
4
0
6
9
mleko
2
3
4
2
5
Jak zmieni się model gdy dodatkowo założymy, że mleko dostępne jest w pojemnikach litrowych a chleb
w bochenkach półkilogramowych?
8. W pewnej miejscowości w dwóch punktach A i B istnieje konieczność wprowadzenia dodatkowej komunikacji. W
punkcie A potrzeba 5 dodatkowych autobusów, a w punkcie B - 7. Wiadomo, że 3, 4 i 5 autobusów można otrzymać
odpowiednio z garaży G1, G2, G3. Jak należy rozdzielić te autobusy między punktami A i B, aby zminimalizować ich
sumaryczny przebieg? Odległości od garaży do punktów A i B są przedstawione w tabeli:
Garaż
G1
G2
G3
Odległość do punktów
A
B
3
4
1
3
4
2
9. W fabryce przy taśmie produkcyjnej są 4 stanowiska pracy. Dla pracowników podane są czasy pracy (w minutach)
na stanowiskach:
P1
P2
P3
P4
S1
5
4
6
5
S2
4
6
7
8
S3
5
3
4
5
S4
3
3
4
4
Przydzielić pracowników do stanowisk tak, aby taśma przesuwała się jak najszybciej.
10. Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie, tak aby dzienne koszty zużycia paliwa
(w tys. zł) opisane funkcją
f (x1, x2) = 2(x1-1)2 + (x2-3)2
gdzie x1 - zużycie paliwa w elektrowni I, x2 - zużycie paliwa w elektrowni II, były możliwie najniższe. Wiadomo
ponadto, że z 1 tony paliwa w elektrowni I uzyskuje się 5 MWh energii, a w elektrowni II - 3 MWh. Podać dzienne
koszty zużycia paliwa w tych elektrowniach.
11. Dwie cukrownie prowadza kampanię cukrowniczą mając za zadanie przerobić łącznie 29760 ton buraków. Dzienny
przerób pierwszej cukrowni wynosi 120, a drugiej 180 ton buraków. Wiadomo, że w trakcie kampanii cukrowniczej
powstają straty cukru zależne od czasu składowania buraków, które można opisać funkcją
f (t1, t2) = 0.6t12 + 12t1 + 0.3t22 + 9t2
gdzie t1 oznacza czas trwania kampanii w cukrowni pierwszej, a t2 - w cukrowni drugiej.
(a) Jak długo powinna trwać kampania cukrownicza w każdej z cukrowni, aby straty cukru były najniższe?
(b) W jaki sposób optymalnie rozdzielić owe 29760 ton buraków między cukrownie?
12. Konsument dysponuje gotówką w wysokości 100 zł i może za nią nabyć dwa towary P1 (chleb) i P2 (mleko), na które
obowiązują ceny, odpowiednio, 1,50 zł/kg i 2 zł/l. Celem konsumenta jest zakup takich ilości chleba i mleka, dla
których użyteczność u (x, y) = x•y największa, gdzie x oznacza ilość chleba w kg, y – ilość mleka w l. Jak zmieni się
rozwiązanie, gdy funkcja użyteczności będzie postaci u (x, y) = min{x, y}?