Model Isinga i metoda Monte Carlo Nobel 2016: Topologiczne

2016-10-17
Co się dzieje jeśli trochę podgrzejemy układ?
Model Isinga
i metoda Monte Carlo
Katarzyna Sznajd‐Weron
Physics of Complex System
• Może się pojawić wir (vortex)
• Energia takiego wiru jest
olbrzymia
• Układ nieskończony ‐ energia nieskończona
• Układ powinien się przed tym bronić
• Jak?
http://www.ribbonfarm.com/2015/09/24/samuel‐becketts‐guide‐to‐particles‐and‐antiparticles/
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2016/10/07/kosterlitz‐thouless‐transition/
Nobel 2016: Topologiczne przejścia fazowe
82 65 74
https://www.nobelprize.org
Co się dzieje jeśli trochę podgrzejemy układ?
• Może się pojawić antywir (antivortex)
• Ale energia antywiru też jest
olbrzymia
• Co ostatecznie powstanie?
http://www.ribbonfarm.com/2015/09/24/samuel‐becketts‐guide‐to‐particles‐and‐antiparticles/
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2016/10/07/kosterlitz‐thouless‐transition/
Kosterlitz–Thouless transition
Kosterlitz–Thouless transition
• Płaszczyzna (2D), na której siedzą atomy (spiny)
• Spiny są szczęśliwe jeśli są równoległe
• Co to znaczy, że są szczęśliwe?
• Energia jest minimalna
• W modelu XY w 2D nie ma tradycyjnego przejścia fazowego (twierdzenie Mermina‐
Wagnera), ale …
·
,
http://www.ribbonfarm.com/2015/09/24/samuel‐becketts‐guide‐to‐particles‐and‐antiparticles/
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2016/10/07/kosterlitz‐thouless‐transition/
http://www.ribbonfarm.com/2015/09/24/samuel‐becketts‐guide‐to‐particles‐and‐antiparticles/
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2016/10/07/kosterlitz‐thouless‐transition/
1
2016-10-17
Wiry i atywiry w modelu XY
Model Isinga (Lenza‐Isinga?)
•
•
•
•
•
1925 rozprawa doktorska Ernsta Isinga
Brak przejścia fazowego w 1D
Jedyna praca Isinga
Przejście fazowe w 2D (lata czterdzieste)
Skala mikro tłumaczy zachowania makro
,
Nobel 2016: Topologiczne przejścia fazowe
•
•
•
•
Skąd taki Hamiltonian?
Wiodącą rolę w odgrywają małe wiry
W niskich temperaturach wiry i antywiry tworzą ciasne pary
Temperatura wzrasta i zachodzi przejście fazowe
Wiry nagle oddalają się od siebie
Każdy układ dąży do minimalizacji energii
LÓD
WODA
LÓD
WODA
LÓD
Lód i woda w równowadze
WODA
Przechłodzona woda
https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2016/popular‐physicsprize2016.pdf
Temperatura Curie – ciągłe przejście fazowe
Skąd taki Hamiltonian?
magnes
Każdy układ dąży do minimalizacji energii
ferromagnetyk
© Katarzyna Sznajd‐Weron
•
•
•
•
Przejście fazowe
Ferromagnetyk Paramagnetyk Jak to zrozumieć? 3·1
4·
1
1
2
2016-10-17
Oddziaływania pomiędzy cząstkami
Dalsze losy modelu Isinga
• Przejście fazowe w 2D bez pola Ferromagnetyk (konformizm)
– Onsager, lata czterdzieste
• Symulacje Komputerowe – model Isinga w 3D i 2D z polem
• Wykorzystanie poza fizyką
Antyferromagnetyk (antykonformizm)
• Wpływ (siła oddziaływania) wzrasta wraz
– Ze zgodnością grupy
– Z rozmiarem grupy
• Wysoka temperatura –„nerwowo”
© Piotr Nyczka
Czego się spodziewacie?
Symulacja Monte Carlo Modelu Isinga
Czego się spodziewacie?
Zajrzyjcie na https://ccl.northwestern.edu/netlogo/
Models Library
•
•
•
•
•
•
Przygotuj stan początkowy układu
Pozwól mu ewoluować
Poczekaj aż ustali się magnetyzacja
Zanotuj wartość Powtarzaj to „dużo” razy
Policz średnią magnetyzację
• Jaka to średnia?
NetLogo (środowisko do ABM)
Prof. Uri Wilensky
Northwestern's Center for Connected Learning and Computer‐Based Modeling (CCL) Ewolucja układu w czasie (ferromagnetyk)
1
Średnia po czasie i średnia po zespole
Średnia po czasie
• Oddziaływanie – porządkuje
• Temperatura – losowe zmiany
– W niskich temperaturach  porządek
– W wysokich temperaturach  nieporządek
1
Średnia po zespole
niska temperatura
Układ ergodyczny to średnia po zespole = średnia po czasie
3
2016-10-17
Algorytm Metropolisa – 1MCS = N losowań
• Wylosuj jeden spin
• Oblicz energię E
∑
• Oblicz energię E
∑
Spojrzenie fizyka na rzeczywistość
∈
∈
• Oblicz zmianę energii ΔE E
E
• Jeżeli ΔE 0 to →
• Jeżeli ΔE 0 to wylosuj z przedziału 0,1 i akceptuj nową konfigurację jeżeli: Δ
,
1
Przejście fazowe w modelu Isinga
Wszystko powinno być tak proste, jak to tylko możliwe, ale nie prostsze
Po co nam uproszczenia?
Przykład z rozprawy doktorskiej Piotra Nyczki:
Oryginalny obraz , , ∈ 0,255
Zdjęto kolor –
jedna zmienna o 256 wartościach
Coraz mniejsza liczba odcieni szarości, ostatecznie 2
• Łatwiejsza analiza – może nawet analityczna
• Większa kontrola (zrozumienie)
• Możliwość zupełnej analizy wrażliwości na zmianę parametrów
(uwaga na przejścia fazowe!)
Przypadek jako narzędzie budowania modeli
Po co model w fizyce?
?
nieznane zjawisko
Weryfikacja
Model
Eksperyment
• Miesięczny zapis gry w ruletkę w Monte Carlo może dostarczyć nam podstaw do dyskutowania fundamentów nauki
Karl Pearson (1857‐1936)
• Metoda Monte Carlo
• ABM Metoda Monte Carlo
Konstrukcja
© Marcin Weron
4
2016-10-17
Liczby losowe
Generatory liczb pseudolosowych (PRNG)
• Tippett (1927) – Random Sampling Numbers
• PRNG generuje deterministycznie ciąg bitów, który pod pewnymi względami jest nieodróżnialny od ciągu uzyskanego z prawdziwie losowego źródła.
• Algorytm liniowy (liczby o rozkładzie jednostajnym):
– Pierwsza tablica liczb losowych
– 41 600 cyfr ułożonych w zestawach po 4
– Dane o powierzchni parafii z brytyjskiego spisu powszechnego (odrzucone 2 pierwsze i 2 ostatnie cyfry)
xn 1  axn  b  mod c
• a,b,c – liczby magiczne, np:
a  75 , b  0, c  231  1
Jak inaczej otrzymać liczby losowe? Czy coś zwraca waszą uwagę?
Cechy dobrego generatora do MC • Długi okres powtarzalności
• Losowość – brak korelacji, równomierność (specjalne testy)
• Szybki
26
Albo …
Generator Mersenne Twister • Idź do szpitala po zapis kolejnych urodzeń chłopców i dziewczynek: CDDDCCD
• Przetasuj liczby (Tablica liczb przetasowanych czterocyfrowych Hugo Steinhausa wydana w 1954)
• Makoto Matsumoto i Takuji Nishimura,1997
(http://www.math.sci.hiroshima‐u.ac.jp/~m‐mat/MT/emt.html)
– Nadaje się do Symulacji Monte Carlo, ale nie do kryptografii
• Zalety MT19937 Mersenne Twistera:
–
–
–
–
Okres 219937 − 1 (udowodnione)
Wysoki stopień równomiernego rozmieszczenia
Spełnia większość testów losowości
Szybki
27
5
2016-10-17
Metoda Monte Carlo
Symulacja komputerowa
Prawdopodobieństwo przejścia
Metoda Monte Carlo (MC) jest techniką rozwiązania problemów, która polega na generowaniu zmiennych losowych w celu oszacowania parametrów ich rozkładu John von Neumann
101x101
503x503
1003x1003
gęstość zadrzewienia p
Dla jakiego p pożar dotrze do drugiej strony lasu?
Idea metody Monte Carlo
• Jaka jest szansa ułożenia pasjansa? • Ciężko to policzyć analitycznie bo wygrana zależy od wielu ruchów
• A gdyby tak parę razy spróbować ułożyć pasjansa i zobaczyć ile razy się to uda
Perkolacja: Pożary lasów
Literatura
?
Przegrana
Przegrana
Wygrana
• D. W. Heermann, Podstawy symulacji komputerowych w fizyce, WNT 1997
• D. P. Landau, K. Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge University Press 2005
Przegrana
Szansa ułożenia to ¼ !
Do zobaczenia w Monte Carlo
6