Ośrodki dielektryczne optycznie nieliniowe

Ośrodki dielektryczne optycznie nieliniowe
Równania Maxwella
przy czym tym razem wektor
indukcji elektrycznej
∂D
rotH−
=0
∂t
∂B
rotE−
=0
∂t
D = ε 0 E + P(E )
Wektor polaryzacji P jest nieliniową funkcją
natężenia pola elektrycznego E
Wektor polaryzacji
P = ε 0 χ E + PNL
składowa liniowa
składowa nieliniowa
Równanie falowe dla jednej ze składowych E
∂ 2E 1 ∂ 2E
− 2 2 = −Φ
2
∂z
v ∂t
gdzie
źródło
∂ 2 PNL
Φ = −µ 0
∂t 2
Propagująca się fala E(t) w ośrodku generuje
dodatkowo inną falę związaną z funkcją PNL(t)
Część nieliniową PNL można rozłożyć w szereg
PNL (t ) = 2χ ( 2 ) E 2 + 4χ (3) E3 + ... nieliniowości różnego rzędu
χ(m) (m = 1, 2, ..) - współczynniki podatności elektrycznej
Generalna uwaga
Zespolona postać równania harmonicznej Ehexp(iω
ωt)
była wygodna w optyce liniowej
Teraz z powodu potęgowania → E(t ) = Re[E h exp(iωt )]
Ale dla funkcji zespolonej Z
(
Re[Z] = 0.5 Z + Z∗
)
a więc
E(t ) = Re[E h exp(iωt )] = 0.5E h exp(iωt ) + 0.5E ∗h exp(− iωt )
Nieliniowość drugiego rzędu
PNL ≈ 2χ E
( 2)
2
Zastosowania:
Generowanie drugiej harmonicznej
Zjawisko elektrooptyczne
Mieszanie fal
OPO – przestrajalny laser
PNL = 2χ ( 2 ) E 2
Generowanie drugiej harmonicznej
Fala padająca E(t ) = Re[E h exp(iωt )]
Fala wywołana
[
= χ ( ) [0.5E
PNL = 2χ ( 2 ) {Re[E h exp(iωt )]}
2
]
PNL = 2χ (2 ) 0.5E h exp(iωt ) + 0.5E ∗h exp(− iωt )
PNL
2
2
h
exp (i 2ωt ) + 0.5E ∗h2 exp (− i 2ωt ) + E h E hx
( ) = (E )
Ponieważ E
∗ 2
2
2 ∗
]
PNL (t ) = Pnl (0) + Re[Pnl (2ω) exp(i 2ωt )]
gdzie stała Pnl (0 ) = χ
( 2)
Eh
2
( 2) 2
amplituda drugiej harmonicznej Pnl (2ω) = χ E h
Generowanie drugiej harmonicznej cd
Poglądowe wyjaśnienie
PNL
PNL(t)
E(t)
Fala padająca
PNL (t ) = Pnl (0)
PNL (t ) = Re[Pnl (2ω) exp(i 2ωt )]
Generowanie drugiej harmonicznej cd
∂ 2 PNL
2 ( 2)
2
Φ = −µ 0
Re
=
4
µ
ω
χ
E
0
h (ω) exp(2iωt )
2
∂t
[
]
[ ] I (ω)
Intensywność drugiej harmonicznej I 2 ω ∝ ω χ
4
( 2) 2 2
h
gdzie Ih(ω) – intensywność fali padającej
Fala wygenerowana I2ω i padająca Ih(ω) są
koherentne i mają różną prędkość fazową
Generowanie drugiej harmonicznej cd
I2ω
Iω
Druga harmoniczna
Iω
Wzmocnienie następuje przy zgodności faz obu fal
Wtedy wysoka sprawność przemiany
Płytki kryształów dwójłomnych mają odpowiednią
grubość i są ustawione pod odpowiednimi kątami
Metody generowania drugiej harmonicznej
PNL = 2χ ( 2 ) E 2
Zjawisko elektrooptyczne
Połączenie stałego pola elektrycznego E0
z padającą falą harmoniczną Eh
E = E 0 + Re[E h exp(iωt )] = E 0 + 0.5E h exp(iωt ) + 0.5E ∗h exp(− iωt )
Dla składowej nieliniowej PNL wektora polaryzacji
PNL
∗2
2
2
(
)
=
2
E
+
0
.
5
E
exp
i
2
ω
t
+
0
.
5
E
0
h
h exp(− i 2ωt ) +
(2 )
χ
+ 2E 0 E h exp(iωt ) + 2E 0 E ∗h exp(− iωt ) + E h E ∗h
[
]
PNL
2
2
2
[
(
)
]
=
2
E
+
E
+
4
E
Re
E
exp
i
ω
t
+
Re
E
0
h
0
h
h exp(i 2ωt )
(2 )
χ
Zjawisko elektrooptyczne cd
Składowa nieliniowa PNL wektora polaryzacji
PNL (t ) = Pnl (0 ) + Re[Pnl (ω) exp(iωt )] + Re[Pnl (2ω) exp(i 2ωt )]
gdzie
[
Pnl (0 ) = χ (2 ) 2E 02 + E h
Pnl (ω) = 4χ E 0 E h
(2 )
Pnl (2ω) = χ E
(2 )
2
]
2
dla E 0 >> E h
≈ 2χ (2 )E 02
= 4χ ( 2 ) E 0 E h
≈0
2
h
Wektor PNL ma trzy składowe
o częstotliwościach 0
ω i 2ω
ω
i odpowiednich amplitudach
Pomijalnie
małe
2
Zjawisko elektrooptyczne cd
Zastosowanie
Gdyby E 02 >> E h
2
amplituda fali propagującej się jest
pomijalnie mała w porównaniu z
wartością stałego pola elektrycznego
PNL ≈ Pnl (0 ) + Re[Pnl (ω) exp(iωt )]
(2 ) 2
gdzie Pnl (0) ≈ 2χ E 0
PNL
Pnl (ω) = 4χ (2 )E 0 E h
Pnl(0)
Poglądowe
wyjaśnienie
E0
E(t)
Zastosowanie cd
Zjawisko elektrooptyczne cd
Ponieważ wektor polaryzacji
padająca fala
P (t ) = ε 0 χ E (t ) + PNL (t )
E(t ) = Re[E h exp(iωt )]
to dla propagującej się
harmonicznej o częstotliwości ω
pomija się Pnl(0)
PNL ,ω = Re[Pnl (ω) exp(iωt )]
Pnl (ω) = 4χ (2 )E 0 E h
więc
(2 )

4
E0 
χ
(2 )
 Re [E h exp (iω t )]
P(t ) = ε 0 χ + 4χ E 0 Re [E h exp (iω t )] = ε 0  χ +
ε0 

[
]
P(t ) = ε 0 (χ + ∆χ )Re [E h exp (iω t )]
gdzie zmiana podatności elektrycznej
zależy od wartości stałego pola E0
4χ (2 )E 0
∆χ =
ε0
Zastosowanie cd
4χ (2 )E 0
∆χ =
ε0
n = 1 + χ.
ale znany związek współczynnika załamania
z podatnością elektryczną
lub n 2 = 1 + χ
Przyłożenie stałego pola elektrycznego o wartości E0
powoduje zmianę współczynnika
załamania o wartość ∆n
Ostatecznie
2χ (2 )
∆n =
E0
nε 0
E0
E(t)
4χ ( 2 ) E 0
2n∆n = ∆χ =
ε0
Zmiana fazy fali E(t) za
pomocą pola
elektrycznego E0
Jak modulator
Pockelsa
Mieszanie dwóch fal harmonicznych
PNL = 2χ ( 2 ) E 2
E(t ) = Re[E1 exp(iω1t ) + E 2 exp(iω2 t )]
[
]
E(t ) = 0.5 E1 exp(iω1t ) + E1∗ exp(− iω1t ) + E 2 exp(iω2 t ) + E ∗2 exp(− iω2 t )
4 E 2 = E12 exp (i 2ω1 t ) + E1∗2 exp (− i 2ω1 t ) + E 22 exp (i 2ω 2 t ) + E ∗22 exp (− i 2ω 2 t ) +
E1E1∗ + E1E 2 exp [i(ω1 + ω 2 )t ] + E1E ∗2 exp [i(ω1 − ω 2 ) t ] + 
+ 2 ∗
∗ ∗
∗
E1 E 2 exp [− i(ω1 − ω 2 )t ] + E1 E 2 exp [− i(ω1 + ω 2 )t ] + E 2 E 2 
Więc po uporządkowaniu wyrazów
[
]
[
]
PNL
2
2
2
2
(
)
=
E
+
E
+
Re
E
exp
i
2
ω
t
+
Re
E
1
2
1
1
2 exp (i 2ω 2 t ) +
( 2)
χ
{
}
+ 2 Re E1E ∗2 exp [i(ω1 − ω 2 )t ] + 2 Re{E1E 2 exp [i(ω1 + ω 2 )t ]}
Nieliniowość drugiego rzędu dc
PNL = 2χ ( 2 ) E 2
Mieszanie dwóch fal padających
[
]
[
]
PNL
2
2
2
2
(
)
=
E
+
E
+
Re
E
exp
i
2
ω
t
+
Re
E
1
2
1
1
2 exp(i 2ω2 t ) +
( 2)
χ
{
}
+ 2 Re E1E ∗2 exp[i(ω1 − ω2 )t ] + 2 Re{E1E 2 exp[i(ω1 + ω2 )t ]}
Wektor PNl ma pięć składowych
o częstotliwościach 0
2ω
ω1 2ω
ω2
ω1- ω2 ω1+ ω2
i odpowiednich amplitudach
Mieszanie fal Parametryczny oscylator optyczny
OPO – Optical Parametric Oscillator
Pompowanie laserem ω3
generuje wiązkę w rezonatorze ω2
w wyniku mieszania wyprowadzana wiązka ω1
Zmiana ω2 → zmiana ω1 = ω2 - ω3
przestrajalny laser OPO
Nieliniowość trzeciego rzędu
Pnl = 4χ E
( 3)
3
Trzecia harmoniczna i efekt Kerra
Po podniesieniu E(t) = Re[exp(iωt)] do trzeciej potęgi
i uporządkowaniu wyrazów
PNL
2
3
= E h cos(ωt ) + 3 E h E h cos(3ωt )
( 3)
χ
Trzecia harmoniczna
PNL 3h = 3χ
( 3)
E h E h cos(3ωt )
2
Niska sprawność przetwarzania
Efekt Kerra PNL , K = χ ( 3) E 3h cos(ωt )
→ zmiana współczynnika załamania
Nieliniowość trzeciego rzędu
Zmiana współczynnika załamania
Z liniowej elektrodynamiki
ε
n=
= 1+ χ
ε0
P = ε 0 χE
więc teraz

3χ (3 )
2
P = ε 0 χE + PNl = ε 0 χ +
E(ω)  E(ω)
ε0


P = ε 0 [χ + ∆χ]E(ω)
3χ ( 3)
3χ (3)
2
∆χ =
E(ω) =
I(ω)
ε0
ε0
I(ω) – intensywność fali padającej
Zmiana współczynnika załamania
Ponieważ
n2
1.5 (3)
χ I(ω)
= 1 + χ → 2n∆n = ∆χ → ∆n =
ε0n
Współczynnik załamania jest funkcją gęstości
mocy padającego promieniowania
n (I ) = n 0 + n 2 I
gdzie I
Materiał
szkła
szkła domieszkowane
półprzewodniki
[W/cm2]
1.5 ( 3)
n2 =
χ
ε0n 0
n2 [cm2/W]
10-14 - 10-16
10-7 - 10-14
10-2 - 10-10
Samomodulacja fazowa
Ośrodek nieliniowy
I
I
Fala płaska o
intensywności I
d
Zmiana fazy fali płaskiej po przejściu przez
ośrodek całkowicie przezroczysty o grubości d
∆ϕ = k 0 nd = k 0 (n + n 2 I ) d
Zmiana fazy zależy od gęstości mocy I
propagującej się fali
Gdyby ośrodek był absorpcyjny → nieliniowa zmiana fazy
wraz z odległością z propagującej się fali w ośrodku
Samoogniskowanie
Gaussowski rozkład intensywności fali
ognisko
Ośrodek
nieliniowy
Wyższa intensywność generuje wyższy współczynnik
załamania
Ogniskowanie wiązki gaussowskiej
Destrukcyjny wpływ ogniska → cieplny wpływ
Przestrzenne solitony
2w
2ϑ
+
Ośrodek
nieliniowy
Rozbieżność wiązki
gaussowskiej w
ośrodku liniowym
+
samoogniskowanie
wiązki gaussowskiej w
ośrodku nieliniowym
Może nastąpić wzajemna kompensacja
2w = const
Przestrzenne solitony cd
Kompensacja
rozbieżności przez
samoogniskowanie
Rozwiązanie
teoretyczne
Rozkład
amplitud na
czole fali
Falowód
samoogniskujący

z 

V0 exp − i
2 
2kw 0 

V(ρ, z ) =
 ρ 

cosh
 w0 
Rozkład
intensywności
podobny do wiązki
gaussowskiej
Problem:
utrzymanie odpowiednio dużej i stałej mocy wiązki
Optyczne solitony
Impuls gaussowski
Un
Fala nośna o
częstotliwości
kołowej ω0
z
AUn
Zmodulowana
fala sygnałem A
dla z = 0 i t = 0
z
A2
Rozkład
intensywności
w impulsie dla
z=0 i t=0
O
z
Impuls gaussowski w ośrodku dyspersyjnym
Impuls
U(z, t ) = A(z, t ) U 0 exp{i[ω0 t − k (ω0 ) z ]}
modulacja
fala nośna
Harmoniczna
o częstotliwości kołowej ω = ωa - ω0
u (ω) = a (0, ωa ) exp{ i[ωt − k (ω) z ] }
Prędkość fazowa harmonicznej
z zależności
u (ω) ∝ FT − [U(z, t )]
c
ω 2πνλ νλ 0
vh = =
=
=
k
2π
n
n (ν )
Wzrost częstotliwości ν → zmniejszanie λ0 :
Ośrodek przezroczysty: rośnie n i maleje prędkość fazowa vh
W paśmie absorpcyjnym (laserowego wzmocnienia)
dyspersja anomalna: maleje n i rośnie prędkość vh
Harmoniczne o różnych częstotliwościach
wzajemnie się przesuwają
Impuls gaussowski w ośrodku dyspersyjnym cd
Podczas propagacji harmoniczne o różnych
częstotliwościach wzajemnie się przesuwają
Ponieważ rozkład amplitud i faz w odległości z
U (z, t ) = ∑ u (ω) ⇒ FT + [u (ω)]
jest sumą propagujących
się harmonicznych
podczas propagacji impuls się poszerza
I a (z)
1.5
1
0.5
z
0
20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Optyczne solitony
Utrzymanie podczas propagacji stałej szerokości impulsu
w czasie
Kompensacja
Zmiana fazy
harmonicznych wraz z λ
+
Samomodulacja fazy
wraz z mocą I impulsu
dyspersja
prędkości grupowej
Propaguje się wtedy samotny impuls
z angielskiego solitary pulse
Optyczne solitony cd
W liniowym ośrodku dyspersyjnym w obszarze dyspersji
anomalnej promieniowanie o krótszej długości fali propaguje
się szybciej
Ośrodek liniowy
dyspersja anomalna
n=1
n=1
n
t
harmoniczna o wyższej częstotliwości
(mniejszy okres) dociera szybciej
niż harmoniczna o większym okresie
t
Optyczne solitony cd
Ośrodek nieliniowy bezdyspersyjny
Zmiana fazy podczas propagacji impulsu na odległość ∆z
ϕ(t ) = ω0 t − k 0 [n 0 + n 2 I(z, t )]∆z
Chwilowa częstotliwość kołowa
I
Obszar
wzrostu I
ωi
ω0
dI(z, t )
> 0 → ωi < ω0
dt
odpowiada mniejszej
częstotliwości ωi
n2 > 0
dϕ
dI(z, t )
ωi =
= ω0 − k 0 n 2 ∆z
dt
dt
impuls
t
Obszar spadku I
dI(z, t )
< 0 → ωi > ω0
dt
większa częstotliwość ωi
Ośrodek nieliniowy bezdyspersyjny cd
n=1
n=1
n
t
Wzrost I
większy okres harmonicznej
szybsza propagacja
t
Spadek I
mniejszy okres
harmonicznej
wolniejsza
propagacja
Optyczne solitony
Dyspersyjny ośrodek nieliniowy
n=1
n=1
n
t
t
Wzajemna kompensacja
dyspersji prędkości grupowej i samomodulacji fazy
Impuls podczas propagacji w
ośrodku nie zmienia się
Generator solitonów
laser
Doświadczalnie potwierdzono wynik dla światłowodów
sprzęgacz
pompa
Modulator dla
synchronizacji fazy
Ośrodek nieliniowy
światłowód
Wyjście: ciąg
jednakowych
pikosekundowych
impulsów
Światłowód domieszkowany
erbem - wzmacniacz
Wzmocnienie w celu podtrzymania
mocy propagującego się w pętli solitonu
Straty w światłowodach i na wyjście solitonów