KONKURS MATEMATYCZNY SZKOLNY MISTRZ MATEMATYKI 5

KONKURS MATEMATYCZNY SZKOLNY
MISTRZ MATEMATYKI 5 STYCZNIA 2011 r.
GODZINA: 11.00
CZAS TRWANIA KONKURSU: 170 MINUT
ZADANIA ZAMKNIĘTE
Zad1.(1pkt) ) Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej
-3
A. |x-1|>4
B. |x+1|>4
5
C.|x-1|<4
x
D. |x+1|<4
Zad2. (1pkt) Wiadomo, że 1,4 % pewnej liczby jest równe 0,756.Liczba ta jest równa:
A.54
B. 5,4
C. 0,10584
D. 0,010584
Zad3.(1pkt) Wzór funkcji, której wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f o 5
jednostek w prawo to:
A. y = f(x+5)
B. y = f(x) +5
C. y = f(x-5)
D. y = f(x) -5
Zad4.(1pkt) Funkcja liniowa f przyjmuje wartości dodatnie jedynie w przedziale ( -2, + ),
a do jej wykresu należy punkt A = (1, 9). Wzór tej funkcji , to:
A. y =-2x +11
B. y = 4x +8
C. y =x +8
D. y =3x +6
Zad 5. (1pkt) Funkcja y = (m - 1) x – 2 jest rosnąca dla:
A. m<0
B. m=1
C. m>2
D. m>1
Zad6.(1pkt) Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie x2+5x+6=0 jest:
A. -1
B.-2
C.-3
D. -6
Zad 7. (1pkt) Jeśli log 2 =0,30, to wartość log32 jest równa:
A.16. 0,30
B. 8. 0,30
C.5. 0,30
D.10. 0,30
Zad 8.(1pkt) Jeśli W(x) = x(1-x2) oraz V(x )= x2(x+1), to stopień wielomianu
W(x). +V(x) jest równy:
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
Zad9. (1pkt) Dany jest wielomian W(x)=2x3 –x2-7.Wartość wielomianu dla x=-2 jest równa:
A. -27
B. -19
C. 13
D. 5
Zad10.(1pkt)Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = -x2 + 4x + c. Do wykresu tej funkcji
należy punkt A =( -3, -8 ). Parametr c jest równy:
A. -13
B. -11
C. -5
D.13
Zad11.(1pkt) Największym pierwiastkiem równania x3 +2x=3x2 jest liczba:
A. -2
B. 2
C. 0
D. 1
Zad12. (1pkt) Jeśli A=(-1,2> oraz B=<0,4), to przedział A B można zapisać jako:
A. <0,2>
B. (-1,4)
C. <2,4)
D. (-1,2)
Zad13.(1pkt)Do wykresu funkcji określonej wzorem y = 16x nie należy punkt
o współrzędnych:
A. (0, 1)
B. ( -
, )
C.( ,4)
D. (2, 64)
Zad14.(1pkt) Jeśli ciąg (an) jest określony wzorem an= (-3)n . (16 – n2), gdzie n N+, to
czwarty wyraz tego ciągu jest równy :
A. 81
B. 0
C. -27
D. -81
Zad15.(1pkt) Liczby 2,6,10,14 są kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego
(a n). Wyrazem tego ciągu nie jest liczba:
A.170
B.160
C.150
D.90
Zad16.(1pkt) Jeżeli w ciągu geometrycznym( an) pierwszym wyrazem jest liczba 243 i
iloraz q=
, to piąty wyraz tego ciągu jest równy :
A. 81
B. 27
C. 9
D. 3
Zad17.(1pkt) Sinus kąta ostrego α jest trzy razy większy od jego cosinusa. Wówczas:
A. sin α =
B. sin α =
C. cos α =
D. cos α =
Zad18. (1pkt) Jeśli suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa 1, to długość
boku jest równa:
B.
C.
+1
D.
-1
Zad19. (1pkt) Dane są punkty A=(-3,2) oraz B =(6,4) . Długość odcinka AB jest równa:
A.
B.
C.
D.
Zad20.(1pkt) Dany jest okręg o równaniu (x-6)2 +(y + 3)2 = 4. Wówczas:
A. S =(6,-3), r=4
B. S=(-6,3), r=2
C. S=(6,-3), r=2
D. S=(-6,3), r=4
Zad21(1pkt) Prostopadłościan o wymiarach 2cm, 3cm, 4cm jest podobny do
prostopadłościanu o objętości 192cm3. Skala podobieństwa tych prostopadłościanów jest
równa:
A. 2
B. 8
C. 2
D. 2
Zad22.(1pkt) Przekątna sześcianu ma długość 30. Pole powierzchni całkowitej tego
sześcianu jest równe :
A.300
B. 1200
C.1500
D.1800
Zad23 (1pkt) Jeśli graniastosłup ma 18 krawędzi, to jego podstawą jest:
A. czworokąt
B. pięciokąt
C. sześciokąt
D. dwunastokąt
Zad24 (1pkt) Objętość walca o promieniu podstawy 2 jest równa π. Wtedy wysokość walca
jest równa:
A.6
B.4
C. 0,25
D.0,5
Zad25 (1pkt) Mediana trzech wyników jest równa 18, a średnia arytmetyczna tych wyników
jest dwa razy większa niż mediana. Najmniejszym z wyników jest 7, więc największy wynik
jest równy:
A. 83
B.72
C.36
D.29
ZADANIA OTWARTE
Zad26. (2pkt) Wiedząc, że α jest kątem ostrym, doprowadź wyrażenie ctg 2α ⋅ sin 2α + sin 2α
do najprostszej postaci.
Zad 27. (2pkt) Dla jakich wartości parametru m wykres funkcji y = x 2 + 2mx + 3 leży ponad
osią OX?
Zad 28. (2pkt) Wyznacz ciąg arytmetyczny, wiedząc, że a7 = − 2 i a13 = 2 .
Zad 29. (2pkt) Dany jest okrąg O o środku w punkcie S (− 2, 3) i promieniu r = 5. Napisz
równanie okręgu, którego środkiem jest punkt P(4, 0) , stycznego zewnętrznie do okręgu O.
Zad 30. (3pkt) Dwie sąsiednie szkoły średnie zorganizowały wspólnie zawody sportowe. W
różnych konkurencjach wystartowało razem 180 uczniów, w tym 15% dziewcząt. Wśród
zawodników pierwszej szkoły było 10% dziewcząt, a wśród zawodników drugiej szkoły −
25% dziewcząt. Oblicz, ilu uczniów z każdej ze szkół brało udział w zawodach.
Zad 31. (3pkt) Spółdzielnia mieszkaniowa „Adrem” do ocieplenia bloku zatrudniła dwie
brygady, które wykonały pracę w ciągu 12 dni. Gdyby każda brygada wykonywała pracę
samodzielnie, to jedna z nich pracowałaby o 10 dni krócej niż druga. Jaką kwotę za wykonaną
pracę powinna otrzymać każda z brygad tak, aby 24 000 zł, które zapłaciła spółdzielnia za
wykonanie tej pracy zostały rozdzielone sprawiedliwie (proporcjonalnie do wkładu pracy)?
Zad 32. (3pkt) W trapezie równoramiennym podstawy mają długości 20 cm i 8 cm, a sinus
4
kąta ostrego jest równy 5 . Oblicz wysokość tego trapezu.
Zad 33. (4pkt)
Dana jest siatka ostrosłupa czworokątnego,
którego podstawą jest kwadrat.
Najdłuższa krawędź boczna
tego ostrosłupa ma długość 4 3 ,
a jego wysokość jest równa długości
podstawy. Oblicz:
a) objętość tego ostrosłupa,
b) pole powierzchni całkowitej tego
ostrosłupa.
Zad 34. (4pkt)
Średnia arytmetyczna liczb: 10, x2 – y, 3x + y, 4, 8, –2 wynosi 5, a dominanta tych liczb jest
równa 4. Oblicz x i y.