Testowanie pierwszości
Transkrypt
Testowanie pierwszości
Testowanie pierwszości PA, MZ Do zdobycia jest 20 punktów. Wstępny próg przyjęcia na warsztaty to 12 punktów. Zadanie 1 (2 pkt.). Udowodnić, że n jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy n dzieli wszystkie współczynniki dwumianowe ! ! ! n n n , ,..., . 1 2 n−1 Pokazać, że jeżeli n jest pierwsza, to dla dowolnego wielomianu w(x) o współczynnikach całkowitych mamy w(x)n ≡ w(xn ) gdzie ≡ oznacza przystawanie modulo n. Zadanie 2 (2 pkt.). Alicja i Bob mieszkają w różnych częściach Kleptolandii. Jedyną formą komunikacji jest poczta opanowana przez złodziei. Dowolna niezabezpieczona kłódką przesyłka zostaje ukradziona. Oboje dysponują nieograniczoną pulą kłódek, kluczyków i pudełek. W jaki sposób Bob może przesłać Alicji pierścionek zaręczynowy? (Alicja została uprzedzona o zamiarze i może współpracować z Bobem). Zadanie 3 (1 pkt.). Pokazać, że istnieje 1648 kolejnych liczb całkowitych z których każda jest podzielna przez sześcian liczby całkowitej większej niż 1. Zadanie 4 (2 pkt.). 1. Pokazać, że jeżeli d|an − 1 i d|am − 1, to d|aNWD(n,m) − 1. 2. Niech p będzie liczbą pierwszą a r najmniejszym wykladnikiem takim, że p|ar − 1. Pokazać, że dla każdego n zachodzi implikacja p|an − 1 ⇒ r|n. k 3. Niech p będzie dzielnikiem pierwszym liczby 22 + 1. Pokazać, że p ≡ 1 mod 2k+1 . 4. Wywnioskować, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych przystających do 1 mod 128. Zadanie 5 (2 pkt.). Dla liczby naturalnej n oznaczamy przez ϕ(n) liczbę liczb 1 ¬ k ¬ n względnie pierwszych z n. Pokazać, że 1. ϕ(n · m) = ϕ(n) · ϕ(m) jeżeli n i m są względnie pierwsze, 2. ϕ(n) = n 3. n = P d|n Q p|n 1− 1 p (iloczyn po dzielnikach pierwszych n), ϕ(d) (suma po dodatnich dzielnikach n). 4. (Tw. Eulera) jeżeli a ∈ Z jest względnie pierwsze z n, wówczas aϕ(n) ≡ 1 mod n. 1 Zadanie 6. Niech n ∈ N, x ∈ Z będą względnie pierwsze. Rzędem x modulo n nazywamy liczbę σn (x) = min{a 1 | xa ≡ 1 mod n}. (1, 1 pkt.) Pokazać, że 1. σn (x) jest dobrze określone (zbiór {a 1 | xa ≡ 1 mod n} jest niepusty), 2. σn (xk ) = σn (x)/ NWD(σn (x), k), 3. σn (xy) = σn (x) · σn (y) dla x, y ∈ Z względnie pierwszych z n i takich, że σn (x) i σn (y) są względnie pierwsze, 4. jeżeli p jest liczbą pierwszą nie dzielącą x, to σp (x) dzieli p − 1, (2, 2 pkt.) Niech p będzie liczbą pierwszą. Pokazać, że istnieje takie 0 < x < p, że σp (x) = p − 1. Wskazówka. Niech r = N W W (σp (x) | 0 < x < p) i niech r = pa11 · . . . · pakk będzie rozkładem r na czynniki pierwsze. Skonstruować x1 , . . . , xk o rzędach dokładnie pa11 , . . . , pakk . Pokazać korzystając z (1.3), że istnieje takie 0 < x < p, że σn (x) = r. Rozważając wielomian xr − 1 pokazać, że r = p − 1. Dowolne takie x nazywamy generatorem modulo p. Nazwa bierze się stąd, że {x, x2 , x3 , . . . , xp−1 } = {1, 2, 3, . . . , p − 1} (jako zbiory reszt modulo p), czyli x „generuje” wszystkie niezerowe reszty modulo p. Istotnie, reszty po lewej stronie są różne (gdyby xi ≡ xj dla pewnych 0 < i < j ¬ p − 1, to wówczas xj−i ≡ 1, co przeczy σp (x) = p − 1 > j − i) i jest ich p − 1. (3, 2 pkt.) Niech q = pk gdzie k > 1 oraz p jest nieparzystą liczbą pierwszą. Pokazać, że istnieje takie 0 < x < q niepodzielne przez p, że σq (x) = q(1 − 1/p). Wskazówka. Indukcyjnie ze względu na k skonstruować generator modulo pk . (4*) Wyjaśnić, co się dzieje w powyższym punkcie dla p = 2. Zadanie 7 (1 pkt.). Pokazać, że generatorów (patrz punkty (2) i (3) w poprzednim zadaniu) modulo pk jest dokładnie ϕ(ϕ(pk )). Zadanie 8 (1 pkt.). Niech p będzie liczbą pierwszą. Liczbę całkowitą a niepodzielną przez p nazywamy resztą kwadratową modulo p jeżeli istnieje liczba całkowita b taka, że a ≡ b2 mod p. Udowodnić, że a (p−1)/2 ≡ 0 1 −1 gdy n ≡ 0, gdy n jest resztą kwadratową modulo p, gdy n nie jest resztą kwadratową modulo p. Zadanie 9 (2 pkt.). Małe twierdzenie Fermata mówi, że jeżeli n jest liczbą pierwszą, to dla dowolnego a względnie pierwszego z n mamy an−1 ≡ 1 mod n. Jednak powyższa własność nie charakteryzuje liczb pierwszych — liczbę złożoną o tej własności nazywamy 2 liczbą Carmichaela (najmniejsza taka liczba to 561 = 3 · 11 · 17). Udowodnić, że n jest liczbą Carmichaela wtedy i tylko wtedy, gdy n jest iloczynem różnych liczb pierwszych n = p1 · . . . · pk (k > 1) oraz pi − 1 dzieli n − 1 dla i = 1, . . . , k. Wywnioskować, że każda liczba Carmichaela jest iloczynem co najmniej trzech liczb pierwszych. Zadanie 10 (2 pkt.). 3