Algebra

Algebra
Lista 5
1. Na ile istotnie ró»nych sposobów mo»na pokolorowa¢ wierzchoªki kwadratu
N
kolorami? Dwa
pokolorowania uznajemy za istotnie ró»ne, je±li jednego z nich nie mo»na uzyska¢ z drugiego za
pomoc¡ obrotu wzgl¦dem ±rodka kwadratu. Skorzystaj z lematu Burnside'a rozwa»aj¡c dziaªanie
grupy obrotów kwardratu na odpowiednim zbiorze.
2. Skorzystaj z lematu Burnside'a aby wyznaczy¢ liczb¦ istotnie ró»nych naszyjników skªadaj¡cych
si¦ z pi¦ciu koralików, z których ka»dy jest
(a) czarny lub biaªy
(b) czarny, biaªy lub czerwony.
Rozwa» dwie denicje poj¦cia istotnie ró»ne naszyjniki: w pierwszej za nierozró»nialne uznamy
dwa naszyjniki, z których jeden mo»na uzyska¢ z drugiego za pomoc¡ obrotu (bez podnoszenia
naszyjnika), w drugiej dodatkowo uto»samiamy naszyjniki, z których jeden mo»na uzyska¢ z
drugiego podnosz¡c go i przewracaj¡c na drug¡ stron¦.
3. Mówimy, »e dziaªanie grupy
g ∈ G,
takie »e
podgrupa
H.
g.x = y .
G
na zbiorze
X
Zdeniuj taki zbiór
pewnego elementu z
4. Niech
G
jest
przechodnie
je±li dla ka»dych
i dziaªanie przechodnie
G
na
X,
x, y ∈ X
istnieje
Dana jest grupa
aby
H
G
i jej
byªa stabilizatorem
X.
X , |X| > 1.
dziaªa przechodnio na
wszystkie elementy
X
Ile orbit wyznacza dziaªanie przechodnie?
X : a.x 6= x
Poka», »e wtedy istnieje
dla wszystkich
x ∈ X .Wskazówka:
a ∈ G,
które porusza
Skorzystaj z lematu Burnside'a.
Jaka jest
±rednia moc zbiorów f ix(a), po a nale»¡cych do G?
5. Udowodnij:
(a) Ka»dy wspólny dzielnik
(b)
min
jest dzielnikiem
GCD(m, n).
gcd(km, kn) = k · gcd(m, n).
(c) Je±li
gcd(k, m) = 1
(d) Je±li
d|mn i gcd(d, m) = 1,
oraz
gcd(k, n) = 1,
to
to gcd(k, mn)
= 1.
d|n.
Wskazówka. U»yj twierdzenia 68 i wniosku 70 z notatek.
6.
(a) Znajd¹ wszystkie mo»liwe warto±ci
(b) Udowodnij, »e je±li liczby
gcd(n, n + 10)
n − 1 i n2 + n + 1
dla
n ∈ N.
n ∈ N)
(dla
nie s¡ wzgl¦dnie pierwsze to ich
najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem jest 3.
Wskazówka: u»yj algorytmu Euklidesa.
C p-elementow¡ grup¡ cykliczn¡ generowan¡ przez g . DeC na zbiorze p-elementowych ci¡gów o wyrazach ze zbioru {1, . . . , n}
przyjmuj¡c, »e g.(a1 , . . . , ap−1 , ap ) = (ap , a1 , . . . , ap−1 ). Znajd¹ orbity wyznaczone przez to dzia-
7. Niech
p
b¦dzie liczb¡ pierwsz¡, a
niujemy dziaªanie grupy
ªanie. Wylicz liczb¦ orbit korzystaj¡c z lematu Burnside'a. Wywnioskuj st¡d maªe twierdzenie
Fermata: je»eli liczba pierwsza
8. Niech
G
p
rz¦du
p
nie dzieli
n,
to dzieli
m liczb¡, która
m-elementowym zbiorze X .
np−1 − 1.
p.
b¦dzie liczb¡ pierwsz¡, a
nie dzieli si¦ przez
pn
Poka», »e pewna orbita wyznaczona przez to
dziaªa na
Przypu±¢my, »e grupa
dziaªanie jest jednoelementowa.
9. Niech G b¦dzie grup¡ rz¦du podzielnego przez liczb¦ pierwsz¡
X = {(a1 , . . . , ap ) ∈ Gp : a1 · . . . · ap = 1 ∧ ∃i ai 6= 1}
p,
a
C
grup¡ rz¦du
p.
W zbiorze
mo»emy zdeniowa¢ dziaªanie grupy
podobnie, jak w zadaniu 7. Wywnioskuj z zadania 8, »e w grupie
G
jest element rz¦du
p.
C