dr Dariusz Wiśniewski Zad. 1 Jaką siłą przyciągają się dwa okręty

Segment B.VIII
Pole grawitacyjne
Przygotował: dr Dariusz Wiśniewski
Zad. 1
Jaką siłą przyciągają się dwa okręty, każdy o masie 4000 ton, mijające się w odległości r = 100 m ?
m3
G = 6.67 · 10−11 kg·s
2
2
Odp.: F = G m1r·m
≈ 0.107 N
2
Źrd.: J. Kalisz, M. Massalska, J.M. Massalski, Zbiór zadań z fizyki z rozwiązaniami, PWN 1966.
Zad. 2
Jakie przyspieszenie może uzyskać kosmonauta o masie m = 70 kg, znajdujący się w odległości r = 5 m
od pojazdu kosmicznego o masie M = 10 ton w wyniku przyciągania pomiędzy nim a pojazdem?
≈ 2.7 · 10−8
Odp.: a = G M
r2
m
s2
Źrd.: M.S. Cedrik, Zadania z fizyki, PWN 1986.
Zad. 3
Obliczyć masę Ziemi MZ znając jej promień (RZ = 6.37 · 106 m), stałą grawitacyjną (G = 6.67 ·
m3
m
10−11 kg·s
2 ) oraz przyspieszenie ziemskie (g = 9.81 s2 ).
Odp.: MZ =
2
gRZ
G
≈ 6 · 1024 kg
Źrd.: J. Kalisz, M. Massalska, J.M. Massalski, Zbiór zadań z fizyki z rozwiązaniami, PWN 1966.
Zad. 4
Na jakiej wysokości h nad powierzchnią Ziemi przyspieszenie ziemskie wynosi 0.5 g?
√
Odp.: h = RZ ( 2 − 1) ≈ 2.64 · 106 m
Źrd.: M.S. Cedrik, Zadania z fizyki, PWN 1986.
Zad. 5
Obliczyć przyspieszenie siły ciężkości (gK ) na powierzchni Księżyca, wiedząc, że masa Księżyca jest
3
n = 81 razy mniejsza niż masa Ziemi, a stosunek promieni Księżyca i Ziemi wynosi s = 11
.
Odp.: gK =
1
g
ns2
=
121
g
729
≈ 1.63
m
s2
Źrd.: J. Kalisz, M. Massalska, J.M. Massalski, Zbiór zadań z fizyki z rozwiązaniami, PWN 1966.
Zad. 6
W jakiej odległości x od środka kuli ziemskiej, na odcinku łączącym środki Ziemi i Księżyca, znajduje
się punkt, w którym ciążenia ku Ziemi i Księżycowi są jednakowe? Masa Księżyca jest n = 81 razy
mniejsza niż masa Ziemi, a odległość między ich środkami wynosi R = 384000 km.
Odp.: x =
√
n
√
R
1+ n
= 0.9R = 345600 km
Źrd.: J. Kalisz, M. Massalska, J.M. Massalski, Zbiór zadań z fizyki z rozwiązaniami, PWN 1966.
1
Zad. 7
Znając średnią odległość Ziemi od Słońca R = 149.5 · 106 km oraz czas obiegu Ziemi dookoła Słońca,
wynoszący T = 365.24 dób, obliczyć siłę z jaką Słońce przyciągać będzie obiekt o masie m = 1 kg
znajdujący się na powierzchni Ziemi.
Odp.: F =
4π 2 Rm
T2
≈ 0.0059 N
Źrd.: J. Kalisz, M. Massalska, J.M. Massalski, Zbiór zadań z fizyki z rozwiązaniami, PWN 1966.
Zad. 8
Jaką prędkość należy nadać satelicie wystrzelonemu z Ziemi, aby krążył po orbicie kołowej o promieniu
R ≈ RZ ? Masa Ziemi wynosi MZ = 6 · 1024 kg.
Odp.: V =
q
GMZ
RZ
≈ 7.9 km
s
Źrd.: J. Jędrzejewski, W. Kruczek, A. Kujawski, Zbiór zadań z fizyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, W-wa, 1988
Zad. 9
Synchroniczny satelita Ziemi to taki, który stale przebywa nad tym samym punktem równika. Jaka
jest odległość satelitów synchronicznych od środka Ziemi?
r
Odp.: R =
3
2 T2
gRZ
4π 2
≈ 42220 km
Źrd.: J. Orear, Fizyka, tom 1, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, W-wa, 1993.
Zad. 10
Jak zmienia się natężenie pola grawitacyjnego Ziemi dla punków leżących w odległości r ­ RZ od
środka Ziemi?
Odp.: γ = G Mr2Z = gRZ2 r12
Zad. 11
Zakładając jednorodny rozkład gęstości Ziemi oraz wiedząc, że siła oddziaływania grawitacyjnego
pomiędzy powłoką kulistą, a umieszczoną wewnątrz niej masą wynosi zero, określ jak zmienia się
natężenie pola grawitacyjnego Ziemi dla punków leżących wewnątrz (r < RZ ) Ziemi?
Z
Odp.: γ = G M
r = g RrZ
R3
Z
Zad. 12
Obliczyć natężenie pola grawitacyjnego w punktach A, B, C oraz D (zaznaczonych na poniższym
rysunku) dla hipotetycznej planety powstałej z zetknięcia dwóch kul, z których każda charakteryzuje
się parametrami identycznymi jak dla kuli ziemskiej (tj. R = RZ , M = MZ ).
2
√
Odp.: γA = 0, γB = 14 g, γC =
10
g,
9
γD =
√
26+2 5
g
5
Źrd.: J. Jędrzejewski, W. Kruczek, A. Kujawski, Zbiór zadań z fizyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, W-wa, 1988.
Zad. 13
Obliczyć drugą prędkość kosmiczną VII , tj. prędkość z jaką powinien być wystrzelony pocisk z powierzchni
planety o masie M i promieniu R, aby opuścił ją na zawsze.
Odp.: V =
q
2 GM
R
Źrd.: J. Jędrzejewski, W. Kruczek, A. Kujawski, Zbiór zadań z fizyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, W-wa, 1988.
Zad. 14
Statek kosmiczny o masie m krąży swobodnie (bez napędu) po orbicie okołoziemskiej o promieniu R.
Obliczyć całkowitą energię mechaniczną (EC ) statku.
Odp.: EC = − 12 G MRZ m
Źrd.: J. Jędrzejewski, W. Kruczek, A. Kujawski, Zbiór zadań z fizyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, W-wa, 1988.
Zad. 15
Obliczyć, ile energii (∆E) należałoby zużyć, aby przenieść Księżyc z jego orbity okołoziemskiej do
nieskończoności. Masa Księżyca jest n = 81 razy mniejsza niż masa Ziemi, a promień jego orbity
wynosi średnio R = 384000 km.
M2
Z
Odp.: ∆E = G 2n·R
≈ 39 · 1027 J
Źrd.: J. Jędrzejewski, W. Kruczek, A. Kujawski, Zbiór zadań z fizyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, W-wa, 1988.
Zad. 16
W pustym Wszechświecie znajdują się dwie masy m1 i m2 . W chwili początkowej są nieruchome
i znajdują się w nieskończonej odległości od siebie. Znaleźć ich względną prędkość w zależności od
odległości x między nimi.
q
Odp.: V =
2G·(m1 +m2 )
x
Zadania domowe
Zad. 17
Obliczyć przyspieszenie siły ciężkości (gp ) na małej planecie o średnicy d = 30 km, zakładając że jej
średnia gęstość jest taka sama jak średnia gęstość Ziemi.
Odp.: gp = g 2RdZ
Źrd.: J. Kalisz, M. Massalska, J.M. Massalski, Zbiór zadań z fizyki z rozwiązaniami, PWN 1966.
3
Zad. 18
Punktowa masa m, znajdująca się w odległości d = 20 m od środka dużej metalowej kuli o promieniu
R = 10 m, przyciągana jest przez tę kulę grawitacyjnie z pewną siłą. Kula wykonana jest z metalu
o nieznanej gęstości. Po wykonaniu w kuli centralnego (współśrodkowego) wydrążenia kulistego, siła
przyciągania grawitacyjnego zmniejszyła się do n = 78 poprzedniej wartości. Jaki jest promień r tego
wydrążenia?
√
Odp.: r = R 3 1 − n = R2 = 5 m
Zad. 19
Gwiazda podwójna składa się z dwóch gwiazd o masie M każda, krążących po w wspólnej orbicie
dookoła swego środka masy z okresem T . Obliczyć promień R orbity tych gwiazd.
q
Odp.: R =
3
GT 2 M
16π 2
Źrd.: J. Jędrzejewski, W. Kruczek, A. Kujawski, Zbiór zadań z fizyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, W-wa, 1988.
Zad. 20
Obliczyć pracę L jaką należałoby wykonać, aby rozsunąć do nieskończoności (wchodzące w skład
gwiazdy podwójnej) dwie jednakowe gwiazdy masie M każda, krążące po w wspólnej orbicie o promieniu
R dookoła swego środka masy.
Odp.: L =
GM 2
4R
Źrd.: J. Jędrzejewski, W. Kruczek, A. Kujawski, Zbiór zadań z fizyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, W-wa, 1988.
Zad. 21
Dwie jednorodne kule o masach m i M znajdując się w odległości d oddalały się od siebie z prędkością
u. Na jaką maksymalną odległość x oddalą się te kule od siebie?
Odp.: x =
1
1
u2
− 2G(M
d
+m)
Źrd.: J. Jędrzejewski, W. Kruczek, A. Kujawski, Zbiór zadań z fizyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, W-wa, 1988.
4