Przykładowe pytania i polecenia

Przykładowe pytania i polecenia
Rachunek zdań
Czy zdania p ∨ q i ∼ (∼ p∧ ∼ q) są logicznie równoważne?
Które z poniższych zdań są logicznie równoważne:
a) p ⇒∼ q,
b) q ⇒ p,
c) q ⇒∼ p,
d) ∼ p ⇒ q ?
Które z poniższych zdań są tautologiami:
p ∨ p,
∼ (p ⇔∼ p),
p∨ ∼ p ?
Które z poniższych zdań są tautologiami:
p ∧ q ⇔∼ (∼ p∨ ∼ q),
(p ⇒ q) ⇒ (p ∨ q),
(p ∧ q) ⇒ (p ⇒ q),
(p ⇔ q) ⇒ (q ⇒ p) ?
Narysuj tabelkę wartości logicznych zdania:
a) ∼ (p ⇒ q),
b) p∨ ∼ q,
c) (∼ p) ∧ (∼ q).
Rachunek kwantyfikatorów
Rozważmy funkcję zdaniową ϕ(x) = „x3 > 8” określoną dla x ∈ R. Dla jakich wartości x zdanie ϕ(x)
jest fałszywe?
Które z poniższych zdań są prawdziwe, a które fałszywe:
a)∃x∈R x2 6 0, b)∀x∈R x − 1 < x, c)∃x∈R x + 1 = x, d)∀x∈N1 2 | n, e)∃x∈Z x2 < x ?
Niech a będzie liczbą całkowitą. Zapisz z użyciem kwantyfikatorów zdanie: „a jest liczbą nieparzystą”.
Zapisz z użyciem kwantyfikatorów zdanie:
a) „Od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu (xn ) są mniejsze od
b) ”Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej x jest nieujemny”
1
1000 ”.
Zapisz z użyciem kwantyfikatorów zdania:
a) ”Nie istnieje liczba wymierna x, której kwadrat jest równy 2”.
b) ”Kwadrat dowolnej liczby wymiernej x jest różny od 2”.
Korzystając z praw rachunku kwantyfikatorów, przekształć równoważnie zdanie
∼ (∃x∈R ∀y∈R x 6 y).
Algebra logiki
Narysuj tabelkę dodawania modulo 2 (czyli x + y) w algebrze logiki.
Narysuj tabelkę kreski Scheffera (czyli x | y).
Oblicz (w algebrze logiki) wartość wyrażenia
((0 | 0) ∧ (1 | 1)) ∨ (0 | 0)0 .
Oblicz (0 ∨ 1) | (1 · 0).
Oblicz (10 · 00 ) + 1.
1
Wiadomo, że dla każdego x ∈ {0, 1} zachodzi równość x ∨ y = 1. Czemu jest równe y?
Ile wynoszą x i y, jeśli x0 · y 0 = 0?
Ile jest funkcji algebry logiki dwóch zmiennych x, y?
2
2
Narysuj tabelkę wartości funkcji: a) B12
(x, y), b) B13
(x, y).
Podaj numer funkcji określonej za pomocą tabelki
x y
0 0
0 0
0 1
0 1
1 0
1 0
1 1
1 1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
Bn3 (x, y, z)
0
1
0
1
0
1
0
1
Podaj formę normalną alternatywno – koniunkcyjną funkcji (x · y)0 .
Działania na zbiorach
Jak nazywamy elementy zbioru
{n ∈ N1 : ∃k∈N1 n = 7k} ?
Jaki zbiór określamy następująco:
{n ∈ N1 : (n 6= 1) ∧ ∀k∈N1 (k | n ⇒ k = 1 ∨ k = n)} ?
Uzupełnij definicję zbioru A \ B:
(x ∈ A \ B) ⇔ . . .
Podaj definicję przedziału [0, 1]:
[0, 1] = . . .
Zaznacz na diagramie Venne’a następujący zbiór:
a) C \ (A ∪ B),
b) (A ∩ C) \ B,
c) (B ∪ C) \ A,
d) A \ (B ∩ C).
Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)?
Wiadomo, że A ⊂ B. Które z poniższych zbiorów muszą być równe:
a) (C ∪ A) \ B, b) C \ (A ∪ B), c) C \ B, d) C \ (B \ A)?
Ile elementów ma zbiór podzbiorów zbioru pięcioelementowego?
2
Ogólne własności funkcji
Dla jakich a, b ∈ R zbiorem wartości funkcji f : R → R, f (x) = ax2 + b, jest przedział (−∞, −1]?
Określ zbiór wartości funkcji f : R → R, f (x) = 3 cos 2x.
Znajdź funkcję f ◦ g, jeśli f, g: R → R, f (x) = x3 , g(x) = 3x.
Rozważmy funkcje f : R → R, f (x) = sin x, g: R2 → R, g(x, y) = x + y. Znajdź złożenie funkcji f ◦ g.
Podaj definicję funkcji różnowartościowej.
Czy funkcja f : Q \ {0} → Q \ {0}, f (x) = x1 , jest różnowartościowa?
Czy funkcja f : N → N, f (n) = n + 1, jest różnowartościowa?
Podaj definicję funkcji „na”.
Czy funkcja f : R → R, f (x) = x3 , jest „na”?
Czy funkcja f : N0 → N0 , f (n) = n2 , jest „na”?
√
Czy funkcja f : (0, +∞) → (0, +∞), f (x) = x, jest bijekcją?
Czy funkcja f : R \ {0} → R \ {0}, f (x) = x1 , jest bijekcją?
Wyznacz funkcję odwrotną do funkcji f : Z → Z, f (x) = 1 − x.
Dana jest liczba rzeczywista a 6= 0. Znajdź funkcję odwrotną do funkcji f : R → R, f (x) = ax3 .
Znajdź przeciwobraz zbioru (−1, 1) poprzez funkcję f : R → R, f (x) = [x].
Niech f : R → R, f (x) = 2x. Wówczas f ([0, 1]) = . . .
Niech f : Z → Z, f (n) = n2 . Wówczas f ({−1, 0, 1}) = . . ., f −1 ({2, 3, 4}) = . . .
Pojęcie relacji
Czy relacja binarna |x| = |y| w zbiorze R jest słabo antysymetryczna?
Czy relacja binarna x = y określona w zbiorze R jest: a) asymetryczna, b) słabo antysymetryczna?
Czy relacja binarna x > y określona w zbiorze Z jest: a) zwrotna, b) spójna?
Czy relacja binarna x = −y określona w zbiorze Z jest: a) symetryczna, b) słabo antysymetryczna?
Czy relacja binarna % w zbiorze R, x%y ⇔ x · y > 0, jest: a) zwrotna, b) przechodnia?
Czy relacja % ⊂ Q × Q, x%y ⇔ x · y = 1, jest funkcją?
Narysuj graf relacji x%y ⇔ x · y < 2 w zbiorze {−1, 0, 1, 2}.
Narysuj graf relacji binarnej % określonej w zbiorze X = {A, B, C, D}, jeśli dana jest jej macierz.
x\y
A
B
C
D
A B
1 0
0 0
1 1
0 1
C
1
1
0
0
D
0
1
0
1
Narysuj macierz relacji x%y ⇔ x · y = −1 w zbiorze {−1, 0, 1}.
3
Relacje porządkujące
Wskaż, jeśli istnieją, elementy minimalne i maksymalne w zbiorze: a) X1 = {2, 3, 4, 5, 6}, b) X2 =
{2, 4, 6, 8, 10}, z relacją częściowego porządku x | y (x dzieli y).
Czy istnieje element najmniejszy w zbiorze liczb całkowitych większych od 1 z relacją częściowego porządku x%y ⇔ x | y.
W zbiorze {0, 1, 2, 3, 4} określamy relację częściowego porządku x 4 y ⇔ x = y ∨ x + 1 < y. Wskaż w
tym zbiorze elementy minimalne i maksymalne.
Czy relacja x 4 y ⇔ 2x 6 y, określona w zbiorze {0, 1, 2, 3, 4, 5}, jest częściowym porządkiem?
W zbiorze {0, 1, 2, 3, 4} określamy relację częściowego porządku x 4 y ⇔ x = y ∨ 2x 6 y. Wskaż w tym
zbiorze elementy minimalne i maksymalne.
Relacje typu równoważności
Czy relacja x%y ⇔ sin x = sin y, określona w zbiorze R, jest relacją typu równoważności?
Wypisz klasy abstrakcji relacji typu równoważności x%y ⇔ 2 | (x−y) określonej w zbiorze {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Podaj wzór określający relację typu równoważności, która dzieli zbiór liczb całkowitych na klasy: {0},
{1, −1}, {2, −2}, {3, −3}, . . .
Teoria mocy
Które z następujących zbiorów są przeliczalne: N1 , Z, Q, R?
Które z następujących zbiorów są nieprzeliczalne: a) zbiór liczb wymiernych, b) zbiór liczb niewymiernych,
c) zbiór liczb rzeczywistych.
Podaj trzy przykłady zbiorów nieprzeliczalnych.
Czy następujące zbiory są równoliczne:
a) N i Z, b) N1 i Q, c) Q i R, d) R i R+ = (0, ∞)?
4