Wykresy i własności funkcji (funkcje wykładnicze, logarytmiczne

Wykresy i własności funkcji (funkcje wykładnicze, logarytmiczne

Lista nr 8 – odpowiedzi
GP, sem.II, studia stacjonarne, 2012/13
Wykresy i własności funkcji (funkcje wykładnicze, logarytmiczne,
trygonometryczne i cyklometryczne)
1. a)
y
2 sin 3x −
2
sin 3x −
1
π
2
π
2
= sin 3 x −
π
6
x
2π
3
π
3
5π
3
4π
3
π
−1
2π
sin x
sin(3x)
−2
Przekształcenia:
sin x → sin(3x) → sin 3 x − π6 → 2 sin 3 x − π6
Własności:
π
2π
π
D = R, Y = h−2; 2i, f ↑: x ∈ 0 + 2π
k;
+
k
,
f
↓:
x
∈
+
3
3
3
3
2π
k; 2π
3
3
+
2π
k
3
b)
y
− sin x −
1
π
4
x
π
2
3π
2
π
−1
2π
sin x
sin x −
1
π
4
, k ∈ Z.
Przekształcenia:
sin x → sin x − π4 → − sin x − π4
Własności:
7π
π
3π
D = R, Y = h−1; 1i, f ↑: x ∈ 3π
+
2kπ;
+
2kπ
,
f
↓:
x
∈
−
+
2kπ;
+
2kπ
, k ∈ Z.
4
4
4
4
c)
y
1+ 12 cos(2|x|)
1
1
2
cos(2|x|)
x
−π
− π2
π
2
π
−1
cos x
cos(2x) = cos(2|x|)
Przekształcenia:
cos x → cos(2x) = cos(2|x|) → 12 cos(2|x|) → 1 + 12 cos(2|x|)
Własności:
D = R, Y = h 21 ; 32 i, f ↑: x ∈ π2 + kπ; π + kπ , f ↓: x ∈ 0 + kπ; π2 + kπ , k ∈ Z.
d)
2
y
2 cos
1
−2π
−π
1
|x|
2
x
2π
π
−1
cos x
cos
−2
−1 + 2 cos
1
|x|
2
1
x
2
= cos
1
|x|
2
−3
Przekształcenia:
cos x → cos 21 x = cos 12 |x| → 2 cos 21 |x| → −1 + 2 cos 21 |x|
Własności:
D = R, Y = h−3; 1i, f ↑: x ∈ (−2π + 4kπ; 0 + 4kπ), f ↓: x ∈ (0 + 4kπ; 2π + 4kπ) , k ∈ Z.
2
e)
y
4
3
tg
2
x−
π
4
tg x
1
1
2
− π2
−π
π
2
−1
tg x −
π
4
tg
− 21
x−
tg
π
4
x−
π
4
x
π
3π
2
−2
−3
−4
−5
Przekształcenia:
tg x → tg x − π4 → tg x − π4 → 12 tg x − π4 → − 21 tg x − π4 Własności:
o
n
+
kπ,
k
∈
Z
, Y = (−∞; 0i,
D = R \ 3π
4
f ↑: x ∈
3π
4
+ kπ; 5π
+ kπ , f ↓: x ∈
4
π
4
+ kπ; 3π
+ kπ , k ∈ Z.
4
3
2π
f)
y
4
3
tg |x| +
π
3
2
tg x +
π
3
2 tg |x| +
π
3
tg x
1
x
−π
− 2π
3
− π3
π
3
2π
3
π
4π
3
5π
3
2π
−1
−2
−3
−4
−5
Przekształcenia:
tg x → tg x + π3 → tg |x| + π3 → 2 tg |x| + π3
Własności:
n
o n
o
D = R \ π6 + kπ, k ∈ N ∪ {0} ∪ − π6 − kπ, k ∈ N ∪ {0} , Y = R,
f ↑: x ∈ R+ \
n
π
6
o
n
+ kπ, k ∈ N ∪ {0} , f ↓: x ∈ R− \ − π6 − kπ, k ∈ N ∪ {0}
4
o
g)
y
4
3
2
ctg x
| ctg(2|x|)|
1
x
− π2
−π
π
2
π
ctg(2x)
−1
ctg(2|x|)
−2
−3
−4
−5
Przekształcenia:
ctg x → ctg(2x) → ctg(2|x|) → | ctg(2|x|)|
Własności:
n
o
D = R \ k π2 , k ∈ Z , Y = h0; ∞),
f ↑: x ∈
π
4
+ k π2 ; π2 + k π2 , f ↓: x ∈ 0 + k π2 ; π4 + k π2 , k ∈ Z
5
h)
y
4
3
2
ctg x
2 ctg x +
π
2
1
x
− π2
−π
π
2
π
ctg |x|
−1
ctg x +
−2
π
2
−3
−4
−5
Przekształcenia:
ctg x → ctg |x| → ctg x +
Własności:
n
o
D = R \ π2 + kπ, k ∈ Z ,
f ↑: x ∈
− π2
− kπ;
π
2
π
2
→ 2 ctg x + π2 Y = R,
− kπ , k ∈ Z, k < 0, f ↓: x ∈ − π2 + kπ; π2 + kπ , k ∈ N ∪ {0}
6