Zadania z układów równań

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Załóżmy, że macierz A jest macierzą kwadratową stopnia n . Mówimy, że macierz B tego samego
wymiaru jest macierzą odwrotną do A , jeżeli spełniona jest równość: A  B  B  A  I .
Uwaga:
Macierz A jest odwracalna, czyli posiada macierz odwrotną, wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik
jest różny od zera, czyli jest ona tzw. macierzą nieosobliwą.
Zadanie 1
Sprawdź, czy podane macierze są do siebie wzajemnie odwrotne:
3 2
 1  2
A
, B


1 1 
  1  3
 1 2 5 
A   0 0 1 ,
 3 2 2
 1
 4
 3
B
 8
 0

3
4
17

8
1
1
4
1

8
0

Rozwiązanie:
a) Obliczymy iloczyn A  B :
3  2  6  6 1  12
A B  
, czyli A  B  I , a więc podane macierze nie są do siebie

1 
 1  1  2  3 0
wzajemnie odwrotne. OCZYOCZYWIŚCIE NIE musimy JUŻ OBLICZAĆ DRUGIEGO Z ILOCZYNÓW
PODANYCH W DEFINICJI MACIERZY ODWROTNEJ.
b) Podobnie jak powyżej, obliczymy iloczyn:
1
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
 1 3
 44
A B   0
 3 3
 
 4 4
3 17
1 1
  5    1 0 0 
4 4
4 4
1
0   0 1 0 ,
9 17
3 1 
 2
  0 0 1
4 4
4 4 

2 2
5 2 3
 1 3
 4  4  4  4  4  4  4  1 0 0
 3 3 6 2 15 17 2  
B  A   

    0 1 0 ,
8 8 8
 8 8 8 8
0
1
 0
 0 0 1


zatem podane macierze są do siebie wzajemnie odwrotne.
Uwaga powyższa nie podaje sposobu, jak obliczyć macierz odwrotną do danej. Sposób ten (jeden z
możliwych ) jest opisany poniżej:
Aby wyznaczyć macierz odwrotną do A , wykonujemy następujące czynności:
1)
Obliczamy wyznacznik macierzy A ; jeśli det A  0 , to macierz odwrotna nie istnieje,
2) Jeśli det A  0 , to obliczamy dopełnienia algebraiczne wszystkich wyrazów macierzy A
( dopełnieniem algebraicznym wyrazu a ij macierzy A
nazywamy wyznacznik podmacierzy powstałej z A przez wykreślenie i  tego wiersza i j  tej
kolumny, pomnożony przez liczbę  1i j ) dopełnienie algebraiczne wyrazu aij będziemy oznaczać
przez Aij .
 
3) Tworzymy macierz D  Aij
4)
5)
i , j 1,..., n ,
Wyznaczamy macierz transponowaną do D
1
Macierzą odwrotną do A jest macierz A 
1
 DT
det A
Zadanie 2
Sprawdź, czy dana macierz jest odwracalna i, jeśli tak, wyznacz macierz odwrotną:
1 3

2 1
A) A  
2
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
 1 1 2 


B) A   3 0 1 
 0 1  1
2
3
1

4
9 
C) A   2
 1  2  2
Rozwiązanie:
a)
Najpierw obliczymy wyznacznik macierzy A :
1 3
 1  6  5  0 , zatem A jest odwracalna. Obliczymy teraz dopełnienia algebraiczne
2 1
wszystkich wyrazów tej macierzy:
A11   1
1  1 ,
A12   1
 2  2 ,
11
1 2
A21   1
2 1
 3  3 ,
A22   1
2 2
1  1 .
Zauważmy, że w tym przypadku dopełnienia algebraiczne wyrazów są wyznacznikami macierzy
wymiaru 1 1 , czyli zawierającej tylko jeden wyraz. Taki wyznacznik jest równy temu wyrazowi.
Macierz
 1  2
 1  3
T
, zatem D  
D ma więc postać : D  

 i otrzymujemy wreszcie
 3 1 
 2 1 
 1
1

3
  5
1 
1
A




macierz
5  2 1   2
 5
3 
5 .
1
 
5
Aby sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń, możemy obliczyć odpowiednie iloczyny:
 1 6
 
A  A1   5 5
2 2
 
 5 5
3 3

5 5   1 0  ,
6 1  0 1
 
5 5
3
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
 1 6
 5  5
1
A A
2 2
 
 5 5
3 3
   1 0 
5 5 
,
6 1  0 1
 
5 5 
zatem otrzymaliśmy poprawny wynik.
B)
1 1 2 1 1
det A  3 0 1 3 0  0  0  6  0   1   3  10  0
0 1 1 0 1
Zatem istnieje macierz odwrotna do A . OBLICZYMY DOPEŁNIENIA ALGEBRAICZNE WSZYSTKICH
WYRAZÓW MACIERZY A :
A11   1 
0 1
 1 ,
1 1
A12   1

3 1
 1   3  3 ,
0 1
A13   1

3 0
 1 3  3 ,
0 1
A21   1
2 1

1 2
 1   1  2  3 ,
1 1
A22   1
2 2

1 2
 1,
0 1

1 1
 1   1  1 ,
0 1
11
1 2
1 3
A23   1
2 3
A31   1

1 2
 1,
0 1
A32   1

1 2
 1   1  6   7 ,
3 1
A33   1

1 1
 3 .
3 0
31
3 2
3 3
4
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
 1 3 3 


Otrzymujemy stąd macierz D   3 1 1  ,
 1 7  3
 1 3 1 


T
następnie D   3 1 7  ,
 3 1  3
 1 3 1 
1
1
  3 1 7  .
i wreszcie A 
10
 3 1  3
Wykonamy jeszcze sprawdzenie:
1  3  6  3  1  2  1  7  6
10 0 0 
1 
1 

A A     3  3
9 1
3  3     0 10 0   I ,
10
10
 3  3
 0 0 10
11
7  3 
1
 1  9  1  1  2  3  1
10 0 0 
1 
1 

A  A    3  3 3  7 6  1  7     0 10 0   I
10
10
 3  3 3  3 6  1  3 
 0 0 10
1
ZATEM WYKONALIŚMY POPRAWNE OBLICZENIA.
C)
1
2
3 1
2
det A  2
4
9 2
4 
1  2  2 1  2
 8   18   12   12    18   8  0
Zatem macierz powyższa jest nieodwracalna.
Układ równań liniowych to układ równań postaci:
5
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2
’

..........
..........
..........
..........

a k1 x1  a k 2 x2  ...  a kn x n  bk
gdzie aij , bi  R dla i  1, 2,..., k ; j  1,2,..., n .
 
Macierz A  aij
i 1, 2 ,..., k
j 1, 2 ,..., n
nazywamy macierzą tego układu.
Jeśli w powyższym układzie równań liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, czyli
n  k , i wyznacznik macierzy tego układu jest różny od zera, to układ ten nazywamy
układem Cramera.
Uwaga
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest nim ciąg liczb x1 , x2 ,..., xn , gdzie każdą
z liczb xi można obliczyć korzystając z wzoru:
xi 
Wi
( dla i  1,2,..., n )
W
W jest wyznacznikiem macierzy tego układu (tzw. wyznacznikiem głównym), zaś Wi jest
wyznacznikiem macierzy powstałej przez zastąpienie w macierzy układu i  tej kolumny
kolumną wyrazów wolnych.
Opisana powyżej metoda rozwiązywania układów Cramera, nazywa się metodą
wyznaczników.
Zadanie 3
Sprawdź, czy podany układ jest układem Cramera. Jeśli tak, rozwiąż go metodą wyznaczników.
 2 x1  x2  1
 x1  4 x2  13
A) 
 x1  x2  3x3  5

B) 5 x1  x2  x3  2
 x  x x 3
2
3
 1
6
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
 x1  x2  x3  0

C)  2 x1  3x2  2 x3  1
 3x  2 x  3x  1
1
2
3

Rozwiązania:
a) Obliczymy najpierw wyznacznik główny tego układu, aby sprawdzić, czy jest to układ
Cramera:
W
2 1
 8  1  9  0 ,
1 4
A zatem jest to układ Cramera i możemy zastosować metodę wyznaczników:
W1 
1 1
 4  13  9 ,
13 4
W2 
2 1
 26  1  27 .
1 13
Stosując teraz podane powyżej wzory, otrzymujemy:
9

x

1
1

9
,


27
 x2 
3

9
Czyli rozwiązaniem układu jest para liczb : 1, 3
b) Podobnie, jak poprzednio, obliczymy wyznacznik główny układu:
1 1 3 1 1
W  5 0  1 5 0  0  1  15  0   1   5  22  0
1 1 1 1 1
Zatem jest to układ Cramera.
Mamy:
7
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
5 1 3 5 1
W1   2 0  1  2 0  0  3   6  0   5  2  0
3
1 1 3
1
1 5
3 1 5
W2  5  2  1 5  2  2   5  45   6    3  25  22
1 3
1 1 3
1 1 5 1 1
W3  5 0  2 5 0  0  2  25  0   2    15  44 ,
1 1
3 1 1
0

 x1  22  0

22

1 ,
Zatem  x2 
22

44

 x3  22  2

czyli rozwiązaniem układu jest ciąg trzech liczb: 0,1, 2  .
c) Tak, jak w poprzednich przykładach, obliczamy wyznacznik główny:
1
1 1 1
1
W  2 3
2  2 3  9  6   4    9    4   6  0`.
3 2 3 3 2
ponieważ wyznacznik główny jest równy 0 , więc powyższy układ nie jest układem Cramera.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Zbadaj, czy dana macierz posiada macierz odwrotną i, jeśli tak , wyznacz ją:
8
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
A)
1  2 
A

0 1 
D)
 1 0
A

 1 1
B)
3
2
A

 1  2
E)
2 3
A

4 5
 1  4

 2 8 
F)
 1 3 
A

 2  5
C) A  
Zadanie 2
Zbadaj, czy macierz B jest odwrotna do macierzy A :
3  2
,
1 1 
A) A  
4 2
,
0 1 
B) A  
 1  2
B

 1 3 
1
B  4
0

1
2
1
B
2
1
 2
 1 0 1


C) A   1 1 0 ,
 0  1 1
1 2 1


D) A  0  1 3 ,
2 1 3
1
 
2
1 
1
2
1
2
1
2

1
 
2
1
 
2
1 
2 
 3  3 5 
1 
B   3
1  3
4
 1
3  1
Zadanie 3
Oceń, czy następujący układ równań jest układem Cramera i, jeśli tak, rozwiąż go metodą
wyznaczników.
 2 x1
5 x1
A) 
 x2
 3 x2
3
 8
9
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
2 x1
 4 x1
B) 
 3 x2
 5 x2
 17
 31
 2 x2
 x2
 x3
 3 x3
 2 x3
1
 8
3
 x2
 x2
 x3
 2 x3
 x3
1
0
0
 x2
 x2
 2 x2
 x3
 2 x3
 x3
1
 11
0
 3x1  x2

2 x2
F) 
 x
 1  x2
 x3
 3x3
 2 x3
4
2
 2
 x1

C) 2 x1
x
 1
 x1

D)  2 x1
 x
 1
 x1

E) 3 x1
x
 1
2 x1

G) 5 x1
x
 1
 x2
 x2
 x2
 5 x3
 x3
 x3
 15
4
2
 x2
 x2
 x2
 3 x3
 2 x3
 x3
0
 1
4
I)
3 x1

 x1
 x
 1
 x2
 x2
 2 x2
 x3
 2 x3
 x3
 6
3
 4
J)
2 x1

 x1
3 x
 1
 x2
 x2
4 x1

H)  2 x1
x
 1
 x3
 5 x3
 3x3
 x2
 x1

K)  2 x1  3x2
x
 x2
 1
0
0
0
 x3
4 x3
 5 x3
0
0
0
10
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
3 x1

L)  x1
4 x
 1
 2 x2
 5 x2
 3 x2
 x3
 4 x3
 2 x3
0
0
0
ODPOWIEDZI:
ZADANIE 1
1 2 

0 1 
1
A) TAK; A  
3
2

  1  2
1
B) TAK; A  
C) NIE
  1 0

 1 1
1
D) TAK; A  
 5

 2

1
E) TAK; A   2
3
2
 1
5 3

2 1
1
F) TAK; A  
ZADANIE 2
A) NIE
B) TAK
C) TAK
D) NIE
ZADANIE 3
A) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST PARA LICZB:  1,1 .
B) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST PARA LICZB: 4,  3 .
11
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
C) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB:  1, 0, 2 .
D) NIE JEST TO UKŁAD CRAMERA
E) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 2, 3, 4  .
F) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 4,1 0, 6  .
G) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 1, 2, 3 .
H) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 0, 3,1 .
I)
TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB:  1, 2,  1 .
J) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 0, 0, 0  .
K) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 0, 0, 0  .
L) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 0, 0, 0  .
12