Wykład 3_PERT
Transkrypt
Wykład 3_PERT
D Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, metoda PERT 1 Planowanie złożonych przedsięwzięć wieloczynnościowych (Project Management - zarządzanie projektami) Analizujemy złożone przedsięwzięcia wieloczynnościowe. Każde takie przedsięwzięcie daje się opisać za pomocą skończonej liczby pojedynczych, wzajemnie ze sobą powiązanych czynności (mniejszych przedsięwzięć). Powiązania pomiędzy czynnościami przybierają dwie formy: równoległość rozumiana jako możliwość niezależnego wykonywania danych czynności w tym samym czasie oraz szeregowość polegająca na tym, iż dana czynność (lub grupa czynności) może być wykonywana dopiero po zakończeniu pewnej czynności (lub grupy czynności), które nazywamy czynnościami poprzedzającymi. Ogół działań związanych z harmonogramowaniem i analizowaniem przedsięwzięć nazywamy planowaniem sieciowym, które realizujemy za pomocą tzw. metod sieciowych. Do najbardziej znanych należą następujące metody: CPM (Critical Path Method; metoda ścieżki krytycznej), PERT (Programm Evoluation and Review Technique) - program oceny i przeglądu technik, LESS (Least Cost Estimating and Scheduling) - ocena najmniejszych kosztów i harmonogramowanie oraz RAMPS (Resource Allocation in Multi-Project and Scheduling) - przydział środków produkcyjnych w złożonych przedsięwzięciach i harmonogramowanie. D Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, metoda PERT 2 Modelowanie złożonych przedsięwzięć wieloczynnościowych Złożone przedsięwzięcia wieloczynnościowe modelujemy za pomocą grafów skierowanych nazywanych sieciami, Ściślej będą to sieci zredukowane, tj. grafy skierowane bez pętli własnych, łuków równoległych, bez wierzchołków izolowanych i obwodów skierowanych, o jednym źródle i jednym odpływie. Porównanie symboliki i nazewnictwa w planowaniu sieciowym i teorii grafów podaje tabela: oznaczenie symboliczne planowanie sieciowe czynność zdarzenie teoria grafów łuk, krawędź wierzchołek Czynność - odwzorowuje wykonywanie dowolnego zadania cząstkowego. Jest zatem procesem trwającym w czasie. Proces ten "zużywa" nie tylko czas, ale również środki, pociąga koszty związane z jego realizacją, itp. Częstym zjawiskiem występującym w planowaniu sieciowym są czynności pozorne (fikcyjne), tj. czynności nie wymagające nakładów czasu i środków. Zdarzenie - termin ten określa rozpoczęcie lub zakończenie jednej lub więcej czynności. Każde ze zdarzeń ma w sieci swoją etykietę - nazwę lub najczęściej numer. Numeracja zdarzeń powinna być „rosnąca”, tj. że dla każdej czynności rozpoczynającej się w zdarzeniu o numerze i a kończącym w zdarzeniu o numerze j zachodzi ij. Ważnym pojęciem jest pojęcie zajścia zdarzenia. Mówimy, że zdarzenie zaszło jeżeli zakończone zostały wszystkie czynności, dla których to zdarzenie jest zdarzeniem końcowym. Etapy planowania sieciowego budowa sieci analiza sieci analiza czasowa (np. CPM, PERT) analiza kosztowo-czasowa (np. LESS) analiza sieci pod kątem optymalnego zużycia zasobów (np. RAMPS) D Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, metoda PERT 3 STOCHASTYCZNA analiza czasowa przedsięwzięcia (metoda PERT) Zakładamy, że czasy trwania czynności nie są ściśle określone (są zmiennymi losowymi). CEL analizy PERT 1. Wyznaczyć harmonogram o najkrótszym czasie realizacji przedsięwzięcia (na poziomie wartości oczekiwanych), 2. Ustalić „wąskie gardła” przedsięwzięcia (czynności krytyczne) oraz 3. Ustalić szansę dotrzymania terminu dyrektywnego W klasycznym podejściu PERT przyjmuje się, że czasy trwania czynności mają rozkłady Beta z wartościami oczekiwanymi E tij 2 D tij , tj. oraz wariancjami tij :B E tij , D2 tij Nakłada się pewne ograniczenia na rozkład czasu trwania czynności (i,j), tj. na funkcję gęstości f tij 1. czas trwania czynności tij , rozpatruje się w przedziale tij , tij , tj. zakłada się że prawdopodobieństwo zrelizowania czynności (i,j) w a czasie krótszym niż tija lub dłuższym niż P tij tija 0 tijb b wynosi zero, tj. P tij tijb 0 dobór parametrów funkcji Beta, która jest podstawą w formułowaniu funkcji gęstości f t ij jest taki, aby rozkład prawdopodobieństwa czasu trwania czynności był rozkładem asymetrycznym prawostronnie, tj. dominanta wartość oczekiwana 2. D Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, metoda PERT 4 Metoda PERT - wstawka dla dociekliwych W metodzie PERT zakłada się, że czasy trwania czynności ( tij ) są zmiennymi losowymi o rozkładzie Beta tij : B E tij ; D tij 2 f tij tija tij tijb t ij tija tijb tija t 1 b ij tij 1 1 0, 0, 4 Parametry oraz są tak dobrane, aby uzyskać asymetrię prawostronną rozkładu. dominanta t Mo tij m ij tija tijb wartość oczekiwana E tij tija 4tijm tijb 6 wariancja D2 tij tija 5 tij tijb 20 tijb tija Przykład: parametry kształtu i skośności: =1 oraz =3 8,75 10 6,25 36 2 D Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, metoda PERT 5 Faza I (wstępna) Analizę czasową sieci stochastycznej metodą PERT rozpoczyna się od fazy wstępnej, która polega na oszacowaniu dla każdej czynności wartości oczekiwanej i wariancji czasu trwania czynności. Oznaczmy estymatory: mij - wartości oczekiwanej E tij czasu trwania czynności (i,j) Sij2 2 - wariancji D tij czasu trwania czynności (i,j) mij tija t 4t t a ij m ij 6 b ij t t S 6 2 ij b ij a ij 2 - ocena ekspertów dla najkrótszego czasu trwania czynności (i,j), tj. optymistyczny czas trwania czynności t m ij t b ij - ocena ekspertów dla najczęściej spotykanego czasu trwania czynności (i,j), tj. najbardziej prawdopodobny czas trwania czynności (dominanta) - ocena ekspertów dla najdłuższego czasu trwania czynności (i,j), tj. pesymistyczny czas trwania czynności D Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, metoda PERT 6 Faza II (zasadnicza) Dalsze działania analizy czasowej sieci stochastycznej są analogiczne jak dla sieci deterministycznej (CPM). Z tym, że zamiast ustalonych (nielosowych) jak w CPM czasów etapach I-VI wartości oczekiwanych na początek termin dyrektywny (TD) tij , metoda PERT używa w mij . W etapie II przyjmujemy TD tn0 tn1 Faza III (końcowa) W klasycznym podejściu PERT korzysta się z centralnego twierdzenia granicznego. Twierdzenie to orzeka, że suma (różnica) dużej liczby niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie ma rozkład asymptotycznie normalny. Ponieważ harmonogram jest wyliczany na podstawie wartości oczekiwanych, to każdy wyliczony termin podany jest na poziomie wartości oczekiwanej zmiennej która ma rozkład asymptotycznie normalny. Szansa dotrzymania terminu dyrektywnego (TD) na poziomie 0 t terminu najwcześniejszego ( n ) wynosi w metodzie PERT 50%. D Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, metoda PERT 7 Najczęściej zadawanym pytaniem w analizie czasowej PERT jest pytanie o prawdopodobieństwo dotrzymania terminu dyrektywnego TD. Oznaczmy: tn - termin realizacji przedsięwzięcia (zmienna losowa) Termin realizacji przedsięwzięcia w metodzie PERT ( tn ) ma rozkład normalny (asymptotycznie) z wartością oczekiwaną mtn równą 0 t wartości oczekiwanej terminu najwcześniejszego ( n ) i z wariancją S 2 tn równą sumie wariancji czasów trwania czynności należących do zbioru czynności krytycznych C, tj. tn : N mtn tn0 , S tn S 2 ij ij :( i , j )C Szansa dotrzymania dowolnego terminu dyrektywnego TD jest wyliczana w metodzie PERT z wykorzystaniem tablic dystrybuanty rozkładu normalnego N(0,1) TD mtn Ptn TD F TD S t n W klasycznym podejściu PERT przyjmuje się, że termin dyrektywny TD powinien być dobierany tak, aby szansa jego dotrzymania zawierała się w granicach od 30% do 60%, tj. 0,3 Ptn TD 0,6 Harmonogram o szansie realizacji poniżej 30% nazywa się harmonogramem ryzykanta. Harmonogram o szansie realizacji powyżej 60% nazywa się harmonogramem asekuranta. D Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, metoda PERT 8 PRZYKŁAD czynność A B C D E F G H I J opis czynności Wykonanie projektu produktu Wykonanie planu badań rynku Przygotowanie technologii produkcji Zbudowanie prototypu Przygotowanie broszury reklamowej Ocena kosztów Wstępne testowanie produktu Badanie rynku Raport cenowy i prognozy Raport końcowy czynności bezpośrednio poprzedzające brak brak A A A C D D B E H F G I D Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, metoda PERT czas trwania czynności (oceny ekspertów) [tygodnie] czynność A B C D E F G H I J 9 wartość wariancja oczekiwana tija tijm tijb mij Sij2 4 1 3 4 2 1 4 2 2 1 6 2 4 6 3 2 5 3 2 2 14 3 17 14 4 3 18 10 8 3 7 2 6 7 3 2 7 4 3 2 2,78 0,11 5,44 2,78 0,11 0,11 5,44 1,78 1,00 0,11 D Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, metoda PERT rozpoczęcie czynność (i,j) mij S ij2 A B C D E F G H I J 7 2 6 7 3 2 7 4 3 2 2,78 0,11 5,44 2,78 0,11 0,11 5,44 1,78 1,00 0,11 zakończenie 10 zapas czasu NWPij NPPij NWKij NPKij ZCij 0 0 7 7 7 14 14 10 14 21 0 12 13 7 11 19 14 14 18 21 7 2 13 14 10 16 21 14 17 23 7 14 19 14 14 21 21 18 21 23 0 12 6 0 4 5 0 4 4 0 czynność krytyczna TAK nie nie TAK nie nie TAK nie nie TAK Oczekiwany termin zakończenia przedsięwzięcia wynosi mt8 t80 23 Wariancja tego terminu wynosi (suma wariancji czasu trwania czynności krytycznych) S A2 S D2 SG2 S J2 = 2,78+2,78+5,44+0,11 Odchylenie standardowe terminu końcowego jest równe 11,11 3,33 = 11,11 D Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, metoda PERT 11 Termin zakończenia przedsięwzięcia ma rozkład normalny (asymptotycznie) z wartością oczekiwaną 23 i odchyleniem standardowym 3,33, tj. t8 : N ( 23 ; 3,33 ) Prawdopodobieństwo dotrzymania dowolnego terminu dyrektywnego (TD) wyznacza się wykorzystując tablice dystrybuanty rozkładu normalnego dla zmiennej losowej U:N(0;1), tj. P{t8 TD}= = P{ (t8 23)/3,33 (TD 23)/3,33 } = = P{U (TD 23)/3,33 } = = [ (TD 23)/3,33 ] Termin dyrektywny (TD) należy ustalać tak, aby szansa jego dotrzymania mieściła się w granicach 30 - 60% , tj. 0,3 P{t8 TD} 0,6 Termin dyrektywny (TD) taki, że P{t8 TD} 0,3 P{t8 TD} 0,6 termin ryzykanta termin asekuranta