Twierdzenia o punkcie lub końcu stałym dla przestrzeni

Twierdzenia o punkcie lub końcu stałym dla przestrzeni lokalnie zwartych
Michał Kukieła
Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika
[email protected]
Abstrakt
Odwzorowanie właściwe f : X → X
przestrzeni lokalnie zwartej X indukuje odwzorowanie na
zbiorze końców tej przestrzeni. (Końce są formalnym ujęciem „możliwych kierunków zbieżności do nieskończoności”.) R. Halin udowodnił (1973), że jeśli X jest lokalnie
skończonym grafem, zaś f jest homomorfizmem grafów, to f
przeprowadza jeden z końców X na siebie lub istnieje w X
skończony podzbiór f-niezmienniczy. Jeśli ponadto X jest
drzewem, a f nie ma końców stałych, to f ma punkt stały.
Niżej prezentujemy podobne wyniki dla X będącego ANRem o „dobrych” własnościach oraz dla odwzorowań symplicjalnych. Uogólniają one twierdzenia Halina, a także
klasyczne twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym.
Końce
Umowa: Wszystkie rozważane przestrzenie są metryzowalne, lokalnie zwarte, lokalnie spójne i σ -zwarte. Odwzorowanie oznacza funkcję ciągłą. Przez ANR-y rozumiemy ANR-y w klasie przestrzeni metrycznych. Symbol
Λ(f) oznacza uogólnioną liczbę Lefschetza odwzorowania
f, definiowaną przy użyciu śladu Leraya.
Problem
Definicja: Dla odwzorowania właściwego f : X → X
zbiór
FixEnd(f) = {ε ∈ E(X ) : E(f)(ε) = ε}
nazywamy zbiorem końców stałych odwzorowania f.
Motywując się wynikami znanymi dla homomorfizmów
lokalnie skończonych grafów (Halin, 1973) oraz prostymi
ogólniejszymi przykładami (np. X = R) postawić można
następujące pytanie.
Problem I: Czy jeśli X jest lokalnie zwartym ANR-em,
zaś f : X → X jest odwzorowaniem właściwym i takim, że
uogólniona liczba Lefschetza Λ(f) jest dobrze określona
i niezerowa, to Fix(f) ∪ FixEnd(f) 6= ∅?
ANR-y oswojone do wewnątrz
Definicja (Hughes, Ranicki, 1996): Przestrzeń X nazywamy oswojoną do wewnątrz, o ile dla każdego podzbioru U ⊆ X o dopełnieniu zwartym po domknięciu istnieją podzbiór V ⊆ U ⊆ X o dopełnieniu zwartym po
domknięciu oraz homotopia h : X × I → X o następujących własnościach:
• h0 = idX ,
• ht |X rU jest włożeniem X r U ,→ X dla wszystkich
t ∈ I,
• h(U × I) ⊆ U,
• h1(X ) ⊆ X r V .
(Innymi słowy: pytamy, czy w opisanej sytuacji Fix(Ff) 6= ∅.)
Zauważmy, że powyższe pytanie ma sens, o ile przestrzeń X ma co najmniej dwa końce. W przypadku gdy
zbiór E(X ) jest jednoelementowy, każde odwzorowanie
właściwe f : X → X ma koniec stały. Jeżeli E(X ) = ∅, to
mamy do czynienia z dobrze znanym przypadkiem zwartym.
Twierdzenie: Niech X będzie ANR-em oswojonym do
wewnątrz, zaś f : X → X niech będzie odwzorowaniem
właściwym. Wówczas liczba Λ(f) jest dobrze określona
oraz jeśli Λ(f) 6= 0, to Fix(f) ∪ FixEnd(f) 6= ∅. Ponadto,
jeśli FixEnd(f) = ∅, to Λ(f) = Ind(f).
Pojęcie końców przestrzeni topologicznej w pewien sposób
formalizuje intuicję zbioru „kierunków, w których możemy
zbiegać do nieskończoności”. Dla rozważanych przestrzeni
różne definicje pojawiające się w literaturze (m.in. Freudenthal, Raymond, Specker) są równoważne następującej:
Definicja: Mówimy, że przestrzeń X ma własność
punktu lub końca stałego, co oznaczamy przez X ∈
FPEP, o ile dla każdego odwzorowania właściwego
f : X → X zachodzi Fix(f) ∪ FixEnd(f) 6= ∅.
Definicja (Milnor, 1968): Końcem przestrzeni X nazywamy funkcję
Problem II: Czy każdy lokalnie zwarty AR ma własność
punktu lub końca stałego?
ANR-y potulne w nieskończoności
Definicja: Dla odwzorowania właściwego f : X → X bez
końców stałych zbiór zwarty D ⊆ X , którego dopełnienie
ma jedynie nieograniczone składowe spójności, i taki, że
f(ε(D)) ∩ ε(D) = ∅ dla wszystkich ε ∈ E(X ), nazywamy
zbiorem przenoszącym końce.
Definicja (Sher, 1976): Przestrzeń X nazwiemy potulną w nieskończoności, o ile X jest ANR-em oraz dla
każdego zbioru zwartego A ⊆ X istnieje zbiór zwarty
A ⊆ B ⊆ X taki, że każda składowa spójności zbioru
X r B jest ściągalna w X r A.
Obserwacja: Jeśli f : X → X jest odwzorowaniem właściwym oraz FixEnd(f) = ∅, to istnieje dla f zbiór D przenoszący końce. W szczególności zbiór Fix(f) ⊆ D jest
zwarty.
Twierdzenie: Niech X będzie ANR-em potulnym w nieskończoności, zaś f : X → X niech będzie odwzorowaniem właściwym. Wówczas liczba Λ(f) jest dobrze określona oraz jeśli Λ(f) 6= 0, to Fix(f) ∪ FixEnd(f) 6= ∅. Jeżeli
FixEnd(f) = ∅, to Λ(f) = Ind(f).
ε : {K ⊆ X : K jest zwarty} → 2X
taką, że ε(K ) jest nieograniczoną (tzn. o niezwartym
domknięciu w X ) składową spójności zbioru X r K oraz
ε(K ) ⊆ ε(L) dla wszystkich zbiorów zwartych L ⊆ K
zawartych w X . Zbiór końców przestrzeni X oznaczamy
przez E(X ).
Przykładowo, X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy
E(X ) = ∅. Prosta R ma dwa końce, zaś półprosta [0, ∞)
oraz przestrzenie Rn dla n > 2 mają po jednym końcu.
Nieskończone drzewo binarne ma ich nieskończenie wiele.
Definicja: Niech f : X → Y będzie odwzorowaniem właściwym. Funkcję E(f) : E(X ) → E(Y ) indukowaną na
zbiorze końców definiujemy w następujący sposób. Dla
końca ε ∈ E(X ) i zbioru zwartego K ⊆ Y za E(f)(ε)(K )
przyjmujemy spójną składową zbioru Y r K taką, że
f(ε(f −1(K )) ⊆ E(f)(ε)(K ).
Przyporządkowanie E jest funktorialne.
Jeżeli X jest ANR-em, to dla odwzorowania właściwego
f : X → X bez końców stałych, dzięki zwartości zbioru
Fix(f), dobrze określony jest indeks punktów stałych
(Granas, 1972), oznaczany przez Ind(f).
Problem III: Czy jeśli X jest ANR-em, zaś f : X → X jest
odwzorowaniem właściwym i takim, że FixEnd(f) = ∅
oraz liczba Λ(f) jest dobrze określona, to Ind(f) = Λ(f)?
Uzwarcenie Freudenthala
Poniższe definicje pozwalają intepretować prezentowane
wyniki w terminach uzwarceń. Nie są one konieczne
dla ich zrozumienia, choć są wykorzystywane w dowodach.
Definicja (Raymond, 1960): Zdefiniujemy pewną topologię na zbiorze X ∪ E(X ), gdzie X jest przestrzenią
spójną. Niech ε ∈ E(X ) oraz niech K ⊆ X będzie zbiorem zwartym. Niech
B(ε, K ) = {ε 0 ∈ E(X ) : ε(K ) = ε 0(K )}.
Wprowadźmy oznaczenie N(ε, K ) = ε(K ) ∪ B(ε, K ). Dla
x ∈ X jako bazę otoczeń przyjmujemy dowolną bazę
otoczeń tego punktu z przestrzeni X , natomiast dla
końca ε ∈ E(X ) bazą otoczeń niech będzie rodzina
{N(ε, K ) : K ⊆ X jest zbiorem zwartym}. Przestrzeń
FX = X ∪ E(X ) z tak zadaną topologią nazywać będziemy uzwarceniem Freudenthala przestrzeni X .
Definicja: Jeśli f : X → Y jest odwzorowaniem
właściwym między przestrzeniami spójnymi, to przez
Ff : FX → FY oznaczmy odwzorowanie zadane wzo(
rem
f(x) dla x ∈ X ;
Ff(x) =
E(f)(x) dla x ∈ E(x).
Na przykład FR = [−∞, +∞], E(R) = {−∞, +∞},
zaś dla f(x) = −x + 3 mamy Ff(−∞) = +∞ oraz
Ff(+∞) = −∞.
ANR-y oswojone na zewnątrz
Definicja (Quinn, 1988): Przestrzeń X nazywamy oswojoną na zewnątrz, jeżeli istnieje domknięty podzbiór
V ⊆ X o dopełnieniu zwartym po domknięciu i taki, że
włożenie h0 : V × {0} ,→ X rozszerza się do odwzorowania właściwego h : V × [0, ∞) → X .
Definicja (Sher, 1975): APR-em (absolute proper retract) nazywamy taki ANR, który włożony jako domknięty podzbiór dowolnej lokalnie zwartej przestrzeni
metrycznej jest jej retraktem właściwym.
Wniosek: Jeśli X jest ANR-em właściwie ściągalnym
(tzn. homotopijnie równoważnym w sposób właściwy lokalnie skończonemu drzewu) lub APR-em, to X ∈ FPEP.
Wniosek powyższy uznać można za „właściwy odpowiednik” uogólnionego twierdzenia Brouwera o punkcie stałym.
Nie stanowi on jednak odpowiedzi na pytanie postawione
w problemie II.
Odwzorowania symplicjalne
Twierdzenie: Niech K będzie lokalnie skończonym kompleksem symplicjalnym, zaś φ : K → K niech będzie odwzorowaniem symplicjalnym i takim, że realizacja geometryczna |φ| : |K | → |K | jest odwzorowaniem właściwym. Jeżeli FixEnd(|φ|) = ∅, to istnieje skończony, φniezmienniczy podkompleks L ⊆ K . Jeśli Λ(φ) jest dobrze
określona i Λ(φ) 6= 0, to Fix(|φ|) ∪ FixEnd(|φ|) 6= ∅.
Nawet w prostym przypadku odwzorowania symplicjalnego
φ bez końców stałych liczba Λ(φ) może nie być określona,
co ilustruje następujące „odwrócenie drabiny”.
Twierdzenie: Niech X będzie spójnym ANR-em oswojonym na zewnątrz, zaś f : X → X niech będzie odwzorowaniem właściwym. Jeśli Λ(f) jest dobrze określona
i Λ(f) 6= 0, to Fix(f) ∪ FixEnd(f) 6= ∅.