Zadania z arytmetyki (II rok s. MU niestacjonarne)

Zadania z arytmetyki (II rok s. MU niestacjonarne)
Zestaw 4
5
,
7
1. Stosując lemat Gaussa oblicz:
2. Oblicz wartości symboli Legendre’a:
Symbol Legendre’a
3
6
−1
,
,
.
11
13
p
63
35
6
47
,
,
,
,
131
97
13
73
251
,
577
342
.
677
3. Sprawdź, czy następujące kongruencje mają rozwiązania, jeśli tak to znajdź te rozwiązania:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
X 2 ≡ 12 (mod 13),
X 2 ≡ 5 (mod 11),
3X 2 + 7X + 8 ≡ 0 (mod 17),
X 2 − 11X + 16 ≡ 0 (mod 41),
4X 2 − 11X − 3 ≡ 0 (mod 23).
4. Wykaż, że równanie 11Y = 5X 2 − 7 nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.
5. Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych nie przystaje do 1 modulo 13.
6. Niech p będzie liczbą pierwszą. Wykaż, że:
(a) jeśli p ≡ 7 (mod 8), to
(b) jeśli p ≡ 3 (mod 8), to
2
2
p−1
2
p−1
2
≡ 1 (mod p);
≡ −1 (mod p).
7. Wykaż, że jeśli p1 , . . . , pk są liczbami pierwszymi postaci 4n + 1, to każdy dzielnik pierwszy liczby
(2p1 p2 . . . pk )2 + 1 jest postaci 4n + 1.
Wskazówka. Kongruencja X 2 + 1 ≡ 0 (mod p) ma rozwiązanie
⇔
p jest postaci 4n + 1.
8. Wykorzystując poprzednie zadanie wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4n + 1.
9. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p takie, że:
(a)
(b)
(c)
(d)
3 jest resztą kwadratową modulo p,
-5 jest resztą kwadratowa modulo p,
-14 jest resztą kwadratową modulo p,
15 jest nieresztą kwadratową modulo p.
1