Zadania z arytmetyki (II rok s. MU niestacjonarne)
Transkrypt
Zadania z arytmetyki (II rok s. MU niestacjonarne)
Zadania z arytmetyki (II rok s. MU niestacjonarne) Zestaw 4 5 , 7 1. Stosując lemat Gaussa oblicz: 2. Oblicz wartości symboli Legendre’a: Symbol Legendre’a 3 6 −1 , , . 11 13 p 63 35 6 47 , , , , 131 97 13 73 251 , 577 342 . 677 3. Sprawdź, czy następujące kongruencje mają rozwiązania, jeśli tak to znajdź te rozwiązania: (a) (b) (c) (d) (e) X 2 ≡ 12 (mod 13), X 2 ≡ 5 (mod 11), 3X 2 + 7X + 8 ≡ 0 (mod 17), X 2 − 11X + 16 ≡ 0 (mod 41), 4X 2 − 11X − 3 ≡ 0 (mod 23). 4. Wykaż, że równanie 11Y = 5X 2 − 7 nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych. 5. Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych nie przystaje do 1 modulo 13. 6. Niech p będzie liczbą pierwszą. Wykaż, że: (a) jeśli p ≡ 7 (mod 8), to (b) jeśli p ≡ 3 (mod 8), to 2 2 p−1 2 p−1 2 ≡ 1 (mod p); ≡ −1 (mod p). 7. Wykaż, że jeśli p1 , . . . , pk są liczbami pierwszymi postaci 4n + 1, to każdy dzielnik pierwszy liczby (2p1 p2 . . . pk )2 + 1 jest postaci 4n + 1. Wskazówka. Kongruencja X 2 + 1 ≡ 0 (mod p) ma rozwiązanie ⇔ p jest postaci 4n + 1. 8. Wykorzystując poprzednie zadanie wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4n + 1. 9. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p takie, że: (a) (b) (c) (d) 3 jest resztą kwadratową modulo p, -5 jest resztą kwadratowa modulo p, -14 jest resztą kwadratową modulo p, 15 jest nieresztą kwadratową modulo p. 1