abstract

PrzykÃlad dotyczacy
metryki Bergmana
,
Zbigniew BÃlocki, 10.12.2007
Celem wykÃladu byÃlo pokazanie w elementarny sposób (zostaÃlo to niedawno udowodnione przez Bo-Yong Chena w znacznie bardziej skomplikowany sposób), że
2
metryka Bergmana obszaru Ω := ∆2 \ ∆r , 0 < r < 1, nie jest niezmiennicza
wzgledem
automorfizmów ∆2 . Mamy
,
KΩ (z) =
X
(j + 1)(k + 1)
|z |2j |z2 |2k ,
2 (1 − r 2(j+k)+4 ) 1
π
j,k≥0
z ∈ Dr ,
i funkcja ta przedÃluża sie, do gÃladkiej funkcji w ∆2 . PoÃlóżmy
K(ζ) := π 2 KΩ (ζ, 0) =
∞
X
j=0
j+1
|ζ|2j ,
1 − r2j+4
ζ ∈ ∆.
Gdyby KΩ byÃlo niezmiennicze wzgledem
automorfizmów ∆2 , to dla a ∈ ∆ i
,
F (ζ) :=
mielibyśmy
a−ζ
,
1 − aζ
ζ ∈ ∆,
(log K)ζ ζ̄ = (log K)ζ ζ̄ ◦ F |F 0 |2 .
WynikaÃloby stad,
że
,
(log K)ζ ζ̄ (ζ) =
a wiec
,
(log K)ζ ζ̄ (0)
,
(1 − |ζ|2 )2
(log(log K)ζ ζ̄ )ζ ζ̄ (0) = 2.
Jednak
K(0) =
1
,
1 − r4
Kζ ζ̄ (0) =
2
,
1 − r6
Kζ ζ̄ζ ζ̄ (0) =
12
,
1 − r8
(a tylko te pochodne nie znikaja, w 0). Dlatego też w 0 otrzymamy
(log(log K)ζ ζ̄ )ζ ζ̄
K Kζ ζ̄ζ ζ̄ − 2Kζ2ζ̄
(log K)ζ ζ̄ζ ζ̄
1 − r6
1 − r4
=
=
=6
−
4
6= 2.
(log K)ζ ζ̄
K Kζ ζ̄
1 − r8
1 − r6