Zbiór liczb niewymiernych. - TECH.EDU.GORZOW.PL :: Strona

ZAJĘCIA 17.
Zbiór liczb niewymiernych.
Czy istnieją inne liczby niŜ wymierne, to znaczy takie, których nie da się wyrazić za pomocą
ułamka p/q? Odpowiedź jest twierdząca. Przykładem takiej liczby jest długość przekątnej
kwadratu o boku a=1.
ZałoŜyliśmy, Ŝe a=1. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa moŜemy zapisać:
12 + 12 = c2, czyli c2 = 2
ZałóŜmy, Ŝe c jest liczbą wymierną, czyli, Ŝe da się wyrazić za pomocą ułamka m/n.
Wtedy
(m/n)2 = 2,
m2/n2 = 2 (moŜemy obie strony równania pomnoŜyć przez n2)
m2 = 2n2
m·m = 2·n·n
MoŜna próbować rozłoŜyć liczby po obu stronach równania na czynniki i zauwaŜyć, Ŝe po lewej
stronie równania czynnik 2 nie występuje lub występuje parzystą liczbę razy. Po prawej stronie
równania czynnik 2 występuje zawsze w nieparzystej liczbie. PowyŜsza równość zatem nie moŜe
być spełniona. ZałoŜenie, Ŝe c jest liczbą wymierną jest więc błędne.
Jak wykazaliśmy liczby wymierne nie są wystarczające chociaŜby do mierzenia długości
odcinków. Zbiór wszystkich takich liczb, nazywamy zbiorem liczb .
Liczba niewymierna moŜe być dodatnia, a takŜe ujemna.
Liczb niewymiernych jest nieskończenie wiele.
Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn.
p
tych, których nie moŜna zapisać w postaci ułamka zwykłego , dla
i
q
Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako róŜnicę zbioru liczb
rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych:
. Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie
oznaczenie
.
Przykładem liczby niewymiernej moŜe być liczba
2 = 1,4142...; 3;1 + 5 ;− 7 ;3 2; .
, czy teŜ
ZADANIE
Wykazać, Ŝe suma liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną.
Rozwiązanie:
Zastosujemy dowód nie wprost. ZałóŜmy, Ŝe suma liczby wymiernej x i niewymiernej y jest
liczbą wymierną, czyli da się wyrazić za pomocą ułamka m/n. Czyli:
x + y = m/n
Po przeniesieniu x na drugą stronę równania otrzymamy:
y = m/n - x
Po prawej stronie mamy róŜnicę dwóch liczb wymiernych, czyli liczbę wymierną, y musiałoby
być równieŜ liczbą wymierną, co jest sprzeczne z załoŜeniem.
6. Zbiór liczb rzeczywistych
Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.
Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez
, a ujemnych przez
.
Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi moŜemy
zaobserwować poniŜsze związki:
•
•
•
•
•