Funkcja wykładnicza i logarytmy

Funkcja wykładnicza i logarytmy
poziom rozszerzony
I. Wykresy
1. Narysuj wykres funkcji:
√
a) f :< −3, 3 >→ R określonej wzorem f (x) = ( 2)x+|x|
b) f (x) = |2x − 4| + 1. Określ liczbę rozwiązań równania f (x) = k 2
w zależności od wartości parametru k.
2. Dla jakich wartości k równanie 5x = 3 − k nie ma rozwiązania?
3. Punkt o współrzędnych (−3, 16 ) należy do wykresu funkcji wykładniczej f .
1
¬ 6).
Rozwiąż równanie f (x) = 6 (ew. rozwiąż nierówność f (x)
4. Określ liczbę rozwiązań równania 2x (−x2 + 1) = 1.
(odp. graficznie y = 2−x i y = −x2 + 1)
II. Proste równania i nierówności:
1. Rozwiąż równania:
a) 2x√
− (0, 5)x−2 = 3
b) (3 2)2x+1 = 12 · 9x
c) 2x+1 − 2x−1 = 32−x
1
1
1
d) 4x − 3x− 2 = 3x+ 2 − 4x− 2
2. Udowodnić, że dla wszystkich a ∈ R+ \ {1} oraz x ∈ R spełniona jest nierówność ax + a−x ­ 2.
III. Parametr
1. Dla jakich wartości parametru m równanie:
(m − 3)4x − (m + 3)2x+1 + m + 2 = 0
ma dwa różne rozwiązania?
2. Dla jakich wartości parametru m równanie:
4x + (2m + 1)2x+1 + 4m2 − 5 = 0
nie ma rozwiązania?
IV. Logarytmy
1. Wiedząc, że log2 5 = a oblicz log25 32
2. Oblicz
a) log5 0, 04 + 2 log5 30 − log5 7, 2.
(=1)
◦
◦
b) log3 (tg 240 ) − log 1 (tg 240 )
3
3 log3 2−log27 8+log 1 4
9
c) 3
(=2)
3. Rozstrzygnij, które z liczb są liczbami całkowitymi:
√
a) a = log4 5 · log25 8
b) b = log 2 · log 50 + log2 5
c) c = (log3 36)2 − log3 16 · log3 18
1
4. Sprawdź, czy liczba log3 2 jest rozwiązaniem równania 9x − 3x = 1 + 2 · 3−x
(tak)
√
27 − 3x
5. Określ dziedzinę funkcji f (x) =
.
logx x + 2
6. Na podstawie wykresu funkcji y = logc x wyznacz c i określ, dla jakich argumentów przyjmuje ona wartości nie mniejsze niż -1.
7. Dana jest funkcja f (x) = log2 x.
a) Oblicz
f (12)−2
.
f (3)
b) Podaj zbiór rozwiązań nierówności f (x) < 0
c) Roziąż równanie 2(f (x))2 − 5f (x) + 2 = 0
1
1
1
8. Niech x = 10 1−log z i y = 10 1−log x . Wykaż, że z = 10 1−log y .
9. Wiedząc, że
Oblicz
V. Inne:
1. Udowodnić, że wszystkie liczby naturalne n spełniają nierówność:
√
√
1
3
3
25 · ( ) ¬ 75 · 45.
5
2. Nie korzystając z kalkulatora uzasadnij, że 1, 5 < log2 3 < 1, 75
3.
2