Ciśnienie atmosferyczne na poziomie morza

6. PRĄDY GEOSTROFICZNE
6.1. Podstawowe założenia i równania
Zagadnienia omawiane w niniejszym rozdziale dotyczą prądów morskich w
centralnych częściach basenów oceanicznych, z dala od cieśnin, strefy brzegowej
oraz dna morskiego, czyli w sytuacjach, gdy siły tarcia turbulentnego są do
pominięcia. Brak tarcia oraz stacjonarność przepływu (czyli brak zależności od
czasu) są podstawowymi założeniami u podstaw omawianej tutaj teorii, która w
konsekwencji jest odpowiednia do analizy wielkoskalowych, wolnozmiennych
prądów
morskich
wywoływanych
gradientami
ciśnienia
związanymi
z
przestrzennymi zmianami poziomu morza i/lub gęstości wody morskiej. Dzięki
tym założeniom równanie ruchu w pionie przyjmuje postać równania hydrostatyki
(5.13), a równania ruchu w płaszczyźnie poziomej (5.12.1), (5.12.2) upraszczają
się do warunku:
Fp  Fc .
(6.1)
Warunek ten określa się jako warunek równowagi geostroficznej. Dla danej
wartości oraz kierunku siły gradientu ciśnienia, determinuje on jednoznacznie
wartość i kierunek zarówno siły Coriolisa, jak i prądu: z (6.1) wynika, że siła
Coriolisa musi być skierowana przeciwnie do F p . Prąd musi być więc skierowany
prostopadle zarówno do F p , jak i Fc , w ten sposób, że obszar niższego ciśnienia na
półkuli południowej znajduje się po prawej, a na półkuli północnej  po lewej od
kierunku prądu (Rys.6.1). Równania (6.1) oraz (5.5) i (5.8) pozwalają wyznaczyć
składowe
prędkości
prądu
geostroficznego
w
kartezjańskim
układzie
współrzędnych, U g  u g , v g  :
ug  
1 p
f y
oraz
vg 
1 p
f x
(6.2)
Analogiczne równania dla prędkości prądu na danej powierzchni izobarycznej
mają postać:
Rys. 6.1. Prąd geostroficzny jako efekt równowagi pomiędzy siłą poziomego
gradientu ciśnienia a siłą Coriolisa na półkuli północnej (a) oraz południowej (b).
ug  
g H
f y
oraz
vg 
g H
,
f x
(6.3)
co wynika z równań (5.9) i (5.13).
Załóżmy dla uproszczenia, że ciśnienie atmosferyczne na poziomie morza jest
stałe, czyli że powierzchnia morza 
jest powierzchnią izobaryczną. Ze
scałkowanego w pionie równania hydrostatyki wynika, że ciśnienie na dowolnej
głębokości z dane jest jako:
 ( x, y )
p
z  ( x, y, z) gdz ,
(6.4)
czyli poziome pochodne ciśnienia we wzorze (6.2) wynoszą:


p



gdz   ( ) g
x z x
x
oraz
p


.

gdz   ( ) g
y z y
y
(6.5)
Oznacza to, że  jak zostało wspomniane we wstępie do tego rozdziału  źródłem
poziomych zmian ciśnienia w morzu mogą być albo poziome niejednorodności
gęstości (czyli temperatury i zasolenia) wody, albo zmiany wychylenia
powierzchni morza.
Zacznijmy analizę od bardzo prostej sytuacji, w której woda ma wszędzie
stałą gęstość, a jedynym źródłem poziomych różnic ciśnienia jest nachylenie
powierzchni morza, dane jako  


x

, y . Z równań (6.5) wynika, że spowoduje
to analogiczne odchylenie od poziomu wszystkich powierzchni izobarycznych
niezależnie od głębokości (Rys.6.2a). Oznacza to, że zarówno poziomy gradient
Rys. 6.2. Pionowa zmienność ciśnienia i prędkości prądu geostroficznego w oceanie
barotropowym (a) oraz baroklinowym (b). Linie ciągłe oznaczają powierzchnie
izobaryczne, linie przerywane - powierzchnie poziome (powierzchnie stałego
geopotencjału). Oznaczony kierunek prądu odpowiada półkuli południowej. Dokładny
opis w tekście.
ciśnienia, jak i prędkość prądu, będą stałe w pionie i mogą być wyznaczone na
podstawie  :
ug  
g 
f y
oraz
vg 
g 
.
f x
(6.6)
Ocean, w którym spełniony jest ten warunek, określa się jako ocean barotropowy.
W ogólnym przypadku temperatura i zasolenie wody  a więc również jej
gęstość  ulegają zmianom w przestrzeni, co powoduje, że powierzchnie
izobaryczne nie są do siebie równoległe, a poziomy gradient ciśnienia ulega
zmianom w pionie. Składowa prędkości prądu związana ze zmianami gęstości
określana jest jako składowa baroklinowa. Przykład takiej sytuacji pokazany jest
na Rys.6.2b, gdzie przyjęto, że gęstość wody z lewej strony rysunku (punkty A i
A') jest większa, niż z prawej (punkty B i B'). Powoduje to, że powierzchnie
izobaryczne nie mają jednakowego nachylenia, czyli że poziomy gradient ciśnienia
 a więc również prędkość prądu  zmienia się w pionie. W ogólnej sytuacji, gdy
temperatura i zasolenie wody ulegają znacznym zmianom w przestrzeni (np. w
strefie termo- i/lub halokliny), pionowy profil prądu geostroficznego może być
bardzo skomplikowany.
6.2. Metoda dynamiczna
Pomiary prądów na otwartym oceanie są niezwykle trudne. Na większości
obszarów
prędkości
prądów
geostroficznych
są
bardzo
niewielkie,
nie
przekraczające kilku cm/s. Nawet współczesne metody pomiarowe dają w tych
warunkach wyniki obarczone bardzo dużymi błędami, często porównywalnymi z
mierzonymi wartościami. Ponadto, jeśli informacje o prądach na danym obszarze
mają być wykorzystane do analizy wielkoskalowej cyrkulacji oceanicznej, istotne
są nie chwilowe prędkości prądów, ale wartości uśrednione w pewnym okresie
czasu i reprezentatywne dla pewnego obszaru lub przekroju.
Z powyższych względów, zamiast próbować zmierzyć prądy bezpośrednio,
stosuje się metodę pośrednią, w której prędkość i kierunek prądu są obliczane na
podstawie wielkości stosunkowo łatwych do zmierzenia  ciśnienia, temperatury i
zasolenia wody morskiej. Metoda ta, stosowana w oceanografii od wielu lat,
określana jest jako metoda dynamiczna. Jej istotą jest wykorzystanie informacji o
poziomych zmianach temperatury i zasolenia wody do wyznaczenia pionowego
profilu poziomej składowej siły gradientu ciśnienia, co z kolei pozwala wyznaczyć
pionowy profil prędkości prądu geostroficznego U g ( p) na podstawi równań
sformułowanych w punkcie 6.1.
6.2.1. Opis algorytmu
Do zastosowania metody dynamicznej potrzebne są dane z przynajmniej
dwóch stacji pomiarowych. Oznaczmy je przez A i B, odległość między nimi przez
L , a pionowe profile temperatury i zasolenia na tych stacjach przez, odpowiednio,
TA ( p) , TB ( p) , S A ( p) oraz S B ( p) . Etapy metody dynamicznej są następujące:
• wybór poziomu odniesienia p0 ; najczęściej jest to najniższy poziom, z którego
dostępne są dane (wspólny dla obu stacji),
• podział kolumny wody na stacjach A i B na i  1,, N warstw, zdefiniowanych
przez wartości ciśnienia pomiędzy p0 a powierzchnią morza,
• wyznaczenie gęstości  A,i ,  B,i oraz średniej objętości właściwej  A,i ,  B,i
poszczególnych warstw wody na stacjach A i B:
 i   i1   i / 2,
(6.7)
• wyznaczenie grubości poszczególnych warstw H A,i , H B ,i na stacjach A i B:
H i   i  pi1  pi ,
(6.8)
• wyznaczenie całkowitej grubości (wysokości dynamicznej) poszczególnych
warstw H A,i , H B ,i względem poziomu odniesienia p0 :
i
H i   H j ,
(6.9)
j 1
• wyznaczenie średniej prędkości prądu geostroficznego U g , AB,i w poszczególnych
warstwach:
U g , AB,i 
H A, i  H B , i
fL
.
(6.10)
W powyższych wzorach, wysokość dynamiczna wyznaczana jest w
jednostkach geopotencjału (J/kg). Parametr Coriolisa we wzorze (6.10)
wyznaczany jest ze wzoru (5.6) na podstawie szerokości geograficznej punktu
położonego w środku odcinka łączącego stacje A i B.
Jak widać na Rys. 6.2, dane z dwóch stacji pozwalają na wyznaczenie
składowej poziomego gradientu ciśnienia wzdłuż odcinka łączącego te stacje, czyli
– w konsekwencji – na wyznaczenie średniej prędkości prądu geostroficznego w
kierunku prostopadłym, tzn. przez ten odcinek (ze wzoru 6.2 wynika, że gradient
ciśnienia w kierunku osi X decyduje o składowej prędkości prądu w kierunku osi Y
i na odwrót). W przypadku, gdy przybliżony kierunek prądu, którego prędkość
chcemy wyznaczyć, jest znany, wystarczające są pomiary z dwóch stacji
rozmieszczonych w kierunku prostopadłym do kierunku prądu. Przykładem mogą
być płynące w kierunku równoleżnikowym prądy równikowe, których prędkość
można z zadowalającą dokładnością wyznaczać na podstawie danych ze stacji
położonych wzdłuż wybranego południka. W ogólnym przypadku jednak do
wyznaczenia pełnego profilu pionowego prędkości i kierunku prądu potrzebne są
Rys. 6.3. Rozmieszczenie stacji pomiarowych do wyznaczania prędkości i kierunku
prądu geostroficznego U g metodą dynamiczną: składowe U g , AB oraz U g ,CD
wyznaczane są na podstawie pomiarów z par stacji, odpowiednio, A i B oraz C i D.
dane z czterech stacji rozmieszczonych wokół punktu, w którym wyznaczany jest
profil prądu, tak, jak pokazano na Rys. 6.3.
Kolejną bardzo istotną cechą metody dynamicznej jest fakt, że nachylenie
poszczególnych powierzchni izobarycznych jest wyznaczane względem poziomu
odniesienia, o którym na ogół – z braku innych możliwości – zakłada się, że jest
"powierzchnią spokoju", na której prędkość prądu wynosi zero. O ile prędkości
prądu na dużych głębokościach w oceanie rzeczywiście są bardzo małe, założenie
to wprowadza pewien błąd, zwłaszcza wtedy, gdy dostępne dane nie sięgają do
dostatecznie dużych głębokości. Ponieważ wyznaczana prędkość prądu jest
prędkością względem prędkości na poziomie p0 , zmiana poziomu odniesienia nie
powoduje zmiany kształtu profilu prądu, a jedynie przesunięcie tego profilu o
pewną stałą wartość (Rys.6.4). O ile ma to na ogół niewielkie znaczenie, jeżeli
chodzi o samą wartość prędkości prądu, może być bardzo znaczące dla
wyznaczanego na jej podstawie całkowitego (scałkowanego w pionie) transportu
objętościowego.
Obecnie, gdy dostępne są dokładne dane satelitarne wychylenia powierzchni
morza, metodę dynamiczną stosuje się często dla warstw wyznaczanych nie od
dołu względem arbitralnie wybranego poziomu odniesienia, ale względem
wyznaczonego altymetrycznie poziomu morza. Jedyna zmiana w opisanym wyżej
algorytmie polega na tym, że kolejne warstwy są "dokładane" nie z dołu do góry,
Rys. 6.4. Wpływ poziomu odniesienia p0 na profil prędkości prądu wyznaczany
metodą dynamiczną. Całkowity transport objętościowy w kolumnie wody jest
proporcjonalny różnicy pól powierzchni oznaczonych kolorem jasno- i ciemnoszarym.
ale od powierzchni w głąb morza. Z reguły pozwala to na znacznie dokładniejsze
wyznaczenie transportu objętościowego na danym obszarze.
6.2.2. Przykład wykorzystania metody dynamicznej
Rysunek 6.5 pokazuje wynik analizy prądów geostroficznych na przekroju
południkowym przez wschodnią część Oceanu Spokojnego, dla stacji położonych
w odstępach 1 szerokości geograficznej. Liniowe ułożenie stacji pozwala w tym
przypadku na wyznaczenie jedynie składowej równoleżnikowej prądu, co jednak
na tym obszarze nie powoduje znacznego błędu, gdyż przepływające przez
analizowany profil prądy – Prąd Północno- i Południoworównikowy, Równikowy
Prąd Wsteczny oraz Dryf Wiatrów Zachodnich (patrz Rozdział 9) – mają przebieg
w przybliżeniu równoleżnikowy. Są one doskonale widoczne na uzyskanym
metodą dynamiczną profilu. Jako poziom odniesienia przyjęto 1400 dbar. Jak
widać na Rys.6.5b, nachylenie izobar zmienia się w miarę, jak oddalamy się od
poziomu odniesienia w stronę powierzchni morza. Nachylenie to decyduje o
kierunku siły gradientu ciśnienia, a więc o kierunku prądu  tak samo jak na
schematach z Rys.6.2.
(a)
(b)
Rys. 6.5. Przykład analizy prądów geostroficznych na przekroju południkowym przez
wschodni Ocean Spokojny pomiędzy 75S a 30N (wstawka): równoleżnikowa
składowa prądu geostroficznego (cm/s) w funkcji ciśnienia (a) oraz w funkcji anomalii
wysokości dynamicznej (b). Szare linie w (b) oznaczają powierzchnie izobaryczne
(dbar). Jako poziom odniesienia przyjęto 1400 dbar.
6.3. Ograniczenia teorii geostroficznej
Z warunku równowagi geostroficznej wynika, że prąd geostroficzny płynie
wzdłuż izobar, w kierunku prostopadłym do kierunku gradientu ciśnienia, który
jest siłą sprawczą prądu. Oznacza to, że przepływ geostroficzny nie modyfikuje
pola ciśnienia, z którym jest związany. Jak zostanie opisane w Rozdziale 9, stwarza
to pewne problemy w kontekście interpretacji cyrkulacji termohalinowej w
oceanach. Wyjaśnienie pewnych cech tej cyrkulacji wymaga istnienia pewnej
składowej ageostroficznej, skierowanej zgodnie z kierunkiem gradientu ciśnienia,
która odgrywa istotną rolę w strefach silnych prądów w zachodnich częściach
oceanów, jak również w okolicach gwałtownie zmieniającej się batymetrii i
cieśninach łączących baseny oceaniczne. Chociaż nasza wiedza na temat tarcia
turbulentnego
w
oceanach
jest
ograniczona,
w
przypadku
cyrkulacji
wielkoskalowej wydaje się ono odgrywać podwójną rolę. Zmieniając kierunek
prądu umożliwia ono zamianę części energii potencjalnej na kinetyczną. Ponadto,
odpowiada za dyssypację części energii kinetycznej prądu, modyfikując jego
średnią prędkość. Jednakże w większości sytuacji na otwartym oceanie amplituda
siły tarcia jest znacznie mniejsza od amplitudy siły Coriolisa i siły gradientu
ciśnienia. Dzięki temu opisana tutaj metoda dynamiczna daje wiarygodne
prędkości prądu, obarczone niewielkim błędem zarówno kierunku, jak i wartości
prędkości.
Warto też nadmienić, że równowaga geostroficzna na równiku nie jest
możliwa ze względu na brak siły Coriolisa w tej strefie. Oznacza to, że siła
gradientu ciśnienia musi być tam równoważona przez inne człony w równaniach
(5.12.1) i (5.12.2), np. te związane z przyspieszeniem.