Teoria gier III lista zadań

Teoria gier
III lista zadań
1. W modelu z wykładu (z budową stadionu, czy innego tałatajstwa):
(a) Przy założeniu, że waluacje graczy θi są nieujemne, pokaż (wprost,
bez korzystania z twierdzenia Grovesa), że zastosowanie następującego
P
P
mechanizmu: każdy z graczy płaci max{0, C− j6=i θj0 }, jeśli ni=1 θi0 ­
C, i nie płaci nic w przeciwnym wypadku, spowoduje, że każdemu
z graczy będzie się opłacało mówić prawdę.
(b) Pokaż, że powyższy mechanizm nie jest zbilansowany.
(c) Napisz, jak dla tego modelu będzie wyglądał (zbilansowany) mechanizm
Clarke’a.
(d) Udowodnij, że w tym przykładzie nie istnieje mechanizm, który
byłby mocno zbilansowany (do tego wystarcza n = 2).
2. Mamy sieć reprezentowaną przez graf (skierowany), każda krawędź reprezentuje
router, posiadający prywatną informację dotyczącą kosztów przesyłu
informacji przez ten router. Chodzi o to, żeby znaleźć najtańszą drogę z
jednego ustalonego wierzchołka tego grafu do innego ustalonego wierzchołka.
Graczami są poszczególne krawędzie. Za waluację vi gracza i przyjmujemy
minus koszt przesyłu informacji przez jego krawędź (czyli −θi ), jeśli
przez jego krawędź poszła informacja, i 0, jeśli nie poszła. Rozważ
następujący mechanizm: Każdy z graczy ma podać koszt przesyłu przez
swoją krawędź, na podstawie tych informacji liczona jest najkrótsza
droga, a następnie każdy gracz i, przez którego krawędź ta droga przechodzi,
dostaje wypłatę pi = pG|i=∞ − pG|i=0 , gdzie pG|i=∞ to koszt najkrótszej
drogi, do której nie należy i-ta krawędź, a pG|i=0 to długość najkrótszej
drogi, gdy założymy, że koszt i-tej krawędzi jest równy 0 (pozostali
nie dostają nic). Pokaż, że ten mechanizm jest mechanizmem Grovesa
(więc gwarantuje, że gracze będą podawali swoje rzeczywiste koszty).
3. Rozważ następujący problem: jest do wykonania m zadań, i mamy do
wykorzystania 2 procesory (procesory wykonują zadania równolegle).
Każdy z procesorów j zna czas potrzebny mu do wykonania zadania
i (i ¬ m) θij , ale jest to jego prywatna wiedza. Naszym celem jest
rozdzielenie zadań na procesory tak, żeby całkowity czas wykonania
zadania był jak najkrótszy. Każdy z procesorów dąży do tego, żeby był
wykorzystywany przez najmniejszą ilość czasu. Pokaż, że nie istnieje
mechanizm postaci (Θ, (d∗ , t)) (oznaczenia jak na wykładzie), który
dawałby optymalny podział zadań i który dałoby się zaimplementować
w strategiach dominujących.
4. Dla powyższego przykładu zastosuj następujący mechanizm:
• Każde zadanie jest dawane do wykonania temu procesorowi, który
podał krótszy czas jego wykonania.
• i-ty procesor dostaje wypłatę równą sumie czasów, jakie podał
drugi procesor dla zadań przydzielonych procesorowi i.
Pokaż, że mechanizm bezpośredni tak zdefiniowany da się zaimplementować
w strategiach dominujących. Następnie udowodnij, że daje on w najgorszym
razie czas wykonania wszystkich zadań 2 razy gorszy od optymalnego.
5. Rozważ sytuację, w której społeczeństwo o nieparzystej i niepodzielnej
przez 3 liczbie członków wybiera jednego z trzech kandydatów: a, b i c.
(a) Rozważ mechanizm postaci: Każdy głosuje na jednego kandydata,
następnie jest druga tura wyborów, którą wygrywa kandydat z
większą liczbą głosów. Do drugiej tury przechodzi dwóch kandydatów
z największą liczbą głosów, a jeśli 2. i 3. kandydat mają taką samą
liczbę głosów, to ci, którzy głosowali na 1. wybierają spośród
dwóch pozostałych jego przeciwnika w drugiej turze. Pokaż, że
taki mechanizm gwarantuje wybór któregoś z kandydatów, ale
nie gwarantuje prawdomówności głosujących (w tym sensie, że
głosowanie zgodnie z prawdziwymi preferencjami nie jest startegią
dominującą).
(b) Czy istnieje mechanizm wyboru (niekoniecznie intuicyjnie sensowny),
który gwarantowałby prawdomówność? Jeśli tak, to jaki?
6. Rozważ poprawkę przybliżonego mechanizmu dla aukcji kombinatorycznych
z wykładu, w której gracze będą sortowani według √ci .
|si |
(a) Pokaż, że taki mechanizm daje w najgorszym razie alokację
razy gorszą od optymalnej.
√
m
(b) Rozważ przykład aukcji kombinatorycznej z wykładu. Jaką alokację
produktów daje w nim poprawiony mechanizm? Czy jest możliwość,
że dla innych ci mechanizm z poprawką da alokację taką jak dla
mechanizmu z wykładu, i wszystkim będzie się opłacało handlowanie
zakupionymi produktami po zakończeniu aukcji?