Model Leontiewa — zadania 23 Model Leontiewa

23
Model Leontiewa — zadania
Model Leontiewa — zadania
Produktywność macierzy, macierze współczynników nakładów
1. Poniższa niekompletna tablica przedstawia przepływy międzygałęziowe w ramach gospodarki o trzech gałęziach produkcji. Uzupełnij tę tablicę i wyznacz macierz współczynników nakładów A dla tej gospodarki.
Numer
Przepływ xij z i-tej do j-tej gałęzi
Produkt
Produkcja
gałęzi
końcowy
globalna
1
2
3
d1
X1
i, j
1
20
30
100
50
2
10
40
40
100
3
30
150
10
250
2. O pewnej dwugałęziowej gospodarce wiadomo, że dział I do wyprodukowania dobra I o wartości 1 dolara zużywa swój
produkt o wartości 10 centów i dobro II o wartości 60 centów, zaś dział II do wytworzenia dobra II o wartości 1
dolara nie zużywa własnego produktu, tylko dobro I o wartości 50 centów. Ponadto popyt sektora otwartego (popyt
końcowy) wynosi: na dobro I — 1000 dolarów, a na dobro II — 2000 dolarów. Wyznacz macierz przepływów, macierz
współczynników nakładów oraz macierzowe równanie nakładów i wyników dla tej gospodarki. Oblicz macierz odwrotną
do I − A i sprawdź zależność X = (I − A)−1 U .
Rozwiązanie. Niech X1 i X2 oznaczają odpowiednio wartości produkcji globalnej (liczone w $) odpowiednio I i II
działu. Wówczas z danych zadania wynikają następujące wyrażenia dla wartości przepływów
X11 = 0, 1 · X1 ,
X21 = 0, 6 · X1 ,
X12 = 0, 5 · X2 ,
X22 = 0.
Równania bilansowe przybierają postać
U1 = X1 − X11 − X12 = 0, 1 · X1 − 0, 5 · X2
U2 = X2 − X21 − X22 = X2 − 0, 6 · X1 ,
a po ich rozwiązaniu otrzymujemy
1
· 104 ,
X2 = 4 · 103 .
3
A więc macierz przepływów M i macierz współczynników nakładów A są odpowiednio równe
!
!
1
· 103 2 · 103
0, 1 0, 5
3
M=
,
A=
.
2 · 103
0
0, 6 0
X1 =
Możemy teraz zapisać macierzowe równanie nakładów i wyników dla tej „gospodarki”.
!
!
!
!
1
1
103
· 104
0, 1 0, 5
· 104
3
3
=
−
.
4 · 103
0, 6 0
4 · 103
2 · 103
Pozostałą część zadania pozostawiamy do samodzielnego rozwiązania.
3. Rozważamy gospodarkę złożoną z trzech gałęzi produkcji: węgla, elektryczności i kolei. Wyprodukowanie węgla o
wartości 1 dolara wymaga wykorzystania energii elektrycznej o wartości 0,25 dolara i transportu o koszcie 0,25 dolara.
Produkcja energii elektrycznej o wartości 1 dolara wymaga zużycia węgla o wartości 0,65 dolara, elektryczności o
wartości 0,05 dolara na jego przerób i 0,05 dolara na jego transport. Dostarczenie usługi transportowej o wartości 1
dolara wymaga wykorzystania węgla o wartości 0,55 dolara i energii elektrycznej o wartości 0,1 dolara. Tygodniowy
popyt zewnętrzny na węgiel jest na poziomie 50 000 dolarów, na elektryczność zaś na poziomie się 25 000 dolarów.
Nie ma ustalonego popytu zewnętrznego na transport kolejowy. Wyznacz tygodniowy plan produkcji dla omawianych
gałęzi.
4. Dla gospodarki z dwoma gałęziami produkcji opisanej przez podaną macierz nakładów znaleźć poziomy produkcji
każdej z gałęzi jako funkcję wektora produktu końcowego.
!
!
0, 3 0, 1
0, 2 0, 2
(i) A =
;
(ii) A =
;
0, 2 0, 4
0, 1 0, 3
!
!
0, 4 0, 2
1 1
(iii) A =
;
(iv) A =
.
0, 1 0, 3
−1 3
24
Model Leontiewa — zadania
5. Dla gospodarki z trzema gałęziami i podanej macierzy nakładów znaleźć poziomy produkcji każdej z gałęzi dla podanego
wektora produktu końcowego:








0, 05 0, 25 0, 34
1800
0, 3 0, 1 0, 2
100








(i)
A = 0, 33 0, 1 0, 12 d =  200  ,
(ii)
A =  0 0, 4 0, 1 , d = 200
0, 19 0, 38
0
900
0, 2 0 0, 1
300
6. Zbadaj produktywność następujących macierzy:
!
0, 6 0, 4
(i) A =
;
0, 6 0, 8


0 0, 4 1


(iii) A = 1, 2 0 0, 3 .
0, 2 0, 2 0
7. Wykazać, że macierz A =
a b
c d
(ii)
A=
!
0, 6 0, 4
;
0, 3 0, 4
jest produktywna wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy I − A jest dodatni.
8. Udowodnić, że jeśli macierz jest produktywna, to w co najmniej jednej kolumnie suma elementów jest mniejsza od
jedności.