Jaromir Krzyszczak Dynamika par Coopera w układach fermionów z

Transkrypt

UNIWERSYTET MARII CURIE-SKŁODOWSKIEJ
W LUBLINIE
WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I INFORMATYKI
Jaromir Krzyszczak
Dynamika par Coopera
w układach fermionów
z oddziaływaniem zależnym od czasu.
Praca magisterska
wykonana w Zakładzie Teorii Fazy Skondensowanej.
Promotor: prof. dr hab. Karol Wysokiński.
Opiekun: dr hab. Tadeusz Domański.
Lublin 2006
MARIA CURIE-SKŁODOWSKA UNIVERSITY
IN LUBLIN
FACULTY OF MATHEMATICS, PHYSICS AND COMPUTER
SCIENCE
Jaromir Krzyszczak
The Cooper pair dynamics
in the fermion systems
with a time-dependent interaction.
Diploma thesis
prepared in Cendensed Matter Theory Department
under supervision of prof. dr hab. Karol Wysokiński
and dr hab. Tadeusz Domański
Lublin 2006
Panu prof. dr hab. Karolowi Wysokińskiemu
oraz
Panu dr hab. Tadeuszowi Domańskiemu
serdecznie dziękuję
za cenne uwagi,
okazaną mi pomoc
oraz życzliwość
w trakcie pisania niniejszej pracy.
Spis treści
Wprowadzenie
9
1. Wstęp
11
1.1. Odkrycie zjawiska nadprzewodnictwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2. Właściwości stanu nadprzewodzącego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3. Nowe fakty i odkrycia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2. Mikroskopowa teoria BCS
21
2.1. Zjawisko powstawania par fermionowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2. Transformacja Bogoliubova-Valatina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3. Wielkości charakterystyczne dla stanu BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3. Metoda Andersona
31
3.1. Opis metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.2. Przypadek temperatury T = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.3. Przypadek temperatury T 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4. Równanie ruchu dla pseudospinów
43
4.1. Równanie ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.2. Rozwiązanie szczególne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.3. Rozwiązanie ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
5. Równoważność opisu pseudospinowego i równań Bogoliubova-de Gennes’a
67
5.1. Równania Bogoliubova-de Gennes’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.2. Parametr porządku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5.3. Rozwiązanie równań Bogoliubova-de Gennes’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.4. Równania Bogoliubova-de Gennes’a jako równanie typu Blocha . . . . . . . . . .
72
Podsumowanie i wnioski
75
Dodatek A
77
Dodatek B
81
7
Spis rysunków
85
8
Wprowadzenie
W poniższej pracy przedstawiona jest metoda analizy zagadnienia dynamiki par Coopera
w układach fermionów z oddziaływaniem zależnym od czasu. Motywacją do wybrania właśnie
takiego tematu były dwie prace, które ukazały się na łamach Physical Review Letters oraz
Physical Review A na przeciągu ostatnich dwóch lat - [12] oraz [21]. Celem tej pracy stało
się odtworzenie formalizmu oraz wyników zawartych w tych pracach i rozszerzenie ich na
przypadek bardziej ogólny.
Pierwszy rozdział tej pracy poświęcony jest historycznemu zarysowi najważniejszych odkryć
związanych z nadprzewodnictwem, od odkrycia samego zjawiska nadprzewodnictwa, aż do prowadzonych obecnie badań nad spułapkowanymi atomami. Badania te pozwalają kontrolować tak
siłę, jak i charakter oddziaływań, co oznacza, że mogą być one uzależnione od czasu na wiele
różnych sposobów.
Drugi rozdział poświęcony jest fundamentom mikroskopowej teorii nadprzewodnictwa, czyli
teorii BCS. W rozdziale tym zamieszczona jest również bardzo prosta metoda rozwiązania zagadnienia BCS, nazywana transformacją Bogoliubova-Valatina, dzięki której otrzymuje się wielkości
charakterystyczne dla stanu nadprzewodzącego.
W trzecim rozdziale przedstawiony jest formalizm wprowadzony w 1958 roku przez P.W. Andersona. Formalizm ten pozwala na rozwiązanie zagadnienia BCS, jednak jego zaletą i przewagą
nad innymi formalizmami jest to, iż odwołuje się on do znanych znacznie wcześniej zagadnień i
pozwala w dosyć obrazowy sposób wyjaśnić zjawisko przewodzenia prądu bez oporu.
Czwarty rozdział poświęcony jest zagadnieniu dynamiki układu fermionów. W rozdziale tym,
przy wykorzystaniu formalizmu wprowadzonego w rozdziale czwartym, pokazana jest metoda
otrzymania równania typu Blocha oraz zawarte są dwa rozwiązania tego równania - rozwiązanie multisolitonowe (nazywane przez nas rozwiązaniem szczególnym, z powodu poczynionych
w trakcie rozwiązywania założeń) z bardzo prostą zależnością czasową oddziaływań, oraz rozwiązanie bardziej ogólne z kilkoma różnymi profilami oddziaływań zależnych od czasu.
W piątym, ostatnim, rozdziale zamieszczone są równania Bogoliubova-de Gennesa, które
otrzymać można przy wykorzystaniu wprowadzonej w rozdziale trzecim transformacji, a które
pozwalają na badanie dynamiki układu fermionów. W rozdziale tym zamieszczony jest również
sposób przekształcenia równań Bogoliubova-de Gennesa do równania typu Blocha, dzięki czemu
pokazujemy równoważność obydwu tych formalizmów.
9
10
Rozdział 1
Wstęp
1.1. Odkrycie zjawiska nadprzewodnictwa
Zjawisko nadprzewodnictwa, odkryte przez Heike’a Kamerlingha Onnesa w 1911 roku, to
jedno z najbardziej zadziwiających zjawisk w historii odkryć naukowych. Od momentu odkrycia tego zjawiska minęło prawie sto lat, ale wciąż fascynuje ono wiele osób. Stale dokonywane
nowe odkrycia związane ze zjawiskiem nadprzewodnictwa wymuszają nieustanny rozwój teorii
go opisującej. Gdy Heike Kamerlingh Onnes, urodzony w 1853 roku w Groningen, student Uniwersytetu w Groningen oraz Uniwersytetu w Heidelbergu w Niemczech, kończył pisać swoją
pracę doktorską, nie mógł nawet podejrzewać, że to właśnie jemu przypadnie odkrycie tego
zjawiska. W okresie tym Onnes poznał profesora Johannesa Diderika van der Waalsa, który
zajmował się opracowaniem opisu gazów rzeczywistych. Heike postawił sobie za cel swoich
badań ilościowy opis właściwości gazów w bardzo niskich temperaturach. Swoje plany badania
gazów w niskich temperaturach mógł zacząć realizować, gdy w 1882 roku został profesorem
Uniwersytetu w Lejdzie. To właśnie wtedy Onnes zbudował tam laboratorium kriogeniczne,
które później, w 1932 roku, zostało nazwane jego imieniem. W laboratorium tym udało mu się
powtórzyć eksperymenty wykonane w 1883 roku przez polskiego chemika Karola Olszewskiego
oraz fizyka Zygmunta Wróblewskiego, którym udało się skroplić tlen oraz azot. Ponieważ Heike
Kamerlingh Onnes do swoich badań potrzebował znacznie większych ilości tych cieczy, skupił
swoją uwagę na zbudowaniu dużo wydajniejszej aparatury, której konstrukcję oparł na mechanizmie zwanym później procesem kaskadowym. Proces ten polega na wykorzystaniu kilku
gazów o coraz niższej temperaturze skraplania do ochładzania kolejnego gazu. W aparaturze
Onnesa każdy gaz był najpierw sprężany, następnie oziębiany do temperatury skraplania i rozprężany, a powstająca podczas parowania cieczy para oziębiała następny w szeregu sprężony
gaz. Aparaturę tę udało mu się uruchomić w 1892 roku. Heike cały proces rozpoczął od chlorku
metylowego, który kondensuje w temperaturze 21◦ C pod ciśnieniem 5 atm, a następnie skroplił
etylen (-87◦ C w 3 atm), tlen (-145◦ C w 17 atm) i w końcu powietrze (-193◦ C w 1 atm). By jednak
udało się skroplić wodór, Onnes musiał osiągnąć znacznie niższą temperaturę, a to wymagało
od niego zbudowania znacznie precyzyjniejszej aparatury. Jednak w wyścigu w kierunku skro11
plenia wodoru Heike Kamerlingh Onnes wyprzedzony został przez szkockiego fizyka, Jamesa
Dewara, badającego zjawiska zachodzące w niskich temperaturach. Jamesowi Dewarowi sztuka
skroplenia wodoru udała się przy wykorzystaniu efektu termodynamicznego, zwanego zjawiskiem Joule’a-Thomsona, w 1898 roku. Zjawisko, które znalazło zastosowanie, a wręcz nawet
stało się zasadniczą częścią całego cyklu procesu kaskadowego, polega na zmianie temperatury
gazu rozprężającego się przez zawór, zwykle temperatura ta się zmniejsza. Dzięki niemu Dewarowi udało się oziębić wodór do temperatury -253◦ C, czyli 20 K. Urządzenie skonstruowane
przez Jamesa Dewara wytwarzało jednak niewielkie ilości ciekłego wodoru, natomiast zamierzeniem Onnesa było badanie właściwości gazów w niskich temperaturach, potrzebował więc
ciekłego wodoru w znacznie większych ilościach. Dopiero w 1906 roku udało mu się, wraz z
innymi naukowcami, skonstruować aparaturę wykorzystującą zjawisko Joule’a-Thomsona, która
umożliwiałaby wytwarzanie wystarczających ilości ciekłego wodoru i to właśnie wtedy, po raz
pierwszy w Lejdzie, skroplił ten gaz. Urządzenia Onnesa, w którym gazowy wodór był najpierw sprężany, następnie przepływał przez obszar chłodzony ciekłym azotem i rozprężał się,
co sprawiało, że ochładzał się na tyle, by skropleniu uległa jego część, produkowało około 4
litrów ciekłego wodoru na godzinę, ale po udoskonaleniach udało się zwiększyć tę ilość do 13
litrów na godzinę.
W tym czasie, gdy James Dewar i Heike Kamerlingh Onnes usiłowali skroplić wodór, na
Ziemi został odkryty hel. Okrycie to jest zasługą Williama Ramsaya, który w 1895 roku potraktował kleweit (rudę uranową) kwasem mineralnym i otrzymał hel. Wyjątkowo niska temperatura
skraplania helu jest zasługą niezwykle słabo oddziałujących ze sobą atomów tego pierwiastka.
Heike postawił za cel swojej pracy skroplenie helu, co zresztą sam napisał: ”Postanowiłem
natychmiast, że moim celem będzie pokonanie tego ostatniego etapu”. Jednak wielką trudnością okazało się zdobycie odpowiedniej ilości, dopiero co odkrytego, gazowego helu. Onnes,
z prośbą o pomoc, zwrócił się do swojego brata, który był dyrektorem Biura Wywiadu Handlowego w Amsterdamie, i dzięki temu udało mu się kupić dużą ilość piasku monacytowego
z Karoliny Północnej, który to piasek zawiera hel. Heike, z jednego transportu, uzyskał około
300l gazowego helu. Aby go skroplić, potrzebował jednak bardzo wydajnej aparatury, która
wytwarzałaby odpowiednią ilość ciekłego wodoru. Wcześniejsze doświadczenia, które Onnes
nabył próbując skroplić wodór, pozwoliły skonstruować skraplarkę helową, opartą na procesie
kaskadowym, w którym jako czynniki chłodzące zastosowane zostały ciekłe powietrze i ciekły
wodór oraz na zjawisku Joule’a-Thomsona, już w 1908 roku. 10 lipca 1908 roku mała grupa
naukowców pracujących na uniwersytecie w Lejdzie zebrała się, by obserwować przebieg eksperymentu. Przez cały dzień przez układ przepływał gazowy hel, temperatura wynosiła 4.2
K i nie chciała zejść poniżej tego poziomu, a jednak nie widać było cieczy. Późnym wieczorem Fransiscus Schreinemakers, profesor chemii, który obserwował ten eksperyment zupełnym
przypadkiem, wysunął przypuszczenie, że temperatura przestała się zmniejszać ponieważ ciekły hel już powstał, ale jest on po prostu trudny do zaobserwowania. Heike Kamerlingh Onnes
później wiele razy wspominał tą chwilę, kiedy oświetlił zainstalowane naczynie na gromadzący
12
się w aparaturze ciekły hel i ujrzał powierzchnię cieczy. Onnesowi udało się osiągnąć jeszcze
niższą temperaturę (około 1.7 K) poprzez zmniejszenie ciśnienia, co było wtedy wynikiem niewiarygodnie bliskim zera bezwzględnego. Największym problemem Onnesa w tym czasie było
wykorzystanie otrzymanego ciekłego helu do zaplanowanych badań. Heike poświęcił więc kolejne lata na udoskonalenie aparatury, tak aby nadawała się ona do tego celu, i dopiero w 1911
roku udało mu się stworzyć kriostat, który utrzymywał ciekły hel w stałej temperaturze, a w
którym można było przeprowadzać badania właściwości różnych substancji w bardzo niskich
temperaturach.
W czasie, gdy Heike zajmował się skraplaniem kolejnych gazów, wielu naukowców dyskutowało na temat zależności temperaturowej oporu w temperaturach bliskich zeru bezwzględnemu. Lord Kelvin uważał, że poprawiający się w coraz niższych temperaturach przepływ
elektronów (co zaobserwowane i udokumentowane zostało przez wspomnianych już wcześniej
polskich naukowców - Zygmunta Wróblewskiego i Karola Olszewskiego), może ustać z powodu
”zamrożenia” elektronów. Oznaczałoby to, że w temperaturze zera bezwzględnego opór byłby
nieskończony. Inni fizycy - w tym także Onnes i wspomniany wcześniej Dewar - przypuszczali,
że opór będzie dalej malał i zniknie dopiero w temperaturze zera bezwzględnego. Temperatury
osiągane przez Heike Kamerlingha Onnesa w jego eksperymentach były więc doskonałą okazją
do zweryfikowania tych hipotez, jednak wynik zaskoczył wszystkich, gdyż z uwagi na ówczesny
stan wiedzy o mikroświecie, był zupełnie nie do przewidzenia. Heike zdecydował się użyć do
badań rtęci, gdyż chciał zapobiec sytuacji, w której niedoskonałość struktury metalu w stanie
stałym mogłaby zaburzać przepływ prądu i przez to utrudniać interpretację wyników. Onnes,
by przygotować do badań jak najczystszą próbkę, wielokrotnie destylował rtęć w temperaturze pokojowej, a następnie umieścił ją w szklanej kapilarze w kształcie litery U. Do końców tej
kapilary przymocowane zostały elektrody, które umożliwiały przepływ prądu i jednocześnie badanie oporu. W trakcie oziębiania, gdy rtęć zestaliła się i utworzyła metalowy drut, Onnes wraz
ze swoimi współpracownikami byli świadkami zmniejszania się oporu. Jednak w temperaturze
skraplania się helu wynik pomiaru oporu był bardzo zdumiewający - opór wydawał się całkowicie znikać. Doświadczenie to przeprowadzali Heike Kamerlingh Onnes i Gerrit Flim, którzy
doglądali pracę aparatury kriogenicznej oziębiającej rtęć, oraz Gilles Holst i Cornelius Dorsman,
którzy przebywali w oddalonym o 50m pokoju i odczytywali wskazania galwanometru.
Gdy kilkakrotnie ponawiane doświadczenie wciąż dawało ten sam wynik, badacze zaczęli
przypuszczać, iż przyczyną jest jakieś zwarcie. Rurka w kształcie litery U została więc zastąpiona rurką w kształcie litery W z pięcioma elektrodami - na obu końcach i w kolankach - co
dawało możliwość pomiaru oporu na różnych częściach próbki. Ponownie pomiary dały opór
równy zeru, a na żadnym z badanych odcinków nie udało się odszukać zwarcia. Eksperyment
był powtarzany wielokrotnie, aż któregoś razu jeden z asystentów, mający obowiązek kontrolowania wskazań manometru podłączonego do aparatury, zasnął. Ciśnienie par helu w kriostacie
musiało być trochę niższe niż atmosferyczne, dzięki czemu sączące się przez nieszczelności do
wnętrza powietrze zamarzało i uszczelniało aparaturę. Ponieważ nikt nie kontrolował wskazań
13
Rysunek 1: Wykres zrobiony przez Heike Kamerlingha Onnesa - opór badanej próbki rtęci jako
funkcja temperatury.
manometru, ciśnienie zaczęło powoli rosnąć, a wraz z nim i temperatura. Gdy przekroczyła 4.2
K, Holst stwierdził gwałtowny skok wskazań galwanometru, który sygnalizował pojawienie się
oporu. Fakt ten potwierdził przekonanie Onnesa, że w temperaturze około 4.2 K opór rtęci naprawdę znikał. Stan, w którym opór metalu jest równy zero, nazwał stanem nadprzewodzącym,
a swoje odkrycie opublikował pod koniec 1911 roku w pracy pod tytułem ”O nagłej zmianie
szybkości znikania oporu rtęci”. Kolejne doświadczenia, z cyną oraz ołowiem, pokazały, że
nie tylko rtęć w odpowiednio niskiej temperaturze przechodzi w stan nadprzewodzący. Heike
Kamerlingh Onnes, który od razu zaczął myśleć nad zastosowaniem nowo odkrytego zjawiska,
mocno się jednak rozczarował, gdy odkrył, że słabe pola magnetyczne potrafią zniszczyć nadprzewodnictwo. Oznaczało to, że pomimo braku oporu, przez przewodnik mógł płynąć bardzo
niewielki prąd. Dopiero w ostatnich latach odkryto i rozpoczęto produkcję materiałów nadprzewodzących prądu o dużych natężeniach w silnych polach magnetycznych, co pozwala obecnie
myśleć o zastosowaniu nadprzewodnictwa nie tylko w medycynie (urządzenie do obrazowania
metodą rezonansu magnetycznego), ale także do konstrukcji nadprzewodzących linii energetycznych, czy pojawiających się do tej pory jedynie w książkach science-fiction lewitujących
pociągów.
1.2. Właściwości stanu nadprzewodzącego
Odkryte przez Heike Kamerlingha Onnesa zjawisko nadprzewodnictwa pozostawało dla naukowców zagadką przez prawie pół wieku. W tym czasie próbą teoretycznego opisu tego zja14
wiska zajmowało się wielu wybitnych fizyków, między innymi Richard Feynman, Werner Heisenberg, Niels Bohr czy sam Albert Einstein, jednak żadnemu z nich nie udało się wyjaśnić,
dlaczego niektóre materiały przewodzą w niskich temperaturach prąd bez oporu. Dopiero kolejne odkrycia związane z nadprzewodnikami pozwoliły na sformułowanie opisu teoretycznego
zjawiska nadprzewodnictwa. Jednym z nich było odkrycie w 1933 roku przez Walthera Meissnera i Roberta Ochsenfelda zjawiska, nazwanego potem efektem Meissnera. Efekt ten polega
na całkowitym wypychaniu pola magnetycznego z wnętrza nadprzewodnika w momencie przejścia przez punkt zwany temperaturą krytyczną. Zewnętrzne pole magnetyczne wnika jedynie
do cienkiej warstwy przy powierzchni nadprzewodnika. Zjawisko to sugeruje, że elektrony w
nadprzewodniku wytwarzają wewnętrzne pole magnetyczne, które neutralizuje zewnętrzne pole
magnetyczne.
Rysunek 2: Efekt Meissnera dla nadprzewodzącej kuli.
Między nadprzewodnikiem a idealnym przewodnikiem o zerowym oporze istnieje więc znacząca różnica - w temperaturze powyżej temperatury krytycznej w obydwu materiałach linie
indukcji magnetycznej B przechodzą przez te materiały, jednak przy obniżeniu temperatury
poniżej temperatury krytycznej linie indukcji magnetycznej zostaną wypchnięte jedynie z nadprzewodnika. Efekt ten stał się kryterium określającym, czy dany materiał o zerowym oporze
elektrycznym można nazywać nadprzewodnikiem. Podstawowymi cechami nadprzewodników
są więc zerowy opór oraz idealny diamagnetyzm.
Umieszczenie nadprzewodnika w silnym polu magnetycznym powoduje przejście do stanu
normalnego. Istnieje więc wartość krytycznego pola magnetycznego HC , poniżej której dany materiał jest nadprzewodnikiem. Wartości HC dla nadprzewodników I rodzaju są tak małe, że nie
mają one praktycznego zastosowania w życiu codziennym. Dopiero znacznie później zaobserwowano materiały zachowujące się nieco odmiennie. W 1957 roku Aleksiej Abrikosow wprowadził
pojęcie nadprzewodników II rodzaju. W nadprzewodnikach takich opór elektryczny zanika stopniowo w przedziale temperatur TC1 < T < TC2 . Jednocześnie nadprzewodniki takie posiadają
dwie wartości krytycznego pola magnetycznego HC1 i HC2 . Po przyłożeniu zewnętrznego pola
15
z zakresu HC1 < H < HC2 materiały te wykazują zerowy opór, jednak indukcja magnetyczna
wewnątrz takiego nadprzewodnika jest różna od zera. Oznacza to, że efekt Meissnera jest niepełny - strumień magnetyczny wnika do wnętrza nadprzewodnika w postaci wirów tworzących
tzw. sieć Abrikosowa o strukturze heksagonalnej. Wartość HC2 jest zwykle znacznie większa
od wartości HC1 , dzięki czemu materiały te znajdują szerokie zastosowanie praktyczne, między
innymi w magnesach nadprzewodnikowych.
Kolejnymi badaniami, które miały znaczny udział w sformułowaniu teoretycznego opisu nadprzewodnictwa były badania poświęcone entropii i ciepłu właściwemu. Entropia stanu nadprzewodzącego jest znacznie mniejsza, niż entropia stanu normalnego, co można zbadać, gdyż
poniżej TC każdy materiał może zostać przeprowadzony ze stanu nadprzewodzącego do stanu
normalnego poprzez przyłożenie zewnętrznego pola magnetycznego silniejszego niż wartość krytycznego pola magnetycznego danego materiału. Ponieważ entropia jest miarą nieporządku w
układzie, oznacza to, że stan nadprzewodzący jest stanem bardziej uporządkowanym. Także
zależności temperaturowe ciepła właściwego materiału w stanie normalnym i stanie nadprzewodzącym poniżej temperatury krytycznej TC różnią się od siebie.
Rysunek 3: Wykres ciepła właściwego galu w stanie normalnym i nadprzewodzącym.
Na ciepło właściwe składa się część elektronowa, sieciowa i, w niskich temperaturach, jądrowa kwadrupolowa. Składowa elektronowa w stanie normalnym zależy liniowo od tempera16
tury, natomiast w stanie nadprzewodzącym - wykładniczo od
1
T.
Zmiana charakteru zależności
elektronowego ciepła właściwego sugeruje, iż ogromny udział w nadprzewodnictwie mają elektrony. Jednocześnie wykładniczy charakter zależności wskazuje na to, że przy wzroście temperatury elektrony wzbudzane są przez przerwę energetyczną (przerwa ta ma zupełnie inny charakter niż przerwa energetyczna w izolatorach). Przerwa energetyczna jest charakterystyczną cechą
stanu nadprzewodzącego. Natomiast nieciągłość ciepła właściwego w temperaturze przejścia TC
świadczy o tym, że przejście ze stanu normalnego do stanu nadprzewodzącego jest przejściem
fazowym II rodzaju, w którym to przejściu nie ma ciepła przemiany. Ponadto, gdy temperatura
dąży do temperatury krytycznej TC , przerwa energetyczna maleje do zera w sposób ciągły.
Innym odkryciem, które miało fundamentalne znaczenie dla powstania teorii nadprzewodnictwa, było odkrycie w 1950 roku tak zwanego efektu izotopowego. Efekt ten polega na tym, że
temperatura krytyczna TC pierwiastków nadprzewodzących zależy od masy izotopowej jonów
sieci. Oznacza to, że temperatura krytyczna zmienia się w sposób płynny, gdy do materiału z
danego pierwiastka dodajemy różne izotopy tego samego pierwiastka. Wzorem, który dobrze
opisuje obserwowane doświadczalnie zależności, jest wzór
M α TC = constans,
gdzie α jest współczynnikiem otrzymanym z dopasowania do danych doświadczalnych. Opisywana przez ten wzór zależność temperatury krytycznej od masy izotopowej M sugeruje,
iż związek między nadprzewodnictwem a drganiami sieci krystalicznej, czyli oddziaływaniami
elektron-fonon, jest bardzo silny.
Odkrycia te, oraz wnioski za nimi idące, pozwoliły na stworzenie w 1957 roku przez Johna
Bardeena, Leona Coopera i Roberta Schrieffera kwantowej teorii nadprzewodnictwa, za którą
otrzymali oni w 1972 roku nagrodę Nobla.
1.3. Nowe fakty i odkrycia
Teoria BCS, która opiera się na założeniu, że za powstawanie par elektronowych odpowiadają sprzężenia elektronów z drganiami sieci - fononami, wyjaśnia i opisuje wiele właściwości
nadprzewodników. Jednak ciągłe badania nad kolejnymi związkami, które podejrzewane były o
nadprzewodnictwo w niskich temperaturach, doprowadziły do zaskakujących odkryć - nie we
wszystkich nadprzewodnikach za powstawanie par elektronowych muszą odpowiadać fonony.
W 1979 roku Frank Steglich, badając związek CeCu2 Si2 , stwierdził, że rolę bozonów pośredniczących w tym związku pełnią magnony, czyli kwazicząstki opisujące elementarne wzbudzenia
magnetyczne (spinowe). Wzbudzenia te, w wyniku wzajemnych oddziaływań między spinami,
mogą propagować się w krysztale jako fale, nazywane falami spinowymi. Wniosek Steglicha,
płynący z przesłanek doświadczalnych - proporcjonalności oporu powyżej temperatury krytycznej TC do T 2 , co sugerowało, że dominującym oddziaływaniem w tym związku jest rozpraszanie
kulombowskie elektronów między sobą, oraz tego, że energia Fermiego jest mniejsza od energii
17
~ωD drgań sieci krystalicznej, wzbudził wiele kontrowersji i nie został łatwo zaakceptowany,
jednak odkrycie pierwszego nadprzewodnika niefononowego stało się podstawą do stworzenia
nowych koncepcji odnośnie bozonów pośredniczących w tworzeniu par w nadprzewodnikach.
Odkrycie to, nazwane później nadprzewodnictwem cieżkofermionowym, polega na silnej korelacji zachowania elektronów z pasma przewodnictwa. W wyniku wzajemnych oddziaływań
kulombowskich elektronów, ich masa efektywna wzrasta wielokrotnie w stosunku do masy elektronu swobodnego. Wzrost masy elektronu ma bardzo duży wpływ na ruch elektronów. Obecnie uważa się, że za nadprzewodnictwo mogą odpowiadać bardzo różne bozony pośredniczące,
między innymi fonony, magnony, ekscytony, anyony czy polarony.
W 1986 roku Georg Bednorz i Alex Muller, zatrudnieni w laboratorium IBM w Zurychu,
badali szczególny rodzaj materiałów - ceramiczne związki tlenków o strukturze perowskitu.
Odkryli wtedy nadprzewodnik o rekordowo wysokiej, jak na tamte czasy, temperaturze krytycznej, która przekraczała maksymalną temperaturę krytyczną dopuszczaną przez teorię BCS.
Ich odkrycie, które stało się inspiracją dla innych naukowców, zapoczątkowało rewolucję nadprzewodnikową - niedługo później odkryto wiele związków o bardzo wysokich temperaturach
krytycznych. Ten rodzaj nadprzewodnictwa, który cechuje się wysokimi temperaturami i polami krytycznymi, nazwany został nadprzewodnictwem wysokotemperaturowym. Mechanizm
odpowiadający za nadprzewodnictwo w materiałach będących nadprzewodnikami wysokotemperaturowymi do tej pory nie jest całkowicie zrozumiały, choć wiele wskazuje na to, że jest on
związany z warstwową budową struktury krystalicznej. Nie wiadomo natomiast, czy za nadprzewodnictwo wysokotemperaturowe może odpowiadać sprzężenie elektron-fonon, tworzące pary
Coopera w nadprzewodnikach klasycznych. Warto w tym miejscu wspomnieć o odkryciach nadprzewodnictwa w następujących materiałach: BaP b0.75 Bi0.25 O3 o TC = 12K, La1.85 Ba0.15 CuO4
o TC = 36K, Y Ba2 Cu3 O7 o TC = 90K czy T l2 Ba2 Ca2 Cu3 O10 o TC = 120K. Obecnie najwyższą temperaturą krytyczną TC = 138K posiada odkryty w 1995 roku związek o wzorze
(Hg0.8 Tl0.2 ) Ba2 Ca2 Cu3 O8.33 . Wszystkie te związki wykazują silną anizotropię wielu właściwości.
W 1995 roku Ericowi Cornellowi oraz Carlowi Wiemanowi, po raz pierwszy w historii, udało
się zaobserwować kondensację Bosego-Einsteina w gazie. Eksperyment ten polegał na ochłodzeniu 2000 spułapkowanych atomów rubidu do temperatury rzędu ułamka kelwina, dzięki czemu
atomy na około 10 sekund straciły swoje indywidualne właściwości i zaczęły zachowywać się
jak jeden ”superatom”. Od tamtego czasu prowadzone są intensywne badania nad tym stanem
skupienia, jednak dopiero w 2003 roku Deborah Jin udało się otrzymać kondensat złożony z
atomów typu fermionowego. Otrzymanie takiego kondensatu było znacznie trudniejsze z powodu zakazu Pauliego, obowiązującego ten rodzaj cząstek - dwa fermiony nie mogą obsadzać
jednego stanu kwantowego. Zamiast tego zapełniają najbardziej korzystne energetycznie stany,
tworząc tak zwane ”morze”Fermiego. Eksperyment przeprowadzony przez Deborah Jin polegał
na ochłodzeniu 5 · 105 atomów potasu do temperatury 5 · 10−8 K i przyłożeniu zewnętrznego
pola magnetycznego. Dzięki temu udało się zmusić atomy typu fermionowego do utworzenia
18
par - molekuł o charakterze bozonowym, które uległy kondensacji. Obecnie do badania tego
mechanizmu kondensacji wykorzystuje się atomy potasu
40 K
lub litu 6 Li.
Najnowsze badania nad spułapkowanymi atomami typu fermionowego pozwalają naukowcom na kontrolowanie oddziaływań między atomami. Dzieje się tak dzięki wykorzystaniu tak
zwanych magnetycznych rezonansów Feshbacha. Przy pewnych wartościach pola magnetycznego, relatywnie mała zmiana wartości tego pola, może spowodować dużą zmianę siły, a a
nawet zmianę charakteru oddziaływań. Dzięki temu, przed naukowcami otworzyły się całkowicie nowe możliwości badań nad zachowaniem fermionów - charakter oddziaływań między
atomami może zostać gwałtownie zmieniony na przykład z odpychającego na przyciągające. Ponieważ jego wartość można zmieniać w ciągły sposób, to pozwala to badać procesy zależne od
czasu.
Rysunek 4: Ilustracja przykładowego rezonansu Feshbacha.
Oddziaływanie między dwoma atomami może być opisane za pomocą długości rozpraszania
a, przedstawionej na Rysunku 4 w zależności od przyłożonego pola magnetycznego w pobliżu
rezonansu Feshbacha B0 . Po tak zwanej stronie BEC (B < B0 ), dla której a > a0 , oddziaływania
między atomami są odpychające. W trakcie zderzeń między atomami, mogą one utworzyć na
19
krótką chwilę molekułę. Jeżeli moment magnetyczny tak utworzonej molekuły różni się od
momentu magnetycznego niezwiązanych atomów, można spowodować, zmieniając wartość pola
magnetycznego, iż stan związany jest bardziej korzystny energetycznie niż stan niezwiązany.
Molekuła utworzona z dwóch fermionów ma charakter bozonowy, dzięki czemu mogą one ulec
kondensacji Bosego-Einsteina (BEC). Po stronie BCS (B > B0 ), dla której długość rozpraszania
a < a0 , oddziaływania między atomami są przyciągające. Atomy mogą jednak nadal tworzyć
parę, która jest luźno związana, a której rozmiary porównywalne są do średnich odległości
między cząstkami. Kondensat Bosego-Einsteina takich ”kruchych” par nazywany jest stanem
BCS, od nazwisk Bardeena, Coopera i Schrieffera, ponieważ dokładnie taka sytuacja występuje
w nadprzewodnikach.
Rezonanse Feshbacha dają więc nie tylko możliwość manipulowania wartością oddziaływań
między fermionami w czasie, ale również są doskonałym medium testowania, przeprowadzanych do tej pory jedynie teoretycznie, rozważań na temat zagadnienia ciągłego przejścia od
nadprzewodnictwa BCS luźno związanych par do nadciekłości BEC par lokalnych.
20
Rozdział 2
Mikroskopowa teoria BCS
W 1957 roku John Bardeen, Leon Cooper i Robert Schrieffer podali podstawy mikroskopowej
teorii wyjaśniającej zjawisko nadprzewodnictwa, oraz przewidującej kolejne efekty związane z
nadprzewodnikami, za którą to teorię otrzymali w 1972 roku nagrodę Nobla. Pomimo, że w oryginalnej pracy bozonami pośredniczącymi w przekazywaniu oddziaływania odpowiedzialnego
za powstawanie par były fonony, to uwzględnienie różnych mechanizmów parowania cząstek
pozwala rozszerzyć zakres stosowalności teorii BCS na znacznie szerszy obszar, niż nadprzewodniki klasyczne - od skondensowanej fazy 3 He, poprzez nadprzewodzące pierwiastki i związki
chemiczne, aż do tlenkowych nadprzewodników wysokotemperaturowych.
2.1. Zjawisko powstawania par fermionowych
Podstawowym założeniem teorii BCS jest dopuszczenie możliwości łączenia się w pary nośników ładunku w przewodniku. Inspiracją do takiego założenia był wynik teoretyczny otrzymany przez Herberta Fröhlicha w 1950 roku. Fröhlich, tuż po odkryciu efektu izotopowego,
zaczął zastanawiać się, dlaczego temperatura krytyczna zależy od masy izotopowej jonów sieci.
Stwierdził wtedy, że kwant drgania sieci, fonon, musi odgrywać kluczową rolę w mechanizmie
prowadzącym do nadprzewodnictwa. Rozważając sytuację, w której jeden z elektronów emituje
kwant drgania sieci krystalicznej, który następnie jest absorbowany przez inny elektron, doszedł
do wniosku, że istnieją pewne warunki, dla których to oddziaływanie między elektronami może
być przyciągające! Dzieje się tak dla elektronów posiadających energię bardzo bliską energii Fermiego. Jednak wynik teoretyczny Fröhlicha, pomimo że obiecujący i dający wyjaśnienie efektu
izotopowego, nie pozwalał wytłumaczyć, w jaki sposób oddziaływanie przyciągające może odgrywać rolę w nadprzewodnikach, skoro oddziaływanie kulombowskie między elektronami jest
znacznie silniejsze. Nad problemem tym zaczął zastanawiać się Johna Bardeen, który doszedł do
wniosku, że odpowiedź tkwi w ośrodku - jeżeli uwzględnimy wpływ ekranowania oddziaływań
elektron-elektron oraz elektron-jon, to właśnie obecność jonów sieci krystalicznej sprawia, iż
oddziaływania między elektronami mogą być przyciągające. Leon Cooper pokazał, że przyciąganie to może, w niskich temperaturach, spowodować niestabilność powierzchni Fermiego stanu
21
normalnego ze względu na tworzenie par elektronów o przeciwnym pędzie i spinie. Oznacza to,
że w niskich temperaturach ciecz zbudowana z elektronów przewodnictwa, które powiązane są
ze sobą w pary - kwazicząstki o charakterze bozonowym, ulega kondensacji Bosego-Einsteina
i przechodzi w stan nadciekły. Kondensacja Bose-Einsteina par elektronowych i ich przejście
do stanu nadciekłego obserwowane jest jako zanik oporu elektrycznego. W tym momencie teoria wyjaśniająca zjawisko nadprzewodnictwa była praktycznie gotowa, i powstała, gdy Robert
Schrieffer zastosował podejście wykorzystywane wcześniej dla polaronów do zagadnienia oddziałujących par elektronowych - par Coopera.
Z teorii BCS wynika wiele właściwości stanu nadprzewodzącego - między innymi tłumaczy ona dlaczego w nadprzewodnikach powstaje przerwa energetyczna. Dzieje się tak dlatego,
iż elektron, poruszając się w ośrodku, oddziałuje z siecią krystaliczną powodując jej deformację. Ponieważ elektron porusza się znacznie szybciej niż jony sieci krystalicznej powracają do
stanu równowagi, to w miejscu deformacji powstaje lokalne zagęszczenie ładunku dodatniego,
przez które przyciągany jest drugi elektron. Oddziaływanie przyciągające między elektronami
realizowane jest więc za pomocą deformacji sieci krystalicznej - fononu. W wyniku takiego
oddziaływania powstaje stan związany - para Coopera. Aby rozdzielić parę Coopera na dwa
niezależne elektrony potrzebna jest skończona wartość energii. Oznacza to, że w układzie istnieje
przerwa energetyczna dla wzbudzeń jednoelektronowych.
2.2. Transformacja Bogoliubova-Valatina
Od momentu opublikowania teorii BCS minęło już prawie pół wieku. Na przełomie tego
czasu opracowano wiele sposobów rozwiązania zagadnienia BCS, ale jedną z najbardziej znanych i prawdopodobnie najprostszą metodą, pozostaje wprowadzenie transformacji kanonicznej,
która diagonalizuje elementy macierzowe hamiltonianu. Transformacja ta nazwana jest transformacją Bogoliubova-Valatina [2]. W tym rozdziale pokażemy w jaki sposób zdefiniować taką
transformację i jak za jej pomocą otrzymać równania teorii BCS. Rozważać będziemy układ
cząsteczek typu fermionowego, który opisywany jest hamiltonianem
ĤBCS = ĤKIN + ĤP OT =
X
ξk ĉ†k,σ ĉk,σ −
k,σ=↑,↓
X
k,k0 ,q,σ,σ
0
Vk,k0 (q) ĉ†k0 +q,σ0 ĉk0 ,σ0 ĉ†k−q,σ ĉk,σ .
(1)
W teorii opisującej zagadnienie wielu ciał wygodnie jest mierzyć energię względem poziomu
Fermiego, dlatego do hamiltonianu wprowadziliśmy energię ξk = ek − µ. Ponieważ powyższy
hamiltonian nie jest rozwiązywalny w sposób ścisły, dlatego w naszych dalszych rozważaniach
zmuszeni jesteśmy do ograniczenia rozwiązania i wykonania przybliżeń. Pierwsze przybliżenie
polegać będzie na pozostawieniu w członie oddziaływania tylko tej części, dla której oddziaływanie między fermionami jest przyciągające i prowadzi do powstawania par. Dzieje się tak w
przypadku, w którym całkowity pęd pary jest równy k + k 0 = 0, a fermiony tworzące parę mają
przeciwne spiny. Dla wygody przyjmiemy również, że elementy macierzowe oddziaływania są
22
sobie równe (Vk,k0 (q) = V ). Możemy więc przepisać hamiltonian (1) jako
ξk ĉ†k,σ ĉk,σ − V
X
ĤBCS =
X
ĉ†k0 ,↑ ĉ†−k0 ,↓ ĉ−k,↓ ĉk,↑ .
(2)
k,k0
k,σ=↑,↓
Hamiltonian ten jest nazywany zredukowanym hamiltonianem BCS. Stanem podstawowym dla
tego hamiltonianu jest stan
Φ0 =
Y
uk + vk ĉ†k,↑ ĉ†−k,↓ Φvac ,
(3)
k
gdzie Φvac jest stanem próżni a uk i vk są współczynnikami liczbowymi.
†
Ideą transformacji Bogoliubova-Valatina jest wprowadzenie nowych operatorów γ̂k,σ
i γ̂k,σ ,
za pomocą których wyrazimy stare operatory ĉ†k,σ i ĉk,σ , a następnie sprawdzenie, jakie wa†
runki muszą spełniać te operatory, by diagonalizowały hamiltonian. Nowe operatory γ̂k,σ
i γ̂k,σ
wprowadzimy w następujący sposób [3]
†
γ̂k,↑
≡ uk ĉ†k,↑ − vk ĉ−k,↓ ,
(4)
γ̂−k,↓ ≡ uk ĉ−k,↓ + vk ĉ†k,↑ .
(5)
Sprzężenie hermitowskie wprowadzonych równań da nam
†
†
γ̂k,↑
= γ̂k,↑ = u∗k ĉk,↑ − vk∗ ĉ†−k,↓ ,
(6)
†
(γ̂−k,↓ )† = γ̂−k,↓
= u∗k ĉ†−k,↓ + vk∗ ĉk,↑ .
(7)
W tym miejscu, dla wygody, zakładamy, że współczynniki uk i vk są wielkościami rzeczywistymi
(czyli uk = u∗k i vk = vk∗ , chociaż w ogólności tak być nie musi). Dzięki temu otrzymamy, że
γ̂k,↑ = uk ĉk,↑ − vk ĉ†−k,↓ ,
(8)
†
γ̂−k,↓
= uk ĉ†−k,↓ + vk ĉk,↑ .
(9)
Operatory γ̂ † i γ̂ nazywane są operatorami Bogoliubova-Valatin’a. Jak sugeruje notacja, opera†
†
tory γ̂k,↑
oraz γ̂−k,↓
kreują kwazicząstki w stanie odpowiednio k ↑ i −k ↓, natomiast operatory
γ̂k,↑ oraz γ̂−k,↓ annihilują kwazicząstki będące w tych stanach. Ponieważ wprowadzona transformacja ma być transformacją kanoniczną, to od wprowadzonych operatorów będziemy wymagali,
by były one operatorami fermionowymi (tak jak operatory ĉ). Z zasad antykomutacyjnych dla
tych operatorów
n
o
= 0,
(10)
n
o
= 0,
(11)
= δk,k0 δσ,σ0 ,
(12)
γ̂k,σ , γ̂k0 ,σ0
†
γ̂k,σ
, γ̂k†0 ,σ0
n
†
γ̂k,σ
, γ̂k0 ,σ0
o
23
wynika własność na współczynniki uk i vk
u2k + vk2 = 1.
(13)
Zbudujmy teraz transformację odwrotną do transformacji Bogoliubova-Valatin’a. Zrobimy to
dodając i odejmując stronami równania (4) i (5) oraz równania (8) i (9), a następnie korzystając
z równania (13). W wyniku tej operacji otrzymamy
†
ĉ†k,↑ = uk γ̂k,↑
+ vk γ̂−k,↓ ,
(14)
†
ĉ−k,↓ = uk γ̂−k,↓ − vk γ̂k,↑
,
(15)
†
ĉ†−k,↓ = uk γ̂−k,↓
− vk γ̂k,↑ ,
(16)
†
ĉk,↑ = uk γ̂k,↑ + vk γ̂−k,↓
.
(17)
Transformacje Bogoliubova-Valatin’a i transformacje do nich odwrotne możemy zapisać w postaci macierzowej


†
γ̂k,↑

γ̂−k,↓

ĉ†k,↑

ĉ−k,↓

=

uk −vk

ĉ†k,↑
vk

ĉ−k,↓

=
uk
uk
vk
−vk uk


†
γ̂k,↑
γ̂−k,↓

(18)
,

(19)
.
Pomimo ograniczenia członu oddziaływania tylko do części związanej z przyciąganiem fermionów, hamiltonian nadal nie jest rozwiązywalny w sposób ścisły. Dokonamy więc jeszcze jednego
przybliżenia, zwanego przybliżeniem średniego pola
ÂB̂ ' hÂiB̂ + ÂhB̂i − hÂihB̂i.
(20)
Część potencjalna zredukowanego hamiltonianu BCS (2) wyrazi się jako
ĤP OT
ĉ†k0 ,↑ ĉ†−k0 ,↓ ĉ−k,↓ ĉk,↑ '
= −V
X
' −V
Xh
k,k0
i
hĉ†k0 ,↑ ĉ†−k0 ,↓ iĉ−k,↓ ĉk,↑ + ĉ†k0 ,↑ ĉ†−k0 ,↓ hĉ−k,↓ ĉk,↑ i .
(21)
k,k0
Wprowadźmy teraz następujący parametr
∆=V
X
hĉ−k,↓ ĉk,↑ i.
(22)
k
Sprzężenie hermitowskie tego parametru daje
∆∗ = V
X
hĉ†k,↑ ĉ†−k,↓ i.
(23)
k
Równania (22) i (23) przekształci część potencjalną hamiltonianu BSC (21) do postaci
ĤP OT = −
X
∆∗ ĉ−k,↓ ĉk,↑ −
X
k0
k
24
∆ĉ†k0 ,↑ ĉ†−k0 ,↓ .
(24)
W tym miejscu założymy, że parametr ∆ jest wielkością rzeczywistą, co daje
ĤP OT = −
X
i
h
∆ ĉ−k,↓ ĉk,↑ + ĉ†k,↑ ĉ†−k,↓ .
(25)
k
Następnym krokiem będzie podstawienie nowych operatorów γ̂ za stare operatory ĉ, wykorzystując w tym celu wprowadzoną transformację kanoniczną i jednocześnie przyjmując, że
uk = u−k , vk = v−k oraz ξk = ξ−k . Podstawienie to sprawi, że równanie (25) przyjmie postać
ĤP OT
= −
X
= −
X
i
h
∆ ĉ−k,↓ ĉk,↑ + ĉ†k,↑ ĉ†−k,↓ =
k
†
∆ uk γ̂−k,↓ − vk γ̂k,↑
†
+
uk γ̂k,↑ + vk γ̂−k,↓
k
−
X
†
∆ uk γ̂k,↑
+ vk γ̂−k,↓
†
uk γ̂−k,↓
− vk γ̂k,↑ =
k
= −
†
†
∆2uk vk γ̂−k,↓ γ̂−k,↓
− γ̂k,↑
γ̂k,↑ +
X
k
−
X
∆ u2k − vk2
†
†
γ̂k,↑
γ̂−k,↓
+ γ̂−k,↓ γ̂k,↑ =
k
= 2
X
†
†
γ̂k,↓ +
∆uk vk γ̂k,↑
γ̂k,↑ − 1 + γ̂k,↓
k
−
X
∆
u2k
−
vk2
†
†
γ̂k,↑
γ̂−k,↓
+
†
†
†
γ̂k,↑
γ̂−k,↓
=
k
= −2
X
∆uk vk + 2
k
−
X
†
∆uk vk γ̂k,σ
γ̂k,σ +
X
k,σ=↑,↓
∆ u2k − vk2
†
†
†
†
γ̂k,↑
γ̂−k,↓
+ γ̂k,↑
γ̂−k,↓
† (26)
.
k
Część kinetyczna zredukowanego hamiltonianu BCS (2), po postawieniu nowych operatorów,
może zostać przekształcona do postaci
ĤKIN
ξk ĉ†k,σ ĉk,σ =
X
=
k,σ=↑,↓
+
X
ξk
X
†
ξk uk γ̂k,↑
+ vk γ̂−k,↓
†
uk γ̂k,↑ + vk γ̂−k,↓
+
k
†
uk γ̂k,↓
− vk γ̂−k,↑
†
uk γ̂k,↓ − vk γ̂−k,↑
=
k
†
ξk u2k γ̂k,σ
γ̂k,σ +
X
=
k,σ=↑,↓
+
X
†
ξk vk2 γ̂−k,σ γ̂−k,σ
+
X
k,σ=↑,↓
ξk uk vk
†
†
γ̂k,↑
γ̂−k,↓
+
†
+ †
γ̂k,↑
γ̂−k,↓
+
k
X
ξk uk vk
†
†
γ̂−k,↑
γ̂k,↓
+
†
†
†
γ̂−k,↑
γ̂k,↓
=
k
= 2
X
+ 2
X
X
ξk vk2 +
k
†
ξk u2k − vk2 γ̂k,σ
γ̂k,σ +
k,σ=↑,↓
ξk uk vk
†
†
γ̂k,↑
γ̂−k,↓
+
†
†
†
γ̂k,↑
γ̂−k,↓
.
(27)
k
Cały hamiltonian, po wykonaniu przybliżenia średniego pola i w formalizmie nowych operato25
rów γ̂ możemy zapisać jako
ĤBCS = 2
X
ξk vk2 − ∆uk vk +
k
+
Xh
X †
ξk u2k − vk2 + 2∆uk vk γ̂k,σ
γ̂k,σ +
k,σ=↑,↓
2ξk uk vk − ∆
u2k
−
vk2
i †
†
γ̂k,↑
γ̂−k,↓
+
†
†
†
γ̂k,↑
γ̂−k,↓
(28)
.
k
Ponieważ ze wszystkich możliwych transformacji poszukujemy transformacji diagonalizującej
elementy macierzowe otrzymanego hamiltonianu, będziemy musieli narzucić na otrzymany hamiltonian warunek na zerowanie się elementów niediagonalnych. Oznacza to, że wprowadzając
nowe, kwazicząstkowe operatory, założymy, że kwazicząstki poruszają się w potencjale uśrednionym, nie oddziałując między sobą (są swobodne). Spełnione więc musi być następujące
równanie
2ξk uk vk − ∆ u2k − vk2 = 0.
(29)
Z warunków na zachowanie charakteru fermionowego cząstek i na diagonalizację hamiltonianu
otrzymujemy układ równań



u2k + vk2 = 1,
(30)

ξ

u2k − vk2 = 2 ∆k uk vk ,
który to układ równań będziemy starali się rozwiązać. Możemy to zrobić przekształcając drugie
równanie układu (30) do postaci
2uk vk =
∆ 2
uk − vk2 ,
ξk
(31)
a następnie podnosząc obydwie strony otrzymanego równania do kwadratu i dzieląc przez
2
u2k − vk2 , co daje
∆2
4u2k vk2
=
2 .
2
ξk
u2k − vk2
(32)
Wielkość 2u2k vk2 możemy rozpisać jako
2u2k vk2 = u2k vk2 + u2k vk2 = u2k 1 − u2k + 1 − vk2 vk2 = 1 − u4k + vk4 =
= 1 − u2k − vk2
2
− 2u2k vk2 ,
(33)
co pozwoli nam zapisać 4u2k vk2 występujące w liczniku równania (32) jako
4u2k vk2 = 1 − u2k − vk2
2
.
Dzięki temu zabiegowi otrzymujemy, że
∆2
1
=
2 − 1,
2
2
ξk
uk − vk2
26
(34)
Przenosząc jedynkę na drugą stronę równania i zapisując lewą stronę w postaci jednego ułamka,
następnie zamieniając miejscami liczniki ułamków z mianownikami i pierwiastkując obydwie
strony otrzymamy równość
ξk
.
u2k − vk2 = q
∆2 + ξk2
(35)
Z otrzymanego równania oraz z pierwszego równania układu równań (30) otrzymamy rozwiązanie na współczynniki u2k i vk2


2


uk =
1
2
√
ξk
∆2 +ξk2
+ 12 ,
(36)

ξk
1
1
2


vk = − 2 √∆2 +ξ 2 + 2 .
k
Teraz, porównując stronami równania na u2k − vk2 , możemy napisać, że
ξk
=2
q
∆2 + ξk2
ξk
uk vk ,
∆
(37)
dzięki czemu otrzymamy informację o tym, ile wynosi 2uk vk
ξk
2uk vk = q
∆
∆2 +
ξk2 ξk
(38)
.
Możemy teraz wrócić do hamiltonianu (28) i wykorzystać powyższe rozważania, podstawiając
otrzymane wielkości. Dzięki temu hamiltonian przyjmie następującą postać
ĤBCS =
X
X 2vk (ξk vk − ∆uk ) +
k
†
ξk u2k − vk2 + 2∆uk vk γ̂k,σ
γ̂k,σ
(39)
k,σ=↑,↓
2.3. Wielkości charakterystyczne dla stanu BCS
Dzięki wprowadzonej w tym rozdziale transformacji kanonicznej Bogoliubova-Valatina możemy policzyć pewne, charakterystyczne dla stanu nadprzewodzącego, wielkości. Oznaczmy
†
człon stojący przy operatorach γ̂k,σ
γ̂k,σ przez Ek i policzmy, ile on wyniesie
q
∆2 + ξk2
Ek = ξk u2k − vk2 + 2∆uk vk = ± q
= ± ∆2k + ξk2 .
∆2 + ξk2
(40)
W rozwiązaniu tym wybieramy wynik ze znakiem dodatnim. Powodem takiego wyboru jest to,
iż energia Ek jest energią wzbudzenia jednej kwazicząstki i musi być do układu dostarczona.
W poprzedniej części tego rozdziału zdefiniowaliśmy parametr porządku ∆ (22) jako
∆=V
X
hĉ−k,↓ ĉk,↑ i.
k
Aby policzyć ∆, musimy zastanowić się ile wyniesie hĉ−k,↓ ĉk,↑ i. Wstawmy w miejsce operatorów
ĉ nowe operatory γ̂, co da
ĉ−k,↓ ĉk,↑ =
†
uk γ̂−k,↓ − vk γ̂k,↑
†
vk γ̂−k,↓
+ uk γ̂k,↑ =
†
†
†
†
= uk vk γ̂−k,↓ γ̂−k,↓
− γ̂k,↑
γ̂k,↑ + u2k γ̂−k,↓ γ̂k,↑ − vk2 γ̂k,↑
γ̂−k,↓
.
27
(41)
Korzystając z własności antykomutacyjnych, możemy napisać, że
†
†
†
†
ĉ−k,↓ ĉk,↑ = uk vk 1 − γ̂−k,↓
γ̂−k,↓ − γ̂k,↑
γ̂k,↑ + u2k γ̂−k,↓ γ̂k,↑ − vk2 γ̂k,↑
γ̂−k,↓
.
(42)
Policzmy teraz średnią hĉ−k,↓ ĉk,↑ i w sensie statystycznym, pamiętając, że nowe operatory γ̂ są
†
operatorami fermionowymi. Oznacza to, że hγ̂−k,↓
γ̂−k,↓ i =
1
,
eβEk +1
gdzie β =
1
kB T .
Średnia ta da
nam następujący wynik
†
†
†
†
hĉ−k,↓ ĉk,↑ i = uk vk 1 − hγ̂−k,↓
γ̂−k,↓ i − hγ̂k,↑
γ̂k,↑ i + u2k hγ̂−k,↓ γ̂k,↑ i − vk2 hγ̂k,↑
γ̂−k,↓
i=
1
= uk vk 1 −
eβEk + 1
1
−
eβEk + 1
= uk vk (1 − 2fF D ) ,
Korzystając z równań (38) i (40) możemy napisać, że uk vk =
∆
2Ek .
(43)
Wstawmy tą wielkość do
równania na średnią
∆
∆ eβEk − 1
,
(1 − 2fF D ) =
2Ek
2Ek eβEk + 1
hĉ−k,↓ ĉk,↑ i =
co po wstawieniu w miejsce średniej do równania na parametr porządku ∆ = V
(44)
†
†
k hĉk,↑ ĉ−k,↓ i
P
da wynik
∆=V
X ∆ eβEk − 1
2Ek eβEk + 1
k
=V
Ek
tanh
2Ek
2kB T
X ∆
k
.
(45)
Otrzymaliśmy więc równanie na parametr porządku. Równanie to posiada dwa rozwiązania trywialne ∆ = 0 oraz nietrywialne ∆ 6= 0. Rozwiążmy to równanie w przypadku nietrywialnym
dla T = 0 [5]. Równanie na parametr porządku przyjmie wtedy postać
∆
X
∆=V
q
k0
2 ∆2 + ξk20
(46)
.
Podzielmy obydwie strony równania (46) przez ∆ i zastąpmy sumowanie całkowaniem
Z
∞
1=V
−∞
1
ρ (ξ) dξ,
2 ∆2 + ξ 2
(47)
p
gdzie ρ (ξ) oznacza gęstość stanów. Ograniczymy całkowanie do przedziału energii < −ωD ; ωD >,
gdzie ωD jest energią rzędu energii Debye’a. Dla tego przedziału gęstość stanów ρ (ξ) można
uznać w przybliżeniu za stałą
ρ (ξ) ' ρ (eF ) = ρF .
(48)
Wstawiając równanie (48) do równania (47) otrzymamy następującą postać całki
1=
V ρF
2
Z
ωD
−ωD
p
1
dξ.
+ ξ2
(49)
∆2
Funkcja podcałkowa jest funkcją symetryczną, więc możemy napisać
1=
V ρF
2
2
Z
0
ωD
1
dξ = V ρF sinh−1
2
∆ + ξ2
p
28
ξ ωD
.
∆ 0
(50)
Dzieląc obydwie strony przez V ρF i licząc funkcję odwrotną
1
ωD
= sinh
∆
V ρF
(51)
,
a następnie przekształcając otrzymane równanie do postaci
ωD
∆=
sinh
1
V ρF
(52)
,
otrzymaliśmy wzór na wartość parametru porządku ∆. Dla V ρF 1 możemy wykonać jeszcze
następujące przybliżenie:
−1
∆ ' 2ωD e V ρF .
(53)
Możemy jeszcze policzyć, ile wynosi liczba cząstek N . W tym celu policzymy hĉ†k,↑ ĉk,↑ i =
hĉ†k,↓ ĉk,↓ i. Wstawmy w miejsce starych operatorów ĉ nowe operatory γ̂, co da
ĉ†k,↑ ĉk,↑ =
†
vk γ̂−k,↓ + uk γ̂k,↑
†
vk γ̂−k,↓
+ uk γ̂k,↑ =
†
†
†
†
γ̂k,↑ .
+ uk vk γ̂−k,↓ γ̂k,↑ + γ̂k,↑
γ̂−k,↓
+ u2k γ̂k,↑
= vk2 γ̂−k,↓ γ̂−k,↓
(54)
Policzmy teraz średnią otrzymanego wyrażenia na ĉ†k,↑ ĉk,↑ w sensie statystycznym
†
†
†
†
hĉ†k,↑ ĉk,↑ i = vk2 hγ̂−k,↓ γ̂−k,↓
i + uk vk hγ̂−k,↓ γ̂k,↑ i + hγ̂k,↑
γ̂−k,↓
i + u2k hγ̂k,↑
γ̂k,↑ i =
=
u2k
−
vk2
fF D +
vk2
1
ξk
= +q
2
∆2 + ξk2

2 − eβEk − 1
2eβEk + 2
!
=

1
ξk
eβEk − 1
= − q
− 1 .
βEk + 1
2
∆2 + ξ 2 e
(55)
k
Powyższe wyrażenie na średnią hĉ†k,↑ ĉk,↑ i możemy zapisać jako
1
ξk
Ek
− q
tanh
2 2 ∆2 + ξ 2
2kB T
k
hĉ†k,↑ ĉk,↑ i
=
(56)
.
Liczba cząstek N jest więc równa
N
=
X
X
hnk,σ i =
k,σ
k

=
X
k
(hnk,↓ i + hnk,↑ i) =
1 − q
ξk
∆2 + ξk2
X
hĉ†k,↑ ĉk,↑ i + hĉ†k,↓ ĉk,↓ i =
k
tanh

Ek 
.
2kB T
(57)
Dzięki wprowadzonej w tym rozdziale metodzie transformacji kanonicznej Bogoliubova-Valatina
udało się nam pokazać niektóre z właściwości zredukowanego hamiltonianu BCS. Otrzymaliśmy również postaci parametrów teorii BCS. Metoda transformacji kanonicznej jest więc bardzo
przydatną, i co najważniejsze - bardzo prostą metodą rozważania właściwości stanu BCS.
29
30
Rozdział 3
Metoda Andersona
3.1. Opis metody
Innym sposobem rozwiązania zagadnienia BCS jest metoda zaproponowana przez P.W. Andersona w 1958 roku [1]. Polega ona na wprowadzeniu operatorów analogicznych do operatorów
spinowych i jest jednym z najbardziej obrazowych sposobów opisu właściwości hamiltonianu
BCS. W tej części mojej pracy pokażę, w jaki sposób definiowane są pseudospiny i jak za pomocą
tego formalizmu można odtworzyć równania teorii BCS. Rozważymy stan podstawowy gazu fermionowego w obecności oddziaływań przyciągających, który jest opisany hamiltonianem
X
ĤBCS = ĤKIN + ĤP OT =
ξk ĉ†k,σ ĉk,σ −
X
Vk,k0 ĉ†k0 +q,↑ ĉk0 ,↑ ĉ†k−q,↓ ĉk,↓ .
(1)
k,k0
k,σ=↑,↓
Energia ξk jest mierzona względem poziomu Fermiego ξk = ek − µ. Dalsze rozważania ograniczymy do przypadku, w którym całkowity pęd pary jest równy k + k 0 = 0. Dla wygody przyjmiemy również, że elementy macierzowe oddziaływania są sobie równe Vk,k0 = V . Możemy
więc przepisać hamiltonian BCS jako
ĤBCS =
X
ξk ĉ†k,σ ĉk,σ − V
X
ĉ†k0 ,↑ ĉ†−k0 ,↓ ĉ−k,↓ ĉk,↑ .
(2)
k,k0
k,σ=↑,↓
Hamiltonian ten jest nazywany zredukowanym hamiltonianem BCS i działa w podprzestrzeni
par tylko na stanach s (↑, ↓). Stanem podstawowym dla tego hamiltonianu jest stan
Φ0 =
Y
uk + vk ĉ†k,↑ ĉ†−k,↓ Φvac ,
(3)
k
gdzie Φvac jest stanem próżni a uk i vk są współczynnikami liczbowymi. Wprowadźmy teraz
operatory pseudospinu, które można powiązać w następujący sposób z operatorami par Coopera
σ̂k+ = ĉ†k,↑ ĉ†−k,↓
(4)
σ̂k− = ĉ−k,↓ ĉk,↑ ,
(5)
31
a które jednocześnie, z definicji [10], są równe
1 x
σ̂k + iσ̂ky
2
1 x
−
σ̂k − iσ̂ky .
σ̂k ≡
2
σ̂k+ ≡
(6)
(7)
Operatory typu spinowego spełniają następujące warunki komutacyjne
h
i
σ̂k+ , σ̂k− = σ̂kz
(8)
1 z +
σ̂ , σ̂ = σ̂k+
2 k k
1
σ̂k− , σ̂kz = σ̂k− ,
2
(9)
(10)
natomiast operatory σ̂kx , σ̂ky i σ̂kz spełniają następujące warunki komutacyjne
σ̂kx , σ̂ky = 2iσ̂kz
(11)
σ̂ky , σ̂k = 2iσ̂kx
(12)
[σ̂kz , σ̂kx ] = 2iσ̂ky ,
(13)
z
oraz antykomutacyjne
σ̂kx , σ̂ky = σ̂ky , σ̂kz = {σ̂kz , σ̂kx } = 0.
(14)
Z własności komutacyjnych (11), (12) i (13) oraz antykomutacyjnych (14) dla operatorów σ̂kx , σ̂ky i
σ̂kz wynikają zależności
σ̂kx σ̂ky = iσ̂kz
(15)
σ̂ky σ̂kz = iσ̂kx
(16)
σ̂kz σ̂kx = iσ̂ky .
(17)
Możemy policzyć, ile wynosi σ̂kz
σ̂kz =
h
i
h
i
σ̂k+ , σ̂k− = ĉ†k,↑ ĉ†−k,↓ , ĉ−k,↓ ĉk,↑ = ĉ†k,↑ ĉk,↑ + ĉ†−k,↓ ĉ−k,↓ − 1.
(18)
Równania (4), (5) i (18) pozwalają przepisać hamiltonian (2) w języku oddziałujących pseudospinów
Ĥ =
X
ξk σ̂kz − V
X
σ̂k+0 σ̂k− +
k,k0
k
Część
X
X
ξk .
(19)
k
ξk otrzymanego hamiltonianu jest wielkością stałą, więc nie wpływa na rozważane
k
przeze mnie efekty, a jedynie przesuwa widmo energetyczne. Sumę tą mogę pominąć w dalszych
rozważaniach
Ĥ =
X
ξk σ̂kz − V
X
k,k0
k
32
σ̂k+0 σ̂k− .
(20)
Wstawmy teraz za σ̂k+0 i σ̂k− zależności (6) i (7), co daje
Ĥ =
X
ξk σ̂kz − V
k,k0
k
=
X
k
X1
σ̂kx0 + iσ̂ky0
4
σ̂kx − iσ̂ky =
1 X x x
ξk σ̂kz − V
σ̂k0 σ̂k + σ̂ky0 σ̂ky .
4 k,k0
(21)
Hamiltonian (21) jest tożsamy z hamiltonianem (2). Ponieważ nie jest on rozwiązywalny w sposób
ścisły, zastosujemy więc przybliżenie średniego pola
ÂB̂ ' hÂiB̂ + ÂhB̂i − hÂihB̂i.
(22)
W dalszych rozważaniach pomijamy również stały człon hÂihB̂i pochodzący z przybliżenia
średniego pola, ponieważ nie będzie on wpływał na rozważane przeze mnie efekty. Przybliżenie
to jest dobre, ponieważ liczba pseudospinów zaangażowanych w tworzenie wirtualnego pola
magnetycznego jest ogromna, a poszczególne pseudospiny oddziałują między sobą tak samo.
Dzięki temu otrzymane wirtualne pole magnetyczne będziemy mogli traktować tak samo, jak
klasyczny wektor pola magnetycznego
Ĥ =
X
=
X
k
k
1 X
hσ̂kx0 iσ̂kx + σ̂kx0 hσ̂kx i + hσ̂ky0 iσ̂ky + σ̂ky0 hσ̂ky i =
ξk σ̂kz − V
4 k,k0
1 X
ξk σ̂kz − V
hσ̂kx0 iσ̂kx + hσ̂ky0 iσ̂ky .
2 k,k0
(23)
Wprowadźmy teraz definicję wirtualnego pola magnetycznego ~bk , z którym oddziaływać będzie
ˆk
pseudospin ~σ
X
~bk = −ξk ~z + 1 V
(24)
hσ̂kx0 i~x + hσ̂ky0 i~y .
2 k0
Wektory ~x, ~y i ~z są wektorami jednostkowymi skierowanymi zgodnie z osiami X, Y i Z. Hamiltonian (23) przyjmie więc następującą postać
Ĥ = −
X
bzk σ̂kz −
k
X
bxk σ̂kx −
k
X
byk σ̂ky ,
(25)
k
którą można zapisać w postaci następującego iloczynu skalarnego
Ĥ = −
X
bxk , byk , bzk · σ̂kx , σ̂ky , σ̂kz ,
(26)
ˆk .
~bk · ~σ
(27)
k
lub krócej, jako
Ĥ = −
X
k
Parametr porządku w reprezentacji pseudospinowej może być opisany równaniem
∆≡V
X
hĉ†k0 ,↑ ĉ†−k0 ,↓ i = V
k0
X
hσ̂k+0 i,
(28)
k0
możemy więc rozpisać go w następujący sposób
i X y
1 X x
0
00
∆ ≡ ∆ + i∆ = V
hσ̂k0 i + V
hσ̂ 0 i.
2 k0
2 k0 k
33
(29)
Dzięki temu wektor wirtualnego pola magnetycznego będzie miał postać
~bk = ∆0 , ∆00 , −ξk .
(30)
Dla wygody wprowadzamy teraz układ współrzędnych w taki sposób, że hσ̂ky0 i = 0. Oznacza to,
że spiny leżą w płaszczyżnie XZ. Wtedy
1 X x
0
hσ̂ 0 i.
∆=∆ = V
2 k0 k
(31)
Wprowadzenie operatorów pseudospinowych i wykonanie przybliżenia średniego pola, w którym otrzymujemy wirtualne pole magnetyczne, pozwala zastosować metody opracowane na
potrzeby teorii ferromagnetyzmu.
3.2. Przypadek temperatury T = 0
Stanem podstawowym opisywanego przeze mnie układu będzie stan, w którym wszystkie
X 0
spiny układać się będą zgodnie z wirtualnym polem magnetycznym ~bk =
∆ , 0, −ξk , które
k
na nie oddziałuje:
Rysunek 5: Metoda rozwiązania hamiltonianu BCS w reprezentacji pseudospinowej.
34
Jednocześnie, dla T= 0, spełniony jest następujący warunek normalizacyjny, wynikający
bezpośrednio z teorii ferromagnetyzmu Weissa [6]
ˆk i| = 1.
|h~σ
(32)
W oparciu o ilustrację przedstawioną na Rysunku 1, wprowadzamy następującą parametryzację
ˆk i|,
hσ̂kx i = sin θk |h~σ
(33)
ˆk i|.
hσ̂kz i = cos θk |h~σ
(34)
W takiej parametryzacji parametr porządku jest równy
1 X
ˆk0 i|.
∆= V
sin θk0 |h~σ
2 k0
(35)
Jednocześnie, w oparciu o ilustrację z Rysunku 1, możemy napisać
tan θk =
sin θk
hσ̂ x i
∆
bx
= kz = kz =
.
cos θk
hσ̂k i
bk
−ξk
(36)
Równanie (36) można rozwiązać, podnosząc obydwie strony do kwadratu i korzystając z tego,
że sin2 θk + cos2 θk = 1
tan2 θk =
1 − cos2 θk
∆2
=
,
cos2 θk
ξk2
(37)
1
∆2
=
+ 1,
cos2 θk
ξk2
(38)
ξk2
.
∆2 + ξk2
(39)
cos2 θk =
Z równania sin2 θk + cos2 θk = 1 oraz równania (39) wynika
sin2 θk =
∆2
.
∆2 + ξk2
(40)
Porównując otrzymane wyniki z równością (36) i wykorzystując zależności (32), (33) i (34), możemy napisać, że
∆
hσ̂kx i = sin θk = q
,
∆2 + ξk2
(41)
−ξk
hσ̂kz i = cos θk = q
.
∆2 + ξk2
(42)
Równania (41) i (42) możemy wykreślić w programie Gnuplot dla przykładowej wartości parametru porządku ∆.
35
1
0.9
0.8
0.7
<σ>kx
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4
-2
0
ξk
2
4
Rysunek 6: Wykres zależności wartości średniej składowej pseudospinu hσ̂kx i od energii ξk ,
opisanej wzorem (41). Energia ξk mierzona jest w jednostkach ∆.
Z Rysunku 2 wynika, że składowe hσ̂kx i pseudospinów, których energie ξk są znacznie mniejsze lub znacznie większe niż energia Fermiego, są praktycznie zerowe, a jedynie przy powierzchni
Fermiego ich wartość jest duża.
1
0.8
0.6
0.4
<σ>kz
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-4
-2
0
ξk
2
4
Rysunek 7: Wykres zależności wartości średniej składowej pseudospinu hσ̂kz i od energii ξk , opisanej wzorem (42). Energia ξk mierzona jest w jednostkach ∆.
Natomiast z Rysunku 3 wynika, że istotne są jedynie składowe hσ̂kz i pseudospinów, których
36
energie ξk są znacznie mniejsze lub znacznie większe niż energia Fermiego, natomiast dla energii
bliskich energii Fermiego ich wartość jest praktycznie zerowa. Z ilustracji przedstawionych na
Rysunku 2 i Rysunku 3 możemy wyciągnąć wniosek, że fermiony mające energię równą energii
Fermiego (ξk = 0), posiadają jedynie składową hσ̂kx i pseudospinu. Im jednak bardziej będziemy
się oddalali od energii Fermiego, część kinetyczna wirtualnego pola magnetycznego (ξk ~z) spowoduje pochylanie się pseudospinów w kierunku osi Z. Pseudospinowe stany znacznie poniżej
poziomu Fermiego będą miały pseudospin skierowany w górę (stan obsadzony przez parę) a
stany znacznie powyżej energii Fermiego - pseudospin skierowany w dół (stan nieobsadzony
przez parę). Sytuacja ta podobna jest do blochowskich ścian w ferromagnetykach - w tym przypadku mamy ścianę domen w stanie k, wraz ze stanami zmieniającymi się płynnie od zajętych
do pustych.
Rysunek 8: Nadprzewodzący stan podstawowy (ściana domeny).
Wstawiając zależności (32) i (41) do równania na parametr porządku (35) otrzymamy postać
∆=V
∆
X
q
k0
2 ∆2 + ξk20
(43)
.
Wykorzystując rozważania przeprowadzone w rozdziale drugim (równania (47) do (53)) możemy
napisać
−1
∆ ' 2ωD e V ρF .
(44)
Liczbę cząstek można policzyć w następujący sposób
N=
X
k
hnk i =
X
(hnk,↑ i + hn−k,↓ i) =
X
k
hĉ†k,↑ ĉk,↑ i + hĉ†−k,↓ ĉ−k,↓ i .
k
Z równania tego możemy policzyć wartość potencjału chemicznego µ

N=
X
k
(1 + hσ̂kz i) =
X
1 − q
k

ξk
∆2
+
ξk2
.
(45)
Ponieważ w stanie podstawowym pseudospiny układają się zgodnie z polem magnetycznym,
to stanem wzbudzonym byłby stan, w którym jeden z pseudospinów byłyby zwrócony przeciwnie w stosunku do wirtualnego pola magnetycznego. Dobrym przybliżeniem, aby otrzymać
37
energię wzbudzenia do takiego stanu, jest energia Ek , jaka jest potrzebna, by odwrócić jeden z
pseudospinów. Z równiania (24) wynika, że
q
Ek = 2|~bk | = ±2 ∆2 + ξk2 .
(46)
Interesuje nas jedynie rozwiązanie dodatnie, ponieważ energia potrzebna na wzbudzenia musi
być do układu dostarczana. Minimalna energia wzbudzenia wynosi 2∆, co odpowiada przerwie
energetycznej w widmie wzbudzeń w nadprzewodnikach i jest jednocześnie energią wzbudzenia
par Coopera. Odwrócenie pseudospinu odpowiada wzbudzeniu pary ±k do stanu ortogonalnego
w stosunku do stanu podstawowego tej samej pary. Innym typem wzbudzeń w podprzestrzeni
par byłyby wzbudzenia, dla których całkowity pęd pary k + k 0 6= 0, jednak nie zostały one
przeze mnie uwzględnione w członie oddziaływania.
3.3. Przypadek temperatury T 6= 0
Podobnie jak w przypadku temperatury T = 0 stanem podstawowym układu w skończonej temperaturze będzie stan, w którym poszczególne spiny są ułożone zgodnie z wirtualnym
polem magnetycznym na nie oddziałującym. Jednak dla temperatur T 6= 0 warunek normalizacyjny będzie miał inną postać, którą policzyć możemy z teorii ferromagnetyzmu Weissa [6].
Wprowadźmy operator momentu magnetycznego
g
ˆk
µ
~ˆk = µB ~~σ
2
(47)
i przepiszmy hamiltonian (27) przy wykorzystaniu tego operatora
Ĥ = −
X
~k · µ
B
~ˆk .
(48)
k
Wirtualne pole magnetyczne przyjmuje teraz postać
~k =
B
1 0
∆
,
0,
−ξ
.
k
g
2 µB ~
(49)
Ponieważ w układzie istnieją dwie możliwe wartości rzutu operatora µ
~ˆk (ze względu na spin) na
~ k , wraz z odpowiadającymi tym rzutom wartościami
kierunek wirtualnego pola magnetycznego B
energii oraz prawdopodobieństwami, to aby policzyć wartość średnią operatora |hµ
~ˆk i|, musimy
policzyć
|hµ
~ˆk i| = µk↑
p↓
p↑
+ µk↓
,
p↑ + p↓
p↑ + p ↓
(50)
gdzie
g
µB ~
2
g
= − µB ~
2
µk↑ =
µk↓
~ k | g µB ~
Ek↑ = −|B
2
g
~
Ek↓ = +|Bk | µB ~
2
38
p↑ = Ce−βEk↑ ,
(51)
p↓ = Ce−βEk↓ ,
(52)
aβ=
|hµ
~ˆk i|
1
kB T .
Możemy teraz podstawić powyższe wielkości i policzyć wartość średnią operatora
|hµ
~ˆk i| =
p↑ − p↓
g
µB ~
2
p↑ + p↓

!
g
~
!
e−βEk↑ − e−βEk↓
g
= µB ~ −βE
k↑ + e−βEk↓
2
e

g
~
=
=
g
eβ|Bk | 2 µB ~ − e−β|Bk | 2 µB ~  g
~ k | g µB ~ =
µB ~  ~ g
= µB ~ tanh β|B
g
~
β|
B
|
µ
~
−β|
B
|
µ
~
2
2
2
k 2 B
e k 2 B +e
=
g
g
βEk
µB ~ tanh β|~bk | = µB ~ tanh
2
2
2
(53)
.
ˆk i| i policzmy jego średnią długość
Wróćmy teraz do operatora |h~σ
ˆk i| = tanh βEk
|h~σ
2
(54)
.
Warunek normalizacyjny dla T 6= 0 będzie miał więc postać
q
ˆk i| = tanh β ∆2 + ξ 2 .
|h~σ
k
(55)
Tak samo jak w przypadku T = 0 wprowadzimy parametryzację
ˆk i|
hσ̂kx i = sin θk |h~σ
(56)
ˆk i|
hσ̂kz i = cos θk |h~σ
(57)
i tak samo jak w tamtym przypadku możemy napisać
sin θk
hσ̂ x i
bx
∆
= kz = kz =
.
cos θk
hσ̂k i
bk
−ξk
tan θk =
(58)
Korzystając z rachunków, które wykonaliśmy poprzednio (równania (37) do (42)), wynika
∆
,
(59)
−ξk
cos θk = q
.
∆2 + ξk2
(60)
sin θk = q
∆2 + ξk2
Wstawiając równania (59) i (60) do równań (56) i (57) oraz korzystając z równania (55), otrzymamy
hσ̂kx i
∆
=q
∆2 + ξk2
hσ̂kz i
q
tanh β
−ξk
∆2
+
+
ξk2
q
=q
tanh β
∆2 + ξk2
ξk2
∆2
,
(61)
.
(62)
Równanie na parametr porządku miało postać
1 X
ˆk0 i|.
∆= V
sin θk0 |h~σ
2 k0
(63)
Korzystając z równań (55) i (59) otrzymamy
∆=V
X
∆
k0
2 ∆2 + ξk20
q
q
tanh β
39
∆2
+
ξk20
.
(64)
Natomiast wzór na liczbę cząstek będzie następujący

N=
X
(1 +
hσ̂kz i)
X
=
k

ξk
1 − q
∆2 + ξk2
k
q
 tanh β ∆2 + ξ 2 .
k
(65)
Wyniki te są poprawne dla modelu pseudospinowego, który działa w podprzestrzeni par. Oznacza to, że jedynymi dozwolonymi stanami wzbudzonymi są wzbudzenia dwucząstkowe par. Jeżeli
chcielibyśmy rozszerzyć podprzestrzeń par tak, aby dopuścić do wzbudzeń jednocząstkowych,
musimy podwoić liczbę dozwolonych wzbudzeń (ponieważ liczba rzeczywistych cząstek w układzie jest dwukrotnie większa niż liczba pseudospinów). Podwojenie tej liczby podwaja również
entropię, co jest równoważne z podwojeniem temperatury we wzorach (64) i (65) [2]
∆ (T ) = V
∆ (T )
k0
2 ∆2 (T ) + ξk20
q

N=
X
q
X
1 − q
∆2 (T ) + ξk2
k
tanh 
2kB T
q

ξk
∆2 (T ) + ξk20
∆2 (T ) + ξk2
 tanh 
2kB T

,
(66)

.
(67)
Mając postać parametru porządku możemy policzyć temperaturę krytyczną Tc , czyli temperaturę
przejścia do stanu nadprzewodzącego:
1=V
q
X
1
k0
2 ∆2 (T ) + ξk20
∆2 (T ) + ξk20
tanh 
q
2kB T


(68)
Dla temperatury T = Tc w modelu BCS parametr porządku ∆ jest równy 0. Równanie redukuje
się więc do postaci
1=V
ξk0
tanh
.
2ξk0
2kB Tc
X 1
k0
(69)
Przejdźmy teraz od sumowania do całkowania
Z
∞
1=V
−∞
1
ξ
tanh
ρ (ξ) dξ.
2ξ
2kB Tc
(70)
Ponownie, tak jak w przypadku wyznaczania parametru porządku dla przypadku T = 0, ograniczamy całkowanie do przedziału energii z zakresu < −ωD ; ωD >. Korzystamy jednocześnie z
faktu, iż gęstość stanów ρ (ξ) można uznać w przybliżeniu za stałą w tym przedziale
ρ (ξ) ' ρ (eF ) = ρF .
(71)
Całka (70) przyjmie wiec postać
1=
V ρF
2
Z
ωD
−ωD
dξ
ξ
tanh
.
ξ
2kB Tc
40
(72)
Dokonajmy teraz następującej zamiany zmiennych
ξ
(73)
,
2kB Tc
dξ
dx =
.
2kB Tc
x=
(74)
Równanie całkowe (72) redukuje się do
2
=
V ρF
Ponieważ funkcja
tanh(x)
x
Z
ωD
2kB Tc
ω
− 2k DT
B c
dx
tanh (x) .
x
(75)
jest symetryczna, to możemy napisać
2
=2
V ρF
Z
0
ωD
2kB Tc
tanh (x) dx
.
x
(76)
Dla kB Tc ωD funkcja podcałkowa tanh (x) jest równa w przybliżeniu 1 w nieomal całym
przedziale całkowania. Jedynie dla x ∈ (0; 1) funkcję podcałkową tanh (x) przybliżyć musimy
przez x
1
=
V ρF
Z
1
Z
dx +
0
1
ωD
2kB Tc
ω
D
dx
ωD
2k T
= x|10 + ln (x)|1 B c = 1 + ln
.
x
2kB Tc
(77)
Dokładniejsze rozwiązanie tej całki ([5] oraz [2]) daje
−1
kB Tc ' 1.14ωD e V ρF .
(78)
Porównując równania (44) i (78) możemy zauważyć, że parametr porządku jest równy
∆ ' 1.75kB Tc .
Iloraz
∆
kB Tc
(79)
jest uniwersalną stałą, niezależną od rodzaju badanego materiału. Wielkość ta, wy-
znaczona doświadczalnie dla różnych materiałów potwierdza otrzymaną równość - 1.75 dla Sn,
1.70 dla Al, 2.05 dla P b i 1.65 dla Cd.
Wprowadzona w tym rozdziale metoda Andersona, polegająca na wprowadzeniu operatorów
pseudospinowych i zastąpieniu nimi operatorów fermionowych, poprawnie odtwarza równania
teorii BCS, a jej obrazowość sprawia, że jest jedną z prostszych metod badania właściwości
hamiltonianu BCS.
41
42
Rozdział 4
Równanie ruchu dla pseudospinów
4.1. Równanie ruchu
Prawdziwa zaleta metody Andersona polega na tym, iż można dzięki niej badać widmo
wzbudzeń, które zmodyfikowane jest przez oddziaływania między pseudospinami. Korzystając
z metody Andersona można też zająć się badaniem dynamiki układu fermionów. W tej części
ˆk , oraz w jaki sposób następnie je
pracy pokażę jak otrzymać równania ruchu dla operatora ~σ
rozwiązać. Korzystać będziemy z równania czasowego Heisenberga
i
h
∂
i~ Â = Â, Ĥ .
∂t
Wypiszmy równania Heisenberga dla poszczególnych operatorów σ̂kx , σ̂ky i σ̂kz

i
h
∂ x

x , Ĥ ,

i~
=
σ̂
σ̂

k

 ∂t k
h
i
y
y
∂
i~ ∂t
σ̂k = σ̂k , Ĥ ,


h
i


i~ ∂ σ̂ z = σ̂ z , Ĥ .
k
∂t k
(1)
(2)
Dla wygody przyjmijmy, że ~ = 1 i wstawmy pełną postać hamiltonianu, aby policzyć wartość
komutatorów
"
#

X
X

1
y
y

z
x
x
∂
x
x

i ∂t σ̂k = σ̂k ,
hσ̂k0 iσ̂k + hσ̂k0 iσ̂k ,
ξk σ̂k − V



2

0
k
k


"
#


X
X

1
y
y
y
y
i ∂ σ̂k = σ̂k ,
hσ̂kx0 iσ̂kx + hσ̂ 0 iσ̂k
ξk σ̂kz − V
,
(3)
k
∂t
2 k0


k

#
"



X
X

1
y
y

x
x
z
∂
z
z

hσ̂k0 iσ̂k + hσ̂k0 iσ̂k .
ξk σ̂k − V

i ∂t σ̂k = σ̂k ,

2
0
k
k
Powyższy układ równań można zapisać w postaci

X
1 X
∂ x


ξk [σ̂kx , σ̂kz ] − V
hσ̂kx0 i [σ̂kx , σ̂kx ] + hσ̂ky0 i σ̂kx , σ̂ky ,
i ∂t σ̂k =

2 k0


k



X y
 ∂ y
1 X
y y
y x y
x
z
i σ̂ =
ξk σ̂ , σ̂
− V
hσ̂ 0 i σ̂ , σ̂
+ hσ̂ 0 i σ̂ , σ̂
k
k
k
k
k
k
k
k
∂t k
2 k0

k



X

1 X

z
z
∂ z


i
σ̂
=
ξ
[σ̂
,
σ̂
]
−
V
hσ̂kx0 i [σ̂kz , σ̂kx ] + hσ̂ky0 i σ̂kz , σ̂ky .
k

k
k
 ∂t k
2
0
k
k
43
,
(4)
Korzystamy teraz z własności komutacyjnych operatorów σ̂k (równania (11), (12) i (13) z rozdziału
trzeciego). Układ równań (4) przyjmie postać
!

X

1 X y z
y

∂ x

hσ̂ 0 iσ̂ ,
ξk σ̂k − V
i ∂t σ̂k = 2i −



2 k0 k k

k


!


X

1 X
y
ξk σ̂kx + V
2
i ∂ σ̂k = 2i
∂t









i ∂ σ̂ z = 2i


 ∂t k
k
hσ̂kx0 iσ̂kz ,
(5)
k0
!
1
2V
X
hσ̂ky0 iσ̂kx
k0
1 X
− V
Vk0 hσ̂kx0 iσ̂ky .
2 k0
W tym miejscu, dla wygody i przejrzystości rozważanych równań, wykorzystamy wprowadzoną
w poprzedniej części tej pracy (równanie (24) z rozdziału trzeciego) definicję wirtualnego pola
P
x x + hσ̂ y i~
magnetycznego ~bk = −ξk ~z + 1 V
0 hσ̂ 0 i~
0 y , co przekształci nam układ równań (5) do
2
k
k
k
postaci


∂ x

σ̂k = 2 bzk σ̂ky − byk σ̂kz ,
 ∂t




∂
σ̂ y = 2 (bx σ̂ z − bz σ̂ x ) ,
(6)
k k
k k
∂t k





∂ z

σ̂k = 2 byk σ̂kx − bxk σ̂ky .
 ∂t
Powyższy układ mogę zapisać w postaci iloczynu wektorowego wektora wirtualnego pola magnetycznego z wektorem pseudospinu
ˆ˙ k = −2~bk × ~σ
ˆk
~σ
(7)
Otrzymane równanie swoją strukturą przypomina równanie typu Blocha dla spinów (patrz równanie (19) w pracy [12]).
4.2. Rozwiązanie szczególne
Ponieważ równanie (7) jest liniowe tak dla operatorów, jak i dla wartości średnich tych
operatorów, możemy wprowadzić następujące oznaczenie
r1 ≡ hσ̂kx i
r2 ≡ hσ̂ky i
r3 ≡ hσ̂kz i.
(8)
i przepisać to równanie dla średnich wartości składowych wektora pseudospinu, rozpisując je
jednocześnie na układ równań


y 
ṙ1 = 2 bzk r2 − bk r3 ,




ṙ = 2 (bx r − bz r ) ,
2
k 3
k 1





y

ṙ3 = 2 bk r1 − bxk r2 .
44
(9)
Rozważymy tutaj rozwiązania multisolitonowe ([12] oraz [21]), dla których przyjmujemy czasową
zależność parametru porządku ∆ (t) = Ω (t) eiωt , gdzie Ω (t) jest wielkością rzeczywistą. Dla
wygody rozważań przejdziemy teraz do układu rk+ , rk− i rkz



hσ̂k+ i ≡ rk+ =
1
2
(r1 + ir2 ) ,


hσ̂k− i ≡ rk− =
1
2
(r1 − ir2 ) .
(10)
Policzmy teraz, ile wynoszą czasowe pochodne wielkości rk+ i rk−



ṙk+ =
1
2
(ṙ1 + iṙ2 ) = bzk r2 − byk r3 + i (bxk r3 − bzk r1 ) ,


ṙk− =
1
2
(ṙ1 − iṙ2 ) = bzk r2 − byk r3 − i (bxk r3 − bzk r1 ) .
(11)
Układ równań dla rk+ , rk− i r3 przyjmie więc postać



ṙk+ = ir3 bxk + ibyk − ibzk (r1 + ir2 ) ,





bx − iby + ibz (r − ir ) ,
ṙ− = −ir
3 k
2
k 1
k
k





y
y

ṙ3 = 2bk (r1 + ir2 ) + 2ibxk (r1 + ir2 ) − 2ibk r2 − 2ibxk r1 .
(12)
Korzystając z wcześniej wprowadzonych zmiennych

0
00

y

∆ (t) = ∆ (t) + i∆ (t) = bxk + ibk ,
0
00

y

∆∗ (t) = ∆ (t) − i∆ (t) = bxk − ibk .
(13)
i wprowadzając je do układu równań (12), mnożąc te równania stronami przez i oraz korzystając
z tego, że r3 = rkz mamy



iṙk+ = 2bzk rk+ − ∆ (t) rkz ,





iṙ− = ∆∗ (t) rz − 2bz r− ,
k
k k
k





y
y

iṙkz = −4rk+ bxk − ibk + 2bk r2 + 2bxk r1 .
(14)
Do ostatniego równania z powyższego układu równań dodajmy i odejmijmy 2ibxk r2 oraz 2ibyk r1 ,
dzięki czemu możemy napisać



iṙk+ = 2bzk rk+ − ∆ (t) rkz ,





iṙ− = ∆∗ (t) rz − 2bz r− ,
k
k k
k





y

iṙkz = −4rk+ ∆∗ (t) + 4rk− ∆ (t) − 2i bk r1 − bxk r2 .
(15)
Ostatnią część trzeciego równania możemy zapisać jako iṙkz , dzięki czemu otrzymamy następującą
postać układu


+
+

iṙk = 2bzk rk − ∆ (t) rkz ,




iṙ− = ∆∗ (t) rz − 2bz r− ,
k
k k
k






iṙkz = 2rk− ∆ (t) − 2rk+ ∆∗ (t) .
45
(16)
Skorzystamy teraz z zapostulowanej wcześniej zależności czasowej parametru porządku ∆ (t)
przekształcając ją do postaci
∆ (t) = Ω (t) eiωt = V
X
rk+0 (t) = V
X
k0
Rk+0 (t) eiωt .
(17)
k0
Postać ta implikuje następujące zależności



∆ (t) = Ω (t) eiωt ,








∆∗ (t) = Ω∗ (t) e−iωt ,





r+ (t) = R+ (t) eiωt ,
(18)
k
k






rk− (t) = Rk− (t) e−iωt ,







rkz (t) = Rkz (t) .
Wprowadźmy teraz te zależności do układu równań (16)


+
∂
iωt = 2bz R+ (t) eiωt − Ω (t) eiωt Rz (t) ,

R
(t)
e
i

k k
k
k

∂t



i∂
R− (t) e−iωt = Ω∗ (t) e−iωt Rz (t) − 2bz R− (t) e−iωt ,
k
k k
k
∂t






iṘkz (t) = 2Rk− (t) e−iωt Ω (t) eiωt − 2Rk+ (t) eiωt Ω∗ (t) e−iωt .
(19)
Ostatecznie otrzymamy następujący układ równań



iṘk+ (t) = (2bzk + ω) Rk+ (t) − Ω (t) Rkz (t) ,





iṘ− (t) = Ω∗ (t) Rz (t) − (2bz + ω) R− (t) ,
k
k
k
k






iṘkz (t) = 2Rk− (t) Ω (t) − 2Rk+ (t) Ω∗ (t) .
(20)
Układ (20) powinien spełniać warunek zachowania długości wektora pseudospinu, czyli wprowadzony wcześniej warunek normalizacyjny w postaci |rk |2 = 1. Sprawdźmy, czy rzeczywiście
tak jest. Warunek normalizacyjny możemy rozpisać w następujący sposób
2
rk+ (t) + rk− (t)
2
+ irk− (t) − irk+ (t)
+ (rkz (t))2 = 1.
(21)
Powyższe równanie przekształci się do
4Rk+ (t) Rk− (t) + (Rkz (t))2 = 1.
(22)
Jeżeli zróżniczkujemy równanie (22)
∂ +
4Rk (t) Rk− (t) + (Rkz )2 (t) = 0,
∂t
(23)
to otrzymamy następującą równość
4Ṙk+ (t) Rk− (t) + 4Rk+ (t) Ṙk− (t) + 2Rkz (t) Ṙkz (t) = 0.
46
(24)
Aby sprawdzić, czy otrzymany układ równań spełnia warunek normalizacyjny, pomnóżmy teraz
obydwie strony równania (24) przez i i wstawmy za pochodne iṘk+ (t), iṘk− (t) i iṘkz (t) wartości
pochodzące z układu równań (20)
h
i
h
i
4 (2bzk + ω) Rk+ (t) − Ω (t) Rkz (t) Rk− (t) + 4Rk+ (t) Ω∗ (t) Rkz (t) − (2bzk + ω) Rk− (t) +
h
i
(25)
+4Rkz (t) Rk− (t) Ω (t) + 4Rk+ (t) Ω∗ (t) Rkz (t) − 4Rkz (t) Rk+ (t) Ω∗ (t) = 0,
(26)
+2Rkz (t) 2Rk− (t) Ω (t) − 2Rk+ (t) Ω∗ (t) = 0.
Równanie (25), po rozpisaniu przyjmie postać
4 (2bzk + ω) Rk+ (t) Rk− (t) − 4Rk+ (t) (2bzk + ω) Rk− (t) − 4Ω (t) Rkz (t) Rk− (t) +
z której widać, że lewa strona równa się stronie prawej. Oznacza to, że układ równań (20) jest
poprawny. Następnym krokiem będzie otrzymanie układu równań dla Ṙ1 (t), Ṙ2 (t) i Ṙ3 (t). W
tym celu skorzystamy z zależności



R1 (t) = Rk+ (t) + Rk− (t) ,


R2 (t) = iRk− (t) − iRk+ (t) ,
(27)
które po pomnożeniu pierwszego równania przez i, a następnie zróżniczkowaniu wyrażą się jako



iṘ1 (t) = iṘk+ (t) + iṘk− (t) ,


Ṙ2 (t) = iṘk− (t) − iṘk+ (t) .
(28)
W miejsca pochodnych iṘk+ (t) i iṘk− (t) wstawiamy wartości pochodnych pochodzące z układu
równań (20), jednocześnie dopisując równanie na iṘkz (t) i korzystając z faktu, że Rkz (t) = R3 (t).
Dzięki temu otrzymamy następujący układ równań



iṘ1 (t) = (2bzk + ω) Rk+ (t) − Ω (t) Rkz (t) + Ω∗ (t) Rkz (t) − (2bzk + ω) Rk− (t) ,





Ṙ (t) = Ω∗ (t) Rz (t) − (2bz + ω) R− (t) − (2bzk + ω) Rk+ (t) + Ω (t) Rkz (t) ,
2
k
k
k






iṘ3 (t) = 2Rk− (t) Ω (t) − 2Rk+ (t) Ω∗ (t) .
(29)
Wstawiając do powyższego układu równań zależności (27) otrzymamy następujące równania



Ṙ1 (t) = (2bzk + ω) R2 (t) − iR3 (t) (Ω∗ (t) − Ω (t)) ,





Ṙ (t) = (Ω (t) + Ω∗ (t)) R (t) − (2bz + ω) R (t) ,
2
3
1
k






Ṙ3 (t) = −R2 (t) (Ω (t) + Ω∗ (t)) − iR1 (t) (Ω (t) − Ω∗ (t)) .
(30)
Ponieważ na początku tego podrozdziału przyjęliśmy, że Ω (t) jest wielkością rzeczywistą, to
Ω (t) = Ω∗ (t). Układ równań (30) uprości się więc do postaci



Ṙ1 (t) = −ζk R2 (t) ,




Ṙ (t) = ζ R (t) + 2Ω (t) R3 (t) ,
2
k 1






Ṙ3 (t) = −2Ω (t) R2 (t) ,
47
(31)
gdzie wprowadziliśmy oznaczenie 2bzk + ω = −2ξk + ω = − (2ξk − ω) = −ζk . Układ ten można
rozwiązać postulując następujące rozwiązanie



R1 (t) = Ak Ω (t) ,





(32)
R (t) = B Ω̇ (t) ,
2
k






R3 (t) = Ck Ω2 (t) − Dk ,
gdzie Ak , Bk , Ck i Dk są współczynnikami liczbowymi spełniającymi warunki
Ak = (2bzk + ω) Bk ,
Bk = −Ck .
(33)
Udowodnić musimy poprawność zapostulowanego rozwiązania. Zróżniczkujmy więc po czasie
równania z układu równań (32) i wykorzystajmy zmienne wprowadzone w równaniu (33)



Ṙ1 (t) = −ζk Bk Ω̇ (t) ,




(34)
Ṙ (t) = B Ω̈ (t) ,
2
k






Ṙ3 (t) = −2Bk Ω (t) Ω̇ (t) .
Wstawiając pochodzące z układu (32) równanie R2 (t) = Bk Ω̇ (t) do 1 i 2 równania układu (34)
otrzymujemy



Ṙ1 (t) = −ζk Bk Ω̇ (t) = −ζk R2 (t) ,





Ṙ (t) = B Ω̈ (t) ,
2
k






Ṙ3 (t) = −2Bk Ω (t) Ω̇ (t) = −2Ω (t) R2 (t) .
(35)
Pokazaliśmy, że o ile spełnione jest drugie równanie układu (32), to pierwsze i trzecie jest również
spełnione. Musimy więc udowodnić, że skoro Ṙ2 = Bk Ω̈ (t) i Ṙ2 = ζk R1 (t) + 2Ω (t) R3 (t), to
Bk Ω̈ (t) = ςk R1 (t) + 2Ω (t) R3 (t) .
(36)
Aby to zrobić, musimy skorzystać z wprowadzonego wcześniej warunku normalizacyjnego w
postaci |rk |2 = 1, co dla R1 , R2 i R3 możemy zapisać jako
R12 (t) + R22 (t) + R32 (t) = 1.
(37)
2R1 (t) Ṙ1 (t) + 2R2 (t) Ṙ2 (t) + 2R3 (t) Ṙ3 (t) = 0,
(38)
Zróżniczkujmy równanie (37)
i wstawmy za R1 (t), R2 (t) i R3 (t) wartości pochodzące z zapostulowanego rozwiązania (32),
natomiast za Ṙ1 (t), Ṙ2 (t) i Ṙ3 (t) wartości pochodzące z układu równań (34). Otrzymujemy
wtedy następujące równanie
Ak Ω (t) Ak Ω̇ (t) + Bk Ω̇ (t) Bk Ω̈ (t) + Ck Ω2 (t) − Dk 2Ck Ω (t) Ω̇ (t) = 0.
48
(39)
Przekształcając to równanie otrzymamy (o ile Bk Ω̇ (t) 6= 0)
−Ak Ω (t) Ak Ω̇ (t) − Ck Ω2 (t) − Dk 2Ck Ω (t) Ω̇ (t)
Bk Ω̈ (t) =
.
Bk Ω̇ (t)
(40)
Wprowadźmy teraz zmienne z równania (33)
Ak Ω (t) ζk Bk Ω̇ (t) + Ck Ω2 (t) − Dk 2Bk Ω (t) Ω̇ (t)
Bk Ω̈ (t) =
.
Bk Ω̇ (t)
(41)
Możemy więc napisać, że
Bk Ω̈ (t) = Ak Ω (t) ζk + Ck Ω2 (t) − Dk 2Ω (t) .
(42)
Teraz, wstawiając pierwsze i trzecie równanie z zapostulowanego rozwiązania (32) do równania
(42) otrzymamy równanie
(43)
Bk Ω̈ (t) = ζk R1 (t) + 2Ω (t) R3 (t) ,
tożsame z równaniem (36). Udowodniliśmy więc, że zapostulowane rozwiązanie (32) jest poprawne.
Skorzystajmy ponownie z równania normalizacyjnego na długość wektora R12 (t) + R22 (t) +
R32 (t) = 1, wstawiając tym razem wartości pochodzące z układu równań (32):
2
(Ak Ω (t))2 + Bk Ω̇ (t)
+ Ck Ω2 (t) − Dk
2
= 1.
(44)
Dk2 − 1
= 0.
Ck2
(45)
Równanie to możemy przekształcić do postaci
ςk2
Dk
−2
Ck
Ω2 (t) + Ω̇2 (t) + Ω4 (t) +
Dokonajmy jeszcze następującej zamiany zmiennych
2
Dk
= ζk2 + ∆2− + ∆2+ ,
Ck
Dk2 − 1
= ∆2− ∆2+ ,
Ck2
(46)
(47)
co uprości nam równanie (45) do postaci
Ω̇2 (t) + Ω2 (t) − ∆2−
Ω2 (t) − ∆2+ = 0.
(48)
Równanie (48) (patrz równanie (23) w pracy [12]) przyjmuje taką samą postać dla wszystkich
pseudospinów i jest rozwiązywalne numerycznie oraz analitycznie. Równanie to definiuje eliptyczną funkcję Ω (t) oscylującą pomiędzy ∆− i ∆+ (gdzie ∆− ¬ ∆+ ). Rozwiążmy to równanie
numerycznie, wykorzystując w tym celu dwa programy napisane w języku Fortran, których
kod źródłowy zamieszczony jest w dodatku A. Prostsza wersja programu rozwiązującego równanie różniczkowe (48) wykorzystuje metodę Eulera (program RowRozniczkoweEuler) i daje
następujące wyniki
49
1
|∆(t)|/∆0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
0
5
10
0
5
10
15
20
25
30
15
20
25
30
15
20
25
30
Time x ∆0
1
|∆(t)|/∆0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Time x ∆0
1
|∆(t)|/∆0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Time x ∆0
Rysunek 9: Zależność czasowa parametru porządku ∆ pochodząca z symulacji numerycznej
dla różnych zestawów parametrów - wykres na górze Ω (0) = 0.01001, ∆− = 0.01, ∆+ = 1,
wykres środkowy Ω (0) = 0.5001, ∆− = 0.5, ∆+ = 1, natomiast wykres na dole Ω (0) = 0.9001,
∆− = 0.9, ∆+ = 1.
50
Wariant bardziej skomplikowany to wykorzystanie w programie metody Rungego-Kutty czwartego rzędu (Program RowRozniczkoweRK4), co daje następujące wyniki
1
|∆(t)|/∆0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
0
5
10
0
5
10
15
20
25
30
15
20
25
30
15
20
25
30
Time x ∆0
1
|∆(t)|/∆0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Time x ∆0
1
|∆(t)|/∆0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Time x ∆0
Rysunek 10: Zależność czasowa parametru porządku ∆ pochodząca z symulacji numerycznej
dla różnych zestawów parametrów - wykres na górze Ω (0) = 0.01001, ∆− = 0.01, ∆+ = 1,
wykres środkowy Ω (0) = 0.5001, ∆− = 0.5, ∆+ = 1, natomiast wykres na dole Ω (0) = 0.9001,
∆− = 0.9, ∆+ = 1.
51
Z przedstawionych wykresów wynika, że dla ∆− ∆+ rozwiązaniem jest grupa słabo
przekrywających się fal solitonowych, natomiast dla ∆− → ∆+ nie przekrywające się fale solitonowe zaczynają się łączyć, przechodząc w słabe harmoniczne oscylacje. Iloraz
∆−
∆+
kontroluje
międzysolitonową separację czasową, wraz z jego wzrostem od 0 do 1 częstość oscylacji rośnie.
4.3. Rozwiązanie ogólne
Poprzednie rozważania dotyczą przypadku szczególnego, jakim jest rozwiązanie multisolitonowe. Równanie
~r˙ = −2~bk × ~r
(49)
można jednak rozwiązać w ogólniejszy sposób. Rozwiązywać numerycznie będziemy więc następujący układ równań



ṙ1 = 2 bzk r2 − byk r3 ,





ṙ = 2 (bx r − bz r ) ,
2
k 1
k 3





y

ṙ3 = 2 bk r1 − bxk r2 .
(50)
W tym celu skorzystamy z programu, którego kod źródłowy umieszczony jest w dodatku B.
Ponieważ wyniki numeryczne wykonane dwoma metodami - metodą Eulera i metodą RungegoKutty czwartego rzędu - przedstawione w poprzednim podrozdziale, praktycznie nie różnią się
między sobą, to program napisany w C++ korzystał będzie z prostszej metody.
Spróbujmy przetestować ten program w przypadku, dla którego rozwiązanie równań typu
Blocha jest dobrze znane, czyli jądrowego rezonansu magnetycznego [8]. Układ zawierający dużą
liczbę spinów (w programie jest ich 20001), których wartości średnie składowych oznaczymy
~ = (0, 0, B0 )).
przez M umieszczony jest w polu magnetycznym skierowanym w kierunku osi Z (B
~ nie zmienia się w czasie, a wartość B0 jest taka sama dla wszystkich spinów. Wartości
Pole B
średnie składowych spinów są tak wybrane, by spełniały warunek normalizacyjny dla temperatury T = 0. Tak wybrane warunki początkowe redukują rozwiązywany przez program układ
równań (50) do postaci



Ṁ1 = 2B0 M2 ,





Ṁ = −2B0 M1 ,
2






Ṁ3 = 0.
(51)
Otrzymane wyniki możemy wykreślić dla jednego, przypadkowo wybranego spinu, wykorzystując w tym celu program Gnuplot
52
1
M1
0.5
0
-0.5
-1
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
t
1
M2
0.5
0
-0.5
-1
t
1
M3
0.5
0
-0.5
-1
t
Rysunek 11: Zależność czasowa wartości średnich składowych M1 , M2 i M3 wykreślona dla
jednego ze spinów.
Wykresy przedstawione na rysunku 11 obrazują swobodną precesję układu spinów w polu
magnetycznym, co jest wynikiem zgodnym z oczekiwanym.
Rozważmy jeszcze sytuację, w której zmodyfikujemy warunki początkowe w stosunku do tych
z przypadku jądrowego rezonansu magnetycznego. Pole magnetyczne, w którym znajdować się
będą spiny nadal nie będzie zmieniało się w czasie, ale teraz posiadać będzie składowe skiero53
~ = ∆0 , 0, −ξk ).
wane w kierunku osi X i Z. Ponadto uzależnimy zetową składową od liczby k (B
Wartość ξk =
k
2000 ,
gdzie k ∈ h−10000; 10000i mierzona jest w jednostkach ∆, a wartości śred-
nie składowych spinów ponownie są tak wybrane, by spełniały warunek normalizacyjny dla
temperatury T = 0. Otrzymaliśmy następujące wyniki
1
M1
0.5
0
-0.5
-1
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
t
1
M2
0.5
0
-0.5
-1
t
5e-005
0
-5e-005
-0.0001
M3
-0.00015
-0.0002
-0.00025
-0.0003
-0.00035
-0.0004
0
5
10
15
t
20
25
30
Rysunek 12: Zależność czasowa wartości średnich składowych M1 , M2 i M3 wykreślona dla
jednego ze spinów.
Wykresy przedstawione na rysunku 12 również obrazują swobodną precesję układu spinów
54
w polu magnetycznym, tym razem jednak składowa M3 również oscyluje. Wynik ten jest zgodny
z oczekiwanym. Modyfikacja programu z dodatku B, polegająca na zmianie warunków początkowych w taki sposób, by odtworzyć znane przypadki, wydaje się potwierdzać jego poprawność,
jednak nie może być traktowana jako ostateczne kryterium.
Powróćmy do sytuacji opisywanej układem równań



ṙ1 = 2 bzk r2 − byk r3 ,





ṙ = 2 (bx r − bz r ) ,
(52)
2
k 3
k 1





y

ṙ3 = 2 bk r1 − bxk r2 .
Rozważać będziemy nieliniową dynamikę opisaną równaniami typu Blocha (52) oraz równaniem
i X
1 X
0
00
r1 + V
r2 .
∆ (t) = ∆ (t) + i∆ (t) = V
2
2
k
k
(53)
Stan początkowy opisujący swobodne fermiony w skończonej temperaturze (patrz równanie (30)
w pracy [21]) jest następujący
r1 + ir2 =
eiφk
cosh
,
(54)
1
βξk ,
2
(55)
r3 = tanh
1
2 βξk
gdzie φk oznacza przypadkowe fazy z przedziału 0 < φk < 2π. Wartość ξk =
k
2000 ,
gdzie
k ∈ h−10000; 10000i mierzona jest w jednostkach ∆. Program rozwiązujący równania (52) i
(53) zamieszczony został w dodatku B, a wyniki otrzymane przy wykorzystaniu tego programu
zamieszczone są na rysunkach 13 i 14.
0.02
0.015
0.01
∆’(t)
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
0
5
10
15
t
55
20
25
30
0.02
0.015
0.01
∆’’(t)
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
0
5
10
15
20
t
25
30
0
00
Rysunek 13: Zależność czasowa części rzeczywistej ∆ (t) i części urojonej ∆ (t) parametru
1
1
0.5
0.5
rkx
rkx
porządku.
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
5
10
15
t
20
25
30
1
1
0.5
0.5
rky
rky
0
0
-0.5
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
t
0
-0.5
-1
-1
0
5
10
15
t
20
25
30
56
t
0.12
0.075
0.07
0.1
0.065
0.08
0.06
rkz
rkz
0.055
0.06
0.05
0.04
0.045
0.04
0.02
0.035
0
0
5
10
15
t
20
25
0.03
30
0
5
10
15
t
20
25
30
Rysunek 14: Zależność czasowa wartości średnich składowych rkx , rky i rkz dwóch różnych pseudospinów.
W przeprowadzanych do tej pory rozważaniach czasowa zależność oddziaływania miała
najprostszą z możliwych postać, to znaczy oddziaływanie przyciągające było włączane natychmiastowo w chwili t0
V (t) =



0
gdy t < t0 ,


V0
gdy t > t0 .
(56)
Zależność taką eksperymentalnie realizować można w przypadku badań nad spułapkowanymi
atomami typu fermionowego, gdzie charakter oddziaływań zmieniać można zmieniając pole
magnetyczne wokół tak zwanych rezonansów Feshbacha. Innym przykładem realizacji eksperymentalnej takiej zależności czasowej oddziaływania są złącza nadprzewodnik-półprzewodniknadprzewodnik albo nadprzewodnik-metal-nadprzewodnik, gdzie charakter oddziaływań kontrolować można polem elektrycznym przyłożonym do bramki [21].
Możemy jednak zmodyfikować program z dodatku B i wprowadzić inne profile czasowe
potencjału parowania V , by zobaczyć, jakie rozwiązania równań (52) i (53) otrzymamy. Wprowadźmy zależność trójkątną potencjału parowania V



0








V0 t−1
10
V (t) =

21−t

V

0

10






0
gdy t < 1,
gdy t ∈ h1; 11i ,
(57)
gdy t ∈ (11; 21i ,
gdy t > 21.
57
Wykres potencjału (57) jest następujący
1
0.8
V(t)
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
t
20
25
30
Rysunek 15: Zależność potencjału parowania V od czasu t pochodząca ze wzoru (57).
Tak wybrana zależność czasowa potencjału parowania V powoduje, że część rzeczywista i
część urojona parametru porządku zachowuje się w następujący sposób
0.01
0.008
0.006
0.004
∆’(t)
0.002
0
-0.002
-0.004
-0.006
-0.008
-0.01
0
5
10
15
t
58
20
25
30
0.015
0.01
∆’’(t)
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
0
5
10
15
20
t
25
30
0
00
porządku dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 15.
1
1
0.5
0.5
rkx
rkx
Zależność czasowa składowych rkx , rky i rkz dwóch różnych pseudospinów jest następująca
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
5
10
15
t
20
25
30
1
1
0.5
0.5
rky
rky
0
0
-0.5
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
t
0
-0.5
-1
-1
0
5
10
15
t
20
25
30
59
t
0.584
0.585
0.583
0.58
0.582
0.581
0.575
rkz
rkz
0.58
0.579
0.57
0.578
0.565
0.577
0.576
0.56
0.575
0.574
0
5
10
15
20
t
25
0.555
30
0
5
10
15
t
20
25
30
Rysunek 17: Zależność czasowa wartości średnich składowych rkx , rky i rkz dwóch różnych pseudospinów dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 15.
Możemy wprowadzić inny profil czasowy potencjału parowania V w postaci
V (t) =



0







t−1

V

0

5



V
0





21−t

V

0

5






0
gdy t < 1,
gdy t ∈ h1; 6i ,
gdy t ∈ (6; 16) ,
(58)
gdy t ∈ h16; 21i ,
gdy t > 21.
Wykres potencjału określonego wzorem (58) jest następujący
1
0.8
V(t)
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
t
20
25
30
60
0
00
Potencjał ten ma następujący wpływ na część rzeczywistą ∆ (t) i część urojoną ∆ (t)
parametru porządku
0.015
0.01
∆’(t)
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
t
0.015
0.01
∆’’(t)
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
t
0
00
Zależność składowych rkx , rky i rkz od czasu t w przypadku potencjału V opisanego równaniem
(58) jest następująca
61
1
0.5
0.5
rkx
rkx
1
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
5
10
15
t
20
25
30
1
1
0.5
0.5
rky
rky
0
0
-0.5
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
25
30
t
0
-0.5
-1
-1
0
5
10
15
t
20
25
30
0.578
t
0.592
0.576
0.59
0.574
0.588
0.572
0.586
rkz
rkz
0.57
0.568
0.566
0.584
0.582
0.564
0.58
0.562
0.578
0.56
0.558
0
5
10
15
t
20
25
30
0.576
0
5
10
15
t
20
62
Trzecią, i zarazem ostatnią rozważaną przez nas zależnością potencjału parowania V od
czasu będzie zależność
V (t) =



0




 V0
gdy t < 1,
−t2 +22t−21
100
gdy t ∈ h1; 21i ,






0
(59)
gdy t > 21.
1
0.8
V(t)
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
t
20
25
30
0
00
Zależność (59) ma następujący wpływ na część rzeczywistą ∆ (t) i część urojoną ∆ (t)
parametru porządku
0.01
0.008
0.006
0.004
∆’(t)
0.002
0
-0.002
-0.004
-0.006
-0.008
-0.01
0
5
10
15
t
63
20
25
30
0.015
0.01
∆’’(t)
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
0
5
10
15
20
t
25
30
0
00
1
1
0.5
0.5
rkx
rkx
Zależność składowych rkx , rky i rkz od czasu będzie następująca
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
5
10
15
t
20
25
30
1
1
0.5
0.5
rky
rky
0
0
-0.5
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
t
0
-0.5
-1
-1
0
5
10
15
t
20
25
30
64
t
0.584
0.58
0.582
0.575
0.58
0.578
0.57
rkz
rkz
0.576
0.565
0.574
0.572
0.56
0.57
0.555
0.568
0.566
0
5
10
15
t
20
25
30
0.55
0
5
10
15
t
20
25
30
Przedstawione w podrozdziale 4.3 rozważania dotyczyły przypadku nieliniowej dynamiki
opisanej równaniami typu Blocha



ṙ1 = 2 bzk r2 − byk r3 ,





ṙ = 2 (bx r − bz r ) ,
2
k 3
k 1





y

ṙ3 = 2 bk r1 − bxk r2 ,
(60)
oraz równaniem
i X
1 X
0
00
r1 + V
r2 .
∆ (t) = ∆ (t) + i∆ (t) = V
2
2
k
k
(61)
Otrzymane wyniki nie potwierdzają rozwiązania multisolitonowego z podrozdziału 4.2. Najprawdopodobniej rozwiązanie multisolitonowe, dla którego zakładaliśmy taką samą częstość precesji
wszystkich pseudospinów, jest rozwiązaniem szczególnym. Tezę tę wydają się potwierdzać wykresy zależności wartości średnich składowych rkx , rky i rkz wykonane w podrozdziale 4.3 dla
różnych spinów, na których wyraźnie widać różne częstości precesji.
Samouzgodnione rozwiązanie równań różniczkowych (60) wykazuje nieregularną dynamikę
parametru porządku. Nieregularność ta jest cechą ogólną, niezależnie od zadanego w programie
0
profilu czasowego potencjału oddziaływania V (t). Brak regularności części rzeczywistej ∆ (t)
00
i części urojonej ∆ (t) parametru porządku może być spowodowany na przykład błędami
numerycznymi, więc w przyszłości potrzebne są dalsze badania wyjaśniające różnicę między
otrzymanym nieregularnym rozwiązaniem a rozwiązaniem multisolitonowym z prac [12] oraz
[21].
65
66
Rozdział 5
Równoważność opisu
pseudospinowego i równań
Bogoliubova-de Gennes’a
5.1. Równania Bogoliubova-de Gennes’a
Gdy w układzie mamy do czynienia z nieciągłościami (takimi jak granice badanego ośrodka
czy centra rozpraszania) musimy uogólnić teorię mikroskopową na przypadek niejednorodny.
Najbardziej potężnym narzędziem do badania takich przypadków jest formalizm wielociałowych
funkcji Greena oraz metoda samouzgodnionego pola zaproponowana przez Bogoliubova i de
Gennesa, którą wyprowadzimy w tym rozdziale. Jednocześnie, wprowadzając do otrzymanych
równań zależność od czasu, będziemy mogli badać czasowy rozwój zaburzeń w systemie.
Hamiltonian układu będzie miał postać
Ĥ = Ĥ (1) + V̂ (2) ,
(1)
gdzie Ĥ (1) jest hamiltonianem jednoelektronowym, natomiast V̂ (2) jest członem oddziaływania. Będziemy teraz szukali przybliżonego rozwiązania problemu wielociałowego w języku efektywnego hamiltonianu jednoelektronowego [9]. Hamiltonian powinien minimalizować całkowitą
energię, taką postać ma hamiltonian
Ĥ
(e)
Z
d
=
0
rΨ̂†↑ (r, t) H0 Ψ̂↑ (r, t)
Z
+
0
d3 rΨ̂†↓ (r, t) H0 Ψ̂↓ (r, t) +
Z
d3 rΨ̂†↑ (r, t) U (r, t) Ψ̂↑ (r, t) +
Z
d3 rΨ̂†↓ (r, t) U (r, t) Ψ̂↓ (r, t) +
Z
d3 r∆ (r, t) Ψ̂†↑ (r, t) Ψ̂†↓ (r, t) +
Z
d3 r∆∗ (r, t) Ψ̂↓ (r, t) Ψ̂↑ (r, t) ,
+
+
3
(2)
0
gdzie H0 jest operatorem energii kinetycznej elektronu
ie
~2
∇− A
H0 = −
2m
~c
0
67
2
− µ,
(3)
natomiast U (r, t) jest średnim potencjałem jednoelektronowym, a ∆ (r, t) jest określana jako
parametr porządku.
Operatory Ψ̂ są zwykłymi operatorami pola, które annihilują (kreują) cząstkę w miejscu r o
spinie α i spełniają następujące relacje komutacyjne
n
o
= 0,
(4)
n
o
= 0,
(5)
= δαβ δ 3 r − r0 .
(6)
Ψ̂α (r, t) , Ψ̂β r0 , t
Ψ̂†α (r, t) , Ψ̂†β r0 , t
n
Ψ̂α (r, t) , Ψ̂†β r0 , t
o
Pomysłem Bogoliubova było wyrażenie operatorów pola Ψ̂ poprzez kombinację liniową innych
operatorów z pewnymi amplitudami wn . Dzięki temu możemy napisać
Ψ̂α (r, t) =
X
(7)
wn (r, t) ĉnα ,
n
gdzie operator ĉnα annihiluje cząstkę o spinie α będącą w stanie n. Dla nadprzewodników
jednorodnych znana jest transformacja kanoniczna diagonalizująca hamiltonian (transformacja
ta różni się od tej wprowadzonej w rozdziale drugim, wybór ten jest zgodny z pracami [12] oraz
[21])
†
ĉn↑ = un γ̂n↑ − vn∗ γ̂n↓
,
(8)
†
ĉn↓ = un γ̂n↓ + vn∗ γ̂n↑
.
(9)
oraz
Wstawmy teraz równania (8) i (9) do równania (7). Dla spinu α =↑ otrzymamy
Ψ̂↑ (r, t) =
Xh
i
(10)
i
(11)
†
un (r, t) γ̂n↑ − vn∗ (r, t) γ̂n↓
,
n
natomiast dla spinu α =↓ otrzymamy
Ψ̂↓ (r, t) =
Xh
†
un (r, t) γ̂n↓ + vn∗ (r, t) γ̂n↑
.
n
Równanie ruchu dla operatorów pola ma postać
i~
i
∂ Ψ̂α (r, t) h
= Ψ̂α (r, t) , Ĥ (e) .
∂t
(12)
Aby je rozwiązać, musimy policzyć komutatory następujących wielkości
∂ Ψ̂α (r, t)
i~
∂t
=
Ψ̂α (r, t) ,
+
+
Ψ̂α (r, t) ,
Ψ̂†α
3 0
Ψ̂†α
d r
Z
Ψ̂α (r, t) ,
3 0
d r
Z
Ψ̂α (r, t) ,
+
Z
Z
0
0
0
0
r , t H0 Ψ̂α r , t
0
+
0
r , t U r , t Ψ̂α r , t
d3 r0 ∆ r0 , t Ψ̂†↑ r0 , t Ψ̂†↓ r0 , t
68
+
d3 r0 ∆∗ r0 , t Ψ̂↓ r0 , t Ψ̂↑ r0 , t
+
.
(13)
Aby uprościć obliczenia, będziemy korzystali z własności
h
i
n
o
n
o
(14)
Â, B̂ Ĉ = Â, B̂ Ĉ + B̂ Â, Ĉ .
Dzięki własności (14) otrzymamy następujący wynik dla pierwszego komutatora
Z
Ψ̂α (r, t) ,
3 0
d r
Ψ̂†α
0
0
0
r , t H0 Ψ̂α r , t
Z
d3 r0 Ψ̂α (r, t) , Ψ̂†α r0 , t
Z
d3 r0 Ψ̂†α r0 , t H0 Ψ̂α (r, t) , Ψ̂α r0 , t
n
=
−
0
Z
o
0
H0 Ψ̂α r0 , t +
n
0
o
=
d3 r0 δ 3 r − r0 H0 Ψ̂α r0 , t =
=
0
(15)
= H0 Ψ̂α (r, t) ,
natomiast dla drugiego komutatora otrzymamy
Z
Ψ̂α (r, t) ,
3 0
d r
Ψ̂†α
0
0
0
r , t U r , t Ψ̂α r , t
Z
d3 r0 Ψ̂α (r, t) , Ψ̂†α r0 , t
Z
d3 r0 Ψ̂†α r0 , t U r0 , t
=
−
Z
=
n
o
U r0 , t Ψ̂α r0 , t +
n
Ψ̂α (r, t) , Ψ̂α r0 , t
o
=
d3 r0 δ 3 r − r0 U r0 , t Ψ̂α r0 , t =
(16)
= U (r, t) Ψ̂α (r, t) .
Trzeci komutator wyrazi się jako
Z
Ψ̂α (r, t) ,
3 0
0
d r ∆ r ,t
Ψ̂†↑
0
r ,t
Ψ̂†↓
0
r ,t
Z
d3 r 0 ∆ r 0 , t
Z
d3 r0 ∆ r0 , t Ψ̂†↑ r0 , t
=
−
Ψ̂α (r, t) , Ψ̂†↑ r0 , t
o
Ψ̂†↓ r0 , t +
n
Ψ̂α (r, t) , Ψ̂†↓ r0 , t
Z
d3 r0 ∆ r0 , t δ 3 r − r0 δα↑ Ψ̂†↓ r0 , t +
Z
d3 r0 ∆ r0 , t δ 3 r − r0 δα↓ Ψ̂†↑ r0 , t =
=
−
n
o
=
= ∆ (r, t) δα↑ Ψ̂†↓ r0 , t − ∆ (r, t) δα↓ Ψ̂†↑ r0 , t , (17)
natomiast czwarty komutator możemy zapisać jako
Z
Ψ̂α (r, t) ,
d3 r0 ∆∗ r0 , t Ψ̂↓ r0 , t Ψ̂↑ r0 , t
= 0.
(18)
Równanie (13) przyjmie więc ostatecznie postać
i~
∂ Ψ̂α (r, t) 0
= H0 + U (r, t) Ψ̂α (r, t) + ∆ (r, t) Ψ̂†↓ δα↑ r0 , t − ∆ (r, t) Ψ̂†↑ r0 , t δα↓ .
∂t
(19)
Wstawiając za alpha dwie wartości spinu, otrzymamy równania
∂ Ψ̂↑ (r, t) 0
= H0 + U (r, t) Ψ̂↑ (r, t) + ∆ (r, t) Ψ̂†↓
∂t
(20)
∂ Ψ̂↓ (r, t) 0
= H0 + U (r, t) Ψ̂↓ (r, t) − ∆ (r, t) Ψ̂†↑ r0 , t
∂t
(21)
i~
i~
69
Wstawimy teraz postać operatorów pola Ψ̂ z równań (10) i (11) do równań (20) i (21)
i~
i
0
Xh
i
∂ Xh
†
†
= H0 + U (r, t)
+
un (r, t) γ̂n↑ − vn∗ (r, t) γ̂n↓
un (r, t) γ̂n↑ − vn∗ (r, t) γ̂n↓
∂t n
n
+ ∆ (r, t)
Xh
i
†
u∗n (r, t) γ̂n↓
+ vn (r, t) γ̂n↑ ,
(22)
n
i~
i
0
Xh
i
∂ Xh
†
†
= H0 + U (r, t)
+
un (r, t) γ̂n↓ + vn∗ (r, t) γ̂n↑
un (r, t) γ̂n↓ + vn∗ (r, t) γ̂n↑
∂t n
n
− ∆ (r, t)
Xh
i
†
u∗n (r, t) γ̂n↑
− vn (r, t) γ̂n↓ .
(23)
n
Jeżeli pogrupujemy wyrazy przy tych samych symbolach γ


i~ ∂ un (r, t) = H 0 + U (r, t) un (r, t) + ∆ (r, t) vn (r, t) ,
0
∂t

∂
∗
−i~ v (r, t) = − H 0 + U (r, t) v ∗ (r, t) + ∆ (r, t) u∗ (r, t) ,
∂t n
n
0
(24)
n
i sprzęgniemy drugie równanie, otrzymamy równania Bogoliubova-de Gennesa zależne od czasu
[9]


i~ ∂ un (r, t) = H 0 + U (r, t) un (r, t) + ∆ (r, t) vn (r, t) ,
0
∂t

i~ ∂ vn (r, t) = − H 0 + U (r, t) vn (r, t) + ∆∗ (r, t) un (r, t) .
(25)
0
∂t
Otrzymany przez nas układ równań różniczkowych definiuje amplitudy un (r, t) i vn (r, t) opisujące stan nadprzewodzący.
5.2. Parametr porządku
Równania Bogoliubova-de Gennesa pozostawiają niezdefiniowaną postać parametru porządku.
Postać tę możemy otrzymać [9], rozwiązując równanie
∆ (r, t) = V hΨ̂↑ r0 , t Ψ̂↓ r0 , t i.
(26)
Wstawmy postać operatorów pola Ψ̂ z równań (10) i (11) do równania (26)
Xh
∆ (r, t) = V h
†
un (r, t) γ̂n↑ − vn∗ (r, t) γ̂n↓
n
= V
X
u2n (r, t) hγ̂n↑ γ̂n↓ i
−
iXh
i
†
un (r, t) γ̂n↓ + vn∗ (r, t) γ̂n↑
i=
n
† †
∗2
vn (r, t) hγ̂n↓
γ̂n↑ i
+
n
+ V
X
= V
X
= V
X
= V
X
†
†
un (r, t) vn∗ (r, t) hγ̂n↑ γ̂n↑
i − vn∗ (r, t) un (r, t) hγ̂n↓
γ̂n↓ i =
n
†
†
vn∗ (r, t) un (r, t) hγ̂n↑ γ̂n↑
i − hγ̂n↓
γ̂n↓ i =
n
†
†
vn∗ (r, t) un (r, t) 1 − hγ̂n↑
γ̂n↑ i − hγ̂n↓
γ̂n↓ i =
n
vn∗ (r, t) un (r, t) (1 − 2fF D ) .
n
70
(27)
Znaczenie funkcji Fermiego fF D , która pojawiła się w tym wyrażeniu, jest bardzo problematyczne w przypadku zależnym od czasu. Jeżeli jednak założymy, że zaburzenia układu w czasie
są małe, możemy przyjąć, iż funkcja fF D opisuje liczbę obsadzeń układu pozostającego w równowadze (formalnie oznacza to, że jest to liczba obsadzeń naszego układu dla czasu t = −∞).
5.3. Rozwiązanie równań Bogoliubova-de Gennes’a
Aby otrzymać postać un (r, t) i vn (r, t), rozwiążemy teraz równania Bogoliubova-de Gennes’a zależne od czasu. Przepiszmy sobie równania (25) do postaci macierzowej i wprowadźmy
0
oznaczenie en (r, t) = H0 + U (r, t)





un (r, t)
e (r, t)
∆ (r, t)
u (r, t)
∂
= n
 n
.
i 
∂t
vn (r, t)
∆∗ (r, t) −en (r, t)
vn (r, t)
(28)
Dla wygody obliczeń przyjęliśmy ~ = 1. W tej części korzystać będziemy również z równań
Bogoliubova-de Gennes’a niezależnych od czasu [9], które mają postać


en (r, t)
∆ (r, t)
∆∗ (r, t) −en (r, t)


un (r, t)
vn (r, t)


 = n 
un (r, t)
vn (r, t)

.
(29)
W dalszych rozważaniach traktować będziemy parametr porządku ∆ (r, t) jako małe zaburzenie
i korzystając z teorii zaburzeniowej poszukiwać będziemy poprawek do funkcji un (r, t) i vn (r, t)


un (r, t) = u(0)
n (r, t) + δun ,

vn (r, t) = vn(0) (r, t) + δvn ,
(0)
(30)
(0)
gdzie un (r, t) i vn (r, t) są rozwiązaniami dla stanu normalnego (∆ (r, t) = 0), natomiast δun i
δvn są poprawkami dla stanu nadprzewodzącego (∆ (r, t) 6= 0).
Gdy ∆ (r, t) = 0 równanie (29) przyjmie postać

(0)

en (r, t) u(0)
n (r, t) = ξn un (r, t) ,

en (r, t) vn(0) (r, t) = −ξn vn(0) (r, t) ,
(31)
natomiast równanie (28) wyrazi się jako

(0)

i ∂ u(0)
∂t n (r, t) = en (r, t) un (r, t) ,

i ∂ vn(0) (r, t) = en (r, t) vn(0) (r, t) .
∂t
(32)
Korzystając z (31) i (32) możemy napisać

(0)

i ∂ u(0)
∂t n (r, t) = ξn un (r, t) ,

i ∂ vn(0) (r, t) = −ξn vn(0) (r, t) .
∂t
71
(33)
Rozwiązaniem takiego układu równań są funkcje


−ien t θ (e ) ,
u(0)
n (r, t) = e
n
(34)

vn(0) (r, t) = eien t θ (−en ) .
Rozwiązanie to da się wyrazić w bardziej ogólnej postaci, poprzez wprowadzenie przypadkowej
fazy φn


−ien t θ (e ) ,
u(0)
n (r, t) = e
n
(35)

vn(0) (r, t) = eiφn eien t θ (−en ) .
Rozwińmy teraz δun i δvn w kombinacje liniowe ortonormalnych funkcji Φm
δun =
X
an,m (t) Φm ,
(36)
bn,m (t) Φ∗m .
(37)
m
δvn =
X
m
Jeżeli wypiszemy sobie równania Bogoliubova-de Gennesa dla tych wielkości, pomnożymy równanie (36) przez Φ∗n a równanie (37) przez Φn , przecałkujemy te równania i skorzystamy z analizy
stabilności wykonanej w pracy [4] (która pokazuje, że ∆ (t) ∼ eγt e−iωt ), otrzymamy postać δun i
δvn


δun =
∆(r,t)vn (r,t)
iγ−2ξn +w ,

δvn =
∆∗ (r,t)un (r,t)
iγ+2ξn −w .
(0)
(38)
(0)
Możemy więc wypisać pełną zależność od czasu dla funkcji un (r, t) oraz vn (r, t) jako


un (r, t) = e−iξn t θ (ξn ) +
(0)
∆(r,t)vn (r,t)
iγ−2ξn +w ,

vn (r, t) = eiφn eiξn t θ (−ξn ) +
(0)
∆∗ (r,t)un (r,t)
iγ+2ξn −w .
(39)
5.4. Równania Bogoliubova-de Gennes’a jako równanie typu Blocha
W tej części pracy pokażemy w jaki sposób można przekształcić równania Bogoliubova-de
Gennes’a, które dają rozwiązania na amplitudy un (r, t) i vn (r, t), do postaci równań typu Blocha
[21]. Zabieg ten jest bardzo przydatny, dzięki niemu otrzymamy postać podlegającą rozwiązaniu tak numerycznemu, jak i analitycznemu. Osiągnąć to można wprowadzając nowe zmienne.
Przepiszmy równania Bogoliubova-de Gennes’a zależne od czasu w postaci macierzowej (28)
i uprośćmy zapis, wprowadzając oznaczenia un (r, t) = un , vn (r, t) = vn , en (r, t) = en oraz
∆ (r, t) = ∆





un
e
∆
u
∂
= n
 n .
i 
∂t
vn
∆∗ −en
vn
72
(40)
W tym miejscu wprowadzimy nowe zmienne (patrz równanie (21) w pracy [21]), które wyrażą
się w następujący sposób przez un i vn∗
fn = 2un vn∗ ,
(41)
gn = |un |2 − |vn∗ |2 .
(42)
Będziemy chcieli teraz wykorzystać równania Bogoliubova-de Gennes’a. W tym celu policzmy
pochodne równań (41) i (42)
∂
∂
∂
i fn = 2 i un vn∗ + 2un i vn∗ ,
∂t
∂t
∂t
∂
∂ ∗
∂
∂
∂
∗
∗
∗
∗
i gn = i un un + un i un − i vn vn − vn i vn ,
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
(43)
(44)
∂
∂
∂ ∗
∂ ∗
i w miejsca pochodnych i ∂t
un , i ∂t
vn , i ∂t
un oraz i ∂t
vn wstawmy wartości z równania (40)
∂
fn = 2 (en un (r, t) + ∆ (r) vn (r, t)) vn∗ + 2un (en vn∗ (r, t) − ∆∗ (r) u∗n (r, t)) ,
∂t
∂
i gn = (en un (r, t) + ∆ (r) vn (r, t)) u∗n + un (−en u∗n (r, t) − ∆∗ (r) vn∗ (r, t)) +
∂t
− (en vn∗ (r, t) − ∆ (r) u∗n (r, t)) vn − vn∗ (−en vn (r, t) + ∆∗ (r) un (r, t)) .
i
(45)
(46)
Po matematycznych przekształceniach otrzymujemy następujące równania
∂
fn = −2ien fn + 2i∆gn .
∂t
∂
gn = i∆∗ fn − i∆fn∗ .
∂t
(47)
(48)
Otrzymane równania muszą zostać uzupełnione o równanie na parametr porządku. Ponieważ
zdefiniowaliśmy go jako ∆ = V
X
un vn∗ (w T = 0), a następnie wprowadziliśmy zmienną fn =
n
2un vn∗ ,
więc możemy napisać, że ∆ =
parametr porządku ∆ = V
X
V X
fn . Jednocześnie, w rozdziale 4, pokazaliśmy, że
2 n
hσ̂k+ i. Z porównania tych wielkości wynika, że
k
fn = 2hσ̂k+ i = r1 + ir2 .
(49)
Następnie, korzystając z warunku normalizacyjnego (r1 )2 + (r2 )2 + (r3 )2 = 1, możemy napisać
|fn |2 = (r1 )2 + (r2 )2 = 1 − (r3 )2 .
(50)
Przekształćmy to równanie do postaci
(r3 )2 = 1 − |fn |2 = 1 − 4|un |2 |vn∗ |2 ,
(51)
i skorzystajmy z warunku |un |2 + |vn∗ |2 = 1 (patrz równanie (13), rozdział 3)
(r3 )2 = |un |2 + |vn∗ |2 − 4|un |2 |vn∗ |2 .
73
(52)
Równanie (52) przekształćmy do postaci
(r3 )2 = |un |2 1 − 2|vn∗ |2 + |vn∗ |2 1 − 2|un |2 ,
(53)
i ponownie skorzystajmy z warunku |un |2 + |vn∗ |2 = 1
(r3 )2 = |un |2 |un |2 + |vn∗ |2 − 2|vn∗ |2 + |vn∗ |2 |un |2 + |vn∗ |2 − 2|un |2 .
(54)
Równanie (54) da się zapisać w prostszej postaci
(r3 )2 = |un |2 (gn ) + |vn∗ |2 (−gn ) ,
(55)
dzięki której otrzymamy równanie
(gn )2 = (r3 )2 .
(56)
gn = r3 .
(57)
Możemy więc napisać, że
Wstawmy teraz równania (49) i (57) do równań (47) i (48). Dzięki temu otrzymamy
∂
(r1 + ir2 ) = −2ien (r1 + ir2 ) + 2i∆r3 ,
∂t
∂
(r3 ) = i∆∗ (r1 + ir2 ) − i∆ (r1 − ir2 ) .
∂t
0
(58)
(59)
00
Wstawiając do powyższych równań ∆ = ∆ + i∆ i rozpisując pierwsze równanie na część
rzeczywistą i urojoną otrzymamy następujący układ równań

00

∂

r
=
2
e
r
−
∆
r

n 2
3 ,

∂t 1



0
∂
r =2 ∆ r −e r
(60)
,
3
n 1
∂t 2



00

0

∂

r3 = 2 ∆ r 1 − ∆ r 2 .
 ∂t
0
00
Układ równań (60) można przepisać wprowadzając oznaczenie ~bn = ∆ , ∆ , en


 ∂ r1 = 2 (b3 r2 − b2 r3 ) ,


∂t



∂
r = 2 (b r − b r ) ,
1 3
3 1
∂t 2





 ∂ r3 = 2 (b2 r1 − b1 r2 ) ,

∂t
(61)
dzięki czemu układ (61) da się zapisać w wyprowadzonej wcześniej postaci (patrz rozdział 4,
równanie (49)) równania typu Blocha
~r˙n = −2~bn × ~rn .
(62)
W rozdziale tym pokazaliśmy, iż zastosowanie innego formalizmu opisu zjawisk dynamicznych
w gazie Fermiego sprowadza się do formalizmu opisanego w rozdziale 5. Dzięki temu symulacje numeryczne zamieszczone we wspomnianym rozdziale odnoszą się również do przypadku
opisywanych w tym rozdziale równań Bogoliubova-de Gennes’a.
74
Podsumowanie i wnioski
Celem powyższej pracy było badanie dynamiki par Coopera w układach fermionów z oddziaływaniem zależnym od czasu. Sytuacja fizyczna tego rodzaju realizowana jest w przeprowadzanych obecnie eksperymentach nad spułapkowanymi atomami typu fermionowego, ochłodzonymi do ekstremalnie niskich temperatur, w pobliżu tak zwanych magnetycznych rezonansów Feshbacha, a także w złączach nadprzewodnik-metal-nadprzewodnik lub nadprzewodnikpółprzewodnik-nadprzewodnik z zależnym od czasu potencjałem bramki.
Zasadniczą częścią tej pracy są rozdziały 3, 4 i 5. W rozdziale trzecim zaprezentowana została metoda Andersona rozwiązania problemu BCS. Metoda ta polega na wprowadzeniu notacji
pseudospinowej i wykorzystaniu jej do opisu par Coopera. W rozdziale tym przedstawiony jest
sposób odtworzenia stacjonarnego rozwiązania BCS, zarówno w przypadku stanu podstawowego
(T = 0), jak i dla dowolnej temperatury T .
W rozdziale czwartym przedstawiony został sposób otrzymania równania typu Blocha dla
wprowadzonego w rozdziale trzecim formalizmu. Równanie to pozwala badać zagadnienie dynamiki układu fermionów. W rozdziale czwartym przedstawione zostały dwa rozwiązania równania typu Blocha - rozwiązanie multisolitonowe, pochodzące z prac [12] oraz [21], oraz rozwiązanie nazywane przez nas ogólnym. Rozwiązanie multisolitonowe wydaje się być rozwiązaniem
szczególnym, ponieważ nie znajduje potwierdzenia w ogólnych rachunkach, wykonanych w samouzgodniony sposób. Zagadnienie to wymagałoby jednak dalszych badań, w celu wyjaśnienia
różnic między tymi dwoma rozwiązaniami.
Rozdział piąty poświęcony jest mniej znanemu formalizmowi Bogoliubova-de Gennesa, który
również pozwala badać procesy zależne od czasu. W rozdziale tym przedstawiona jest metoda
otrzymania równań Bogoliubova-de Gennesa zależnych od czasu, a także sposób ich przekształcenia do bardziej znanego formalizmu z rozdziału czwartego.
75
76
Dodatek A
W poniższym programie zastosowana została najprostsza (i zarazem najmniej dokładna) metoda równania różniczkowego, nazywana metodą Eulera. Polega ona na zastąpieniu różniczek
dy i dt w równaniu
dy
= f (t, y) ,
dt
przez skończone przyrosty ∆y i ∆t. Dzięki temu możemy napisać
∆y = ∆tf (t, y) .
(63)
(64)
Kolejne wartości funkcji y w kolejnych chwilach czasu otrzymamy zadając warunek początkowy
y (t0 ) = y0 , wybierając wartość przyrostu ∆t, a następnie iterując równanie
yi+1 = yi + ∆tf (t, y) .
(65)
Zaletą tej metody jest jej prostota, jednak posiada ona poważne wady - jest znacznie mniej
dokładna w porównaniu do innych, bardziej skomplikowanych, metod, a także, przy wybraniu
zbyt dużego kroku czasowego ∆t, powoduje znaczny wzrost błędów numerycznych, co może
prowadzić do niestabilności.
PROGRAM RowRozniczkoweEuler
INTEGER n
DOUBLE PRECISION F0,DeltaMinus,DeltaPlus,dx,PochF0,PochF02,x,z
PRINT*,’Podaj wartosc startowa funkcji Omega(t=0):’
READ*,F0
PRINT*,’Podaj wartosc parametru Delta-:’
READ*,DeltaMinus
PRINT*,’Podaj wartosc parametru Delta+:’
READ*,DeltaPlus
PRINT*,’Podaj ilosc iteracji n:’
READ*,n
PRINT*,’Podaj wartosc przyrostu funkcji w procesie iteracji dx:’
READ*,dx
77
x=0
z=1
IF (DeltaPlus.LT.DeltaMinus) THEN
PRINT*,’Delta+ jest mniejsza niz Delta-’
ELSE
OPEN(1, FILE=’wyniki.txt’)
WRITE(1,*) x,DeltaMinus
DO 10 i=1,n
PochF02=(F0**2-DeltaMinus**2)*(DeltaPlus**2-F0**2)
PochF0=z*SQRT(ABS(PochF02))
F0=F0+dx*PochF0
x=x+dx
IF (F0.GT.DeltaPlus) THEN
z=-1
F0=2*DeltaPlus-F0
ENDIF
IF (F0.LT.DeltaMinus) THEN
z=1
F0=2*DeltaMinus-F0
ENDIF
WRITE(1,*) x,F0
10
CONTINUE
CLOSE(1)
ENDIF
END
78
Program RowRozniczkoweRK4 wykorzystuje jedną z najczęściej używanych metod rozwiązania równań różniczkowych - metodę Rungego-Kutty czwartego rzędu. Metoda ta zapewnia
rozsądną dokładność bez potrzeby stosowania bardzo małego kroku czasowego ∆t. Polega ona
na zastąpieniu różniczek dy i dt w równaniu różniczkowym
dy
= f (t, y) ,
dt
(66)
skończonymi przyrostami ∆y i ∆t. Iteracyjny wzór w metodzie Rungego-Kutty czwartego rzędu
ma postać
yi+1 = yi +
k1 k2 k3 k4
+
+
+ .
6
3
3
6
(67)
Zadając warunek początkowy y (t0 ) = y0 , wybierając wartość przyrostu ∆t oraz obliczając
współczynniki k1 , k2 , k3 i k4 , które zdefiniowane są jako
k1 = ∆tf (ti , yi ) ,
∆t
k1
,
k2 = ∆tf ti +
, yi +
2
2
∆t
k2
k3 = ∆tf ti +
, yi +
,
2
2
k4 = ∆tf (ti + ∆t, yi + k3 ) .
(68)
otrzymamy kolejne wartości y (t).
PROGRAM RowRozniczkoweRK4
INTEGER n
DOUBLE PRECISION F0,DeltaMinus,DeltaPlus,PochF0,PochF02,x,z,D0
DOUBLE PRECISION h,k1,k2,k3,k4
PRINT*,’Podaj wartosc startowa funkcji Omega(t=0):’
READ*,F0
PRINT*,’Podaj wartosc parametru Delta-:’
READ*,DeltaMinus
PRINT*,’Podaj wartosc parametru Delta+:’
READ*,DeltaPlus
PRINT*,’Podaj ilosc krokow n:’
READ*,n
PRINT*,’Podaj wartosc parametru h:’
READ*,h
x=0
z=1
D0=F0
79
(69)
(70)
(71)
IF (DeltaPlus.LT.DeltaMinus) THEN
PRINT*,’Delta+ jest mniejsza niz Delta-’
ELSE
OPEN(1, FILE=’wyniki.txt’)
WRITE(1,*) x,DeltaMinus
DO 10 i=1,n
PochF02=(F0**2-DeltaMinus**2)*(DeltaPlus**2-F0**2)
PochF0=z*SQRT(ABS(PochF02))
k1=PochF0
k2=z*SQRT(ABS(((F0+(h/2)*k1)**2-DeltaMinus**2)*
*
(DeltaPlus**2-(F0+(h/2)*k1)**2)))
k3=z*SQRT(ABS(((F0+(h/2)*k2)**2-DeltaMinus**2)*
*
(DeltaPlus**2-(F0+(h/2)*k2)**2)))
k4=z*SQRT(ABS(((F0+h*k3)**2-DeltaMinus**2)*
*
(DeltaPlus**2-(F0+h*k3)**2)))
F0=F0+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)
x=x+h
IF (F0.GT.DeltaPlus) THEN
z=-1
F0=2*DeltaPlus-F0
ENDIF
IF (F0.LT.DeltaMinus) THEN
z=1
F0=2*DeltaMinus-F0
ENDIF
WRITE(1,*) x,F0
10
CONTINUE
CLOSE(1)
ENDIF
END
80
Dodatek B
Program zamieszczony w dodatku B do rozwiązywania równań różniczkowych wykorzystuje
metodę Eulera. Schemat ideowy tej metody został opisany w dodatku A.
#include <stdio.h>
#include <iostream.h>
#include <conio.h>
#include <dos.h>
#include <stdlib.h>
#include <fstream>
#include <math.h>
#include <time.h>
long double fi[20001];
long double r[4][20001];
long double dr[4][20001];
long double e[20001];
long double b[4][20001];
int i,j,n;
long double delta1,delta2,t,dt,V,sumfi,sumr1,sumr2,beta,T;
long double pi=acos(-1);
void main()
{
clrscr();
srand(time(NULL));
cout << "\nPodaj krok czasowy dt: ";
cin >> dt;
cout << "\nPodaj ilosc krokow n: ";
cin >> n;
81
V=1.0;
t=0.0;
delta1=0.0;
delta2=0.0;
beta=1.0/4.5;
ofstream aout("ei.txt", ios::app);
for(i=-10000; i<10001; i++)
{
e[i+10000]=(V*i);
e[i+10000]=e[i+10000]/2000.0;
aout << e[i+10000] << endl;
}
aout.close();
for(i=0; i<20001; i++)
{
fi[i]=(rand()%1001)/1000.0;
}
for(i=0; i<20000; i++)
{
sumfi=sumfi+fi[i];
}
sumfi=sumfi/20000.0;
cout << sumfi << endl;
fi[20001]=0.5-sumfi;
ofstream a1out("liczbyfi.txt", ios::app);
for(i=0; i<20001; i++)
{
a1out << fi[i] << endl;
}
a1out.close();
ofstream b1out("rxryrz.txt", ios::app);
for(i=0; i<20001; i++)
82
{
r[1][i]=cos(2.0*pi*fi[i])/cosh(beta*e[i]);
r[2][i]=sin(2.0*pi*fi[i])/cosh(beta*e[i]);
r[3][i]=tanh(beta*e[i]);
b1out << r[1][i] << " " << r[2][i] << " " << r[3][i] << endl;
}
b1out.close();
ofstream b2out("bxbyibz.txt", ios::app);
for(i=0; i<20001; i++)
{
b[1][i]=delta1;
b[2][i]=delta2;
b[3][i]=-e[i];
b2out << b[1][i] << " " << b[2][i] << " " << b[3][i] << endl;
}
b2out.close();
ofstream e1out("delta.txt", ios::app);
e1out << t << " " << delta1 << " " << delta2 << endl;
e1out.close();
ofstream dout("wyniki.txt", ios::app);
ofstream eout("delta.txt", ios::app);
for(j=0; j<n; j++)
{
sumr1=0.0;
sumr2=0.0;
for(i=0; i<20001; i++)
{
dr[1][i]=2*(b[3][i]*r[2][i]-b[2][i]*r[3][i]);
dr[2][i]=2*(b[1][i]*r[3][i]-b[3][i]*r[1][i]);
dr[3][i]=2*(b[2][i]*r[1][i]-b[1][i]*r[2][i]);
}
t=t+dt;
for(i=0; i<20001; i++)
83
{
r[1][i]=r[1][i]+dt*dr[1][i];
r[2][i]=r[2][i]+dt*dr[2][i];
r[3][i]=r[3][i]+dt*dr[3][i];
}
dout << t << " " << r[1][11000] << " "
<< r[2][11000] << " " << r[3][11000] << endl;
for(i=0; i<20001; i++)
{
sumr1=sumr1+r[1][i];
sumr2=sumr2+r[2][i];
}
delta1=V*sumr1/20001.0;
delta2=V*sumr2/20001.0;
for(i=0; i<20001; i++)
{
b[1][i]=delta1;
b[2][i]=delta2;
}
eout << t << " " << delta1 << " " << delta2 << endl;
}
eout.close();
dout.close();
}
84
Spis rysunków
1.
Wykres zrobiony przez Heike Kamerlingha Onnesa - opór badanej próbki rtęci
jako funkcja temperatury. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.
Efekt Meissnera dla nadprzewodzącej kuli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.
Wykres ciepła właściwego galu w stanie normalnym i nadprzewodzącym. . . . .
17
4.
Ilustracja przykładowego rezonansu Feshbacha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
5.
Metoda rozwiązania hamiltonianu BCS w reprezentacji pseudospinowej. . . . . .
34
6.
Wykres zależności wartości średniej składowej pseudospinu hσ̂kx i od energii ξk ,
opisanej wzorem (41). Energia ξk mierzona jest w jednostkach ∆. . . . . . . . . . .
7.
Wykres zależności wartości średniej składowej pseudospinu
hσ̂kz i
36
od energii ξk ,
opisanej wzorem (42). Energia ξk mierzona jest w jednostkach ∆. . . . . . . . . . .
37
8.
Nadprzewodzący stan podstawowy (ściana domeny). . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
9.
Zależność czasowa parametru porządku ∆ pochodząca z symulacji numerycznej
dla różnych zestawów parametrów - wykres na górze Ω (0) = 0.01001, ∆− = 0.01,
∆+ = 1, wykres środkowy Ω (0) = 0.5001, ∆− = 0.5, ∆+ = 1, natomiast wykres
na dole Ω (0) = 0.9001, ∆− = 0.9, ∆+ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.
50
Zależność czasowa parametru porządku ∆ pochodząca z symulacji numerycznej
dla różnych zestawów parametrów - wykres na górze Ω (0) = 0.01001, ∆− = 0.01,
∆+ = 1, wykres środkowy Ω (0) = 0.5001, ∆− = 0.5, ∆+ = 1, natomiast wykres
na dole Ω (0) = 0.9001, ∆− = 0.9, ∆+ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.
Zależność czasowa wartości średnich składowych M1 , M2 i M3 wykreślona dla
jednego ze spinów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.
0
15.
54
00
Zależność czasowa części rzeczywistej ∆ (t) i części urojonej ∆ (t) parametru
porządku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.
53
Zależność czasowa wartości średnich składowych M1 , M2 i M3 wykreślona dla
jednego ze spinów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.
51
Zależność czasowa wartości średnich składowych
rkx , rky
i
rkz
56
dwóch różnych pseu-
dospinów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Zależność potencjału parowania V od czasu t pochodząca ze wzoru (57). . . . .
58
85
16.
0
00
porządku dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 15. . . . . . . .
17.
18.
19.
rkx , rky
i rkz dwóch różnych pseu-
dospinów dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 15. . . . . . . .
60
60
0
00
20.
21.
22.
rkx , rky
61
62
63
0
00
23.
59
rkx , rky
86
64
65
Bibliografia
[1] P.W. Anderson - Random-Phase Approximation in the Theory of Superconductivity,
Phys. Rev. 112, 900 (1958).
[2] Charles Kittel - Quantium Theory of Solids, John Wiley & Sons, INC., 1964.
[3] J.R. Schrieffer - Theory of Superconductivity, W.A.Benjamin, Inc., Publishers, New York,
Amsterdam (1964).
[4] E. Abrahams, T. Tsuneto - Time Variation of the Ginzburg-Landau Order Parameter,
Phys. Rev. 152, 416 (1966).
[5] A.L. Fetter, J.D. Walecka - Kwantowa teoria układów wielu cząstek, PWN, Warszawa
1988.
[6] H. Ibach i H. Lüth - Fizyka Ciała Stałego, PWN, Warszawa 1996.
[7] Rudolf de Bruyn Outboter - Heike Kamerlingh Onnes: odkrywca nadprzewodnictwa,
Świat Nauki nr 5, 1997.
[8] Charles Kittel - Wstęp do fizyki ciała stałego, PWN, Warszawa 1999.
[9] J.B. Ketterson, S.N. Song - Superconductivity, Cambridge University Press, Cambridge
(1999).
[10] S. Szpikowski - Elementy Mechaniki Kwantowej, Wydawnictwo UMCS, Lublin 1999.
[11] W. Ketterle - Gdy atomy zachowują się jak fale: kondensacja Bosego-Einsteina i laser
atomowy, Postępy Fizyki, Tom 54, Zeszyt 1 (2003).
[12] R.A. Barankow, L.S. Levitov, B.Z. Spivak - Collective Rabi Oscillations and Solitons in
a Time-Dependent BCS Pairing Problem, Phys. Rev. Lett. 93, 160401 (2004).
[13] R.A. Barankow, L.S. Levitov - Atom-Molecule Coexistence and Collective Dynamics Near
a Feshbach Resonance of Cold Fermions, Phys. Rev. Lett. 93, 130403 (2004).
[14] R.A. Barankow, L.S. Levitov - Dynamical Projection of Atoms to Feshbach Molecules at
Strong Coupling, Phys. Rev. Lett. 93, 130403 (2004).
87
[15] A.V. Andreev, V. Gurarie, L. Radzihovsky - Nonequilibrium Dynamics and Thermodynamics of a Degenerate Fermi Gas Across a Feshbach Resonance, Phys. Rev. Lett. 93,
130402 (2004).
[16] A.A. Abrikosov - Nadprzewodniki drugiego rodzaju i sieć wirów, Postępy Fizyki, Tom
55, Zeszyt 5 (2004).
[17] M.W. Zwierlein, C.H. Schunck, C.A. Stan, S.M.F. Raupach, W. Ketterle - Formation Dynamics of a Fermion Pair Condensate, Phys. Rev. Lett. 94, 180401 (2005).
[18] E.A. Yuzbashyan, B.L. Altshuler, V.B.Kuznetsov, V.Z. Enolskii - Nonequilibrium Cooper
Pairing in the Non-adiabatic Regime Condensed Matter 0505493 (2005).
[19] M. Greiner, Cindy A.Regal, D.S. Jin- Fermi Condensates, Condensed Matter 0502539 (2005).
[20] T. Domański - Nadprzewodniki - nowe fakty i teorie, Postępy fizyki (2006).
[21] R.A. Barankow, L.S. Levitov - Dynamical Selection in Developing Fermionic Pairing,
Physical Review A, vol. 73, 033614 (2006).
88

Jaromir Krzyszczak Dynamika par Coopera w układach fermionów z

Transkrypt

Podobne dokumenty

Pobierz ofertę dla firm