Analiza zespolona Lista 5 1. Wyznaczyć część rzeczywistą i część

Analiza zespolona Lista 5
1. Wyznaczyć część rzeczywistą i część urojoną funkcji:
(a)
(c)
(e)
(g)
(i)
(k)
f (z) = z 2 ,
f (z) = z 4 − z,
f (z) = ze2z ,
f (z) = tan z,
f (z) = ez ,
f (z) = sin z,
(b)
(d)
(f )
(h)
(j)
(l)
f (z) = z 3 ,
f (z) = sin z,
f (z) = cos z,
f (z) = sinh z,
f (z) = sin z1 ,
,
f (z) = z+1
|z|
(m) f (z) = e−z z 2 , (n) f (z) =
1
.
z2
√
2. Wykazać, że funkcja xy spełnia w punkcie (0, 0) równania Cauchy-Riemanna a
mimo to nie ma w punkcie (0, 0) pochodnej.
3. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f (z) = x3 − 3xy 2 + x + i(y − y 3 + 3x2 y).
4. Wykazać, że funkcje f (z) = z + Rez, f (z) = iImz 2 , f (z) = z 2 − z nie mają
pochodnej w żadnym punkcie.
5. Wykazać, że funkcja |z|2 ma pochodną tylko w punkcie z0 = 0.
6. Wykazać, że funkcje f (z) = x(2 − x) + y 2 + i2y(1 − x)) i f (z) = x + ex sin y + i(y −
ex cos y) są holomorficzne w całej płaszczyźnie. Obliczyć f ′ (z) oraz f ′′ (z).
7. Sprawdzić czy podana funkcja spełnia równania Cauchy-Riemanna:
(a) f (z) = ez ,
(c) f (z) = z,
(e) f (z) = (z)2 ,
(g) f (z) = z1 ,
(i) f (z) = zz.
(b) f (z) = z 4 ,
(d) f (z) = ln z,
√
(f ) f (z) = z,
(h) f (z) = sinh z,
8. Znaleźć funkcję holomorficzną f (z), gdy dana jest jej część rzeczywista U (x, y):
(a) U (x, y) = x3 − 3xy 2 + x,
x
(c) U (x, y) = x2 +y
2,
(b) U (x, y) = x4 + y 4 − 6x2 y 2 + 2x2 + 2y 2 ,
(d) U (x, y) = ex sin y,
(e) U (x, y) = ln (x2 + y 2 ),
(f ) U (x, y) = 2x − ex cos y.
9. Znaleźć funkcję holomorficzną f (z), gdy dana jest jej część urojona V (x, y):
(a) V (x, y) = 4x3 y − 4xy 3 + 1,
x
(c) V (x, y) = x2 +y
2,
(e) U (x, y) = 2 ln (x2 + y 2 ),
(b) V (x, y) = 4xy(x2 − y 2 ),
(d) V (x, y) = e2x sin 2y + x2 − y 2 ,
(f ) U (x, y) = (x2 − y 2 )ex sin y + 2xyex cos y.