więcej... - sigma web page

Transkrypt

Homologia odwzorowań
T. Kaczyński, K. Mischaikow, M. Mrozek
Computational Homology
Przygotowala: Anna Danielewska
•Go Back •Contents •Full Screen •Close •Quit
Contents
1 Zbiory reprezentowalne
4
2 Kostkowe odwzorowania wielowartościowe
13
3 Selektory lańcuchowe
24
4 Homologia odwzorowań cia̧glych
32
5 Niezmienniczość homotopijna
51
6 Definicje
58
1. Zbiory reprezentowalne
2. Kostkowe odwzorowania wielowartościowe
3. Odwzorowania lańcuchowe
3. Odwzorowania lańcuchowe
4. Homologie
1.
Zbiory reprezentowalne
Definicja 1:
Zbiór Y ⊂ Rd jest reprezentowalny ,
gdy jest skończona̧ suma̧ komórek elementarnych.
Rodzinȩ zbiorów reprezentowalnych w Rd oznaczamy przez Rd.
1.
Zbiory reprezentowalne
Definicja 1:
Zbiór Y ⊂ Rd jest reprezentowalny ,
gdy jest skończona̧ suma̧ komórek elementarnych.
Rodzinȩ zbiorów reprezentowalnych w Rd oznaczamy przez Rd.
Przyklad:
Zbiór
X = ((0, 1) × (0, 1)) ∪ ([0] × [0, 1]) ∪ ((0, 2) × [1])
jest reprezentowalny.
Twierdzenie 1:
Zbiory reprezentowalne maja̧ nastȩpuja̧ce wlasności
Twierdzenie 1:
1. Każda kostka elementarna jest reprezentowalna.
Twierdzenie 1:
2. Jeśli A, B ⊂ Rd sa̧ reprezentowalne, to A ∪ B, A ∩ B oraz A \ B
sa̧ reprezentowalne.
Twierdzenie 1:
2. Jeśli A, B ⊂ Rd sa̧ reprezentowalne, to A ∪ B, A ∩ B oraz A \ B
sa̧ reprezentowalne.
3. X ⊂ Rd jest zbiorem kostkowym wtedy i tylko wtedy,
gdy jest domkniȩty i reprezentowalny.
Twierdzenie 2:
Zbiór A ⊂ Rd jest reprezentowalny wtedy i tylko wtedy, gdy
1. cl A jest ograniczony,
d
◦
◦
2. dla każdej Q ∈ K , Q ∩ A 6= ∅ implikuje Q ⊂ A.
Twierdzenie 3:
Przypuśćmy, że A ∈ Rd. Wtedy A jest domkniȩty wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdej kostki Q ∈ Rd
◦
Q ⊂ A ⇒ Q ⊂ A.
Twierdzenie 3:
Przypuśćmy, że A ∈ Rd. Wtedy A jest domkniȩty wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdej kostki Q ∈ Rd
◦
Q ⊂ A ⇒ Q ⊂ A.
Podobnie, A jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej kostki
Q ∈ Rd
◦
Q ∩ A = ∅ ⇒ Q ∩ A = ∅.
Definicja 2:
Niech A ⊂ Rd zbiór ograniczony. Wtedy otoczka otwarta A
[ ◦
oh(A) := {Q | Q ∈ K, Q ∩ A 6= ∅},
Definicja 2:
Niech A ⊂ Rd zbiór ograniczony. Wtedy otoczka otwarta A
[ ◦
oh(A) := {Q | Q ∈ K, Q ∩ A 6= ∅},
otoczka domkniȩta A
[
◦
ch(A) := {Q | Q ∈ K, Q ∩ A 6= ∅}.
Przyklad:
Weźmy wierzcholek P = [0] × [0] ∈ R2.
oh(P ) = {(x1, x2) ∈ R2 | − 1 < xi < 1}.
Przyklad:
Weźmy wierzcholek P = [0] × [0] ∈ R2.
oh(P ) = {(x1, x2) ∈ R2 | − 1 < xi < 1}.
Twierdzenie 4:
Niech P = [a1] × ... × [ad] ∈ Rd wierzcholek elementarny. Wtedy
oh(P ) = (a1 − 1, a1 + 1) × ... × (ad − 1, ad + 1).
Przyklad:
Niech
X = ((0, 1) × (0, 1)) ∪ ([0] × [0, 1]) ∪ ((0, 2) × [1])
Wtedy
ch(X) = cl(X) = ([0, 1] × [0, 1]) ∪ ([1, 2] × [1])
oraz
oh(X) = ((−1, 1) × (−1, 2)) ∪ ([1, 2) × (0, 2)) ∪ [2, 3) × (1, 2).
Twierdzenie 5:
Niech A ⊂ Rd. Wtedy
1. A ⊂ oh(A) i A ⊂ ch(A).
Twierdzenie 5:
1. A ⊂ oh(A) i A ⊂ ch(A).
2. Zbiór oh(A) jest otwarty i reprezentowalny.
Twierdzenie 5:
1. A ⊂ oh(A) i A ⊂ ch(A).
3. Zbiór ch(A) jest domkniȩty i reprezentowalny.
Twierdzenie 5:
1. A ⊂ oh(A) i A ⊂ ch(A).
T
4. oh(A) = {U ∈ Rd | U jest otwarty i A ⊂ U }.
Twierdzenie 5:
1. A ⊂ oh(A) i A ⊂ ch(A).
T
T
5. ch(A) = {B ∈ Rd | B jest domkniȩty i A ⊂ B}.
W szczególności, jeśli K jest zbiorem kostkowym, takim, że A ⊂ K,
to ch(A) ⊂ K.
Twierdzenie 5:
1. A ⊂ oh(A) i A ⊂ ch(A).
T
T
to ch(A) ⊂ K.
6. oh(oh(A)) = oh(A) i ch(ch(A)) = ch(A).
Twierdzenie 5:
1. A ⊂ oh(A) i A ⊂ ch(A).
T
T
to ch(A) ⊂ K.
7. Jeżeli x, y ∈ Rd i y ∈ oh(x), to ch(x) ⊂ ch(y).
Twierdzenie 5:
1. A ⊂ oh(A) i A ⊂ ch(A).
T
T
to ch(A) ⊂ K.
◦
8. Q ∈ Kd i x ∈ Q implikuje ch(x) = Q.
Twierdzenie 5:
1. A ⊂ oh(A) i A ⊂ ch(A).
T
T
to ch(A) ⊂ K.
◦
8. Q ∈ Kd i x ∈ Q implikuje ch(x) = Q.
d
◦
9. Niech Q ∈ K i x, y ∈ Q. Wtedy, oh(x) = oh(y) i ch(x) = ch(y).
Twierdzenie 6:
Niech x, y ∈ R, x ≤ y. Wtedy
ch([x, y]) = [bxc, dye].
Twierdzenie 6:
Twierdzenie 7:
Niech ∆1, ∆2, ..., ∆d ograniczone przedzialy. Wtedy
ch(∆1 × ∆2 × ... × ∆d) = ch(∆1) × ch(∆2) × ... × ch(∆d).
Twierdzenie 6:
Twierdzenie 7:
Niech ∆1, ∆2, ..., ∆d ograniczone przedzialy. Wtedy
ch(∆1 × ∆2 × ... × ∆d) = ch(∆1) × ch(∆2) × ... × ch(∆d).
Twierdzenie 8:
Niech ∆1, ∆2, ..., ∆d ograniczone przedzialy.
Wtedy ch(∆1 × ∆2 × ... × ∆d) jest prostoka̧tem.
2.
Kostkowe odwzorowania wielowartościowe
Definicja 3:
Niech X, Y zbiory kostkowe.
Odwzorowanie wielowartościowe F : X ⇒ Y jest kostkowe, gdy
1. ∀x ∈ X, F (x) jest zbiorem kostkowym,
2. ∀Q ∈ K(X), F | ◦ jest stale, to znaczy
◦
Q
x, x0 ∈ Q ⇒ F (x) = F (x0).
Przypuśćmy, że dla odwzorowania cia̧glego f : X → Y dane mamy
ograniczenie f (Q) dla Q ∈ Kmax (X) dane kombinatorycznym odwzorowaniem
wielowartościowym F : Kmax (X) ⇒ K(Y ).
Definicja 4:
Niech X zbiór kostek elementarnych w Rd,
[
|X | :=
X.
Przypuśćmy, że dla odwzorowania cia̧glego f : X → Y dane mamy
ograniczenie f (Q) dla Q ∈ Kmax (X) dane kombinatorycznym odwzorowaniem
wielowartościowym F : Kmax (X) ⇒ K(Y ).
Definicja 4:
Niech X zbiór kostek elementarnych w Rd,
[
|X | :=
X.
Definiujemy odwzorowania wielowartościowe bFc, dFe
bFc(x) :=
\
{|F(Q)| : x ∈ Q ∈ Kmax(X)} ,
dFe(x) :=
[
{|F(Q)| : x ∈ Q ∈ Kmax(X)} .
Twierdzenie 9:
Odwzorowania wielowartościowe bF c, dF e sa̧ kostkowe.
Przyklad:
Niech
X = [0, 2] i Y = [−5, 5]. Definiujemy F : X ⇒ Y :


[−5]
jeżeli x = 0,






[−4, −1] jeżeli x ∈ (0, 1),
F (x) := [0]
jeżeli x = 1,




[1, 4]
jeżeli x ∈ (1, 2),



[5]
jeżeli x = 2.
Definicja 5:
Niech F : X ⇒ Y , A ⊂ X, B ⊂ Y . Definiujemy obraz A
[
F (x).
F (A) :=
x∈A
Definicja 5:
[
F (x).
F (A) :=
x∈A
Definiujemy slaby przeciwobraz B przez F
F ∗−1(B) := {x ∈ X | F (x) ∩ B 6= ∅} ,
Definicja 5:
[
F (x).
F (A) :=
x∈A
Definiujemy slaby przeciwobraz B przez F
F ∗−1(B) := {x ∈ X | F (x) ∩ B 6= ∅} ,
przeciwobraz B przez F
F −1(B) := {x ∈ X | F (x) ⊂ B} .
Przyklad:
Dla F : [0, 2] ⇒ [−5, 5]:


[−5]





[−4, −1]
F (x) := [0]



[1, 4]



[5]
F ∗−1 ((−3, −2)) = (0, 1),
jeżeli
jeżeli
jeżeli
jeżeli
jeżeli
x = 0,
x ∈ (0, 1),
x = 1,
x ∈ (1, 2),
x = 2.
F −1 ((−3, −2)) = ∅.
Definicja 6:
Odwzorowanie wielowartościowe F jest górnie pólcia̧gle gdy F −1(U )
jest otwarty dla każdego U ⊂ Y otwartego oraz jest dolnie pólcia̧gle
gdy F ∗−1(U ) jest otwarty dla każdego U ⊂ Y otwartego.
Definicja 6:
Twierdzenie 10:
Niech F : X ⇒ Y odwzorowanie kostkowe. Wtedy F jest dolnie
pólcia̧gle wtedy i tylko wtedy, gdy spelniona jest nastȩpuja̧ca wlasność
◦
◦
P, Q ∈ K(X) takie, że P ≺ Q, to F (P ) ⊂ F (Q).
(1)
Definicja 6:
Twierdzenie 10:
Niech F : X ⇒ Y odwzorowanie kostkowe. Wtedy F jest dolnie
◦
◦
P, Q ∈ K(X) takie, że P ≺ Q, to F (P ) ⊂ F (Q).
(1)
Twierdzenie 11:
Niech F : X ⇒ Y odwzorowanie kostkowe. Wtedy F jest górnie
◦
◦
P, Q ∈ K(X) takie, że P ≺ Q, to F (Q) ⊂ F (P ).
(2)
Twierdzenie 12:
Odwzorowanie jest bF c dolnie pólcia̧gle, a odwzorowanie dF e jest górnie
pólcia̧gle.
Przyklad:
Niech f (x) = (x − 43 )(x + 45 ). Definiujemy F : X ⇒ Y , X = [−2, 2], Y = [−3, 4]:


[0, 4]





[0, 4]





[0, 1]





[−2, 1]
F(x) := [−2, 0]



[−3, 0]





[−1, 0]





[−1, 2]



[−1, 2]
jeżeli
jeżeli
jeżeli
jeżeli
jeżeli
jeżeli
jeżeli
jeżeli
jeżeli
x = −2,
x ∈ (−2, −1),
x = −1,
x ∈ (−1, 0),
x = 0,
x ∈ (0, 1),
x = 1,
x ∈ (1, 2),
x = 2.
Konstruujemy bF c : X ⇒ Y w nastȩpuja̧cy sposób.
◦
◦
Dla Q maksymalnych bFc(Q) = F(Q) oraz
\
◦
◦
bFc(P ) =
bF c(Q) | P ≺ Q oraz Q maksymalna .
Mamy


[0, 4]
jeżeli P = [−2],




[0, 4] ∩ [−2, 1] = [0, 1]
jeżeli P = [−1],





[−2, 1] ∩ [−3, 0] = [−2, 0] jeżeli P = [0],




[−3, 0] ∩ [−1, 2] = [−1, 0] jeżeli P = [1],

◦
bFc(P ) := [−1, 2]
jeżeli P = [2],



[0, 4]
jeżeli P = (−2, 1),





[−2, 1]
jeżeli P = (−1, 0),




[−3, 0]
jeżeli P = (0, 1),



[−1, 2]
jeżeli P = (1, 2).
Konstruujemy dF e : X ⇒ Y w nastȩpuja̧cy sposób.
◦
◦
Dla Q maksymalnych dFeQ) = F(Q) oraz
[
◦
◦
dF e(P ) =
dF e(Q) | P ≺ Q oraz Q maksymalna .
Mamy


[0, 4]




[0, 4] ∪ [−2, 1] = [−2, 4]





[−2, 1] ∪ [−3, 0] = [−3, 1]




[−3, 0] ∪ [−1, 2] = [−3, 2]

◦
dFe(P ) := [−1, 2]


[0, 4]





[−2, 1]




[−3, 0]



[−1, 2]
jeżeli
jeżeli
jeżeli
jeżeli
jeżeli
jeżeli
jeżeli
jeżeli
jeżeli
P
P
P
P
P
P
P
P
P
= [−2],
= [−1],
= [0],
= [1],
= [2],
= (−2, 1),
= (−1, 0),
= (0, 1),
= (1, 2).
3.
Selektory lańcuchowe
Definicja 7:
Kostkowe odwzorowanie wielowartościowe F : X ⇒ Y jest
acykliczno-wartościowe, gdy dla każdego x ∈ X zbiór F (x) jest
acykliczny.
3.
Selektory lańcuchowe
Definicja 7:
Kostkowe odwzorowanie wielowartościowe F : X ⇒ Y jest
acykliczno-wartościowe, gdy dla każdego x ∈ X zbiór F (x) jest
acykliczny.
Twierdzenie 13:
Niech F : X ⇒ Y dolnie pólcia̧gle acykliczno-wartościowe
odwzorowanie kostkowe. Wtedy istnieje odwzorowanie lańcuchowe
ϕ : C(X) → C(Y ) spelniaja̧ce nastȩpuja̧ce warunki:
◦
(3)
ϕ(Q̂) ⊂ F (Q) ∀Q ∈ K(X),
ϕ(Q̂) ∈ K̂0(F (Q)) ∀Q ∈ K0(X).
(4)
Definicja 8:
odwzorowanie kostkowe. Odwzorowanie lańcuchowe
ϕ : C(X) → C(Y ) spelniaja̧ce nastȩpuja̧ce warunki:
◦
ϕ(
Q̂)
⊂
F
(
Q)
∀Q ∈ K(X),
ϕ(Q̂) ∈ K̂0(F (Q)) ∀Q ∈ K0(X),
nazywamy selektorem lańcuchowym F .
Twierdzenie 14:
odwzorowanie kostkowe i ϕ selektor lańcuchowy dla F .
Wówczas, dla każdego c ∈ C(X)
|ϕ(c)| ⊂ F (|c|).
Twierdzenie 15:
Niech ϕ, ψ : C(X) → C(Y ) selektory lańcuchowe dolnie pólcia̧glego
acykliczno-wartościowego odwzorowania kostkowego F : X ⇒ Y .
Wtedy ϕ jest lańcuchowo homotopijne z ψ, a zatem indukuje ten sam
homomorfizm w homologiach.
Definicja 9:
odwzorowanie kostkowe.
Niech ϕ : C(X) → C(Y ) selektor lańcuchowy F .
Definiujemy odwzorowanie w homologiach dla F ,
F∗ : H∗(X) → H∗(Y )
F∗ := ϕ∗.
Dla danego k ∈ Z przez F∗k oznaczamy ograniczenie F∗ do
k-wymiarowej homologii.
Definicja 10:
Niech X, Y zbiory kostkowe i F, G : X ⇒ Y dolnie pólcia̧gle
acykliczno-wartościowe odwzorowania kostkowe.
F jest pododwzorowaniem G, gdy
F (x) ⊂ G(x)
dla każdego x ∈ X. Piszemy F ⊂ G.
Definicja 10:
Niech X, Y zbiory kostkowe i F, G : X ⇒ Y dolnie pólcia̧gle
acykliczno-wartościowe odwzorowania kostkowe.
F jest pododwzorowaniem G, gdy
F (x) ⊂ G(x)
dla każdego x ∈ X. Piszemy F ⊂ G.
Twierdzenie 16:
Jeśli F, G : X ⇒ Y dolnie pólcia̧gle acykliczno-wartościowe
odwzorowania kostkowe i F jest pododwzorowaniem G, to
F∗ = G∗.
Dla F : X ⇒ Y , G : Y ⇒ Z wielowartościowych odwzorowań konstruujemy
odwzorowanie wielowartościowe G ◦ F : X ⇒ Z:
(G ◦ F )(x) := G(F (x))
dla każdego x ∈ X.
(G ◦ F )(x) := G(F (x))
Twierdzenie 17:
Jeśli F : X ⇒ Y , G : Y ⇒ Z i H : X ⇒ Z dolnie pólcia̧gle acyklicznowartościowe odwzorowania kostkowe i G ◦ F ⊂ H, to
H∗ = G∗ ◦ F∗.
(G ◦ F )(x) := G(F (x))
Twierdzenie 17:
Jeśli F : X ⇒ Y , G : Y ⇒ Z i H : X ⇒ Z dolnie pólcia̧gle acyklicznowartościowe odwzorowania kostkowe i G ◦ F ⊂ H, to
H∗ = G∗ ◦ F∗.
Twierdzenie 18:
Jeśli F : X ⇒ Y , G : Y ⇒ Z dolnie pólcia̧gle acykliczno-wartościowe
odwzorowania kostkowe i G ◦ F jest acykliczno-wartościowe, to
(G ◦ F )∗ = G∗ ◦ F∗.
4.
Homologia odwzorowań cia̧glych
Definicja 11:
Niech X, Y - zbiory kostkowe i f : X → Y funkcja cia̧gla. Kostkowa̧
reprezentacja̧ f lub po prostu reprezentacja̧ f , jest dolnie
pólcia̧gle odwzorowanie kostkowe F : X ⇒ Y takie, że
f (x) ∈ F (x)
∀x ∈ X.
Twierdzenie 19:
Niech X i Y - zbiory kostkowe, a f : X → Y funkcja cia̧gla. Odwzorowanie Mf : X ⇒ Y :
Mf (x) := ch(f (ch(x)))
jest kostkowa̧ reprezentacja̧ f .
Twierdzenie 19:
Niech X i Y - zbiory kostkowe, a f : X → Y funkcja cia̧gla. Odwzorowanie Mf : X ⇒ Y :
Mf (x) := ch(f (ch(x)))
jest kostkowa̧ reprezentacja̧ f .
Definicja 12:
Odwzorowanie Mf nazywamy minimalna̧ reprezentacja̧ f .
Jeżeli Mf jest acykliczno-wartościowe to nazywamy je nośnikiem
kostkowym f .
Przyklad:
2
Niech f (x) = x3 , f : [0, 3] → [0, 3].
Poniższy wykres przedstawia funkcjȩ f oraz domkniȩcie jej minimalnej
reprezentacji Mf .
Twierdzenie 20:
Niech X i Y - zbiory kostkowe, f : X → Y funkcja cia̧gla,
F : X ⇒ Y kostkowa reprezentacja f .
Wówczas Mf jest pododwzorowaniem F .
Przyklad:
Niech X := Γ1 , a wȩc X = K1 ∪ K2 ∪ K3 ∪ K4 , gdzie
K1 := [0] × [0, 1],K2 := [0, 1] × [1]
K3 := [1] × [0, 1],K4 := [0, 1] × [0].
Definiujemy odwzorowanie λ : [0, 1] → X dla s ∈ [0, 1]:

(0, 4s)



(4s − 1, 1)
λ(s) :=

(1, 3 − 4s)



(4 − 4s, 0)
gdy
gdy
gdy
gdy
s ∈ [0,
s ∈ [ 14 ,
s ∈ [ 12 ,
s ∈ [ 34 ,
1
4 ],
1
2 ],
3
4 ],
1],
oraz odwzorowanie f : X → X dla (x1 , x2 ) ∈ X:
(
λ(x2 ) gdy (x1 , x2 ) ∈ K1 ∪ K3 ,
f (x1 , x2 ) :=
λ(x1 ) gdy (x1 , x2 ) ∈ K2 ∪ K4 .
Alternatywnie, za pomoca̧ parametru t ∈ [0, 4]
(
4t
gdy t ∈ [0, 2],
t 7→
16 − 4t gdy t ∈ [2, 4],
mamy

x(4t)



x(4t − 4)
f (x(t)) :=

x(12 − 4t)



x(16 − 4t)
gdy
gdy
gdy
gdy
t ∈ [0,
t ∈ [1,
t ∈ [2,
t ∈ [3,
1],
2],
3],
4].
Poniższy wykres przedstawia f jako funkcjȩ t.
Twierdzenie 21:
Niech X i Y - zbiory kostkowe, f : X → Y funkcja cia̧gla o minimalnej
reprezentacji acykliczno-wartościowej.
Jeżeli F, G : X ⇒ Y to pewne inne acykliczno-wartościowe reprezentacje f , to
F∗ = G∗.
Twierdzenie 22:
Niech X ⊂ Rd zbiór kostkowy. Niech A ⊂ X o średnicy diam A < 1.
Wówczas ch(A) jest acykliczny.
Twierdzenie 22:
Niech X ⊂ Rd zbiór kostkowy. Niech A ⊂ X o średnicy diam A < 1.
Wówczas ch(A) jest acykliczny.
Twierdzenie 23:
Niech X zbiór kostkowy. Rozważamy odwzorowanie identycznościowe
idX : X → X.
Wówczas MidX jest acykliczno-wartościowe i
(idX )∗ = idH∗(X) .
Twierdzenie 24:
Niech X, Y, Z zbiory kostkowe.
Niech f : X → Y i g : Y → Z odwzorowania cia̧gle,
dla których Mf , Mg , Mg◦f oraz Mg ◦ Mf sa̧ acykliczno-wartościowe.
Wtedy
(g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗.
Definicja 13:
Wektorem skaluja̧cym nazywamy
α = (α1, α2, ..., αd) ∈ Zd.
Definiujemy skalowanie Λα : Rd → Rd
Λα (x) := (α1x1, α2x2, ..., αdxd).
Jeżeli β jest innym wektorem skaluja̧cym, to
αβ = (α1β1, α2β2, ..., αdβd).
Definicja 13:
Wektorem skaluja̧cym nazywamy
α = (α1, α2, ..., αd) ∈ Zd.
Definiujemy skalowanie Λα : Rd → Rd
Λα (x) := (α1x1, α2x2, ..., αdxd).
Jeżeli β jest innym wektorem skaluja̧cym, to
αβ = (α1β1, α2β2, ..., αdβd).
Twierdzenie 25:
Niech α i β wektory skaluja̧ce. Wtedy Λα odwzorowuje zbiory kostkowe
w zbiory kostkowe oraz Λβ ◦ Λα = Λαβ .
Definicja 14:
Niech X ⊂ Rd zbiór kostkowy i α ∈ Zd wektor skaluja̧cy. Definiujemy
ΛαX := Λα |X . Skalowaniem X przez α jest
X α := ΛαX (X) = Λα (X).
Twierdzenie 26:
Niech X zbiór kostkowy i α wektor skaluja̧cy.
Odwzorowanie MΛαX jest acykliczno-wartościowe.
Twierdzenie 26:
Odwzorowanie MΛαX jest acykliczno-wartościowe.
Twierdzenie 27:
Niech X, Y, Z zbiory kostkowe i α, β wektory skaluja̧ce.
Jeśli Λα (X) ⊂ Y i Λβ (Y ) ⊂ Z, to
MΛβ ◦Λα = MΛβ ◦ MΛαX i to odwzorowanie jest acykliczno-wartościowe.
Y
X
Y
Maja̧c dany zbiór kostkowy X i wektor skaluja̧cy α, definiujemy ΩαX : X α → X
ΩαX (x) := (α1−1 x1 , α2−1 x2 , ..., αd−1 xd ).
Mamy ΩαX = (ΛαX )−1 .
Lemat 1:
MΩαX : X α ⇒ X jest acykliczno-wartościowe.
Twierdzenie 28:
(ΛαX )∗ : H∗(X) → H∗(X α ) oraz (ΩαX )∗ : H∗(X α ) → H∗(X)
to izomorfizmy. Co wiȩcej
α
(ΛαX )−1
∗ = (ΩX )∗ .
Przyklad:
Wracamy do naszego przykladu. α = (2, 2), X α jest brzegiem [0, 2]2 . Teraz t ∈ [0, 8] i mamy

(0,



(2,
x(t) = (x1 (t), x2 (t)) :=

(2,



(0,
0) + t(1, 0)
0) + (t − 2)(0, 1)
2) + (t − 4)(−1, 0)
1) + (t − 6)(0, −1)
gdy
gdy
gdy
gdy
t ∈ [0,
t ∈ [2,
t ∈ [4,
t ∈ [6,
2],
4],
6],
8].
Mamy
t
f α (x(t)) = f (x( ))
2
oraz wykresy f α i Mf α jako funkcji t
Można pokazać, że Mf α jest acykliczno-wartościowe.
Twierdzenie 29:
Niech X, Y zbiory kostkowe i f : X → Y funkcja cia̧gla.
Wtedy istnieje wektor skaluja̧cy α taki, że Mf α jest acyklicznowartościowe.
Co wiȩcej, jeśli β jest pewnym innym wektorem skaluja̧cym takim, że
Mf β jest acykliczno-wartościowe, to
f∗α (ΛαX )∗ = f∗β (ΛβX )∗.
Definicja 15:
Niech X, Y zbiory kostkowe i f : X → Y funkcja cia̧gla. Niech α
wektor skaluja̧cy taki, że Mf α jest acykliczno-wartościowe.
Wtedy f∗ : H∗(X) → H∗(Y ) definiujemy nastȩpuja̧co
f∗ := f∗α ◦ (ΛαX )∗ .
Definicja 15:
wektor skaluja̧cy taki, że Mf α jest acykliczno-wartościowe.
Wtedy f∗ : H∗(X) → H∗(Y ) definiujemy nastȩpuja̧co
f∗ := f∗α ◦ (ΛαX )∗ .
Twierdzenie 30:
Przypuśćmy, że F : X ⇒ Y jest acykliczno-wartościowa̧ reprezentacja̧
odwzorowania cia̧glego f : X → Y . Wtedy
f∗ = F∗.
Lemat 2:
wektor skaluja̧cy.
Jeżeli Mf jest acykliczno-wartościowe, to MΛαY ◦ Mf jest acyklicznowartościowe.
Lemat 2:
wektor skaluja̧cy.
Jeżeli Mf jest acykliczno-wartościowe, to MΛαY ◦ Mf jest acyklicznowartościowe.
Twierdzenie 31:
Przypuśćmy, że f : X → Y i g : Y → Z to odwzorowania cia̧gle
pomiȩdzy zbiorami kostkowymi. Wtedy
(g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗.
Twierdzenie 32 (Niezmienniczość topologiczna):
Niech X i Y homeomorficzne zbiory kostkowe. Wtedy
H∗(X) ∼
= H∗(Y ).
Twierdzenie 32 (Niezmienniczość topologiczna):
Niech X i Y homeomorficzne zbiory kostkowe. Wtedy
H∗(X) ∼
= H∗(Y ).
Twierdzenie 33:
Jeśli f : X → X to odwzorowanie cia̧gle na spójnym zbiorze
kostkowym, to
f∗ : H0(X) → H0(X) jest odwzorowaniem identycznościowym.
5.
Niezmienniczość homotopijna
Definicja 16:
Niech X, Y - zbiory kostkowe i f, g : X → Y funkcje cia̧gle.
f jest homotopijne z g jeśli istnieje cia̧gle odwzorowanie
h : X × [0, 1] → Y takie, że
h(x, 0) = f (x) oraz h(x, 1) = g(x)
∀x ∈ X.
Odwzorowanie h jest nazywane homotopia̧ pomiȩdzy f i g.
5.
Niezmienniczość homotopijna
Definicja 16:
Niech X, Y - zbiory kostkowe i f, g : X → Y funkcje cia̧gle.
f jest homotopijne z g jeśli istnieje cia̧gle odwzorowanie
h : X × [0, 1] → Y takie, że
h(x, 0) = f (x) oraz h(x, 1) = g(x)
∀x ∈ X.
Odwzorowanie h jest nazywane homotopia̧ pomiȩdzy f i g.
Definicja 17:
Dwa zbiory kostkowe X, Y maja̧ ten sam typ homotopii lub sa̧
homotopijne, gdy istnieja̧ funkcje cia̧gle f : X → Y i g : Y → X
takie, że
g ◦ f ∼ idX oraz f ◦ g ∼ idY .
Definicja 18:
Parȩ A ⊂ X i odwzorowanie cia̧gle r : X → A takie, że r(a) = a
dla każdego a ∈ A nazywamy retrakcja̧. Jeżeli takie odwzorowanie
istnieje, A jest nazywane retraktem X.
Jeżeli odwzorowanie r jest homotopijne z identycznościa̧, to nazywamy
je retrakcja̧ deformacyjna̧, a A - retraktem deformacyjnym.
Definicja 18:
Parȩ A ⊂ X i odwzorowanie cia̧gle r : X → A takie, że r(a) = a
dla każdego a ∈ A nazywamy retrakcja̧. Jeżeli takie odwzorowanie
istnieje, A jest nazywane retraktem X.
Jeżeli odwzorowanie r jest homotopijne z identycznościa̧, to nazywamy
je retrakcja̧ deformacyjna̧, a A - retraktem deformacyjnym.
Definicja 19:
Zbiór kostkowy X jest ścia̧galny jeżeli odwzorowanie
identycznościowe na X jest homotopijne z odwzorowaniem stalym. Inaczej, jeśli istnieje retrakt deformacyjny X w punkt należa̧cy do X.
Przyklad:
Każdy pojedynczy wierzcholek {v} dowolnego zbioru kostkowego
X ⊂ Rd jest retraktem X.
Każda kostka elementarna jest ścia̧galna do swojego dowolnego wierzcholka.
Przyklad:
Każdy pojedynczy wierzcholek {v} dowolnego zbioru kostkowego
X ⊂ Rd jest retraktem X.
Każda kostka elementarna jest ścia̧galna do swojego dowolnego wierzcholka.
Twierdzenie 34:
Jeśli A jest retraktem deformacyjnym X, to
A i X maja̧ ten sam typ homotopii.
Twierdzenie 35:
Niech X, Y zbiory kostkowe i f, g : X → Y odwzorowania
homotopijne. Wtedy
f∗ = g∗.
Twierdzenie 36 (Homotopijna niezmienniczość):
Niech X, Y zbiory kostkowe o tym samym typie homotopii. Wtedy
H∗(X) ∼
= H∗(Y ).
KONIEC
6.
Definicje
Definicja:
Niech I - przedzial elementarny.
Komórka̧ elementarna̧ jest
(
◦
(l, l + 1) gdy I = [l, l + 1],
I :=
[l]
gdy I = [l, l].
Definicja:
Kostka elementarna jest skończonym produktem
przedzialów elementarnych
Q = I1 × I2 × · · · × Id ⊂ Rd,
Ii - przedzial elementarny.
Twierdzenie:
Komórki elementarne maja̧ nastȩpuja̧ce wlasności
S ◦
1. Rd = {Q | Q ∈ Kd}.
◦
2. A ⊂ Rd ograniczony ⇒ card{Q ∈ Kd | Q ∩ A 6= ∅} < ∞.
◦
◦
3. P, Q ∈ K ⇒ P ∩ Q = ∅ lub P = Q.
◦
4. ∀ Q ∈ K cl Q = Q.
◦
S ◦
5. Q ∈ Kd ⇒ Q = {P | P ∈ Kd P ⊂ Q}.
◦
6. X-zbiór kostkowy i Q ∩ X 6= ∅ dla pewnej kostki
elementarnej Q ⇒ Q ⊂ X.
Definicja:
Niech X zbiór kostkowy, Q ∈ K(X). Jeśli Q nie jest ściana̧ wlaściwa̧
żadnej z kostek P ∈ K(X) to jest ściana̧ maksymalna̧ w X. Zbiór
ścian maksymalnych w X ozn. Kmax(X).
Definicja:
Niech X i Y zbiory kostkowe. Kombinatoryczne kostkowe
odwzorowanie wielowartościowe F : Kmax(X) ⇒ K(Y ) jest
funkcja̧ z Kmax(X) w podzbiory K(Y ).
Przyklad
Definicja:
Zbiór kostkowy X jest acykliczny , gdy
(
Z gdy k = 0,
Hk (X) ∼
=
0 w p.p.
Definicja:
Kompleks lańcuchowy (kostkowy) dla zbioru
kostkowego X ⊂ Rd
C(X) := {Ck (X), ∂kX },
gdzie Ck (X) to grupy k-lańcuchów kostkowych generowanych przez
Kk (X) i ∂kX - kostkowy operator brzegu obciȩty do X.
Definicja:
Niech C = {Ck , ∂k } i C 0 = {C 0k , ∂ 0k } kompleksy lańcuchowe.
Cia̧g homomorfizmów ϕk : Ck → C 0k jest odwzorowaniem
lańcuchowym, gdy dla każdego k ∈ Z
∂ 0k ϕk = ϕk−1∂k .
Oznaczamy przez ϕ : C → C 0 zbiór homomorfizmów {ϕk : Ck → C 0k }.
Definicja:
Niech ϕ : C → C 0 odwzorowanie lańcuchowe.
Definiujemy ϕ∗ : H∗(C) → H∗(C 0
ϕ∗([z]) = [ϕ(z)],
gdzie z ∈ Zk .
Definicja:
Niech ϕ, ψ : C → C 0 odwzorowania lańcuchowe. Zbiór homomorfizmów
grup
0
Dk : Ck → Ck+1
jest homotopia̧ lańcuchowa̧ pomiȩdzy ϕ i ψ, gdy
dla wszystkich k ∈ Z
0
∂k+1
Dk + Dk−1∂k = ψk − ϕk .

więcej... - sigma web page

Transkrypt

Podobne dokumenty

List of journals with electronic table of contents in Polish point of

List of journals with electronic table of contents in Polish point of

Instrukcja przeglądania e

Podręczniki. Nagrody uzyskane przez

Pakiet quantum-octave do symulacji obliczeń kwantowych

jak_zrobic_screen

snapback Zobacz w grafice Google Rejestracja

See PDF file

fullprint full print, FullPrint, full-print, Full

Kwantowa implementacja paradoksu Parrondo