Ćwiczenie 3 ELEKTROSTATYCZNA SOCZEWKA KWADRUPOLOWA

II pracownia fizyczna
dr Andrzej Daniluk
dr Wiaczesław Szamow
Ćwiczenie 3
ELEKTROSTATYCZNA SOCZEWKA KWADRUPOLOWA
opr. tech. Mirosław Maś
Krystyna Ługowska
Siedlce 2004
1. Wstęp
W ćwiczeniu wyznacza się przebieg linii ekwipotencjalnych i linii sił pola
elektrostatycznej soczewki kwadrupolowej. Badane pole elektrostatyczne jest
kształtowane przez dwie pary elektrod hiperbolicznych, zanurzonych
symetrycznie w wannie elektrolitycznej. Jako elektrolit w wannie służy zwykła
woda. W skład zestawu laboratoryjnego wchodzą:
1.
2.
3.
4.
5.
generator napięcia zmiennego RC typ PO-18
woltomierz lampowy B4-2 z sondą pomiarową
wanna elektrolityczna z 4-ma elektrodami
siatka kartezjańska o podziałce milimetrowej formatu A3
przewód koncentryczny z gniazdkami BNC i dwoma wtykami
banankowymi i dwa przewody zwykłe
6. linijka pomiarowa
7. zlewka i denaturat do przemywania wanny.
UWAGA: Do ćwiczenia należy przynieść własny arkusz papieru milimetrowego formatu A3
Obowiązuje znajomość następujących zagadnień teoretycznych:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
pojęcie wektora i skalara, postać kartezjańska wektora
iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy wektorów
prawo Coulomba
wektor natężenia pola elektrycznego
potencjał elektryczny, napięcie
związek między potencjałem i natężeniem pola
linie sił pola i powierzchnie ekwipotencjalne
natężenie i gęstość prądu elektrycznego
prawo Ohma w formie wektorowej, przewodność właściwa
2
2. Pole elektrostatyczne
Pole elektrostatyczne należy do najprostszych i najlepiej poznanych pól
wektorowych w fizyce. Powstaje ono wokół nieruchomych ładunków
elektrycznych i zależy od ich wielkości, znaku i rozmieszczenia. Natężenie pola
może zmieniać się od punktu do punktu. Umieśćmy w dowolnym punkcie P o
współrzędnych kartezjańskich (x, y, z) dodatni ładunek próbny q0 . Ładunek q0
powinien być na tyle mały, aby nie zniekształcić obserwowanego pola
elektrostatycznego. Siła F (P ) z jaką pole działa na ładunek q0 jest
proporcjonalna do wielkości ładunku q0 i wielkości pola w badanym punkcie P.
Dzieląc siłę przez ładunek dostajemy wielkość wektorową:
r
r
F ( p)
E ( p) =
qo
(1)
zwaną wektorem natężenia elektrycznego. Wektor E (P) określa wielkość i
kierunek pola elektrostatycznego w punkcie P. Jego jednostką w układzie SI
jest [N/C].
Podczas przesuwania ładunku elektrycznego w polu elektrostatycznym
wykonuje się pracę. Praca ta jest proporcjonalna do przesuwanego ładunku
elektrycznego i nie zależy od kształtu drogi łączącej punkty pomiędzy którymi
przesuwamy ładunek. Dlatego też każdemu punktowi pola elektrostatycznego
można przyporządkować funkcję skalarną zwaną potencjałem elektrycznym:
ϕ ( P) =
W ( P, ∞ )
qo
(2)
gdzie W ( P, ∞) oznacza pracę wykonaną przy przeniesieniu ładunku q0 z punktu
P do nieskończoności. Jednostką potencjału w układzie SI jest wielkość
[J/C]=[V] zwana woltem. Potencjał elektryczny jest określony z dokładnością
do stałej addytywnej związanej z wyborem punktu odniesienia względem
którego określamy potencjał. We wzorze (2) punktem odniesienia jest punkt ∞ .
W technice przyjmuje się najczęściej jako punkt odniesienia ziemię lub
obudowę przyrządu.
→
Oczywiście wektor natężenia elektrycznego E i potencjał elektryczny ϕ
są ze sobą związane, gdy opisują to samo pole elektrostatyczne. Ten związek
wyprowadza się następująco. Przesuńmy ładunek dodatni od punktu o niższym
potencjale do punktu o wyższym potencjale. Przy nieskończenie małym przesu-
3
nięciu d r wykonamy nieskończenie małą pracę:
dW = q 0 dϕ , gdzie
dW = F ⋅ d r = − q 0 E ⋅ d r
Znak minus pojawia się, bo działamy siłą F przeciwnie do kierunku wektora
natężenia E . Kropka oznacza iloczyn skalarny wektorów. Różniczka zupełna
potencjału wyraża się wzorem:
dϕ =
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy +
dz = ∇ϕ ⋅ d r
∂x
∂y
∂z
Wielkość wektorową ∇ϕ nazywa się gradientem funkcji ϕ , a sam symbol ∇
nablą. Składowe gradientu są pochodnymi cząstkowymi 1-go rzędu funkcji:
 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 

∇ϕ = 
,
,
 ∂x ∂y ∂z 
Gradient stosuje się do analizy pól skalarnych. Kierunek gradientu wskazuje
kierunek maksymalnego wzrostu funkcji. Wartość gradientu określa szybkość
wzrostu funkcji w kierunku jej maksymalnego wzrostu. Przez porównanie
różniczek dostajemy związek łączący wektor natężenia elektrycznego i potencjał
elektryczny.
r
E = −∇ϕ
(3)
Szczególnie prostym polem elektrycznym jest pole jednorodne, tj. pole którego
wektor E ma wszędzie taki sam kierunek, wartość i zwrot. Pole jednorodne
powstaje np. wewnątrz kondensatora płaskiego (patrz Rys. 2). Pokazać, że
wówczas wzór (3), upraszcza się do postaci:
E=
U
l
(4)
gdzie : U – różnica potencjałów między okładkami kondensatora
l - odległość między okładkami.
Jak widać wartość wektora natężenia elektrycznego wygodniej jest zapisywać w
jednostkach [V/m] niż [N/C] (pokaż, że V/m = N/C). Występującą w gradiencie
nablę:
4
∂ ∂ ∂
∇ =  , , 
 ∂x ∂y ∂z 
można traktować samodzielnie jako wektorowy operator różniczkowy. Działając
formalnie nablą poprzez iloczyn skalarny o lub iloczyn wektorowy × na wektor
natężenia elektrycznego otrzymujemy dwie ważne wielkości:
r ∂Ex ∂Ey ∂Ez
∇⋅E =
+
+
∂z
∂x
∂y
r  ∂Ez ∂Ey ∂Ex ∂Ez ∂Ey ∂Ex 

∇ × E = 
−
,
−
,
−
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y 
 ∂y
Wzory te wynikają z postaci kartezjańskiej iloczynu skalarnego a ⋅ b i iloczynu
wektorowego a × b , w których wektor a zastępujemy operatorem ∇ a wektor b
r
wektorem E . Wielkość ∇ ⋅ E jest skalarem i nazywa się dywergencją lub
źródłowością pola elektrycznego. Można pokazać, korzystając z elektrycznego
prawa Gaussa w formie całkowej, że:
r ρ
∇⋅E =
ε
(5)
gdzie: ρ - gęstość objętościowa ładunku elektrycznego
ε - przenikalność dielektryczna ośrodka, w którym występuje pole
elektryczne
Równanie (5) jest matematycznym zapisem faktu, że pole elektrostatyczne jest
polem źródłowym, a źródłami tego pola są ładunki elektryczne. Istotnie,
dywergencja (czyli źródłowość) wektora E jest różna od zera tylko w punktach,
w których znajdują się ładunki. W obszarze swobodnym od ładunków ∇ ⋅ E = 0
bo ρ = 0 .
r
Wielkość ∇ × E jest wektorem i nazywa się rotacją lub wirowością pola
elektrostatycznego.
Uwzględniając (3) i fakt, że rotacja gradientu jest zawsze
r
zerem ( ∇ × ∇ϕ = O ) dostajemy:
r r
∇× E = O
(6)
Równanie (6) jest prawdziwe w całej przestrzeni, w tym i w miejscach gdzie
znajdują się ładunki. Pola, których rotacja jest wszędzie zerowa nazywamy
polami bezwirowymi lub potencjalnymi, ponieważ dają się wyrazić za pomocą
5
gradientu pewnej funkcji skalarnej zwanej potencjałem. Równania (5) i (6) są
podstawowymi prawami elektrostatyki zapisanymi w formie różniczkowej. Są
one matematyczną formą faktów, że każde pole elektrostatyczne jest jednocześnie i źródłowe i bezwirowe.
3. Powierzchnie ekwipotencjalne i linie sił pola elektrostatycznego
Ścisłe rozwiązywanie równań (5) i (6) jest możliwe tylko dla pól o bardzo
prostej geometrii. Geometrię pól elektrostatycznych ilustruje się rysując ich
powierzchnie ekwipotencjalne i linie sił pola. Takie podejście pozwala uniknąć
skomplikowanych rachunków, gdy wystarcza jakościowy opis problemu.
Powierzchnią ekwipotencjalną nazywamy zbiór wszystkich punktów, w których
potencjał pola przyjmuje stałą wielkość:
ϕ ( x, y , z ) = c
Linia siły pola elektrostatycznego jest to krzywa, która w każdym swoim
punkcie jest styczna do wektora natężenia E . Nietrudno pokazać, że linie siły
są prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych (patrz Rys 1).
Rys 1
Istotnie, ponieważ na powierzchni ekwipotencjalnej potencjał się nie zmienia,
to:
r
dϕ = − E ⋅ d r = 0
Przemieszczenie d r jest tu styczne do powierzchni ekwipotencjalnej, a iloczyn
skalarny E ⋅ d r się zeruje, gdy wektor E jest prostopadły do wektora d r .
6
Linie sił pola elektrostatycznego, z uwagi na jego źródłowość i bezwirowość,
nie mogą być liniami zamkniętymi i zaczynają się w ładunkach dodatnich a
kończą w ładunkach ujemnych. Linie sił będziemy tu rysować linią ciągłą a linie
ekwipotencjalne linią przerywaną.
Przykład 1. W jednorodnym polu elektrostatycznym wektor natężenia
elektrycznego ma wszędzie taki sam kierunek, wartość i zwrot. Takie pole
powstaje np. między naładowanymi okładkami kondensatora płaskiego.
Rys. 2
Przykład 2. Pole wokół ładunku punktowego posiada symetrię sferyczną i
maleje z kwadratem odległości od ładunku.
Rys. 3
Na lewym rysunku linie sił rozpoczynają się w ładunku dodatnim, a kończą w
nieskończoności - na prawym rysunku linie pola rozpoczynają się w
nieskończoności, a kończą w ładunku ujemnym .
7
Przykład 3. Dipol rzeczywisty to układ dwóch ładunków punktowych +q i –q
umieszczonych dostatecznie blisko siebie.
Rys. 4
Jak widać pole dipola posiada jedną oś symetrii obrotowej i jedną płaszczyznę
antysymetrii.
Oprócz ładunków elektrycznych, pole elektrostatyczne mogą formować
ciała, których wypadkowy ładunek jest zerowy. Ich wpływ na pole zależy od
geometrii i przewodności tych ciał. Najsilniej oddziaływają z polem
elektrostatycznym obiekty wykonane z metalu tzw. przewodniki. Potencjał
przewodnika doskonałego, t.j. przewodnika o nieskończonej przewodności, jest
taki sam w każdym punkcie przewodnika.
Rys. 5
8
W przeciwnym razie różnica potencjałów wzbudzałaby nieskończenie duży prąd
w przewodniku, a to jest niemożliwe. Zatem powierzchnia przewodnika
doskonałego jest powierzchnią ekwipotencjalną, a wewnątrz przewodnika pole
elektrostatyczne znika. Inaczej mówiąc, przewodnik doskonały całkowicie
wypiera pole elektrostatyczne z objętości, którą on zajmuje. Oczywiście, na
zewnątrz linie pola elektrostatycznego są prostopadłe do powierzchni
przewodnika. Podobna sytuacja zachodzi również wtedy, gdy przewodnik
doskonały jest wstępnie naładowany i posiada ładunek wypadkowy.
Przewodność elektryczna metali jest na tyle duża, że można z dobrym
przybliżeniem traktować je jako przewodniki doskonałe.
4. Elektrostatyczna soczewka kwadrupolowa
Soczewki elektrostatyczne to układy przewodników, które głównie służą
do sterowania wiązkami cząstek naładowanych. Najprostszą taką soczewką jest
soczewka kwadrupolowa, która składa się z 4-ech przewodników (elektrod)
spolaryzowanych jak na Rys. 6.
Rys. 6
Elektrody soczewki są wzajemnie równoległe, lecz ich przekroje nie muszą
być kołowe. Poniżej ukazano przekrój poprzeczny soczewki kwadrupolowej
o elektrodach, których obwiednie są hiperbolami. Przy w pełni symetrycznym rozmieszczeniu elektrod pole elektrostatyczne soczewki
kwadrupolowej ma 2 płaszczyzny symetrii i 2 płaszczyzny antysymetrii. Na
Rys.7 płaszczyzny symetrii przechodzą przez oś x lub przez oś y odpowiednio, a płaszczyzny antysymetrii przez asymptoty hiperbol. Rzeczywista
soczewka elektrostatyczna posiada skończoną długość (grubość). Niezależnie
od długości soczewki kwadrupolowej pole elektrostatyczne w jej środku 0 ( a
ściślej wzdłuż osi soczewki) jest zerowe.
9
Rys. 7
Z dobrym przybliżeniem można przyjąć, że w strefie przyosiowej natężenie pola
r
rośnie proporcjonalnie do odległości od osi soczewki. Kierunek wektora E
zmienia się od punktu do punktu i przykładowo na osi x i y jest jak na Rys. 7.
Niech wiązka elektronów biegnie wzdłuż osi soczewki. Działanie soczewki
kwadrupolowej na wiązkę elektronów ukazuje Rys. 8.
Rys. 8.
Jak widać, elektrony ogniskują się w płaszczyźnie zawierającej elektrody o
polaryzacji ujemnej. Natomiast w płaszczyźnie zawierające elektrody dodatnio
spolaryzowane elektrony są rozpraszane. Wskutek tego wiązka elektronów o
przekroju kołowym po przejściu przez soczewkę kwadrupolową ma przekrój
10
eliptyczny. Oddziaływanie soczewki na elektrony zależy od potencjału φ jej
elektrod i czasu przelotu elektronów przez soczewkę. Przy krótkim
oddziaływaniu ogniskowe soczewki kwadrupolowej (o symetrii jak na Rys. 7) w
płaszczyźnie skupiającej i w płaszczyźnie rozpraszającej są równe co do
wartości i różnią się tylko znakiem.
f =±
φ p R2
φ L
(7)
gdzie :
φ p - potencjał elektronów wpadających do soczewki
L – długość soczewki
R – odległość elektrod odpowiedniej pary od osi soczewki.
Elektrostatyczne soczewki kwadrupolowe stosuje się głównie w mikroskopach elektronowych, spektrometrach masowych i w systemach transportu
cząstek naładowanych w akceleratorach. Służą one do formowania i sterowania
wiązkami elektronów, protonów i innych cząstek naładowanych. Nietypowym
przykładem zastosowania soczewki kwadrupolowej jest molekularny zegar
amoniakalny. Pomiar czasu opiera się tu o niezwykle stabilne drgania atomu
azotu N w cząsteczce amoniaku NH3. Soczewka kwadrupolowa służy w zegarze
jako separator tj. rozdziela ona wzbudzone i niewzbudzone cząsteczki
amoniaku.
5. Układ pomiarowy i przebieg pomiarów
Badaną soczewkę kwadrupolową stanowią 2 pary elektrod o profilu
hiperbolicznym, które symetrycznie rozmieszcza się w wannie elektrolitycznej
jak na Rys. 9.
Rys. 9.
11
Pod przezroczystym dnem wanny powinien być podłożonony arkusz A3 papieru
milimetrowego z narysowanym układem współrzędnych. Jest on potrzebny do
określania położenia punktów, w których mierzymy potencjał pola elektrostatycznego soczewki. Przy rozmieszczeniu elektrod jak na Rys. 9 pole posiada dwie
płaszczyzny symetrii i żadnej płaszczyzny antysymetrii. Płaszczyzny symetrii
pola przechodzą przez osie układu współrzędnych i są prostopadłe do dna
wanny. Potencjał punktów pola mierzymy woltomierzem lampowym o dużej
oporności wejściowej. Aby jego wskazania były prawidłowe, oporność właściwa ośrodka wypełniającego przestrzeń między elektrodami nie może być zbyt
wielka. Dlatego wannę wypełniamy wodą, która jako słaby elektrolit przewodzi
prądy o gęstości powierzchniowej:
j =σE
Przewodność właściwa σ i głębokość wody powinna być wszędzie taka sama,
aby obecność wody w wannie nie zmieniała rozkładu potencjałów pola
soczewki.
a. Kontrola zestawu pomiarowego
Rozpoznaj przyrządy pomiarowe wchodzące w skład zestawu laboratoryjnego. Włącz woltomierz lampowy, a jego przełącznik zakresów ПРЕДЕЛЫ
ustaw w pozycji 15V. Dotykając sondą pomiarową gniazdko „masa” wyzeruj
woltomierz pokrętłem УСТАНОВКА НУЛЯ.
b. Przygotowanie wykresu
Narysuj układ współrzędnych na środku arkusza A3 papieru milimetrowego. Osie układu powinny przechodzić przez linie główne podziałki
arkusza. Arkusz należy dopasować nożyczkami do wymiarów dna wanny tak,
aby układ współrzędnych na arkuszu pokrył się z osiami symetrii wanny. Na
arkuszu, ułożonym na dnie wanny umieść symetrycznie elektrody jak na Rys. 9 i
następnie odrysuj ich kontury. Przygotowany w ten sposób arkusz służy do
wykreślania krzywych ekwipotencjalnych i linii sił pola soczewki.
c. Przygotowanie układu pomiarowego
Zmierz grubość elektrod i przetrzyj szmatką nasączoną denaturatem dno
wanny. Zanieczyszczenia w wannie elektrolitycznej mogą zmieniać rozkład
potencjałów pola. Ułóż elektrody na dnie wanny i połącz je w pary przewodami
z wtykami bananowymi. Przewodem koncentrycznym połącz lewe gniazdko
generatora RC z wanną tak, aby przewód czerwony zasilał parę elektrod na osi X
a przewód biały parę elektrod na osi Y. Pierwszy przewód doprowadza wyższy
potencjał, a drugi potencjał zerowy tj. masę układu. Po wykonaniu opisanych
czynności wypełnij wodą połowę głębokości wanny i wannę wypoziomuj.
12
UWAGA: Prowadzący zajęcia sprawdza układ pomiarowy i włącza generator
RC ustawiając jego napięcie na 15V.
d. Przebieg pomiarów
Przy pomocy sondy pomiarowej wyznacz położenia punktów o potencjale
7,5V zarówno w części centralnej jak i narożach wanny. Naszkicuj ołówkiem na
przygotowanym arkuszu A3 przebieg obu linii ekwipotencjalnych o potencjale
7,5V. W podobny sposób wyznacz położenie punktów o potencjałach: 9V, 3V,
2V i 1V. Na końcu zmierz odległości między elektrodami w każdej parze.
UWAGA: Niektóre styki w wannie elektrolitycznej mogą wadliwie kontaktować, a elektrody mogą się przemieszczać. Dlatego, co pewien czas należy
kontrolować potencjały i położenie elektrod soczewki.
6. Opracowanie wyników
1. Wykreśl na przygotowanym papierze arkuszu A3 różnymi kolorami linie
ekwipotencjalne i linie sił pola elektrostatycznego.
2. Wskaż miejsca, w których pole soczewki jest minimalne i maksymalne.
Oszacuj minimalne i maksymalne natężenie pola, jeśli napięcie między
parami elektrod wynosi 15V.
3. Oblicz ogniskowe soczewki w płaszczyźnie skupiającej i rozpraszającej
przyjmując, że potencjał wiązki elektronów φ p = 100V. Oszacuj błędy
popełnione przy wyznaczaniu wielkości w punktach 2 i 3.
4. Potencjał pola nieskończenie długiej soczewki kwadrupolowej o symetrii jak
na Rys. 7 wyraża się wzorem:
ϕ ( x, y ) =
φ
R
2
(x 2 − y 2 )
Stosując wzór (3) pokaż, że wartość natężenia pola takiej soczewki jest
dokładnie proporcjonalna do odległości od osi soczewki.
LITERATURA:
[1] E.M.Purcell, Elektryczność i magnetyzm, PWN, Warszawa 1974,
[2] E.Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów, PWN, Warszawa 1976
[3] H.Szymański, A.Mulak, A.Duda, A.Romanowski, Optyka elektronowa,
WNT, Warszawa 1984.
13