Rozwiązania zadań: Zadanie 1. Oznaczenia: v – prędkość profesora

Rozwiązania zadań:
Zadanie 1.
Oznaczenia:
v – prędkość profesora względem studenta
w – prędkość asystenta względem studenta
t0 – czas, po którym profesor wysyła sygnał (1h)
Czas ts, który miał student na napisanie egzaminu:
z efektu Dopplera jest:


1 1 1−
1
=
czyli: t S =t 0
t S t 0 1
1−
Po podstawieniu wartości liczbowych dla obu grup (β=0,6 lub 0,8): t S =2h lub t S =3h
Czas, po którym asystent dogoni profesora – liczony w układzie studenta:
położenie profesora: x P=vtvt S
położenie asystenta: x A=wt
w chwili spotkania:
x A= x P czyli: vt spvt S =wt sp stąd: t sp=
spotkanie nastąpi w punkcie:
x sp =
wvt S
w−v
vt S
w−v
(w układzie studenta)
Po podstawieniu wartości liczbowych dla obu grup (w=0,8c lub 0,9c; v=0,6c lub 0,8c):
t sp=6h lub t sp=24h oraz
6
x sp =5184x10 km lub
6
x sp =23328x10 km
Czas, który miał asystent na sprawdzenie zadania liczony w układzie profesora:
t P =t sp−
1
v
x  , gdzie =
i liczbowo: 3,9h lub 11,2h
2 sp
c
 1−v 2 /c 2
Zadanie 2.
a) Z relatywistycznego składania prędkości jest:
w=
v 1v 2
v v , wyniki dla obu grup to: 0,98c i
1 1 2 2
c
0,94c.
b) Dla dowolnego kąta jest:
układ A – układ związany z jedną z rakiet
układ B – układ związany z Ziemią
układ C – układ związany z drugą z rakiet
transformacja między układem B, a A (obserwator jest w układzie A):
x B= x A−Vt A 
yB = y A
V
t B =t A− 2 x A 
c
gdzie:
=
1

1−
V 2 , a V to prędkość układu B względem układu A.
c2
Położenie rakiety C w układzie B jest opisane następującymi równaniami:
x B=u x t B , y B =u y t B , gdzie u x =ucos  , u y =usin  , zaś u to wektor prędkości rakiety
C w układzie B.
Podstawiając wyrażenia na xB i yB do trzech pierwszych równań dostajemy:
x A u x V
yA
uy
=
=
tA
Vu , t A
Vu
więc prędkość rakiety C mierzona w układzie A równa jest:
1 2x
1 2x  
c
c
ucos V
usin 
w y=
Vucos  ,
Vucos 
, oczywiście należy uwzględnić, że prędkość V ma
1
1

2
2
c
c
zwrot przeciwny do kierunku osi x rakiety A (celującej w przód rakiety).
w x=
Całkowita prędkość to: w= w2x w 2y
Zadanie 3.
Oznaczenia:
L – średnia droga danej cząstki
τ – średni czas życia danej cząstki
m – masa danej cząstki
Średni czas życia cząstki w układzie związanym z Ziemią:
 Z =
L= Z v= v i stąd  v=
Pęd natomiast:
p=mv =m
L

L

Dla konkretnych wartości podanych w zadaniu mamy:
Grupa I,
Grupa II,
p=140MeV / c
2
156 m
1
156 m
=140MeV /c
=2,8 GeV /c
−9
8
26 x 10 s
3 x 10 m/ s 26 x 10−9 s
p=106MeV /c 2
2200 m
1
2200 m
1
=106MeV /c
=353 MeV /c
−6
8
−6
3
2,2 x 10 s
3 x 10 m/ s 2,2 x 10 s
Zadanie 4
a)
Z zasady zachowania energii i pędu jest:
E  =E p E  ,
p  = p p− p 
Przekształcając to pierwsze równanie mamy:

2
E p E =  p m =  p p−E  m =   E p−m p−E   m
2
2
2

2
2
2
2
2
E p E =   E p −m p−E   m
Jest więc:
2
2
2
2
Przekształcając to równanie otrzymujemy:
E p=
2
2
E  m p m −m p

2
2
4 E
m−m p
Pierwszy człon w powyższym równaniu można pominąć: E p =
m2−m2p
4 E
Podstawiając wartości liczbowe dla obu grup jest:
20
E p =1,7 x10 eV ; Grupa II:
Grupa I,
21
E p =1,6 x10 eV
b)
Cząstka delta ma w przybliżeniu całkowitą energię równą energii protonu, który doprowadził do jej
powstania (delta podróżuje z prędkością bliską prędkości światła).
W układzie związanym z cząstka delta (CMS) proton po rozpadzie ma następującą energię i pęd:
2
2
2
m m p−m
E = 
,
2m
*
p

m2 m2p−m2 2
p = 
 −m2p
2m 
*
p
Przechodząc do układu związanego z Ziemia maksymalna i minimalna energia protonu wynosi:
*
*
*
*
E p = E p± p p≈ E p± p p 
 E *p− p *p 
Stosunek energii minimalnej do maksymalnej wynosi: k = *
 E p p *p 
Liczbowo dla obu grup jest:
Grupa I,
Grupa II,
*
E p =1,03GeV ,
E *p =1,11GeV ,
*
p p =0,23 GeV , k =0,63
p *p =0,47 GeV , k =0,4