Zbiór liczb rzeczywistych Zad. 1. Udowodnij, że √ 2 jest liczbą

Zbiór liczb rzeczywistych
Zad. 1. Udowodnij, że
√
2 jest liczbą niewymierną.
Zad. 2. Pokaż, że jeżeli x jest liczbą niewymierną dodatnią, to
mierną.
√
x też jest liczbą niewy-
Zad. 3. Czy suma, różnica, iloczyn, iloraz dwóch liczb niewymiernych muszą być niewymierne?
Zad. 4. Podane niżej liczby zapisz w postaci ułamka zwykłego:
1. 0, (5),
2. 2, (34).
Zad. 5. Zbadaj ograniczoność oraz wyznacz kresy zbiorów:
1. A = {x ∈ R; |2x + 3| + |x + 3| − x < 6},
2. B = {x ∈ R; |x3 − 1| < x2 + x + 1},
3. C = {x ∈ R; log2 |x + 2| < 3},
4. D = {x ∈ R; ||x − 1| − 1| < 1.
Równania i nierówności
Zad. 1. Rozwiąż podane poniżej równania i nierówności:
12
x+1 x−3
−
= 2
,
x−2 x+2
x −4
2. |x| + |x − 1| = x + |x − 3|,
1.
3. |x − 1| + |x − 5| > 8,
4. |x − 3| + |2x + 4| + |x + 1| > 2x + 4,
x2
x
5.
+1=
,
x−1
x−1
6. x2 − |5x − 3| − x < 2,
7. (2x − 5)(x2 − 4)(x3 + 8) ¬ 0,
x−2
2x − 3
­
.
8.
x+2
4x − 1
Indukcja matematyczna
Zad. 1. Udowodnij, że
12 + 32 + 52 + . . . + (2n + 1)2 =
dla dowolnej liczby naturalnej n.
1
(n + 1)(4n2 + 8n + 3)
3
Zad. 2. Udowodnij, że
1
1
1
n
+
+ ... +
=
1·2 2·3
n(n + 1)
n+1
dla każdego n ∈ N.
Zad. 3. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba
4n + 15n − 1
jest podzielna przez 9.
Zad. 4. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba
5n + 2 · 3n−1 + 1
jest podzielna przez 8.
Zadania do pracy samodzielnej
Zbiór liczb rzeczywistych
Zad. 1. Podane niżej liczby zapisz w postaci ułamka zwykłego:
1. 0, (4),
2. 0, (07),
3. 2, (3),
4. 3, (45),
5. 0, (123).
Zad. 2. (B. W. 20/26) Pokaż, że iloczyn liczby wymiernej (różnej od zera) i niewymiernej
jest liczbą niewymierną.
Zad. 3. (B. W. 21/26) Pokaż, że różnica liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną.
Zad. 4. (B. W. 32/27) Zbadaj ograniczoność i wyznacz (jeśli istnieją) kresy zbiorów:
1. B = {x ∈ R; x2 − 5x + 6 < 0},
2. C = {x ∈ R; |2x − 5| < 3},
3. D = {x ∈ R; log2 ||x| − 1| < 2}.
Równania i nierówności
Zad. 1. Rozwiąż podane niżej równania i nierówności:
2
2
3
<
,
x+1
x−2
3
2. (K. W. 1.19/16) 2 >
,
x−3
3. (K. W. 1.29/20) |x + 1| + 2|x − 1| = 5,
1. (K. W. 1.20/16)
4. (K. W. 1.30/20) |1 − 2x| + |2x − 6| = x,
5. (K. W. 1.31/20) |4 − 2x| + | − x + 3| = 5,
6. (K. W. 1.32/20) |x2 − 7x + 8| = 2,
7. (K. W. 1.36/20) |x − 1| + |2x − 5| < 9,
2x − 1 < 2,
8. (K. W. 1.37/21) x+2 5x − 3 < 2,
9. (K. W. 1.38/21) 2x + 7 1 − 2x
1+x
10. (K. W. 1.48/23)
−
> 1,
1+x
1 + 2x
13
3
11. (K. W. 1.50/24)
−
< −4,
x−3 x+1
2x2 − 7x − 29
12. (K. W. 1.53/24) 1 < 2
< 2,
x − 2x − 15
x2 − 5x − 3 < 1,
13. (K. W. 1.54/24) x2 − 1 x2 + 2x − 36 > 1.
14. (K. W. 1.55/24) 2
x −4 Indukcja matematyczna
Zad. 1. (K. W. 1.59/26) Wykaż, że dla każdego n ∈ N
1 + 2 + 3 + ... + n =
n(n + 1)
.
2
Zad. 2. (K. W. 1.56/24) Wykaż, że dla każdego n ∈ N
12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
Zad. 3. (B. W. 14/10) Pokazać, że dla dowolnego n ∈ N prawdziwa jest równość
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
.
1·3 3·5 5·7
(2n − 1)(2n + 1)
2n + 1
3
Zad. 4. (B. W. 3/9) Udowodnij, że
13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2
dla dowolnego n ∈ N. (Wskazówka: skorzystaj z zad.1.).
Zad. 5. (B. W. 4/9) Udowodnij, że dla dowolnego n ∈ N liczba postaci
34n+2 + 1
jest podzielna przez 10.
Zad. 6. (B. W. 5/9) Pokaż, że dla dowolnego n ∈ N liczba
13n − 7
jest podzielna przez 6.
Zad. 7. (B. W. 21/10) Pokaż, że liczba postaci
n3 + 2n
jest podzielna przez 3 dla dowolnego n ∈ N.
Zad. 8. (B. W. 20/10) Pokaż, że liczba
10n + 4n − 2
jest podzielna przez 3 dla dowolnego n ∈ N.
4