In»ynierskie zastosowania statystyki ¢wiczenia

In»ynierskie zastosowania statystyki ¢wiczenia
Kolokwium 2:
Termin:
Estymacja przedziaªowa, Testowanie hipotez istotno±ci
Imi¦ i nazwisko:
Nr indeksu:
Grupa A
1. (5pkt) Wska» zdania prawdziwe:
a) Granice przedziaªu ufno±ci dla warto±ci oczekiwanej s¡ symetryczne wzgl¦dem warto±ci
±redniej z próby.
b) Je±li próba skªada si¦ z niewielkiej liczby danych (n < 30), to przy wyznaczeniu przedziaªu ufno±ci z wykorzystaniem modelu 1 lub 2, nale»y upewni¢ si¦, »e dane te pochodz¡ z rozkªadu normalnego.
c) W trzecim modelu (du»y rozmiar próby, nieznana warto±¢ oczekiwana), do wyznaczenia przedziaªu ufno±ci dla odchylenia standardowego wykorzystujemy tablic¦ rozkªadu
t-Studenta.
d) W modelu 1 i 2 wyznaczenia przedziaªu ufno±ci dla wariancji, na podstawie próby
zªo»onej z n danych, nale»y skorzysta¢ z tablic rozkªadu χ2 z n − 1 stopniami swobody.
e) Granice przedziaªu ufno±ci dla wariancji, wyznaczonego na zadanym poziomie ufno±ci,
s¡ symetryczne wzgl¦dem wariancji z próby.
2. (5pkt) Z pewnej biblioteki wylosowano 5 obrazów w formacie jpeg i odczytano ich rozmiar w KB.
Uzyskano nast¦puj¡ce wyniki x1 = 16, x2 = 10, x3 = 14, x4 = 22, x5 = 20. Zakªadaj¡c,
»e rozmiar obrazów z tej biblioteki ma rozkªad normalny, wyznacz, na poziomie ufno±ci
1 − α = 0.95, przedziaª ufno±ci dla warto±ci oczekiwanej rozmiaru obrazów z powy»szego
¹ródªa.
3. (5pkt) Wska» zdania prawdziwe:
a) Testy istotno±ci dla warto±ci oczekiwanej umo»liwiaj¡ w pewnych przypadkach odrzucenie hipotezy zerowej.
b) Testom istotno±ci, w których hipoteza alternatywna jest zdaniem zawieraj¡cym "mniejsze ni»", towarzysz¡ dwustronne przedziaªy krytyczne Qα .
c) Poziom istotno±ci α jest dolnym ograniczeniem prawdopodobie«stwa popeªnienia bª¦du
pierwszego rodzaju.
d) Bª¡d pierwszego rodzaju popeªniamy przy odrzuceniu prawdziwej hipotezy zerowej.
e) Przypuszczenie, »e rozpatrywana zmienna losowa ma rozkªad geometryczny, to przykªad hipotezy nieparametrycznej.
4. (5pkt) Zakªadaj¡c, »e napeªnienie butelek mlekiem przez pewn¡ maszyn¦ ma rozkªad normalny o
odchyleniu standardowym σ = 10ml, zwerykuj na poziomie istotno±ci α = 0.05 hipotez¦
dotycz¡c¡ warto±ci oczekiwanej poziomu napeªnienia butelek przy u»yciu tej maszyny
H0 : µ = 1000ml przeciw hipotezie H1 : µ 6= 1000ml w oparciu o nast¦puj¡ce wyniki
pomiarów napeªnienia 6 losowo wybranych butelek: x1 = 1010ml, x2 = 965ml, x3 =
1020ml, x4 = 1005ml, x5 = 970ml, x6 = 980ml.
5. (5pkt) Postanowiono porówna¢ ±redni¡ szybko±¢ tramwajów na dwóch ulicach zakªadaj¡c, »e
odchylenia standardowe szybko±ci tramwajów na obu ulicach wynosz¡ σ = 10 km/h.
Pomierzono do±wiadczalnie, »e ±rednia szybko±¢ n1 = 40 tramwajów na pierwszej ulicy
wynosi x¯1 = 40 km/h, za± ±rednia szybko±¢ n2 = 50 tramwajów na drugiej ulicy wynosi
x¯2 = 35 km/h. Na poziomie istotno±ci α = 0.05 zwerykowa¢ hipotez¦ H0 : µ1 = µ2
wobec hipotezy alternatywnej H1 : µ1 > µ2 .
(Celuj¡ce) Zmienne X1 , . . . , Xn s¡ niezale»ne i pochodz¡ z tego samego rozkªadu jednostajnego
dyskretnego U (0, θ), gdzie θ ∈ N jest nieznanym parametrem. Najwi¦ksz¡ spo±ród Xi
oznaczmy jako Xmax . Wiedz¡c, »e Xmax
nie zale»y od θ poka», »e
θ
"
Xmax
Xmax
1 ,
1
(1 − α2 ) n ( α2 ) n
jest przedziaªem ufno±ci na poziomie (1 − α) dla θ.
#
In»ynierskie zastosowania statystyki ¢wiczenia
Kolokwium 2:
Termin:
Estymacja przedziaªowa, Testowanie hipotez istotno±ci
Imi¦ i nazwisko:
Nr indeksu:
Grupa B
1. (5pkt) Wska» zdania prawdziwe
a) Je±li próba skªada si¦ z du»ej liczby danych (n > 30), to przy wyznaczeniu przedziaªu
ufno±ci wariancji z wykorzystaniem modelu 3, nale»y upewni¢ si¦, »e dane pochodz¡ z
rozkªadu normalnego.
b) W modelu 2 dla warto±ci oczekiwanej (maªa próba, nieznana wariancja), przy wyznaczeniu przedziaªu ufno±ci na podstawie próby zªo»onej z n danych, nale»y skorzysta¢
z tablic rozkªadu t-Studenta z n − 1 stopniami swobody.
c) Granice przedziaªu ufno±ci dla warto±ci oczekiwanej pokrywaj¡ si¦ z odpowiednio najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±ci¡ z próby losowej.
d) Granice przedziaªu ufno±ci dla odchylenia standardowego s¡ symetryczne wzgl¦dem
odchylenia standardowego z próby.
e) Do wyznaczenia przedziaªu ufno±ci dla warto±ci oczekiwanej, w modelu 1 i 3, potrzebujemy tablice rozkªadu normalnego.
2. (5pkt) Zanotowano liczb¦ e-maili przychodz¡cych w ci¡gu kolejnych dób na pewn¡ skrzynk¦
odbiorcz¡. Otrzymano nast¦puj¡ce wyniki: x1 = 8, x2 = 3, x3 = 5, x4 = 6, x5 = 11,
x6 = 13. Zakªadaj¡c, »e dane te pochodz¡ z rozkªadu normalnego, oblicz przedziaª ufno±ci,
na poziomie ufno±ci 1 − α = 0.9 dla warto±ci oczekiwanej liczby e-maili przychodz¡cych
w ci¡gu doby.
3. (5pkt) Wska» zdania prawdziwe
a) Poziom ufno±ci to górne ograniczenie popeªnienia bª¦du pierwszego rodzaju.
b) W modelu pierwszym testowania istotno±ci (rozkªad cechy normalny, warto±¢ σ znana),
√
0
je±li hipoteza zerowa jest prawdziwa, to statystyka testowa U = X̄−µ
n ma rozkªad
σ
normalny.
c) Przypuszczenie parametrów rozkªadu zmiennej losowej (np. H0 : µ = 10) to przykªad
hipotezy parametrycznej.
d) Na podstawie testu istotno±ci, w pewnych sytuacjach, mo»emy przyj¡¢ hipotez¦ zerow¡.
e) Je±li warto±¢ wyznaczonej w te±cie istotno±ci statystyki testowej nale»y do obszaru
krytycznego, to mamy podstawy do odrzucenia hipotezy alternatywnej.
4. (5pkt) Zakªadaj¡c, »e cena 1m2 wrocªawskich mieszka« ma rozkªad normalny o odchyleniu standardowym σ = 1000zª, zwerykuj hipotez¦ dotycz¡c¡ warto±ci oczekiwanej ceny 1m2
mieszkania we Wrocªawiu H0 : µ = 5761zª przeciw hipotezie H1 : µ 6= 5761zª w oparciu
o nast¦puj¡ce wyniki pomiarów ceny 1m2 5 losowo wybranych mieszka«: x1 = 5100zª,
x2 = 4699zª, x3 = 5375zª, x4 = 6597zª, x5 = 4928zª.
5. (5pkt) Zmienne Xi pochodz¡ z rozkªadu N (µx , σ12 ), a niezale»ne zmienne Yi z rozkªadu N (µy , σ22 ),
gdzie σ1 = 2, natomiast σ2 = 4. Zmierzone ±rednie wynosiªy x̄ = 3, 5 i ȳ = 3, 75. Zwerykuj hipotez¦ H0 : µx = µy przeciw hipotezie alternatywnej H1 : µx 6= µy na poziomie
istotno±ci α = 1%. Liczno±ci obu prób wynosiªy odpowiednio n1 = 200 i n2 = 250.
(Celuj¡ce) Zmienne X1 , . . . , Xn s¡ niezale»ne i pochodz¡ z tego samego rozkªadu wykªadniczego o
nieznanym parametrze θ > 0, o g¦sto±ci
fθ (Xi = x) = θe−θx 1(0,∞) (x).
Oznaczaj¡c najmniejsz¡ warto±¢ spo±ród Xi jako Xmin poka», »e
"
− ln(1 − α2 ) − ln( α2 )
,
nXmin
nXmin
#
jest przedziaªem ufno±ci na poziomie (1 − α) dla parametru θ.