1. Ciąg Arytmetyczny Zadanie 1. Dany jest ciąg arytmetyczny 5,9,13

1. Ciąg Arytmetyczny
Zadanie 1. Dany jest ciąg arytmetyczny
5, 9, 13, 17, . . .
Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy wziąć aby ich suma była
równa 10877?
Zadanie 2. Znaleźć sumę wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych.
Zadanie 3. W ci.ągu zrytmetycznym a2 = −6, a8 = 54. Oblicyć a1 i
r.
Zadanie 4. Znaleźć sumę 20 początkowych liczb naturalnych, które
przy dzieleniu przez 7 dają resztę 3.
Zadanie 5. Znaleźć ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a1 = 1 jeśli wiadomo, że suma czterech pierwszych wyrazów jest 3 razy wuększa
od sumy czterech następnych wyrazów.
2. Ciąg geometryczny
Zadanie 6. Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Suma tych liczb
jest równa 126 a iloczyn 13824. Znaleźć te liczby.
Zadanie 7. Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Znaleźć ten ciąg
wiedząc, że suma skrajnych wyrazów jest równa 36, zaś suma wyrazów
środkowych 24.
Zadanie 8. Trzy liczby dodatnie tworzą ciąg geometryczny. Suma tych
liczb jest równa 26, zaś suma ich odwrotności 13/18. Znaleźć ten ciąg.
Zadanie 9. Wyrazy ciągu geometrycznego spełniają układ równań
(
a1 + a5 = 51
a2 + a6 = 102
Dla jakiej wartości n suma n pierwszych wyrazów wynoci 3069.
Zadanie 10. W ciągu geometrycznym dane są wyrazy am+n = A i
am−n = B. Znaleźć am i an .
3. Nieskończony ciąg geometryczny
Zadanie 11. Obliczyć wartość wyrażenia
√
√
√ √
3−2
3−2 3
+ √
+ ...
3( 3 − 2) + √
3
3
Zadanie 12. Dla jakiej wartości a suma 4a + 2a + a + 12 a + . . . nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa 12.
Zadanie 13. W nieskończonym ciągu geometrycznym suma wyrazów
o numerach nieparzystych jest równa 24, a suma wyrazów o numerach
parzystych jest równa 12. Wyznacz ten ciąg.
Zadanie 14. Suma czterech pierwszych wyrazów nieskończonego ciągu
geometrycznego jest równa 15. Suma pierwszego i czwartego wyrazu
jest 1, 5 raza większa od sumy drugiego i trzeciego wyrazu. Znaleźć
sumę wyrazów tego ciągu.
4. Procent Prosty i składany
Zadanie 15. Załóżmy, że bank nalicza i kapitalizuje odsetki co kwartał. Początkowa kwota lokaty wynosi 15 tys zł, a roczna stopa procentowa wynosi 24%. Obliczyć wartość lokaty po upływie pół roku.
Zadanie 16. Pożyczamy 100 tys zł a za 4 miesiące będziemy musieli
zwrócić 110 tys zł. Ile wynosi roczna stopa procentowa kredytu?
Zadanie 17. Pod koniec każdego z 4 kolejnych kwartałów deponujemy
w banku kwotę 2345 zł. Roczna nominalna stopa procentowa wynosi
11%. Oblicz wartość końcową tej lokaty.
Zadanie 18. Obliczyć, ile nalezy systematycznie co miesiac wpłacać
na rzecz banku przez 6 miesiecy, aby przy nominalnym oprocentowaniu
wynoszącym 12% spłacić kredyt wraz z odsetkami na łaczną kwote
20000 zł.
Zadanie 19. Ulokowałeś 100 zł na 6 lat, stopa oprocentowania zmieniała się, co 2 lata i wynosiła odpowiednio 17%, 15%, 13%. Jaką kwotą
dysponujesz po wyżej wymienionym okresie utrzymywania lokaty?
Zadanie 20. Bank dokonywał przez 2 lata półrocznej kapitalizacji,
a przez następne 3 lata kapitalizacji kwartalnej przy rocznej stopie
procentowej 20%. Jaka kwota utworzy po 5 latach wartość 100000 zł?
5. Rekurencja
Zadanie 21. Znaleźć wzór jawny ciagu (an ) spełniającego następujące
równanie rekurencyjne:
(a) an+2 = 5an+1 − 6an , a0 = 2, a1 = 5; (b) an+2 = an+1 − an , a0 =
0, a1 = 1; (c) an+3 = 2an+2 + an+1 − 2an , a0 = 6, a1 = 5, a2 = 16.
Zadanie 22. Na ile sposobów można pokonac n stopni, jeżeli możemy
poruszać się o 1 bądź 2 stopnie do góry?
Zadanie 23. Przypuśćmy, że dowolna nowourodzona para królików ma
swoją pierwszą parę potomstwa po dwóch miesiącach, a później już co
miesiac płodzi nową parę. Zakładając, że zaczynamy od jednej pary,
znaleźć zależność rekurencyjną dla kn - liczby par po n miesiącach.