Warsztaty metod fizyki teoretycznej II Zestaw 1 Co się dzieje, gdy nie

Warsztaty metod fizyki teoretycznej II
Zestaw 1
Co się dzieje, gdy nie ma skali?
Michał P. Heller, Jan Kaczmarczyk
26.02.2009
Cały zestaw jest skonstruowany tak, że do rozwiązania zadań nie trzeba praktycznie
żadnych dodatkowych umiejętności oprócz tych podanych w zadaniu (gwiazdki oznaczają stopień trudności od łatwych * do względnie trudnych ***). Oczywiście nie
oznacza to, że zrozumiecie wszystkie subtelności kryjące się w problemie, albo w pełni
docenicie motywację stojącą za zadaniem. Takie podejście przypomina prowadzenie
prawdziwych badań naukowych, czyli wielkiej wyprawy w nieznane. Dla zainteresowanych dołączamy artykuł znanego mikrobiologa Martina A. Schwartza The importance
of stupidity in scientific research. Każde zadanie z wyjątkiem rozgrzewki oparte jest
w mniejszym lub większym stopniu na publikacjach z ostatnich kilku lat. Filozofia
Warsztatów metod fizyki teoretycznej wyłożona jest w dołączonym artykule z Postępów Fizyki.
1
Wprowadzenie
Prawdziwym wyzwaniem XXI wieku jest tzw. fizyka nieperturbacyjna. Prawie wszystko, czego
fizycy dowiedzieli się o otaczającym nas świecie w ciągu ostatnich 80 lat uzyskano bazując na rachunku zaburzeń. Podejście to zakłada, że układ fizyczny (może to być zderzenie dwóch elektronów,
atom w polu magnetycznym, oddziaływanie kwarków) posiada mały parametr, który może służyć
jako podstawa rozwinięcia. W tym celu należy znać rozwiązanie problemu gdy parametr ten wynosi
0, zaś efekty wnoszone przez niezerową wartość parametru rozumiane są jako podwiodące.
Okazuje się jednak (i nie jest to ani dziwne, ani niespodziewane), że w przyrodzie istnieją układy,
których nie (zawsze) da się opisać w taki sposób. Koronnym przykładem jest teoria oddziaływań
kwarków i gluonów - chromodynamika kwantowa (QCD: Quantum ChromoDynamics). Choć sformułowana w 1973 roku1 doskonale sprawdza się przy opisie zjawisk przy wysokich energiach, do
tej pory nie zrozumiano w pełni w jaki sposób wyłania się z niej świat hadronów (na przykład
protony i neutrony). W teorii tej stała sprzężenia (która mierzy jak silne jest oddziaływanie) zależy
od charakterystycznej energii związanej ze zjawiskiem - dla dużych energii jest ona mała i służy
1
Chodzi o odkrycie tzw. asymptotycznej swobody, czyli obserwacji, że kwarki opisane w języku QCD zachowują
się prawie jak cząstki swobodne dla dostatecznie dużych energii. Za odkrycie to fizycy amerykańscy David Politzer
[2] oraz David Gross i jego doktorant Frank Wilczek nagrodzeni zostali Nagrodą Nobla w 2004 roku.
1
ona za parametr rozwinięcia perturbacyjnego. Sytuacja komplikuje się dla niskich energii - stała
sprzężenia staje się duża (stąd nazwa - oddziaływania silne) i metody analityczne zawodzą. Z pomocą przychodzą (super)komputery, które pozwalają wyznaczyć interesujące wielkości fizyczne w
przypadku, kiedy nie ma zależności od czasu (równanie stanu, wykres fazowy itp.).
Eksperymetalna fizyka wysokich energii polega przeważnie na zderzaniu różnych rzeczy ze sobą i
analizowaniu w detektorach efektów. Można zderzać elektron z pozytronem (akcelerator LEP, lata
1989-2000), protony ze sobą nawzajem (akcelerator LHC, lata 2009 - ) albo jądra ciężkich atomów
takich jak ołów czy złoto (akcelerator RHIC, lata 2000 - ). O ile pierwsze dwa rodzaje zderzeń
służyły i będą służyć do odkrycia nowych cząstek elementarnych, o tyle zderzenia jąder atomowych służą badaniu właściwości materii odziałującej silnie. W zderzeniach w akceleratorze RHIC
udało się wytworzyć po raz pierwszy tzw. plazmę kwarkowo-gluonową, czyli gorącą zupę złożoną z
kwarków i gluonów (dobrą pracą przeglądową jest [4]). Układ ten jest bardzo dynamiczny (plazma
rozszerza się i stygnie tworząc w końcu hadrony) i jak się okazuje silnie oddziałuje przez co brakuje
narzędzi mogących go opisać na poziomie fundamentalnym (rachunki numeryczne na superkomputerach najlepiej się sprawdzają w sytuacji statycznej, zaś rachunki perturbacyjne wymagają słabego
sprzężenia).
Z pomocą przychodzi tu teoria strun, która dostarcza narzędzi służacych do opisu silnie sprzężonych
teorii. W szczególności najlepiej zrozumianym przypadkiem w którym działają metody teorii strun
jest tzw. teoria N = 4 super Yanga - Millsa (oryginalna praca z roku 1997 [6] zdobyła już prawie
6000 cytowań, dobrym wprowadzeniem jest [7]). Teoria ta posiada symetrię konforemną, co oznacza,
że fizyka przez nią opisywana nie zależy od żadnej skali [7] (w szczególności możemy przeskalować
wszystkie współrzędne przez dowolną stałą i nie zmienia to fizyki; taki coś nie zachodzi w przypadku
QCD: dla małych odległości jesteśmy w reżimie kwarków i gluonów, dla duże odległości to świat
hadronów).
Teoria N = 4 super Yanga - Millsa i jej zastosowania do opisu plazmy kwarkowo-gluonowej stanowią
pretekst do zaprezentowania różnych ciekawostek dotyczących symetrii konforemnej. Na rozgrzewkę
idzie zadanie związane ze związkiem między równaniem Kleina - Gordona i równaniem Schrödingera. Jest to pierwszy krok do zrozumienia opisu fizyki ultrazimnych atomów w języku teorii strun
(popularny artykuł przeglądowy to [9], prace oryginalne to [8]). Kolejne zadanie dotyczy wyprowadzenia dwu- i trzypunktowej funkcji korelacji w teorii konforemnej opierając się tylko na symetriach.
Więcej na ten temat można się dowiedzieć z pracy przeglądowej [7]. Ostatni problem dotyczy opisu
dynamiki układu o symetrii konforemnej niezmienniczego ze względu na transformacje Lorentza
wzdłuż wybranej osi. Jest to pierwsze przybliżenie ewolucji plazmy kwarkowo-gluonowej wytworzonej w akceleratorze RHIC [10]. Konkretne rachunki prowadzące do opisu hydrodynamicznego
przeprowadzono m.in. w Krakowie (grupa dr hab. Romualda A. Janika) przy użyciu metod teorii
strun (prace oryginalne to [11, 12, 13, 14, 15, 16], przegląd różnych wyników znajduje się w [17]).
2
Równanie Kleina-Gordona a równanie Schrödingera (*)
Rozważmy równanie Kleina-Gordona w 1 + (d + 1) = d + 2 wymiarach w postaci
−∂t2 + ∂y2 + ∂⊥2 φ(t, y, x⊥ ) = 0
2
(1)
1. jakie są symetrie tego równania? Proszę zapisać to równanie w zmiennych na stożku świetlnym
(light-cone) względem t i y.
2. jaki jest związek równania Kleina-Gordona w d+2 wymiarach czasoprzestrzennych z równaniem Schrödingera w d wymiarach przestrzennych?
3. (***) jaka metryka mogłaby odpowiadać dualnemu opisowi układu o symetrii równania Schrödingera?
Wskazówki: co do podpunktu 2) robić redukcję Kaluzy-Kleina dla równania Kleina-Gordona
względem jednego z kierunków na stożku świetlnym; co do podpunktu 3) metryka dla AdS5 przyjµ
2
muje postać ds2 = dxµ dxz2 +dz - jakie są jej symetrie?
3
Skalowanie i funkcje korelacji (**)
W teoriach konforemnych istnieją operatory Ô(x), które nazywamy primary i które przy dylatacjach
(czyli przemnożeniu wszystkich współrzędnych przez stała) skalują się w następujący sposób:
gdy x → λ · x to φ̂(x) → λ∆ · φ̂(λ · x)
Wielkość ∆ nazywamy wymiarem konforemnym operatora. Operatory primary mają szereg bardzo
fajnych własności, w szczególności ich dwu- i trzypunktowe funkcje korelacji są zafiksowane przez
symetrię konforemną. Przez funkcje korelacji rozumiane są następujące obiekty
G2 (x, y) = h0|φˆ1 (x) · φˆ2 (y)|0i ,
G3 (x, y, z) = h0|φˆ1 (x) · φˆ2 (y) · φˆ3 (z)|0i ,
(2)
gdzie |0i oznacza stan próżni anihilowany przez generatory transformacji konforemnych 2 . Proszę
pokazać, że z niezmienniczości teorii ze względu na
- dylatacje
- special conformal transformations xµ →
xµ +aµ xν xν
1+2xν aν +xµ xµ aρ aρ
dla dowolnego wektora a
wynikają następujące postacie funkcji korelacji
G2 (x, y) = δ∆1 ,∆2 ·
G3 (x, y, z) =
|x −
#2
,
|x − y|2∆1
y|∆1 +∆2 −∆3
#3
· |y − z|∆2 +∆3 −∆1 · |z − x|∆1 +∆3 −∆2
(3)
Stałych #2 i #3 nie da się wyznaczyć z symetrii, zaś ∆i oznaczają wymiary konforemne operatorów
φ̂i .
Wskazówka: identyczność to na przykład D̂ · D̂−1 .
2
Próżnia jest niezmiennicza ze względu na transformacje konforemne
3
Rysunek 1: Obrazek przedstawia zderzenie dwóch ultrarelatywistycznych ciężkich jonów. Od lewej
do prawej: 1) zbliżające się relatywistyczne ciężkie jądra (wyglądają jak naleśniki ze względu na
kontrakcję Lorentza), 2) zderzenie, 3) ekspansja plazmy kwarkowo-gluonowej opisywana w języku
hydrodynamiki, 4) hadronizacja.
4
Boost-invariant flow (**)
W zderzeniach ciężkich jonów w akceleratorze RHIC w Brookhaven wytworzono nowy rodzaj materii - plazmę kwarkowo-gluonową. Układ ten jest silnie sprzężony i dynamiczny, co oznacza, że
jego opis w języku QCD - fundamentalnej teorii oddziaływań silnych - jest bardzo trudny. Co więcej zadowalający opis fenomenologiczny plazmy kwarkowo-gluonowej to hydrodynamika, w której
informacje o QCD kryją się w równaniu stanu i współczynnikach transportu (na przykład lepkość).
Na dzień dzisiejszy nikt nie potrafi wyznaczyć lepości plazmy kwarkowo-gluonowej bazując na QCD.
Co mówi o tym teoria strun? Pomysł, który się za tym kryje jest bardzo prosty. Skoro nie potrafimy
policzyć czegoś w QCD, weźmy inną silnie sprzężoną teorię, w której umiemy prowadzić rachunki
i zobaczmy jak nasze wyniki stosują się do plazmy w RHIC. Tę "inną silnie sprzężoną teorią"może
być na przykład 1+3 wymiarowy N = 4 super Yang-Mills, który posiada (przy pewnych dodatkowych założeniach dotyczących obecnych pól i wartości parametrów) równoważny opis w języku teorii
grawitacji w 1+4 wymiarach (tak zwana korespondencja AdS/CFT [6, 7]). Dualność ta (opis tej
samej fizyki w dwóch językach) pozwala tłumaczyć problem policzenia współczynników transportu
w teorii N = 4 super Yang-Mills przy silnym sprzężeniu (nie do zrobienia przy użyciu standardowych metod) na zagadnienie z ogólnej teorii względności, które okazuje się stosunkowo proste
do rozwiązania. Choć przybliżenie które robimy jest niekontrolowane (N = 4 super Yang-Mills
znacząco różni się od QCD w zerowej temperaturze), oczekuje się, że w skończonej temperaturze
plazmy obydwu teorii będą się zachowywać podobnie co najmniej pod względem jakościowym. Okazuje się jednak, że współczynniki transportu otrzymane dla N = 4 super Yang-Mills z rachunków
grawitacyjnych mogą być z zadowalającą dokładnością (rząd wielkości) stosowane do QCD, co jest
znaczącym sukcesem.
Dla rozgrzewki proszę obliczyć jak wygląda zależność gęstości energii i gęstości entropii od temperatury w relatywistycznej teorii konforemnej w 1+3 wymiarach (chodzi o skalowanie). Wskazówka:
proszę skorzystać z analizy wymiarowej do wyznaczenia gęstości energii, a następnie z I zasady
termodynamiki to wyznaczenia gęstości entropii.
4
Następnie proszę spojrzeć na Rysunek 1, który przedstawia zderzenie ciężkich jonów:
1. Proszę zastanowić się jakie przybliżenia można przyjąć do opisu ekspansji plazmy kwarkowogluonowej powstałej w zderzeniu. Czy założenie o jednowymiarowej ekspansji plazmy (wzdłuż
osi zderzenia) jest dobre? Jeśli tak, to kiedy?
2. Dodatkowym założeniem, które przyjmuje się do opisu plazmy kwarkowo-gluonowej jest przybliżona niezmienniczość ze względu na transformacje Lorentza wzdłuż osi zderzenia. Proszę
wprowadzić zmienne czas własny τ i rapidity y, takie, że x0 = τ cosh y oraz x1 = τ sinh y.
Jak zachowują się tau i y przy transformacjach Lorentza wzdłuż osi zderzenia? Co mówi to
o zależności wielkości fizycznych opisujących proces w przypadku boost-invariant od τ i y?
3. Proszę pokazać, że zachowany, bezśladowy tensor energii-pędu T µν w przypadku boost-invariant
da się w pełni wyrazić przez gęstość energii (τ ) = Tττ .
4. Okazuje się, że ewolucja boost-invariant tensora energii-pędu dla dużych τ opisywana jest z
sukcesem przez hydrodynamikę. Wielkościami, które opisują dynamikę są wtedy gętość energii
albo temperatura (do wyboru) i czteroprędkość plazmy. Ile ona wynosi? (Wskazówka:
przejść do układu w którym plazma lokalnie spoczywa)
5. Wiodący człon w równaniach hydrodynamiki przyjmuje postać [12]
0 (τ ) = −
4 (τ ) 4 η(τ )
+
3 τ
3 τ2
(4)
Proszę rozwiązać to równanie dla dużych czasów własnych, zakładając, że η = A · s, gdzie s
to gęstość entropii, a A to nieznana stała bezwymiarowa.
6. Gęstość energii wyznaczona z rachunków w ramach teorii strun wynosi
(τ ) =
Nc2 1
1
(1
−
2η
)
0
2π 2 τ 4/3
τ 2/3
(5)
gdzie η0 = 21/21·33/4 [13]. Zakładając, że stała proporcjonalności dla zależności gęstości energii
od temperatury wynosi 38 Nc2 π 2 proszę policzyć stosunek lepkości η do gęstości entropii s.
Otrzymany wynik to słynny KSS bound [18], czyli postulowana najniższa wartość tej wielkości
w przyrodzie.
Literatura
[1] Michał P. Heller, Jan Kaczmarczyk O nowej formie zajęć z fizyki
[2] H. D. Politzer, “Reliable perturbative results for strong interactions?,” Phys. Rev. Lett. 30, 1346
(1973).
[3] D. J. Gross and F. Wilczek, “Asymptotically Free Gauge Theories. 1,” Phys. Rev. D 8, 3633
(1973).
D. J. Gross and F. Wilczek, “Asymptotically Free Gauge Theories. 2,” Phys. Rev. D 9, 980
(1974).
5
[4] E. V. Shuryak, “What RHIC experiments and theory tell us about properties of quark-gluon
plasma?,” Nucl. Phys. A 750, 64 (2005) [arXiv:hep-ph/0405066].
[5] M. P. Heller, R. A. Janik and R. Peschanski, “Hydrodynamic Flow of the Quark-Gluon Plasma
and Gauge/Gravity Correspondence,” Acta Phys. Polon. B 39, 3183 (2008) [arXiv:0811.3113
[hep-th]].
[6] J. M. Maldacena, “The large N limit of superconformal field theories and supergravity,” Adv.
Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998) [Int. J. Theor. Phys. 38, 1113 (1999)] [arXiv:hep-th/9711200].
[7] H. Nastase, “Introduction to AdS-CFT,” arXiv:0712.0689 [hep-th].
[8] D. T. Son, “Toward an AdS/cold atoms correspondence: a geometric realization of the Schroedinger symmetry,” Phys. Rev. D 78, 046003 (2008) [arXiv:0804.3972 [hep-th]]. K. Balasubramanian
and J. McGreevy, “Gravity duals for non-relativistic CFTs,” Phys. Rev. Lett. 101 (2008) 061601
[arXiv:0804.4053 [hep-th]].
[9] S. Kachru, “Glimmers Of A Connection Between String Theory And Atomic Physics,” Physics
1 (2008) 10.
[10] J. D. Bjorken, “Highly Relativistic Nucleus-Nucleus Collisions: The Central Rapidity Region,”
Phys. Rev. D 27, 140 (1983).
[11] R. A. Janik and R. B. Peschanski, “Asymptotic perfect fluid dynamics as a consequence of
AdS/CFT,” Phys. Rev. D 73, 045013 (2006) [arXiv: hep-th/0512162].
[12] S. Nakamura and S. J. Sin, “A holographic dual of hydrodynamics,” JHEP 0609, 020 (2006)
[arXiv: hep-th/0607123].
[13] R. A. Janik, “Viscous plasma evolution from gravity using AdS/CFT,” Phys. Rev. Lett. 98,
022302 (2007) [arXiv: hep-th/0610144].
[14] M. P. Heller and R. A. Janik, “Viscous hydrodynamics relaxation time from AdS/CFT,” Phys.
Rev. D 76, 025027 (2007) [arXiv: hep-th/0703243].
[15] P. Benincasa, A. Buchel, M. P. Heller and R. A. Janik, “On the supergravity description of
boost invariant conformal plasma at strong coupling,” Phys. Rev. D 77, 046006 (2008) [arXiv:
0712.2025 [hep-th]].
[16] A. Buchel, “On SUGRA description of boost-invariant conformal plasma at strong coupling,”
[arXiv: 0803.3421 [hep-th]].
[17] M. P. Heller, R. A. Janik and R. Peschanski, “Hydrodynamic Flow of the Quark-Gluon Plasma
and Gauge/Gravity Correspondence,” Acta Phys. Polon. B 39, 3183 (2008) [arXiv:0811.3113
[hep-th]].
[18] P. Kovtun, D. T. Son and A. O. Starinets, Phys. Rev. Lett. 94, 111601 (2005) [arXiv:hepth/0405231].
6