Analiza matematyczna

Transkrypt

Stanisław Jaworski
Katedra Ekonometrii i Statystyki
Zakład Statystyki
Funkcje
Podstawowe pojęcia
Funkcje
Definicja (Funkcja)
Funkcją określoną na zbiorze X ⊆ R o wartościach w zbiorze Y ⊆ R
nazwywamy pzyporządkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie
jednego elementu y ∈ Y . Funkcję taką oznaczamy przez f : X → Y .
Definicja (Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji)
Niech f : X → Y . Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f , a zbiór
Y nazywamy jej przeciwdziedziną.
Uwaga
Jeżeli jest dany wzór określający funkcję, to zbiór tych elementów z R,
dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
Definicja (Zbiór wartości funkcji)
Zbiór f (X) = {f (x) ∈ Y : x ∈ X} nazywamy zbiorem wartości funkcji
f.
Funkcje
Podstawowe pojęcia
Definicja (Równość funkcji)
Funkcje f : X → Y , g : Z → Y są równe, co zapisujemy f = g, wtedy i
tylko wtedy, gdy
^
X = Z oraz
f (x) = g(x)
x∈X
Definicja (Wykres funkcji)
Wykresem funkcji f : X → Y nazywamy zbiór
{(x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ X}
Funkcje
Podstawowe pojęcia
Definicja (Funkcja parzysta)
Funkcja f : X → R jest parzysta, jeżeli
!
^
−x ∈ X oraz f (−x) = f (x)
x∈X
Definicja (Funkcja nieparzysta)
Funkcja f : X → R jest nieparzysta, jeżeli
!
^
x∈X
−x ∈ X oraz f (−x) = −f (x)
Funkcje
Podstawowe pojęcia
Definicja (Funkcja ograniczona z dołu)
Funkcja f : X → R jest ograniczona z dołu na zbiorze A ⊆ X, jeżeli
zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z dołu, tzn.
_ ^
f (x) ≥ m
m∈R x∈A
Definicja (Funkcja ograniczona z góry)
Funkcja f : X → R jest ograniczona z góry na zbiorze A ⊆ X, jeżeli
zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z góry, tzn.
_ ^
f (x) ≤ m
m∈R x∈A
Funkcje
Podstawowe pojęcia
Definicja (Funkcja ograniczona)
Funkcja f : X → R jest ograniczona na zbiorze A ⊆ X, jeżeli jest
ograniczona z dołu i z góry na tym zbiorze, tzn.
_ ^
m ≤ f (x) ≤ M
m,M ∈R x∈A
Definicja (Funkcja rosnąca)
Funkcja f : X → R jest rosnąca na zbiorze A ⊆ X, jeżeli
"
!
!#
^
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
x1 ,x2 ∈A
Funkcje
Podstawowe pojęcia
Definicja (Funkcja malejąca)
Funkcja f : X → R jest malejąca na zbiorze A ⊆ X, jeżeli
"
!
!#
^
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
x1 ,x2 ∈A
Definicja (Funkcja niemalejąca)
Funkcja f : X → R jest niemalejąca na zbiorze A ⊆ X, jeżeli
"
!
!#
^
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
x1 ,x2 ∈A
Funkcje
Podstawowe pojęcia
Definicja (Funkcja nierosnąca)
Funkcja f : X → R jest nierosnąca na zbiorze A ⊆ X, jeżeli
"
!
!#
^
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
x1 ,x2 ∈A
Definicja (Funkcja różnowartościowa)
Funkcja f : X → R jest różnowartościowa na zbiorze A ⊆ X, jeżeli
"
!
!#
^
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
x1 ,x2 ∈A
Funkcje
Podstawowe pojęcia
Definicja (Funkcja „na” )
Funkcja f : X → Y jest funkcją „na” zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy
f (X) = Y
Definicja (Funkcja wzajemnie jednoznaczna)
Funkcja f : X → Y jest wzajemnie jednoznaczna wtedy i tylko wtedy,
gdy jest różnowartościowa w swojej dziedzinie oraz jest „na” zbiór Y .
Funkcje
Podstawowe pojęcia
Definicja (Funkcja odwrotna)
Niech funkcja f : X → Y będzie wzajemnie jednoznaczna. Funkcją
odwrotną do f nazywamy funkcję f −1 : Y → X określoną przez warunek
f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y, gdzie x ∈ X, y ∈ Y.
Definicja (Złożenie funkcji)
Niech X, Y, Z, W ⊆ R oraz Y ⊆ Z oraz niech f : X → Y , g : Z → W .
Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g ◦ f : X → W określoną
wzorem
g ◦ f (x) = g(f (x)), dla x ∈ X
Funkcje
Podstawowe pojęcia
Fakt
Niech funkcja f : X → Y będzie wzajemnie jednoznaczna. Wtedy
^
^
f −1 (f (x)) = x oraz
f (f −1 (y)) = y
x∈X
x∈X
Funkcje
Podstawowe pojęcia
arcsin(x)
Funkcją arcsin (arkus sinus)
nazywamy
funkcję odwrotną do funkcji sinus
obciętej do przedziału − π2 , π2
Funkcje
Podstawowe pojęcia
arctg(x)
Funkcją arctg (arkus tangens) nazywamy
funkcję odwrotną do funkcji
tangens obciętej do przedziału − π2 , π2 . Dziedziną funkcji arctg(x) jest
R.
Funkcje
Podstawowe pojęcia
arcctg(x)
Funkcją arcctg (arkus kotangens) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji
kotangens obciętej do przedziału (0, π). Dziedziną funkcji arcctg(x) jest
R.
Ciągi nieskończone
Ciągi
Definicja (ciąg)
Ciąg (an ) jest odwzorowaniem N 3 n −→ an , gdzie N oznacza zbiór liczb
naturalnych. Liczby a1 , a2 , . . . nazywamy wyrazami tego ciągu.
Przykłady
(n) , (3n + 1) ,
3 − 21
n−1 , ((−1)n + 1) /nawiasy mogą być
mylące/
an = n, an = 3n + 1, an = 3 − 12
n−1
, an = (−1)n + 1
postęp arytmetyczny: an = a + nq, dla a, q ∈ R, n ∈ N
postęp geometryczny: an = aq n−1 , dla a ∈ R, q ∈ R+ , n ∈ N
granica właściwa ciągu
Definicja (ciąg (an ) ma granicę g ∈ R)
V W V
lim an = g ⇔
|an − g| < ε
n→∞
ε>0 N n>N
oznaczenia: lim an = g, an −→ g, lim an = g, an → g
n→∞
n→∞
Przykłady: ciągi zbieżne do zera
lim 1
n→∞ n
= 0,
n+1
lim (−1)n
lim −1
n =0
= 0,
lim n1 sin n = 0
1
n→∞ n
Pokażemy z definicji, że lim
= 0.
Niech ε bedzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Zachodzi
|1/n − 0| < ε ⇐⇒ n > 1/ε.
Zatem możemy przyjąć N = 1/ε
Przykłady: ciągi zbieżne do zera
lim 1
n→∞ n
= 0,
n+1
lim (−1)n
lim −1
n =0
lim n1 sin n = 0
= 0,
1
n→∞ n
Pokażemy z definicji, że lim
sin n = 0.
Niech ε bedzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Zauważmy, że
|
1
1
1
sin n| = | sin n| ≤
n
n
n
dla n ∈ N. Zatem
|
1
sin n − 0| < ε ⇐ n > 1/ε
n
Stąd możemy przyjąć N = 1/ε jak w poprzednim dowodzie.
Przykład ciągu zbieżnego do
an =
1
3
n2 −n+2
3n2 +2n−4
Pokażemy, że lim an = 13 .
Niech ε będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Zauważamy, że
zachodzą następujące nierówności
1
5n − 10
5n
5n
1
|an − | =
<
<
<
3
3(3n2 + 2n − 5)
3(3n2 − 4)
3 · 2n2
n
Zatem |an − 31 | jest mniejsze od ε, jeżeli n > [1/ε]
Twierdzenie
Jeżeli γ > 1, to γ n > 1 + n(γ − 1)
Pomiń dowód
Twierdzenie
Jeżeli γ > 1, to γ n > 1 + n(γ − 1)
Dowód.
Przyjmując γ = 1 + λ, gdzie λ > 0, na podstawie wzoru na dwumian
Newtona mamy
(1 + λ)n = 1 + nλ + . . . ,
gdzie niezapisane wyrazy są dodatnie. Zatem (1 + λ)n > 1 + nλ.
Podstawiając λ = γ − 1 otrzymujemy dowód twierdzenia.
Twierdzenie
Jeżeli γ > 1, to γ n > 1 + n(γ − 1)
Wniosek: Przyjmując γ = α1/n , przy α > 1 otrzymujemy nierówność
α1/n − 1 <
α−1
.
n
Nierówność tę wykorzystamy do udowodnienia następującego faktu:
Fakt
lim a1/n = 1 dla a > 1
Dowód.
|a1/n − 1| = a1/n − 1 <
a−1
n
< ε, o ile n > N =
a−1
ε
twierdzenia o granicach właściwych ciągu
Twierdzenie
Ciąg zbieżny jest ograniczony.
lim an = 0 ⇐⇒ lim |an | = 0.
n→∞
n→∞
Twierdzenie
Zakładamy, że (an ) oraz (bn ) są ciągami zbieżnymi
lim (an + bn ) = lim an + lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
lim (an − bn ) = lim an − lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
Twierdzenie
lim an = 0 ⇐⇒ lim |an | = 0.
n→∞
n→∞
Twierdzenie
lim c · an = c lim an , dla c ∈ R
n→∞
n→∞
lim (an · bn ) = lim an · lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
Twierdzenie
lim an = 0 ⇐⇒ lim |an | = 0.
n→∞
n→∞
Twierdzenie
an
n→∞ bn
lim
=
lim an
n→∞
lim bn
n→∞
, o ile lim bn 6= 0
n→∞
lim apn = ( lim an )p dla p ∈ Z \ {0}
n→∞
n→∞
Przykład
n3 ( n1 − 3)
n2 − 3n3
=
lim
=
n→∞ n3 + 1
n→∞ n3 (1 + 13 )
n
lim
=
lim ( 1
n→∞ n
− 3)
lim (1 +
n→∞
=
lim 1
n→∞ n
lim 1 +
n→∞
1
n3 )
=
− lim 3
n→∞
( lim n1 )3
n→∞
=
−3
= −3
1
Przykład: dlaczego ciągi muszą być zbieżne
Ciągi z tabeli spełniają: lim an = lim bn = ∞
n→∞
an
bn
lim (an − bn )
n→∞
n→∞
n
2n
−∞
n+5
n
5
Definicja (Ciąg rozbieżny)
VW V
lim an = ∞ ⇐⇒
an > M
n→∞
M N n>N
2n
n
∞
n + (−1)n
n
nie istnieje
Przykład: dlaczego ciągi muszą być zbieżne
Ciągi z tabeli spełniają: lim an = 1, lim bn = ∞
n→∞
n→∞
√
n
√
n
an
p
n
1/n
bn
n
n
n
n
lim (an )bn
0
5
∞
nie istnieje
n→∞
5
n
p
n
3 + (−1)n
Przykład: o nieokreśloności 00
Ciągi z tabeli spełniają: lim an = lim bn = 0
n→∞
n→∞
an
1
nn
0.5n
1
n
1
5n
1
nn
1
[3+(−1)n ]n
bn
1
n
1
n
1
n
− n1
− n1
− n1
0
0.5
1
5
∞
nie istnieje
lim (an )bn
n→∞
Twierdzenie (o trzech ciągach)
Niech ciągi (an ), (bn ) oraz (cn ) spełniają:
W V
an ≤ bn ≤ cn
N n>N
lim an = lim cn = b, gdzie b ∈ R
n→∞
n→∞
Wtedy lim bn = b
n→∞
Twierdzenie (o trzech ciągach)
Niech ciągi (an ), (bn ) oraz (cn ) spełniają:
W V
an ≤ bn ≤ cn
N n>N
lim an = lim cn = b, gdzie b ∈ R
n→∞
n→∞
Wtedy lim bn = b
n→∞
Przykład
√
n
√
n
3 · 7n = 7 3
√
√
Stąd lim 7 = 7 ≤ lim n 3n + 5n + 7n ≤ 7 lim n 3 = 7 · 1
n→∞
n→∞
n→∞
√
n
n
n
n
Zatem lim
3 +5 +7 =7
7=
n→∞
7n ≤
√
n
3n + 5 n + 7 n ≤
√
n
Twierdzenie
Jeżeli ciąg (an ) jest rosnący i ograniczony z góry dla n ≥ N , to jest
zbieżny do granicy g = sup{an : n ≥ N }
Przykład
Liczbę e definiujemy następująco: e = lim (1 + n1 )n . Ta definicja ma
n→∞
sens tylko wtedy, gdy granica ta istnieje. W tym celu pokażemy, że ciąg
an = (1 + n1 )n jest rosnący i ograniczony.
an =
1
1+
n
n
n X
n k 1
=
1 k =
k
n
k=0
n(n − 1) 1
1
n(n − 1)(n − 2) 1
· 2+
· 3+
=1+n +
n
1·2
n
1·2·3
n
n(n − 1) . . . (n − k + 1) 1
· k + ...+
+ ... +
1 · 2 · ... · k
n
n(n − 1) . . . (n − n + 1) 1
· n =
+
1 · 2 ·. . . · n n
1
1
1
1
2
=1+1+
1−
+
1−
1−
+ ...+
2!
n
3!
n
n
1
k−1
1
1
n−1
1
+
1−
... 1 −
+ ... +
1−
... 1 −
k!
n
n
n!
n
n
Jeżeli od an przejdziemy teraz do an+1 , tj. zwiększymy n o jedność, to
pojawi się nowy (n + 2)−gi wyraz, a każdy z już napisanych wyrazów się
zwiększy, bo dowolny czynnik w nawiasach postaci 1 − ns zastępujemy
s
większym czynnikiem 1 − n+1
. Wynika stąd, że an+1 > an .
an =
1
1+
n
n
n X
n k 1
=
1 k =
k
n
k=0
n(n − 1) 1
1
n(n − 1)(n − 2) 1
· 2+
· 3+
=1+n +
n
1·2
n
1·2·3
n
n(n − 1) . . . (n − k + 1) 1
· k + ...+
+ ... +
1 · 2 · ... · k
n
n(n − 1) . . . (n − n + 1) 1
· n =
+
1 · 2 ·. . . · n n
1
1
1
1
2
=1+1+
1−
+
1−
1−
+ ...+
2!
n
3!
n
n
1
k−1
1
1
n−1
1
+
1−
... 1 −
+ ... +
1−
... 1 −
k!
n
n
n!
n
n
Ciąg (an ) jest ograniczony z góry ponieważ, opuszczając wszystkie
czynniki w nawiasach, powiększamy powyższe wyrażenie. Zatem
1
1
1
1
1
1
< 2 + + 2 + . . . + n−1 < 3
an < 2 + + + . . . +
2! 3!
n!
2 2
2
Wykres ciągu an = (1 + 1/n)n
Fakt: Jeżeli dla pewnego Nzachodzi:
anan > 0 dla n > N
oraz lim an = ∞, to lim 1 + a1n
=e
n→∞
n→∞
Fakt: Jeżeli dla pewnego N zachodzi:
aann < 0 dla n > N
oraz lim an = −∞, to lim 1 + a1n
=e
n→∞
n→∞
twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów
Twierdzenie
Jeżeli
lim an = a, gdzie 0 < a ≤ ∞
n→∞
lim bn = 0, gdzie bn > 0 dla n ∈ N
to
n→∞
lim abnn
n→∞
=∞
Twierdzenie
Jeżeli dla pewnego N ciągi (an ) oraz (bn ) spełniają
an ≤ bn , dla każdego n ≥ N
lim an = ∞
n→∞
to lim bn = ∞
n→∞
twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów
Twierdzenie
a + ∞ = ∞ dla − ∞ < a ≤ ∞; a · ∞ = ∞ dla 0 < a ≤ ∞
a
a
= 0 dla − ∞ < a < ∞;
= ∞ dla 0 < a ≤ ∞
∞
0+
a∞ = 0 dla 0+ ≤ a < 1;
a∞ = ∞ dla 1 < a ≤ ∞
∞b = 0 dla − ∞ ≤ b < 0;
∞b = ∞ dla 0 < b ≤ ∞
Definicja (wyrażenia nieoznaczone)
∞−∞
0·∞
0
0
∞
∞
1∞
∞0
00
Granica funkcji
Punkt skupienia
Punkty skupienia
Definicja
Punkt x0 nazwywamy punktem skupiena zbioru X ⊆ R, jeżeli dowolnie
blisko x0 istnieją liczby x ∈ X, różne od x0 .
Równoważnie możemy powiedzieć, że x0 jest punktem skupienia X
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (xn ) taki, że X 3 xn 6= x0 dla
każdego n ∈ N oraz lim xn = x0 .
n→∞
Granica funkcji
Punkt skupienia
Punkty skupienia
Definicja
Punkt x0 jest prawostronnym (lewostronnym) punktem skupienia X
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (xn ) taki, że
X 3 xn > x0 (xn < x0 ) dla każdego n ∈ N oraz lim xn = x0 .
n→∞
Granica funkcji
Punkt skupienia
Punkty skupienia
Definicja
Punkt x0 jest prawostronnym (lewostronnym) punktem skupienia X
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (xn ) taki, że
X 3 xn > x0 (xn < x0 ) dla każdego n ∈ N oraz lim xn = x0 .
n→∞
Definicja
Mówimy, że ∞ (−∞) jest punktem skupienia zbioru X ⊂ R wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje ciąg (xn ) taki, że X 3 xn dla każdego n ∈ N oraz
lim xn = ∞ (−∞).
n→∞
Granica funkcji
Definicje granic
Granice funkcji
Definicja (Granica funkcji)
Niech X, Y ⊂ R, f : X → Y , x0 −punkt skupienia zbioru X. Będziemy
pisali
lim f (x) = g
x→x0
jeżeli istnieje punkt g ∈ R o następujących własnościach:
^ _ ^
[0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − g| < ε]
ε>0 δ>0 x∈X
Granica funkcji
Definicje granic
Granice funkcji
Twierdzenie (Równoważność definicji granicy funkcji)
lim f (x) = g ⇐⇒ lim f (xn ) = g dla dowolnego ciągu
x→x0
n→∞
(xn ) takiego, że: X 3 xn 6= x0 dla każdego n ∈ N
oraz lim xn = x0
n→∞
Prawa strona równoważności, to tzw. definicja Heinego granicy funkcji.
Granica funkcji
Definicje granic
Definicja (Definicje granic funkcji)
Niech X, Y ⊂ R, f : X → Y oraz xn ∈ X dla każdego n ∈ N.
^
lim f (x) = g ⇐⇒
lim f (xn ) = g
x→∞
lim f (x) = g ⇐⇒
x→−∞
lim+ f (x) = g ⇐⇒
x→x0
lim− f (x) = g ⇐⇒
x→x0
Uwaga: g ∈ R ∪ {−∞, ∞}
xn →∞
n→∞
^
lim f (xn ) = g
xn →−∞
^
xn →x0
xn >x0
^
xn →x0
xn <x0
n→∞
lim f (xn ) = g
n→∞
lim f (xn ) = g
n→∞
Granica funkcji
Arytmetyka granic
Twierdzenie (o arytmetyce granic funkcji)
Jeżeli funkcje f, g mają granice (skończone) w punkcie x0 , to
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x)
x→x0
x→x0
x→x0
lim (f (x) − g(x)) = lim f (x) − lim g(x)
x→x0
x→x0
x→x0
−
Uwaga: Wzory są prawdziwe, jeżeli x0 zastąpimy przez x+
0 , x0 , −∞ lub
∞. Trzeba założyć, że wyrażenia w ostatnim wzorze mają sens.
Granica funkcji
Arytmetyka granic
lim (cf (x)) = c( lim f (x)), gdzie c ∈ R
x→x0
x→x0
lim (f (x) · g(x)) = ( lim f (x)) · ( lim g(x))
x→x0
x→x0
x→x0
−
0 , x0 , −∞ lub
Granica funkcji
Arytmetyka granic
lim
x→x0
lim f (x)
f (x)
x→x0
=
o ile lim g(x) 6= 0
x→x0
g(x)
lim g(x)
x→x0
lim g(x)
lim f (x)g(x) = ( lim f (x))x→x0
x→x0
x→x0
−
0 , x0 , −∞ lub
Granica funkcji
Arytmetyka granic
Twierdzenie (o granicy funkcji złożonej)
Jeżeli funkcje f, g spełniają warunki:
lim f (x) = y0
x→x0
f (x) 6= y0 dla każdego x ∈ S(x0 )
lim g(y) = g
y→y0
to lim g(f (x)) = g
x→x0
Uwaga: Twierdzenie jest prawdziwe dla pozostałych typów granic. Zbiór
S(x0 ) jest postaci (x0 − δ, x0 + δ) \ {x0 } dla pewnego δ > 0.
Granica funkcji
Przykłady granic
Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych
sin x
=1
x
x
a −1
lim
= ln a, gdzie a > 0
x→0
x
loga (1 + x)
lim
= loga e, gdzie 0 < a 6= 1
x→0
x
a x
= ea , gdzie a ∈ R
lim 1 +
x→±∞
x
lim
x→0
lim (1 + x)1/x = e
x→0
tan x
=1
x
x
e −1
lim
=1
x→0
x
ln(1 + x)
lim
=1
x→0
x
x
1
lim
1+
=e
x→±∞
x
(1 + x)a − 1
lim
= a,
x→0
x
gdzie a∈ R
lim
x→0
Granica funkcji
Asymptoty funkcji
Definicja (Asymptota pionowa lewostronna)
Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f jeżeli
lim f (x) = −∞ albo lim− f (x) = ∞
x→a−
x→a
Granica funkcji
Asymptoty funkcji
x→a−
x→a
Definicja (Asymptota pionowa prawostronna)
Prosta x = a jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f jeżeli
lim f (x) = −∞ albo lim+ f (x) = ∞
x→a+
x→a
Granica funkcji
Asymptoty funkcji
x→a−
x→a
Definicja (Asymptota pionowa prawostronna)
Prosta x = a jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f jeżeli
lim f (x) = −∞ albo lim+ f (x) = ∞
x→a+
x→a
Definicja (Asymptota pionowa)
Prosta x = a jest asymptotą pionową funkcji jeżeli jest jednocześnie
asymptotą lewostronną i prawostronną
Granica funkcji
Asymptoty funkcji
Definicja (Asymptota ukośna)
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji f w +∞ (−∞) wtedy i
tylko wtedy, gdy
lim [f (x) − (ax + b)] = 0
x→∞
(x→−∞)
Granica funkcji
Asymptoty funkcji
Definicja (Asymptota ukośna)
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji f w +∞ (−∞) wtedy i
tylko wtedy, gdy
lim [f (x) − (ax + b)] = 0
x→∞
(x→−∞)
Fakt
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji f w ∞ (−∞) wtedy i
tylko wtedy, gdy
a=
lim
x→∞
(x→−∞)
f (x)
oraz b =
x
lim [f (x) − ax]
x→∞
(x→−∞)
Granica funkcji
Ciągłość funkcji
Definicja
Niech X, Y ⊂ R, f : X → Y , x0 ∈ X. O funkcji f powiemy, że jest
ciągła w punkcie x0 , jeżeli
^ _ ^
[|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε]
ε>0 δ>0 x∈X
Twierdzenie
W sytucji opisanej w powyższej definicji niech x0 będzie punktem
skupienia zbioru X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko
wtedy, gdy lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Granica funkcji
Ciągłość funkcji
Definicja
Funkcja f : X → Y jest ciągła, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie
p ∈ X.
Twierdzenie
Niech f, g będą funkcjami ciągłymi na X. Wówczas f + g, f · g oraz f /g
są funkcjami ciągłymi. W ostatnim przypadku zakładamy, ze g =
6 0
Pochodna
Podstawy
Pochodna
Definicja
Pochodną funkcji f : X → Y w punkcie x0 ∈ X nazywamy liczbę
f 0 (x0 ) = lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
h
Pochodna
Podstawy
Pochodna
Definicja
f 0 (x0 ) = lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
h
Fakt
Jeżeli funkcja f ma pochodną w x0 , to jest ciągła w x0 .
Pochodna
Podstawy
Pochodna
Definicja
f 0 (x0 ) = lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
h
Fakt
Jeżeli funkcja f ma pochodną w x0 , to jest ciągła w x0 .
Dowód.
Niech xn → x0 oraz hn = xn − x0
lim (f (xn ) − f (x0 )) = lim hn
xn →x0
hn →0
f (x0 + hn ) − f (x0 )
= 0 · f 0 (x0 ) = 0
hn
Pochodna
Podstawy
Przykład
f (x) = xn
n
P
n
(x0 + h) −
f (x0 + h) − f (x0 )
=
h
h
xn0
=
k=0
n
k
xk0 hn−k − xn0
h
=
Pochodna
Podstawy
Przykład
f (x) = xn
n
P
n k n−k
− xn0
k x0 h
(x0 + h) −
f (x0 + h) − f (x0 )
k=0
=
=
=
h
h
h
n−1
P n k n−k
n−1
k x0 h
X n
k=0
xk hn−k−1 =
=
=
h
k 0
n
xn0
k=0
Pochodna
Podstawy
Przykład
f (x) = xn
n
P
n k n−k
− xn0
k x0 h
(x0 + h) −
f (x0 + h) − f (x0 )
k=0
=
=
=
h
h
h
n−1
P n k n−k
n−1
k x0 h
X n
k=0
xk hn−k−1 =
=
=
h
k 0
k=0
n−2
X n
=
xk hn−k−1 + nxn−1
=
0
k 0
n
k=0
xn0
Pochodna
Podstawy
Przykład
f (x) = xn
n
P
n k n−k
− xn0
k x0 h
(x0 + h) −
f (x0 + h) − f (x0 )
k=0
=
=
=
h
h
h
n−1
P n k n−k
n−1
k x0 h
X n
k=0
xk hn−k−1 =
=
=
h
k 0
k=0
n−2
X n
=
xk hn−k−1 + nxn−1
=
0
k 0
k=0
n−2
X n
n−1
−→ nx
=h
xk hn−k−2 + nx0n−1 h→0
0
k 0
n
k=0
xn0
Pochodna
Podstawy
Przykład
f (x) = 1/x
1
x+h
−
h
1
x
=
x−x−h
1
1
−→ −
=−
h(x + h)x
(x + h)x h→0
x2
Pochodna
Podstawy
Przykład
f (x) = 1/x
1
x+h
−
h
1
x
=
x−x−h
1
1
−→ −
=−
h(x + h)x
(x + h)x h→0
x2
Przykład
√
f (x) = x
√
√
x+h− x
x+h−x
1
1
−→
√
= √
= −√
√
√ h→0
h
2 x
( x + h + x)h
x+h+ x
Pochodna
Podstawy
Przykład
f (x) = loga x
loga (x + h) − loga x
1
= loga
h
h
x+h
x
=
1 loga (1 + h/x)
·
=
x
h/x
Pochodna
Podstawy
Przykład
f (x) = loga x
x+h
1 loga (1 + h/x)
1
= ·
=
= loga
h
h
x
x
h/x
1
1
= · loga (1 + h/x) h/x =
x
Pochodna
Podstawy
Przykład
f (x) = loga x
x+h
1 loga (1 + h/x)
1
= ·
=
= loga
h
h
x
x
h/x
1
1
= · loga (1 + h/x) h/x =
x
(x/h)
1
1
1
−→
= · loga 1 +
loga e
h→0
x
x/h
x
Pochodna
Podstawy
Przykład
f (x) = sin x.
Skorzystam z:
lim
α→0
sin α
= 1,
α
sin α − sin β = 2 cos
α+β
α−β
sin
2
2
Pochodna
Podstawy
Przykład
f (x) = sin x.
Skorzystam z:
lim
α→0
sin α
= 1,
α
sin α − sin β = 2 cos
α+β
α−β
sin
2
2
2 cos(x + h2 )
h
sin (h/2)
sin (x + h) − sin x
−→ cos x
=
sin = cos(x + h/2)
h
h
2
h/2 h→0
Pochodna
Podstawy
Przykład
Niech g(y) = f −1 (y) będzie funkcją odwrotną do f (x).
Niech y0 = f (x0 ), y0 + h? = f (x0 + h) oraz 0 6= f 0 (x0 )–istnieje
Pochodna
Podstawy
Przykład
Zauważmy, że przy tych oznaczenach
f −1 (y0 ) = x0 , f −1 (x0 + h? ) = y0 + h oraz h? = f (x0 + h) − f (x0 )
a także h? → 0 ⇐⇒ h → 0
Pochodna
Podstawy
Przykład
Zauważmy, że przy tych oznaczenach
f −1 (y0 ) = x0 , f −1 (x0 + h? ) = y0 + h oraz h? = f (x0 + h) − f (x0 )
a także h? → 0 ⇐⇒ h → 0
Stąd otrzymujemy
f −1 (y0 + h? ) − f −1 (y0 )
x0 + h − x0
=
=
h?
f (x0 + h) − f (x0 )
Zatem mamy wzór g 0 (y0 ) =
1
f 0 (x0 )
1
f (x0 +h)−f (x0 )
h
Pochodna
Podstawy
Przykład
f (x) = arcsin x. Przyjmujemy, że (y = arcsin x ⇐⇒ x = siny)
f 0 (x) =
1
1
1
1
=
=√
=p
2
cos y
sin0 y
1 − x2
1 − sin y
Pochodna
Podstawy
Przykład
f (x) = arcsin x. Przyjmujemy, że (y = arcsin x ⇐⇒ x = siny)
f 0 (x) =
1
1
1
1
=
=√
=p
2
cos y
sin0 y
1 − x2
1 − sin y
Przykład (Pochodna iloczynu funkcji)
f (x)g(x)
f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x)
=
h
(f (x + h) − f (x))g(x + h) + f (x)(g(x + h) − g(x))
=
=
h
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x)
−→
=
g(x + h) + f (x)
h→0
h
h
0
0
−→ f (x)g(x) + f (x)g (x)
h→0
Pochodna
Podstawy
Przykład (pochodna złożenia funkcji)
f (x) = ex . Stąd ln(f (x)) = x
(ln(f (x)))0 = x0
1 0
f (x) = 1
f (x)
f (x)0 = f (x)
Pochodna
Wzory
0
(xα ) = αxα−1 , x > 0, α ∈ R
0
(sin x) = cos x
0
(cos x) = − sin x
1
0
(tgx) =
= 1 + tg2 x, cos x 6= 0
cos2 x
1
0
(ctgx) = − 2 = −(1 + ctg2 x), sin x 6= 0
sin x
1
1
1
0
(arcsin x) = √
, −1 ≤ x ≤ 1, − π ≤ arcsin x ≤ π
2
2
2
1−x
−1
0
(arccos x) = √
, −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ arccos x ≤ π
1 − x2
0
(ax ) = ax ln a, a > 0
1
0
(ln |x|) = , x 6= 0
x
1
1
0
= loga e, a > 0, a 6= 1, x 6= 0
(loga |x|) =
x ln a
x
Pochodna
Wzory
Reguły różniczkowania
0
(f + g) (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
0
(f − g) (x) = f 0 (x) − g 0 (x)
0
(cf ) (x) = cf 0 (x), c ∈ R
0
(f · g) (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
0
f
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
(x) =
, g(x) 6= 0
g
g 2 (x)
0
(f ◦ g) (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
Pochodna
Wzory
Równanie stycznej do wykresu funkcji
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0 ma postać:
y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
Definicja
Niech f będzie funkcją ciągłą w punkcie x0 ∈ R. Funkcja f ma w
punkcie x0 pochodną niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy
f (x0 + h) − f (x0 )
=∞
h→0
h
lim
albo
lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
= −∞
h
Pochodna
Wzory
Definicja (Pochodna n−tego rzędu)
0
f (n) (x) = f (n−1) (x) dla n ≥ 2
Fakt (Wzór Leibniza)
(n)
(f · g)
(x) =
n X
n
k=0
We wzorze przyjmujemy f
(0)
k
f (k) (x)g (n−k) (x)
(x) = f (x) i oczywiście g (0) (x) = g(x)
Pochodna
Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi
Twierdzenie (Rolle’a)
Jeżeli funkcja spełnia warunki:
jest ciągła na [a, b]
ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a, b)
f (a) = f (b)
to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f 0 (c) = 0
Twierdzenie (Lagrange’a)
Jeżeli funkcja spełnia warunki:
jest ciągła na [a, b]
ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a, b)
to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f 0 (c) =
f (b)−f (a)
b−a
Pochodna
Twierdzenie (warunki wystarczające monotoniczności funkcji)
Jeżeli funkcja dla każdego x ∈ (a, b) spełnia warunek
f 0 (x) = 0, to jest stała na przedziale (a, b)
f 0 (x) > 0, to jest rosnąca na przedziale (a, b)
f 0 (x) ≥ 0, to jest niemalejąca na przedziale (a, b)
f 0 (x) < 0, to jest malejąca na przedziale (a, b)
f 0 (x) ≤ 0, to jest nierosnąca na przedziale (a, b)
Uwaga: Jeżeli f 0 (x) ≥ 0 dla każdego x ∈ (a, b), przy czym zbiór
{x ∈ (a, b)| f 0 (x) = 0}
jest skończony, to funkcja f jest rosnąca na (a, b)
Pochodna
Twierdzenie (Cauchu’ego)
Jeżeli funkcje spełniają warunki:
są ciągłe na [a, b]
mają pochodne właściwe lub niewłaściwe na (a, b)
g 0 (x) 6= 0 dla każdego ∈ (a, b)
to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że
f 0 (c)
g 0 (c)
=
f (b)−f (a)
g(b)−g(a)
Pochodna
Twierdzenia o granicach nieoznaczonych
Twierdzenie (reguła de L’Hospitala dla nieoznaczoności 00 )
Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:
lim f (x) = lim g(x) = 0, przy czym g(x) 6= dla x ∈ S(x0 )
x→x0
x→x0
f 0 (x)
0
x→x0 g (x)
istnieje granica lim
to
lim
x→x0
(właściwa lub niewłaściwa)
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g(x) x→x0 g (x)
+
Twierdzenie jest prawdziwe, jeżeli x0 zastąpimy przez x−
0 , x0 , −∞, +∞
Pochodna
Twierdzenia o granicach nieoznaczonych
Twierdzenie (reguła de L’Hospitala dla nieoznaczoności
∞
∞)
Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:
lim f (x) = lim g(x) = ∞
x→x0
x→x0
f 0 (x)
0
x→x0 g (x)
istnieje granica lim
to
lim
x→x0
(właściwa lub niewłaściwa)
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g(x) x→x0 g (x)
+
Twierdzenie jest prawdziwe, jeżeli x0 zastąpimy przez x−
0 , x0 , −∞, +∞
Pochodna
Wzór Talora
Wzór Taylora
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f (x) ma n−tą pochodną f (n) (x) w pewnym przedziale
domkniętym zawierającym punkt a, wówczas dla każdego punktu x z
tego przedziału ma miejsce następujący wzór Taylora:
f 00 (a)
f 0 (a)
(x − a) +
(x − a)2 + . . .
1!
2!
f (n−1) (a)
f (n) (cn )
... +
(x − a)n−1 +
(x − a)n
(n − 1)!
n!
f (x) = f (a) +
gdzie a < cn < x przy x > a i x < cn < a przy x < a
Ostatni wyraz we wzorze Taylora oznaczamy przez Rn :
Rn =
f (n) (cn )
(x − a)n
n!
i nazywamy resztą wzoru Taylora (w postaci Lagrange’a)
Pochodna
Wzór Talora
Definicja (Szereg Taylora)
Szereg potęgowy postaci
f (x) = f (a) +
∞
X
f (n) (a)
(x − a)n
n!
n=1
nazywamy szeregiem Taylora
Twierdzenie (O rozwinięciu funkcji w szereg Taylora)
Funkcja jest rozwiajlna w szereg Taylora w przedziale (a − δ, a + δ), jeżeli
w tym przedziale
funkcja ma pochodne każdego rzędu
lim Rn = 0, gdzie Rn oznacza resztę szeregu podaną we wzorze
Taylora
n→∞
Uwaga
Warunek drugi jest w szczególności spełniony, jeżeli wszystkie pochodne
f (n) (x) są wspólnie ograniczne w przedziale (a − δ, a + δ)
Badanie funkcji jednej zmiennej
Ekstrema
Definicja (Minimum lokalne)
Funkcja f ma w x0 ∈ R minimum lokalne jeżeli
_
^
f (x) ≥ f (x0 )
δ>0
x∈S(x0 ,δ)
Uwaga
Zauważmy, że f musi być określona w otoczeniu punktu x0 . Zbiór
S(x0 , δ) = {x ∈ R| 0 < |x − x0 | < δ}
Ekstrema
Definicja (Maksimum lokalne)
Funkcja f ma w x0 ∈ R maksimum lokalne jeżeli
_
^
f (x) ≤ f (x0 )
δ>0
x∈S(x0 ,δ)
Ekstrema
Definicja (Minimum lokalne właściwe)
Funkcja f ma w x0 ∈ R minimum lokalne właściwe jeżeli
_
^
f (x) > f (x0 )
δ>0
x∈S(x0 ,δ)
Definicja (Maksimum lokalne właściwe)
Funkcja f ma w x0 ∈ R maksimum lokalne właściwe jeżeli
_
^
f (x) < f (x0 )
δ>0
x∈S(x0 ,δ)
Ekstrema
Warunek konieczny istnienia ekstremum
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f ma
1
2
ekstremum lokalne w punkcjie x0
pochodną w punkcie x0
0
to f (x0 ) = 0
Uwaga
Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których jej pochodna
równa jest zero, albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje
Ekstrema
Warunek wystarczający istnienia ekstremum
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1
2
f 0 (x0 ) = 0
(
W f 0 (x0 ) > 0
0
δ>0 f (x0 ) < 0
dla x0 − δ < x < x0
dla x0 < x < x0 + δ
to w punkcie x0 ma maksimum lokalne właściwe
Ekstrema
Warunek wystarczający istnienia ekstremum
Twierdzenie
1
f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0
2
f (n) (x0 ) < 0
3
n jest liczbą parzystą, gdzie n ≥ 2
to w punkcie x0 ma maksimum lokalne właściwe
Ekstrema
Odnajdywanie wartości ekstremalnych funkcji w przedziale
Funkcja f jest ciągła na przedziale < a, b > oraz ma pochodną właściwą
poza skończoną liczbą punktów tego przedziału. Wartości najmniejszej i
największej tej funkcji na tym przedziale szukamy w następujący sposób
Ekstrema
Znajdujemy punkty c1 , . . . , cn zerowania się pochodnej funkcji f na
przedziale (a, b) oraz punkty d1 , . . . , dm , w których pochodna właściwa
tej funkcji nie istnieje
Ekstrema
Spośród liczb f (a), f (b); f (c1 ), . . . , f (cn ); f (d1 ), . . . , f (dm ) wybieramy
najmniejszą i największą. Będą to odpowiednio wartość najmniejsza oraz
największa funkcji f na przedziale < a, b >
Wypukłość, wklęsłość
Wypukłość i wklęsłość funkcji
Definicja (Funkcja wypukła)
Funkcja f jest wypukła na przedziale (a, b), gdzie −∞ ≤ a < b < ∞,
jeżeli:
^
^
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )
a<x1 <x2 <b
0<λ<1
Definicja (Funkcja ściśle wypukła)
Funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale (a, b), gdzie
−∞ ≤ a < b < ∞, jeżeli:
^
^
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) < λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )
a<x1 <x2 <b
0<λ<1
Wypukłość i wklęsłość funkcji
Definicja (Funkcja wklęsła)
Funkcja f jest wklęsła na przedziale (a, b), gdzie −∞ ≤ a < b < ∞,
jeżeli:
^
^
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )
a<x1 <x2 <b
0<λ<1
Definicja (Funkcja ściśle wklęsła)
Funkcja f jest ściśle wklęsła na przedziale (a, b), gdzie
−∞ ≤ a < b < ∞, jeżeli:
^
^
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) > λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )
a<x1 <x2 <b
0<λ<1
Twierdzenie (warunek wystarczający wypukłości)
Jeżeli f 00 (x) > 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest ściśle wypukła
na (a, b)
Punkty przegięcia wykresu funkcji
Definicja (Punkt przegięcia wykresu funkcji)
Punkt (x0 , f (x0 ) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje takie δ > 0, że funkcja f jest ściśle wypukła na
(x0 − δ, x0 ) oraz ściśle wklęsła na (x0 , x0 + δ) albo odwrotnie
Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)
1
(x0 , f (x0 )) jest jej punktem przegięcia
2
istnieje f 00 (x0 )
to f 00 (x0 ) = 0
Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)
1
(x0 , f (x0 )) jest jej punktem przegięcia
2
istnieje f 00 (x0 )
to f 00 (x0 ) = 0
Fakt
Funkcja może mieć punkty przegięcia jedynie w punktach zerowania się jej
drugiej pochodnej albo w punktach, w których ta pochodna nie istnieje.
Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Twierdzenie
1
2
w punkcie x0 ma pochodną właściwą lub niewłaściwą
(
W f 00 (x0 ) < 0 dla x0 − δ < x < x0
00
δ>0 f (x0 ) > 0 dla x0 < x < x0 + δ
to (x0 , f (x0 )) jest punktem przegięcia wykresu.
Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Twierdzenie
1
f 00 (x0 ) = f 000 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0
2
f (n) (x0 ) 6= 0
3
n jest liczbą nieparzystą, gdzie n ≥ 3
to (x0 , f (x0 )) jest punktem przegięcia jej wykresu
Uwaga
Jeżeli założenie 3. ma postać „n jest liczbą parzystą”, to (x0 , f (x0 )) nie
jest punktem przgięcia.
Całka nieoznaczona
Definicja
Całka nieoznaczona
Definicja
Niech f (x) będzie funkcją określoną w pewnym przedziale I. Każdą
funkcję F (x) różniczkowalną w przedziale I i spełniającą w całym
przedziale związek
F 0 (x) = f (x)
nazywamy funkcją pierwotną funkcji f (x) w przedziale I.
Przykłady
funkcją pierwotną funkcji cos x w przedziale (−∞, ∞) jest sin x, bo
(sin x)0 = cos x
funkcją pierwotną funkcji 1 − 2x jest x − x2 , bo (x − x2 )0 = 1 − 2x
Funkcję pierwotną nazywamy również całką nieoznaczoną i oznaczamy
przez
Z
f (x) dx
Całka nieoznaczona
Własności
W myśl określenia całki mamy:
Z
0
f (x) dx = f (x) oraz
Z
F 0 (x) dx = F (x).
Obliczanie, czyli wyznaczanie całki nazywamy całkowaniem funkcji.
Przykłady
R
cos x dx = sin x,
R
x2 dx = 13 ,
R
1 dx =
R
dx = x
Zauważmy, że gdy F (x) jest całką funkcji f (x), to suma F (x) + c,
gdzie c jest stałą dowolną, jest również całką, bo
[F (x) + c]0 = F 0 (x) = f (x). I odwrotnie: Dwie różne całki F (x) oraz
G(x) tej samej funkcji f (x) różnią się w całym przdziale o stałą. Istotnie,
jeżeli F 0 (x) = f (x) oraz G0 (x) = f (x), to pochodna różnicy
G(x) − F (x) równa się w całym przedziale 0, zatem
F (x) − G(x) = c
Całka nieoznaczona
Podstawowe wzory
Z
Z
Z
Z
Z
xa dx =
x1+a
+ c, dla a 6= −1,
1+a
1
dx = ln |x| + c,
x
ex dx = ex + c,
ax dx =
ax
+ c,
ln a
1
dx = arctan x + c = −arcctgx + c0
1 + x2
Z
1
√
dx = arcsin x + c = − arccos x + c0
1 − x2
Z
sin x = − cos x + c
Z
cos x dx = sin x + c,
Z
1
dx = tan x + c,
cos2 x
Z
1
dx = −ctgx + c
sin2 x
Całka nieoznaczona
Podstawowe wzory
Niech f (x) oraz g(x) będą funkcjami mającymi całki w pewnym
przedziale. Wówczas
suma f + g ma w tym przedziale całkę oraz
Z
Z
Z
(f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx
jeżeli a jest stałą, to
Z
Z
af (x) dx = a
f (x) dx
jeżeli dodatkowowo f, g mają ciągłe pochodne, to
Z
Z
0
f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f (x)0 g(x) dx
Uwaga: można spotkać się z oznaczeniem: dg(x) = g 0 (x) dx lub
krótko
dg = g 0 dx.
R
R Wtedy wzór ten zapisujemy w postaci
f dg = f g − g df
Całka nieoznaczona
Podstawowe wzory
Całkowanie przez podstawienie.
Nich f (x) będzie funkcją ciągłą w
R
przedziale (a, b) i niech f (x) dx = F (x). Niech dalej x = φ(t) będzie
funkcją ciągłą w przedziale (α, β), spełniającą w nim nierówność
a < φ(t) < b i mającą ciągłą pochodną φ0 (t). Funkcja złożona F [φ(t)]
ma wówczas w przedziale (α, β) pochodną
F 0 [φ(t)]φ0 (t) = f [φ(t)]φ0 (t), bo F 0 (x) = f (x),
zatem
Z
f [φ(t)]φ0 (t) dt = F [φ(t)].
Stąd otrzymujemy
Z
Z
f (x) dx = f [φ(t)]φ0 (t) dt dla x = φ(t)
Całka nieoznaczona
Podstawowe wzory
Przykłady (stała będzie pomijana)
R dx
a 6= 0, ax+b
. Przyjmujemy ax + b = t, zatem x = t−b
a , skąd
dt
dx = a . Zatem
Z
Z
Z
dx
1 1
1
1
1
1
=
· dt =
dt = ln |t| = ln |ax + b|
ax + b
t a
a
t
a
a
R √
x 1 + x2 dx. Przyjmijmy 1 + x2 = t, skąd 2x dx = dt, zatem
Z p
Z
Z
1 p
1 p
1 √
1 3
2
2
x 1 + x dx =
1 + x ·2x dx =
t dt = t 2 = ( 1 + x2 )
2
2
3
3
R 0 (x)
Całka ułamka φφ(x)
dx, w którym licznik jest pochodną
mianownika,
przekształca się po podstawieniu φ(x) = t na całkę
R dt
=
ln
|t|.
t
R
Całka iloczynu [φ(x)]a φ0 (x) dx,R gdzie a 6= −1, przekształca się po
podstawieniu φ(x) = t na całkę ta dt.
Całka nieoznaczona
Podstawowe wzory
Wynikają stąd następujące wzory:
Z 0
φ (x)
dx = ln |φ(x)|,
φ(x)
Z
[φ(x)]a+1
[φ(x)]a φ0 (x) dx =
dla a 6= −1
a+1
Wzory rekurenyjne. Całki
Z
dx
In =
,
(1 + x2 )n
Z
Jn =
n
sin x dx,
Z
cosn x dx
umiemy obliczyć dla n = 1. Dla n > 1 można je obliczyć stosując wzory
rekurencyjne:
Z
Z
dx
1
x
2n − 3
dx
=
+
,
(1 + x2 )n
2n − 2 (1 + x2 )n−1
2n − 2
(1 + x2 )n−1
Z
Z
1
n−1
sinn x dx = − cos x sinn−1 x +
sinn−2 x dx,
n
n
Z
Z
1
n−1
n
n−1
cos x dx = sin x cos
cosn−2 x dx
x+
n
n
Całka nieoznaczona
Podstawowe wzory
Pierwszy wzór rekurencyjny
Z
Z
Z
1 + x2 − x2
dx
x 2x dx
In =
dx =
−
=
2
n
2
n−1
(1 + x )
(1 + x )
2 (1 + x2 )n
Z
1
x
d −
= In−1 −
2
(n − 1)(1 + x2 )n−1
Całkując ostatnią całkę przez części otrzymujemy
Z
x
dx
In = In−1 +
−
(2n − 2)(1 + x2 )n−1
(2n − 2)(1 + x2 )n−1
x
1
In = In−1 +
−
In−1
2
n−1
(2n − 2)(1 + x )
2n − 2
x
2n − 3
=
+
In−1
2
n−1
(2n − 2)(1 + x )
2n − 2
Drugi wzór rekurencyjny
Zaczynamy od postaci: sinn x dx = sinn−1 x d(− cos x)
Trzeci wzór rekurencyjny otrzymuje się podobnie do drugiego
Całka nieoznaczona
Podstawowe wzory
Przykłady
Przy podstawieniu sin x = t mamy
Z
Z
Z
sin x
−dt
tan x dx =
dx =
= − ln |t| = − ln | cos x|
cos x
t
Najpierw przez części, potem podstawienie 1 − x2 = t
Z
Z
Z
x
dt
√
√ =
arcsin x dx = x arcsin x −
dx = x arcsin x +
2 t
1 − x2
p
√
= x arcsin x + t = x arcsin x + 1 − x2
Całka nieoznaczona
Podstawowe wzory
Przykłady
√
√
Podstawienie x = at (wtedy dx = adt)
Z
Z
dx
dt
x
√
√
=
= arcsin t = arcsin √
2
2
a
a−x
1−t
√
Podstawienie x + a + x2 = t. Dla tego podstawienia zachodzi
√
x
x + a + x2
dx
1+ √
dx = √
dx = √
t = dt
a + x2
a + x2
a + x2
Zatem
Z
√
dx
=
a + x2
Z
p
dt
= ln |t| = ln |x + a + x2 |
t
Całka nieoznaczona
Podstawowe wzory
Z p
Z
a − x2
√
a − x2 dx =
dx
a − x2
Z
Z
a
−x
√
=
dx + x
dx =
2
a
− x2
a−x
Z
Z
p
dx
+ xd a − x2 =
=a √
a − x2
Z p
p
x
= a arcsin √ + x a − x2 −
a − x2 dx
a
Zatem
Z p
p
1
x
a − x2 dx =
a arcsin √ + x a − x2
2
a
Całka nieoznaczona
Podstawowe wzory
Wyznaczamy całkę
R
Ax + B
dx. Na początek zauważamy, że
x2 + px + q
2x + p
A
C
A
Ax + B
dx =
+
, gdzie C = B−
(x2 + px + q)n
2 (x2 + px + q)n (x2 + px + q)n
2
Zatem
Z
Z
Z
A
1
Ax + B
2x + p
dx =
dx+C
dx
x2 + px + q
2
(x2 + px + q)n
(x2 + px + q)n
Pierwsza całka po prawej stronie równości jest postaci
Z
[φ(x)]−n φ0 (x) dx dla φ(x) = x2 + px + q
zatem wiadomo już, jak ją policzyć
Całka nieoznaczona
Podstawowe wzory
Trzeba pokazać, jak wyznaczyć
podstawiamy
R
1
(x2 +px+q)n
dx. W tym celu
p 2
p2
x + px + q = x +
+ q−
= at2 + a,
2
4
2
√
p2
p √
= a oraz x + = at. Wówczas dx = a dt. Zatem
4
2
√
Z
Z
Z
1
a dt
1
dt
dx =
= n−1/2
(x2 + px + q)n
an (1 + t2 )n
(1 + t2 )n
a
gdzie q −
Ostatnia całka jest równa arctan t dla n = 1, a dla n > 1, stosujemy
wzór rekurencyjny.
Całka nieoznaczona
Podstawowe wzory
Do domu. Stosując opisany powyżej sposób pokazać, że
√ x)
−4 arctan( −3+2
−5 + 2 x
11
√
+ ln(5 − 3 x + x2 )
dx =
5 − 3 x + x2
11
Z
3 + 2x
1
2 dx = − 5 + 3 x + x2
(5 + 3 x + x2 )
Z
Całka nieoznaczona
Podstawowe wzory
Całki, których nie można wyrazić za pomocą funkcji elementarnych
Z
Z
Z
2
sin x
dx
√
,
dx,
e−x dx
2
x
1+x
Całka oznaczona
Definicja
Całka oznaczona
Niech f (x) oznacza funkcję ograniczoną na < a, b >.
Całka oznaczona
Definicja
Całka oznaczona
Niech P1 , P2 , . . . , Pm , . . . będą różnym podziałami przedziału
< a, b >. Podział Pm jest osiągnięty przy pomocy nm − 1 liczb
x1 , x2 , . . . , xnm −1 , przy czym
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xnm −1 < xnm = b.
Całka oznaczona
Definicja
Całka oznaczona
x1 , x2 , . . . , xnm −1 , przy czym
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xnm −1 < xnm = b.
Przedziały < xi−1 , xi >, gdzie i = 1, 2, . . . , nm , nazywamy
przedziałami cząstkowymi podziału Pm . Długości ich xi − xi−1
będziemy oznaczali przez ∆xi
Całka oznaczona
Definicja
Całka oznaczona
x1 , x2 , . . . , xnm −1 , przy czym
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xnm −1 < xnm = b.
Niech δm = max ∆xi oraz
i
Sm =
nm
X
f (ci )∆xi ,
i=1
przy podziale Pm oraz dowolnie wybranych punktów
ci ∈< xi−1 , xi >, i = 1, 2, . . . , nm .
Całka oznaczona
Definicja
Całka oznaczona
x1 , x2 , . . . , xnm −1 , przy czym
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xnm −1 < xnm = b.
Niech δm = max ∆xi oraz
i
Sm =
nm
X
f (ci )∆xi ,
i=1
przy podziale Pm oraz dowolnie wybranych punktów
ci ∈< xi−1 , xi >, i = 1, 2, . . . , nm .
Ciąg podziałów nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeżeli
lim δm = 0
m→∞
Całka oznaczona
Definicja
Definicja
Jeżeli ciąg {Sm } dla m → ∞ jest zbieżny i do tej samej granicy przy
każdym normalnym ciągu podziałów, niezależnie od wyboru punktów ci ,
to funkcję f (x) nazywamy funkcją całkowalną w przedziale < a, b >.
Całka oznaczona
Definicja
Definicja
Jeżeli ciąg {Sm } dla m → ∞ jest zbieżny i do tej samej granicy przy
każdym normalnym ciągu podziałów, niezależnie od wyboru punktów ci ,
to funkcję f (x) nazywamy funkcją całkowalną w przedziale < a, b >.
Granicę ciągu {Sm } nazywamy całką oznaczoną funkcji f (x) w granicach
od a do b i oznaczamy symbolem
Z
b
f (x) dx
a
Całka oznaczona
Własności
Własności
1
Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna
Całka oznaczona
Własności
Własności
1
2
Funkcja ogranicznona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z
wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby liczby punktów jest
całkowalna.
Całka oznaczona
Własności
Własności
1
2
Funkcja ogranicznona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z
wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby liczby punktów jest
całkowalna.
3
Jeżeli a ≤ b ≤ c, to
Zc
Zb
f (x) dx =
a
Zc
f (x) dx +
c
f (x) dx
b
Całka oznaczona
Własności
4
Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki
Zb
Zb
kf (x) dx = k
a
f (x) dx
a
Całka oznaczona
Własności
4
Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki
Zb
Zb
kf (x) dx = k
a
5
f (x) dx
a
Całka sumy równa się sumie całek
Zb
Zb
(f (x) + g(x)) dx =
a
Zb
f (x) dx +
a
g(x) dx
a
Całka oznaczona
Własności
6
Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w przedziale < a, b >, to zachodzi
Zb
f (x) dx = f (c)(b − a),
a
dla pewnego c z przedziału < a, b >
Całka oznaczona
Własności
6
Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w przedziale < a, b >, to zachodzi
Zb
f (x) dx = f (c)(b − a),
a
dla pewnego c z przedziału < a, b >
7
Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła w przedziale < a, b >, to funkcja
Z x
h(x) =
f (t) dt
a
jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej x w przedziale
< a, b > i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związek
h0 (x) = f (x).
Całka oznaczona
Własności
8
ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ.
Jeżeli przez F (x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f (x), ciągłej
w przedziale < a, b >, tzn. jeżeli F (x)0 = f (x), to ma miejsce wzór
Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
Przykłady
Całka oznaczona
Własności
8
Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
Przykłady
Ponieważ
R
x sin(x2 ) dx =
π/2
Z
x sin(x2 ) dx =
0
− cos(x2 )
2
− cos(x2 )
2
+ C, mamy
π/2
=
0
− cos((π/2)2 )
− cos(02 )
−
2
2
Całka oznaczona
Własności
8
Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
Przykłady
Ponieważ
R
x sin(x2 ) dx =
π/2
Z
x sin(x2 ) dx =
0
Ponieważ
Z
2
R
− cos(x2 )
2
− cos(x2 )
2
+ C, mamy
π/2
=
0
− cos((π/2)2 )
− cos(02 )
−
2
2
ex x dx = ex (−1 + x) + C, mamy
3
ex x dx = [ex (−1 + x)]32 = e3 (−1 + 3) − e2 (−1 + 2)
Całka oznaczona
Własności
9
Jeżeli u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to
Z
a
b
u dv = [uv]ba −
Z
b
vdu.
a
Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznczonych.
Przykłady
Całka oznaczona
Własności
9
Z
b
u dv = [uv]ba −
a
Z
b
vdu.
a
Przykłady
R
1π
2
0
x sin x dx = −
1π
2
[sin x]0
=1
R
1π
2
0
1π
xd(cos x) = [−x cos x]02 +
R
1π
2
0
cosx dx =
Całka oznaczona
Własności
9
Z
b
u dv = [uv]ba −
a
Z
b
vdu.
a
Przykłady
R
1π
2
0
x sin x dx = −
1π
2
[sin x]0
R5
R
1π
2
0
1π
xd(cos x) = [−x cos x]02 +
1π
2
0
=1
R5
R5
ln(x) dx = 2 x0 ln(x) dx = [xln(x)]52 − 2 x ·
= 5 ln(5) − 2 ln(2) − (5 − 2)
2
R
1
x
dx =
cosx dx =
Całka oznaczona
Własności
Twierdzenie (O całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli
funkcja ϕ : hα, βi → ha, bi jest „na” i ma ciągłą pochodną na hα, βi
ϕ(α) = a, ϕ(β) = b
funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi
to
Z
b
Z
β
f (x) dx =
a
α
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt
Całka oznaczona
Własności
Twierdzenie (O całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli
funkcja ϕ : hα, βi → ha, bi jest „na” i ma ciągłą pochodną na hα, βi
ϕ(α) = a, ϕ(β) = b
funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi
to
Z
b
Z
β
f (x) dx =
a
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt
α
Przykład
Z1
√
Z2
Z2
(t − 1) t dt =
x 1 + x dx =
0
√
1
dla ϕ(t) = t − 1,
t
1
ϕ0 (t) = 1
3/2
Z2
dt −
1
t1/2 dt
Całka niewłaściwa
Całki funkcji nieograniczonych
Definicja
Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale
a ≤ x ≤ c − h, h > 0, oraz w każdym przedziale c + k ≤ x ≤ b, k > 0, i
jeżeli istnieją granice
Z
lim
h→0+
c−h
Z
f (x) dx
oraz
a
b
lim
k→0+
f (x) dx,
c+k
to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f (x) w
przedziale < a, b > i oznaczamy symbolem
Z
b
f (x) dx
a
W podanej definicji chodzi o funkcje, które w każdym otoczeniu
(c − δ, c + δ), δ > 0, są nieogranczone. W punkcie c funkcja może
nawet nie być określona. Jeżeli przynajmniej jedna z granic nie
istnieje, to mówimy, że całka jest rozbieżna.
Jeżeli punktem nieograniczoności jest jeden z końców przedziału
< a, b >, to przez całkę niewłaściwą rozumiemy odpowiednio
Z
lim+
h→0
Przykład
b
Z
f (x) dx
a+h
albo
lim+
k→0
b−k
f (x) dx,
a
Jeżeli punktem nieograniczoności jest jeden z końców przedziału
< a, b >, to przez całkę niewłaściwą rozumiemy odpowiednio
Z
lim+
h→0
b
Z
f (x) dx
albo
lim+
k→0
a+h
b−k
f (x) dx,
a
Przykład
R3
0
dx
√
x
dx = lim
ε→0+
R3
ε
dx
√
x
dx = lim
ε→0+
√
√ 2 3−2 ε
Całki oznaczone w przedziale nieskończonym
Definicja
Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale
skończonym a ≤ x ≤ v (a − ustalone, v − dowolne) oraz istnieje granica
Z v
lim
f (x) dx,
v→∞
a
to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f (x) w przedziale
a ≤ x < ∞ i oznaczamy symbolem
Z ∞
f (x) dx.
a
Analogicznie określa się znaczenie symbolu
Rb
lim u f (x) dx.
u→−∞
Rb
−∞
f (x) dx jako granicę
Przykład
R∞
Chcemy obliczyć całkę 1
2
x
+
1 2
x2
dx
Przykład
R∞
2
x
+
1 2
x2
dx
Najpierw możemy wyznaczyć całkę nieoznaczoną
R 2
1 2
dx = − x4 − x22 − 3x1 3 ,
x + x2
Przykład
R∞
2
x
+
1 2
x2
dx
Najpierw możemy wyznaczyć całkę nieoznaczoną
R 2
1 2
dx = − x4 − x22 − 3x1 3 ,
x + x2
Zatem zgodnie z podaną definicją
R∞ 2
1 2
dx = limv→∞ − v4 −
x + x2
1
2
v2
−
1
3v 3
− (−4 − 2 − 1/3)
Macierze
Podstawowe definicje
MACIERZE
Macierz wymiaru m × n
Macierz A wymiaru m × n jest prostokątną tablicą elementów
aij , i = 1, . . . m, j = 1, . . . , n:


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


A= .
..
.. 
..
 ..
.
.
. 
am1
am2
...
amn
Elementami macierzy mogą być liczby rzeczywiste, zespolone i „inne
jeszcze obiekty”. Będziemy oznaczać w skrócie A = (aij )
Macierze
Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero
Macierze
Transpozycją macierzy A = (aij ) o wymiarach m × n jest macierz
AT = (aji ) o wymiarach n × m
Macierze
O macierzy A wymiaru m × n powiemy, że jest kawdratowa, jeżeli
m=n
Macierze
m=n
Macierz A jest symetryczna, gdy jest kwadratowa oraz zachodzi
warunek AT = A
Macierze
m=n
warunek AT = A
Macierz A = (aij ) jest diagonalna, jeżeli jest kwadratowa oraz aij = 0
dla i 6= j
Macierze
m=n
warunek AT = A
Macierz A = (aij ) jest diagonalna, jeżeli jest kwadratowa oraz aij = 0
dla i 6= j
Macierz identycznościowa I: macierz diagonalna, która ma same
jedynki na przekątnej
Macierze
Działania na macierzach - podstawy
Sumą macierzy A = (aij ) oraz B = (bij ) o jednakowych wymiarach
jest macierz A + B = (aij + bij )
Macierze
Różnicą macierzy A = (aij ) oraz B = (bij ) o jednakowych wymiarach
jest macierz A − B = (aij − bij )
Macierze
Mnożenie macierzy A = (aij ) przez liczbę α:
αA = (α · aij )
Macierze
Mnożenie macierzy A = (aij ) przez liczbę α:
αA = (α · aij )
Przemienność, łączność oraz rozdzielność mnożenia macierzy przez
liczbę (α, β ∈ R):
αA = Aα, α(βA) = (αβ)A, (α ± β)A = αA ± βB,
α(A ± B) = αA ± αB
Macierze
Mnożenie macierzy A = (aij ) wymiaru m × n przez wektor
v = [v1 , . . . , vn ]T :



a11 a12 . . . a1n
v1
 a21 a22 . . . a2n   v2 



A = .
  ..  =
..
..
 ..


.
.
. 
am1



=

am2
...
amn
vn
a11 v1 + a12 v2 + . . . + a1n vn
a21 v1 + a22 v2 + . . . + a2n vn
..
.
am1 v1 + am2 v2 + . . . + amn vn





Macierze
Mnożenie macierzy A = (aij ) wymiaru m × n przez macierz
B = (b1 , b2 , . . . , bk ) wymiaru n × k:
AB = (Ab1 , Ab2 , . . . , Abk )
Macierze
B = (b1 , b2 , . . . , bk ) wymiaru n × k:
AB = (Ab1 , Ab2 , . . . , Abk )
Transpozycja a mnożenie macierzy: (AB)T = B T AT
Macierze
B = (b1 , b2 , . . . , bk ) wymiaru n × k:
AB = (Ab1 , Ab2 , . . . , Abk )
Rząd macierzy
Dla każdej macierzy A maksymalna liczba r liniowo niezależnych kolumn
jest równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy. Liczbę r
nazywamy rzędem macierzy, symbolicznie oznczanym przez R(A)
Macierz nieosobliwa: Macierz kwadratowa A wymiaru n × n, dla której
R(A)=n.
Macierze
B = (b1 , b2 , . . . , bk ) wymiaru n × k:
AB = (Ab1 , Ab2 , . . . , Abk )
Rząd macierzy
Dla każdej macierzy A maksymalna liczba r liniowo niezależnych kolumn
jest równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy. Liczbę r
nazywamy rzędem macierzy, symbolicznie oznczanym przez R(A)
Macierz nieosobliwa: Macierz kwadratowa A wymiaru n × n, dla której
R(A)=n.
Macierz odwrotna A−1 do macierzy kwadratowej A:
A−1 A = I = AA−1
Macierze
Wyznacznik macierzy
Wyznacznik macierzy A wymiaru n × n (kwadratowej)
Wyznacznik to funkcja (oznaczona przez det)
det : { zbiór macierzy kwadratowych} → R
o własnościach:
det(I) = 1
det(A) = 0 jeżeli A ma dwa sąsiednie wiersze równe
det jest funkcją liniową względem dowolnego wiersza
Macierze
Wyznacznik macierzy
Wyznacznik macierzy A wymiaru n × n (kwadratowej)
Wyznacznik to funkcja (oznaczona przez det)
det : { zbiór macierzy kwadratowych} → R
o własnościach:
det(I) = 1
det(A) = 0 jeżeli A ma dwa sąsiednie wiersze równe
det jest funkcją liniową względem dowolnego wiersza
Uwaga: istnieje tylko jedna taka funkcja
Uwaga: Na nstępnych slajdach A(ij) oznacza macierz powstałą z
macierzy A poprzez usunięcie z niej i-tego wiersza oraz j−tej kolumny.
Macierze
Wyznacznik macierzy
Własności wyznaczników:
Twierdzenie Laplace’a dla kolumn:
det(A) =
n
X
i=1
dla i = 1, . . . , n
aij (−1)i+j det(A(i, j))
Macierze
Wyznacznik macierzy
det(A) =
n
X
i=1
dla i = 1, . . . , n
det(A) = 0 ⇔ R(A) < n
Macierze
Wyznacznik macierzy
det(A) =
n
X
i=1
dla i = 1, . . . , n
det(A) = 0 ⇔ R(A) < n
det(A) = −det(B), jeżeli B powstaje z A przez zamianę miejscami
dwóch wierszy macierzy A
Macierze
Wyznacznik macierzy
det(A) =
n
X
i=1
dla i = 1, . . . , n
det(A) = 0 ⇔ R(A) < n
det(A) = det(B), jeżeli B powstaje z A przez dodanie/odjęcie od
danego wiersza innego wiersza przemnożonego przez dowolną liczbę
Macierze
Wyznacznik macierzy
det(A) =
n
X
i=1
dla i = 1, . . . , n
det(A) = 0 ⇔ R(A) < n
Twierdzenie Cauchy’ego: det(AB) = det(A)det(B)
Macierze
Wyznacznik macierzy
det(A) =
n
X
i=1
dla i = 1, . . . , n
det(A) = 0 ⇔ R(A) < n
Twierdzenie Cauchy’ego: det(AB) = det(A)det(B)
Jeżeli R(A) = n (macierz A jest pełnego rzędu), to
det(A−1 ) = (det(A))−1
Macierze
Wyznacznik macierzy
Twierdzenie Laplace’a dla wierszy:
det(A) =
n
X
j=1
dla i = 1, . . . , n
Macierze
Wyznacznik macierzy
det(A) =
n
X
j=1
dla i = 1, . . . , n
dwóch kolumn macierzy A
Macierze
Wyznacznik macierzy
det(A) =
n
X
j=1
dla i = 1, . . . , n
danej kolumny innej kolumny przemnożonej przez dowolną liczbę
Macierze
Wyznacznik macierzy
det(A) =
n
X
j=1
dla i = 1, . . . , n
det(A) jest funkcją liniową dowolnej kolumny
Macierze
Wyznacznik macierzy
det(A) =
n
X
j=1
dla i = 1, . . . , n
det(A) jest funkcją liniową dowolnej kolumny
det(AT ) = det(A)
Macierze
Układ równań liniowych
Niech A = (aij ) macierz wymiaru n × n, c = [c1 , . . . , cn ]T oraz
x = [x1 , . . . , xn ]T . Macierz A oraz wektor c traktujemy jako znane, a
wektor x jako nieznany (wektor niewiadomych). Interesuje nas
rozwiązanie układu równań Ax = c, tzn.

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = c1



 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = c2
..

.



an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = cn
Macierze
Niech A = (aij ) macierz wymiaru n × n, c = [c1 , . . . , cn ]T oraz
x = [x1 , . . . , xn ]T . Macierz A oraz wektor c traktujemy jako znane, a
wektor x jako nieznany (wektor niewiadomych). Interesuje nas
rozwiązanie układu równań Ax = c, tzn.

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = c1



 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = c2
..

.



an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = cn
Twierdzenie
Jeżeli det(A) 6= 0, to powyższy układ równań liniowych ma dokładnie
jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to można uzyskać za pomocą wzorów
Cramera:
xi =
det(a1 , a2 , . . . , ai−1 , c, ai+1 , . . . an )
,
det(A)
gdzie ai oznacza i−tą kolumnę macierzy A
i = 1, 2, . . . , n,
Macierze
Niech A = (aij ) macierz wymiaru m × n, c = [c1 , . . . , cm ]T oraz
x = [x1 , . . . , xn ]T . Interesuje nas rozwiązanie układu równań Ax = c,
tzn.

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = c1



 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = c2
..

.



am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = cm
Macierze
tzn.

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = c1



 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = c2
..

.



am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = cm
Niech



A=

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
am1
am2
...
amn








B=

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
c1
c2
..
.
am1
am2
...
amn
cm





Macierze
tzn.

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = c1



 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = c2
..

.



am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = cm
Twierdzenie (Kroneckera-Capellego.)
Powyższy układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy,
gdy R(A) = R(B) = r, przy tym
1) jeżeli r = n, to układ ma jedno rozwiązanie,
2) jeżeli r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one
zależne od n − r parametrów.
Macierze
Niech A = (a1 , . . . , an ) będzie macierzą wymiaru n × n. Wektory
a1 , . . . , an są jej kolumnami. Oznaczmy przez dAij wyznacznik z
macierzy (a1 , . . . , ai−1 , ei , ai+1 , . . . , an ), która powstała z A poprzez
zamianę kolumny aj na wektor ei = [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0]T (który na
i−tym miejscu ma jedynkę, a poza tym same zera).
Macierz stowarzyszona AdjA do macierzy A:

dA11 dA12 . . . dA1n
 dA21 dA22 . . . dA2n

AdjA =  .
..
..
..
 ..
.
.
.
dAn1 dAn2 . . . dAnn





Macierze
Niech A = (a1 , . . . , an ) będzie macierzą wymiaru n × n. Wektory
a1 , . . . , an są jej kolumnami. Oznaczmy przez dAij wyznacznik z
macierzy (a1 , . . . , ai−1 , ei , ai+1 , . . . , an ), która powstała z A poprzez
zamianę kolumny aj na wektor ei = [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0]T (który na
i−tym miejscu ma jedynkę, a poza tym same zera).
Macierz stowarzyszona AdjA do macierzy A:

dA11 dA12 . . . dA1n
 dA21 dA22 . . . dA2n

AdjA =  .
..
..
..
 ..
.
.
.
dAn1 dAn2 . . . dAnn





Twierdzenie
Macierz odwrotną do macierzy A można wyznaczyć według wzoru:
A−1 = AdjA · (
1
)
det(A)
Macierze
Formy kwadratowe i ich określoność
Forma kwadratowa
Niech x = [x1 , . . . , xn ]T będzie wektorem n wymiarowym oraz niech
A = (aij ) będzie macierzą symetryczną
Pn Pn stopnia n (wymiaru n × n).
Odwzorowanie x → xT Ax = i=1 j=1 aij xi xj nazywamy formą
kwadratową
Macierze
Forma kwadratowa
Niech x = [x1 , . . . , xn ]T będzie wektorem n wymiarowym oraz niech
A = (aij ) będzie macierzą symetryczną
Pn Pn stopnia n (wymiaru n × n).
Odwzorowanie x → xT Ax = i=1 j=1 aij xi xj nazywamy formą
kwadratową
Macierz symetryczna A jest
dodatnio określona: xT Ax > 0 dla każdego x 6= 0 (piszemy A > 0)
ujemnie określona: xT Ax < 0 dla każdego x 6= 0 (piszemy A < 0)
niedodatnio określona: xT Ax ≤ 0 dla każdego x 6= 0 (piszemy A ≤ 0)
nieujemnie określona: xT Ax ≥ 0 dla każdego x 6= 0 (piszemy A ≥ 0)
Macierze
Kryterium Sylvestera
Macierz symetryczna A = (aij ) stopnia n jest dodatnio określona wtedy i
tylko wtedy, gdy wszystkie jej wiodące minory główne są dodatnie:
a11 > 0



det 

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
...
...
..
.
ak1
ak2
...

a1k
a2k 

 > 0, dla k = 2, . . . , n

akk
Uwaga: Jeżeli chcemy sprawdzić, czy macierz jest ujemnie określona,
należy sprawdzić, czy macierz „−A”jest określona dodatnio

Analiza matematyczna

Transkrypt

Podobne dokumenty