docModele wielorownaniowe
download 
Reklamacja Transkrypt
Modele wielorownaniowe
Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Modele wielorownaniowe Część 1. Modele Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Modele jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Modele jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej Modele makroekonomiczne z reguły składają się z większej liczby równań Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Modele jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej Modele makroekonomiczne z reguły składają się z większej liczby równań Z reguły zmienne w nich występująca są zmiennymi współzależnymi Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Modele jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej Modele makroekonomiczne z reguły składają się z większej liczby równań Z reguły zmienne w nich występująca są zmiennymi współzależnymi Do matematycznego opisu takich modeli wykorzystuje się modele wielorównaniowe o równaniach współzależnych Simultaneous Equation Models Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Model wielorównaniowy w formie strukturalnej opisuje strukturę zależności w gospodarce Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Model wielorównaniowy w formie strukturalnej opisuje strukturę zależności w gospodarce Model o G równaniach zapisujemy w postaci macierzowej AYt = BXt + ut Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Model wielorównaniowy w formie strukturalnej opisuje strukturę zależności w gospodarce Model o G równaniach zapisujemy w postaci macierzowej AYt = BXt + ut gdzie: Yt = [y 1, . . . , yG ] to wektor zmiennych endogenicznych Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Model wielorównaniowy w formie strukturalnej opisuje strukturę zależności w gospodarce Model o G równaniach zapisujemy w postaci macierzowej AYt = BXt + ut gdzie: Yt = [y 1, . . . , yG ] to wektor zmiennych endogenicznych AG ×G oraz BG ×G są nieosobliwe Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Model wielorównaniowy w formie strukturalnej opisuje strukturę zależności w gospodarce Model o G równaniach zapisujemy w postaci macierzowej AYt = BXt + ut gdzie: Yt = [y 1, . . . , yG ] to wektor zmiennych endogenicznych AG ×G oraz BG ×G są nieosobliwe Xt to wektor zmiennych objaśniających nieskorelowanych ze składnikiem losowym u Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Model wielorównaniowy w formie strukturalnej opisuje strukturę zależności w gospodarce Model o G równaniach zapisujemy w postaci macierzowej AYt = BXt + ut gdzie: Yt = [y 1, . . . , yG ] to wektor zmiennych endogenicznych AG ×G oraz BG ×G są nieosobliwe Xt to wektor zmiennych objaśniających nieskorelowanych ze składnikiem losowym u ut = [u1 , . . . , uG ] Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Model wielorównaniowy w formie strukturalnej opisuje strukturę zależności w gospodarce Model o G równaniach zapisujemy w postaci macierzowej AYt = BXt + ut gdzie: Yt = [y 1, . . . , yG ] to wektor zmiennych endogenicznych AG ×G oraz BG ×G są nieosobliwe Xt to wektor zmiennych objaśniających nieskorelowanych ze składnikiem losowym u ut = [u1 , . . . , uG ] E (u) = 0, Var (ut ) = Σ, ∀t 6= s E (ut us ) = 0 Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Zmienne Xt nazywamy zmiennymi z góry ustalonymi. Są nimi zarówno zmienne egzogeniczne, jak również opóźnione wartości zmiennych endogenicznych Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Zmienne Xt nazywamy zmiennymi z góry ustalonymi. Są nimi zarówno zmienne egzogeniczne, jak również opóźnione wartości zmiennych endogenicznych W jednym równaniu może występować więcej niż jedna zmienna endogeniczna Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Zmienne Xt nazywamy zmiennymi z góry ustalonymi. Są nimi zarówno zmienne egzogeniczne, jak również opóźnione wartości zmiennych endogenicznych W jednym równaniu może występować więcej niż jedna zmienna endogeniczna Liczba zmiennych endogenicznych w modelu jest równa liczbie równań G Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Zmienne Xt nazywamy zmiennymi z góry ustalonymi. Są nimi zarówno zmienne egzogeniczne, jak również opóźnione wartości zmiennych endogenicznych W jednym równaniu może występować więcej niż jedna zmienna endogeniczna Liczba zmiennych endogenicznych w modelu jest równa liczbie równań G Przejęto konwencję zapisu modelu według której w każdym równaniu po lewej stronie znajduje się inna zmienna endogeniczna Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Zmienne Xt nazywamy zmiennymi z góry ustalonymi. Są nimi zarówno zmienne egzogeniczne, jak również opóźnione wartości zmiennych endogenicznych W jednym równaniu może występować więcej niż jedna zmienna endogeniczna Liczba zmiennych endogenicznych w modelu jest równa liczbie równań G Przejęto konwencję zapisu modelu według której w każdym równaniu po lewej stronie znajduje się inna zmienna endogeniczna Jednak wystepują od niej pewne odstępstwa, gdy inny zapis ułatwia interpretację parametrów Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Sposób zapisu formy strukturalnej powinien zapewniać możliwość interpretacji ekonomicznej parametrów modelu Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Sposób zapisu formy strukturalnej powinien zapewniać możliwość interpretacji ekonomicznej parametrów modelu Ta interpretacja bezpośrednio wynika z teorii ekonomicznej Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Sposób zapisu formy strukturalnej powinien zapewniać możliwość interpretacji ekonomicznej parametrów modelu Ta interpretacja bezpośrednio wynika z teorii ekonomicznej Celem budowy modelu jest identyfikacja kanałów transmisji polityki gospodarczej Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Sposób zapisu formy strukturalnej powinien zapewniać możliwość interpretacji ekonomicznej parametrów modelu Ta interpretacja bezpośrednio wynika z teorii ekonomicznej Celem budowy modelu jest identyfikacja kanałów transmisji polityki gospodarczej Postać poszczególnych równań, oraz podział zmiennych na endogeniczne i egzogeniczne powinny bezpośrednio wynikać z teorii ekonomicznej Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład Załóżmy, że pewną gałąź gospodarki opisuje model strukturalny qD = α0 + α1 p + α2 y + u1 qS = β1 p + β2 pm + u2 qD = qs Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład Załóżmy, że pewną gałąź gospodarki opisuje model strukturalny qD = α0 + α1 p + α2 y + u1 qS = β1 p + β2 pm + u2 qD = qs gdzie: qD logarytm popytu; qS logarytm podaży Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład Załóżmy, że pewną gałąź gospodarki opisuje model strukturalny qD = α0 + α1 p + α2 y + u1 qS = β1 p + β2 pm + u2 qD = qs gdzie: qD logarytm popytu; qS logarytm podaży p logarytm ceny dobra; y logarytm dochodu konsumentów Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład Załóżmy, że pewną gałąź gospodarki opisuje model strukturalny qD = α0 + α1 p + α2 y + u1 qS = β1 p + β2 pm + u2 qD = qs gdzie: qD logarytm popytu; qS logarytm podaży p logarytm ceny dobra; y logarytm dochodu konsumentów pm indeks cen surowców Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład W modelu strukturalnym qD = α0 + α1 p + α2 y + u1 (1) qS = β1 p + β2 pm + u2 (2) qD = qS (3) Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład W modelu strukturalnym qD = α0 + α1 p + α2 y + u1 (1) qS = β1 p + β2 pm + u2 (2) qD = qS (3) Równanie (1) oparte jest na teorii konsumenta Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład W modelu strukturalnym qD = α0 + α1 p + α2 y + u1 (1) qS = β1 p + β2 pm + u2 (2) qD = qS (3) Równanie (1) oparte jest na teorii konsumenta Równanie (2) oparte jest na teorii producenta Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład W modelu strukturalnym qD = α0 + α1 p + α2 y + u1 (1) qS = β1 p + β2 pm + u2 (2) qD = qS (3) Równanie (1) oparte jest na teorii konsumenta Równanie (2) oparte jest na teorii producenta Równanie (3) jest warunkiem równowagi. Tego typu równania nazywamy identycznościami Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład Parametrom poszczególnych równań formy strukturalnej można nadać interpretację ekonomiczną Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład Parametrom poszczególnych równań formy strukturalnej można nadać interpretację ekonomiczną α1 jest cenową elastycznością popytu; α2 jest dochodową elastycznością popytu Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład Parametrom poszczególnych równań formy strukturalnej można nadać interpretację ekonomiczną α1 jest cenową elastycznością popytu; α2 jest dochodową elastycznością popytu β1 jest cenową elastycznością podaży; β2 jest elastycznością podaży względem cen surowców Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład Parametrom poszczególnych równań formy strukturalnej można nadać interpretację ekonomiczną α1 jest cenową elastycznością popytu; α2 jest dochodową elastycznością popytu β1 jest cenową elastycznością podaży; β2 jest elastycznością podaży względem cen surowców Można również sformułować oczekiwania w stosunku do znaków: α1 < 0, α2 > 0,β1 > 0, β2 < 0 Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład W modelu strukturalnym qD = α0 + α1 p + α2 y + u1 (1) qS = β1 p + β2 pm + u2 (2) qD = qS (3) Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład W modelu strukturalnym qD = α0 + α1 p + α2 y + u1 (1) qS = β1 p + β2 pm + u2 (2) qD = qS (3) Równanie (1) jest równaniem popytu Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład W modelu strukturalnym qD = α0 + α1 p + α2 y + u1 (1) qS = β1 p + β2 pm + u2 (2) qD = qS (3) Równanie (1) jest równaniem popytu Równanie (2) jest równaniem podaży Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Przykład W modelu strukturalnym qD = α0 + α1 p + α2 y + u1 (1) qS = β1 p + β2 pm + u2 (2) qD = qS (3) Równanie (1) jest równaniem popytu Równanie (2) jest równaniem podaży Równanie (3) jest ograniczeniem, lub warunkiem równowagi Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Rozróżnienie nie wynika z formy modelu Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Rozróżnienie nie wynika z formy modelu Zmiennych endogenicznych jest tyle, ile jest równań w modelu Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Rozróżnienie nie wynika z formy modelu Zmiennych endogenicznych jest tyle, ile jest równań w modelu Rozróżnienia dokonujemy na podstawie przesłanek teoretycznych qD − α1 p = α0 + α2 y + u1 (4) qS − β1 p = β2 y + u2 (5) qD − qS = 0 Modele wielorownaniowe (6) Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Forma strukturalna ma postać AYt = BXt + ut Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Forma strukturalna ma postać AYt = BXt + ut wektor zmiennych endogenicznych Yt = [qD , qS , p] Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Forma strukturalna ma postać AYt = BXt + ut wektor zmiennych endogenicznych Yt = [qD , qS , p] wektor zmiennych egzogenicznych Yt = [1, y , pm ] Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Forma strukturalna ma postać AYt = BXt + ut wektor zmiennych endogenicznych Yt = [qD , qS , p] wektor zmiennych egzogenicznych Yt = [1, y , pm ] wektor błędów losowych ut = [u1t , u2t , 0] Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Macierze A oraz B są macierzami przekształcającymi wektory w odpowiednie równania formy strukturalnej α0 α2 0 1 0 −α1 A = 0 1 −β1 B = 0 0 β2 0 0 0 1 −1 0 Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Macierze A oraz B są macierzami rzadkimi Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Model Zmienne endogeniczne o egzogeniczne Macierze A oraz B są macierzami rzadkimi Wynika to z ograniczeń wynikających z teorii ekonomicznej Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Forma zredukowana równania strukturalnego powstaje poprzez lewostronne pomnożenie formy strukturalnej przez A−1 AYt = BXt + ut · / A−1 Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Forma zredukowana równania strukturalnego powstaje poprzez lewostronne pomnożenie formy strukturalnej przez A−1 AYt = BXt + ut · / A−1 A−1 AYt = A−1 BXt + A−1 ut Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Forma zredukowana równania strukturalnego powstaje poprzez lewostronne pomnożenie formy strukturalnej przez A−1 AYt = BXt + ut · / A−1 A−1 AYt = A−1 BXt + A−1 ut Yt = A−1 BXt + A−1 ut Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Gdy przyjmiemy oznaczenia Π = A−1 B, oraz εt = A−1 ut to Yt = ΠXt + εt Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Gdy przyjmiemy oznaczenia Π = A−1 B, oraz εt = A−1 ut to Yt = ΠXt + εt Tę postać nazywamy formą zredukowaną modelu Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Gdy przyjmiemy oznaczenia Π = A−1 B, oraz εt = A−1 ut to Yt = ΠXt + εt Tę postać nazywamy formą zredukowaną modelu W każdym jej równaniu występuje tylko jedna zmienna endogeniczna, a po prawej stronie wyłącznie zmienne z góry ustalone Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Różnicą między formami jest sposób interpretacji parametrów Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Różnicą między formami jest sposób interpretacji parametrów W formie strukturalnej równania opisują zachowania podmiotów Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Różnicą między formami jest sposób interpretacji parametrów W formie strukturalnej równania opisują zachowania podmiotów W formie zredukowanej reprezentują ilościowe zależności między zmiennymi Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Różnicą między formami jest sposób interpretacji parametrów W formie strukturalnej równania opisują zachowania podmiotów W formie zredukowanej reprezentują ilościowe zależności między zmiennymi Parametry formy zredukowanej można interpretować mnożnikowo Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Różnicą między formami jest sposób interpretacji parametrów W formie strukturalnej równania opisują zachowania podmiotów W formie zredukowanej reprezentują ilościowe zależności między zmiennymi Parametry formy zredukowanej można interpretować mnożnikowo Między parametrami istnieje zależność wynikająca z powiązania Π = A−1 B Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Przykład W przypadku modelu popytu i podaży forma zredukowana ma postać qD = qS = Π11 + Π12 y + Π13 pm + ε1 p = Π21 + Π22 y + Π23 pm + ε2 Modele wielorownaniowe (7) (8) Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Przykład W przypadku modelu popytu i podaży forma zredukowana ma postać qD = qS = Π11 + Π12 y + Π13 pm + ε1 p = Π21 + Π22 y + Π23 pm + ε2 (7) (8) Rozwiązując formę strukturalną względem p oraz qD uzyskujemy qD , qS = p = β1 α0 β1 α2 β2 α1 β1 α1 + y− pm + u1 − u2 β1 − α1 β1 − α1 β1 − α1 β1 − α1 β1 − α1 α0 α2 β2 1 1 + y− pm + u1 − u2 β1 − α1 β1 − α1 β1 − α1 β1 − α1 β1 − α1 Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Przykład Zależności pomiędzy parametrami formy strukturalnej i zredukowanej są następujące β1 α0 β1 − α1 α0 = β1 − α1 β2 α1 β1 − α1 β2 = β1 − α1 Π11 = Π12 = β1 α 2 β1 −α1 Π13 = Π21 Π22 = α2 β1 −α1 Π23 Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Przykład Zależności pomiędzy parametrami formy strukturalnej i zredukowanej są następujące β1 α0 β1 − α1 α0 = β1 − α1 β2 α1 β1 − α1 β2 = β1 − α1 Π11 = Π12 = β1 α 2 β1 −α1 Π13 = Π21 Π22 = α2 β1 −α1 Π23 Parametrom Π nie można nadać interpretacji behawioralnej Modele wielorownaniowe Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Przykład Zależności pomiędzy parametrami formy strukturalnej i zredukowanej są następujące β1 α0 β1 − α1 α0 = β1 − α1 β2 α1 β1 − α1 β2 = β1 − α1 Π11 = Π12 = β1 α 2 β1 −α1 Π13 = Π21 Π22 = α2 β1 −α1 Π23 Parametrom Π nie można nadać interpretacji behawioralnej Przy szacowaniu formy zredukowanej wystąpi problem równoczesności Modele wielorownaniowe
