ĆWICZENIA Z ARYTMETYKI TEORETYCZNEJ §1. LICZBY

ĆWICZENIA Z ARYTMETYKI TEORETYCZNEJ
§1. LICZBY NATURALNE.
Dodawanie liczb naturalnych. Przypomnijmy, że dodawanie "+" jest działaniem scharakteryzowanym jednoznacznie przez warunki:
(1+ )
x + 1 = x0 ,
(2+ )
x + y 0 = (x + y)0 .
Ćwiczenie 1. Wykazać, że 2 + 2 = 4 i 3 + 3 = 6.
Ćwiczenie 2. Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych x, y, z i w zachodzi równość
(x + y) + z + w = x + y + (z + w) .
Ćwiczenie 3. Wykazać, że istnieje co najwyżej jedna funkcja ∆ : N → N spełniająca warunki:
1◦ ∆(1) = 1,
2◦ ∆(x0 ) = ∆(x) + x0 .
Wartości funkcji ∆ nazywa się często liczbami trójkątnymi.
Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N suma x + y 6= 1.
Ćwiczenie 5. Niech ∆ będzie funkcją z ćwiczenia 3. Wykazać, że dla dowolnego x naturalnego zachodzą
następujące własności:
(a) ∆(x0 ) 6= ∆(x), ∆(x0 ) 6= ∆(x)0 ,
(b) jeśli ∆(x0 ) = ∆(x)00 , to x = 1,
(c) jeśli x 6= 1, to ∆(x) 6= x,
(d) jeśli ∆(x) = 1, to x = 1,
(e) jeśli x 6= 2, to ∆(x) 6= x0 ,
(f ) ∆(x) 6= 2.
Ćwiczenie 6. Niech f : N → N będzie funkcją spełniającą warunki
1◦ f (1) = 1(
1
2◦ f (x0 ) =
f (0 x) + f (x)
dla x = 1,
dla x =
6 1.
Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej x
(a) f (x + x0 ) 6= 1,
(b) f (x + 2) = f (x) + f (x0 ).
Wartości funkcji f tworzą tak zwany ciąg Fibonacciego.
Ćwiczenie 7. Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych x i y
x 6= y wtedy i tylko wtedy, gdy x + x 6= y + y.
Ćwiczenie 8. Wykazać, że dla dowolnych liczb x, y ∈ N
2
(a) jeśli x + y = 2, to x = 1 i y = 1,
(b) jeśli x + y = 3, to (x = 1 i y = 2)
lub (x = 2 i y = 1).
Ćwiczenie 9. Wykazać, że dla dowolnego x ∈ N zachodzi następująca alternatywa parami wykluczających się warunków:
1x x = 1,
2x istnieje y ∈ N takie, że x = y + y,
3x istnieje ỹ ∈ N takie, że x = ỹ + ỹ 0 .
Każdą liczbę naturalną x spełniającą warunek 1x lub 3x nazywamy liczbą nieparzystą, natomiast
liczbę x spełniającą warunek 2x nazywamy liczbą parzystą.
Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N istnieje dokładnie jedna liczba r(x, y) ∈ N taka,
że
∆(x + y) = (∆(x) + ∆(y)) + r(x, y).
Ćwiczenie* 11. Wykazać, że funkcja ∆ z ćwiczenia 3. jest różnowartościowa. Wskazówka: skorzystać
z ćwiczenia 10.
Mnożenie liczb naturalnych. Przypomnijmy, że mnożenie "·" jest działaniem scharakteryzowanym
jednoznacznie przez warunki:
(1· )
x · 1 = x,
0
(2· )
x · y = (x · y) + x.
Ćwiczenie 1. Wykazać, że 2 · 2 = 4.
Ćwiczenie 2. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N zachodzi równość
(x + y) · (x + y) = (x · x + y · y) + 2 · (x · y).
Ćwiczenie 3. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N jeśli y 6= 1, to istnieje taka liczba naturalna r, że
x · y = r + x.
Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla każdego x ∈ N istnieje dokładnie jedna liczba y ∈ N taka, że x · x0 = 2y.
Oznaczmy ją przez f (x). Wykazać, że tak zdefiniowana funkcja f : N → N jest równa funkcji ∆ z
ćwiczenia 3. z poprzedniego paragrafu.
Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N liczba r(x, y) z ćwiczenia 10. z poprzedniego paragrafu jest równa iloczynowi x · y.
Ćwiczenie 6. Wykazać, że istnieje co najwyżej jedna funkcja s : N → N spełniająca warunki:
1◦ s(1) = 1,
2◦ s(x0 ) = s(x) · x0 .
Funkcję s nazywamy silnią a jej wartości oznaczamy symbolem x! dla dowolnego x ∈ N.
Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N
x 6= y wtedy i tylko wtedy, gdy x · x 6= y · y.
Ćwiczenie 8. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N
3
(a) jeśli xy = 1, to x = 1 i y = 1,
(b) jeśli xy = 2, to (x = 1 i y = 2)
lub (x = 2 i y = 1).
Ćwiczenie 9. Wykazać, że dla dowolnych x ∈ N prawdziwe są następujące implikacje:
(a) jeśli x 6= 1, to x! 6= 1,
(b) jeśli x! = x, to x = 1 lub x = 2.
Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N
(a) istnieje i(x, y) ∈ N takie, że (x + y)! = (x! · (x + y)) · i(x, y),
(b) istnieje j(x, y) ∈ N takie, że (x · y)! = (x! · y!) · j(x, y).
Ćwiczenie* 11. Wykazać, że dla dowolnego x ∈ N zachodzi następująca alternatywa wykluczających
się warunków:
1x x = 1 lub x = 2 lub x = 3,
2x istnieje y ∈ N takie, że x! = ∆(x) + y.
Odejmowanie i dzielenie liczb naturalnych. Działania kilkuargumentowe. Połóżmy
R = {(x, y) ∈ N × N : ∃ !r(x,y)∈N y + r(x, y) = x}.
Zbiór R jest niepusty i różny od N × N. Odejmowaniem nazywamy funkcję − określoną wzorem
(−)
x − y = r(x, y) dla (x, y) ∈ R.
Wynik odejmowania x − y nazywamy różnicą, przy czym x nazywamy odjemną, a y odjemnikiem.
Połóżmy
I = {(x, y) ∈ N × N : ∃ !i(x,y)∈N y · i(x, y) = x}.
Zbiór I jest niepusty i różny od N × N. Dzieleniem nazywamy funkcję : określoną wzorem
(:)
x : y = i(x, y) dla (x, y) ∈ I.
Wynik dzielenia x : y nazywamy ilorazem, przy czym x nazywamy dzielną, a y dzielnikiem. Mówimy,
że liczba x jest podzielna przez y.
Ćwiczenie 1. Wykazać, że istnieje różnica 5 − 2 i nie istnieje różnica 3 − 5. Co stąd można powiedzieć
o istnieniu różnic 2 − 5 i 5 − 3?
Ćwiczenie 2. Wykazać, że istnieje iloraz 4 : 2 = 2 i nie istnieje iloraz 4 : 3.
Ćwiczenie 3. Podać przykład pary liczb naturalnych x, y, dla której nie istnieją ani iloraz x : y ani
iloraz y : x. Wyznaczyć wszystkie pary liczb naturalnych x, y, dla których istnieją jednocześnie ilorazy
x : y i y : x.
Problem wyznaczenia wszystkich par liczb naturalnych x, y, dla których nie istnieje iloraz x : y
rozwiązany w starożytności pojawi sie w późniejszych ćwiczeniach dotyczących rozkładu Euklidesa.
Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla dowolnego x ∈ N istnieje iloraz (x(x + 1)) : 2.
Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla dowolnego x ∈ N istnieje iloraz (x(x + 1)(x + 2)) : 6.
Ćwiczenie 6. Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych x i y zachodzi następująca równość
(x − y)(x − y) = (xx + yy) − 2(xy),
przy czym z istnienia lewej strony wynika istnienie prawej.
Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N
4
(a) jeśli istnieje różnica x−y, to (x−y)+y = x,
(b) jeśli istnieje iloraz x : y, to (x : y) · y = x,
(c) (x + y) − y = x,
(d) (x · y) : y = x.
Ćwiczenie 8. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z ∈ N zachodzi równość x − (y − z) = (x + z) − y,
przy czym z istnienia lewej strony wynika istnienie prawej. Podać kontrprzykład, że z istnienia prawej
strony nie zawsze wynika istnienie lewej.
Ćwiczenie 9. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z ∈ N zachodzi równość (x : z) · y = (x · y) : z, przy
czym z istnienia lewej strony wynika istnienie prawej. Podać kontrprzykład, że z istnienia prawej strony
nie zawsze wynika istnienie lewej.
Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z ∈ N zachodzi równość (x : y) : z = x : (y · z), przy
czym istnienie lewej strony jest równoważne istnieniu prawej.
Ćwiczenie 11. Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych x, y i z zachodzi prawo rozdzielności
mnożenia względem odejmowania, czyli (x − y) · z = x · z − y · z, przy czym istnienie lewej strony jest
równoważne istnieniu prawej.
Ćwiczenie 12. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z ∈ N zachodzą równości:
(c) x − y = (x + z) − (y + z),
(d) x : y = (x · z) : (y · z),
(a) (x + y) : z = x : z + y : z,
(b) (x − y) : z = x : z − y : z,
przy czym z istnienia prawej strony wynika istnienie lewej,
przy czym istnienie lewej strony jest równoważne
istnieniu prawej.
Ćwiczenie 13. Wykazać, że dla dowolnych liczb x, y, u, v ∈ N zachodzą równości (przy czym z istnienia
lewej strony wynika istnienie prawej):
(a) (x − y) + (u − v) = (x + u) − (y + v),
(b) (x : y) · (u : v) = (x · u) : (y · v),
(c) (x − y) − (u − v) = (x + v) − (u + y),
(d) (x : y) : (u : v) = (x · v) : (u · y).
Ćwiczenie* 14. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele trójek liczb naturalnych x, y, z ∈ N, dla
których istnieją jednocześnie ilorazy x : y, x : z i x : (y + z). Wykazać, że dla żadnej takiej trójki nie
zachodzi równość
x : (y + z) = x : y + x : z.
Uporządkowanie. Przypomnijmy, że relacja x > y oznacza, że istnieje taka liczba r ∈ R, że y +r = x.
Relacja x > y oznacza, że x > y lub x = y. Niech A ⊂ N będzie niepustym zbiorem. Definicję minimum
i maksimum zbioru A możemy zapisać symbolicznie w postaci
m = min A ⇐⇒ m ∈ A ∧ ∀x∈A m 6 x,
n = max A ⇐⇒ n ∈ A ∧ ∀x∈A x 6 n.
Ćwiczenie 1. Wykazać, że 4 > 2. Co stąd można wnioskować o relacji 2 > 4?
Ćwiczenie 2. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ N jeśli x < y, to nie istnieje iloraz x : y.
Ćwiczenie 3. Podać przykład pary liczb naturalnych x, y, dla których:
(a) x > y i istnieje iloraz x : y,
(b) x > y i nie istnieje iloraz x : y.
Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla dowolnego x ∈ N zachodzą nierówności
5
(a) ∆(2x) > 2∆(x) + 1,
(b) ∆(3x) > 3∆(x) + 2,
(c) (x + 2)! > ∆(x),
(d) (2x)! > x! · x!.
Ćwiczenie 5. Niech x, y, u, v ∈ N. Wykazać, że jeśli x > y i u > v, to xu > yv.
Ćwiczenie 6. Wykazać, że dla dowolnych liczb x, y, z ∈ N jeśli istnieją ilorazy x : z i y : z, to
nierówność x > y jest równoważna nierówności x : z > y : z.
Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla dowolnych liczb x, y, z ∈ N jeśli istnieją ilorazy z : x i z : y, to
nierówność x > y jest równoważna nierówności z : y > z : x.
Ćwiczenie 8. Niech x, y, u, v ∈ N, przy czym istnieją ilorazy x : v i y : u. Wykazać, że jeśli x > y i
u > v, to x : v > y : u.
Ćwiczenie 9. Niech x, y ∈ N. Wykazać, że jeśli x > y i y > x, to x = y.
Ćwiczenie 10. Niech x, y, z ∈ N. Wykazać, że jeśli x > y i y > z, to x > z, przy czym równość w
tezie zachodzi jedynie wtedy, gdy zachodzą równości w założeniu.
Ćwiczenie 11. Pokazać, że zbiór A = {x ∈ N : ∃i∈N xx + 96 = xi} posiada maksimum.
Ćwiczenie 12. Pokazać, że zbiór B = {x ∈ N : ∃k∈N x = kk} nie jest ograniczony z góry.
Ćwiczenie 13. Wyznaczyć maksimum i minimum zbioru C = {x ∈ N : ∃k∈N x = 100 − kk}.
Ćwiczenie 14. Ustalmy k ∈ N i niech Dk = {x ∈ N : xx 6 k}. Wykazać, że dla każdego n ∈ N i
k ∈ hnn, nn + 2ni mamy max Dk = n.
Rozkład Euklidesa. Przypomnijmy, że przy danych x, y ∈ N, x > y zachodzi dokładnie jeden z
przypadków:
1◦ istnieje ey (x) ∈ N takie, że x = ey (x) · y,
2◦ istnieją ey (x), ry (x) ∈ N takie, że x = ey (x) · y + ry (x) i ry (x) < y.
Co więcej opisane liczby są jedyne i równe odpowiednio
ey (x) = min{k ∈ N : ky > x} − 1,
ry (x) = x − ey (x) · y.
Liczbę ey (x) nazywamy częścią całkowitą ilorazu przybliżonego, a ry (x) jego resztą. Jeśli x < y, to
iloraz przybliżony x przez y nie ma sensu.
Ćwiczenie 1. Podać rozkład Euklidesa (o ile istnieje) liczby x przy dzieleniu przybliżonym przez y:
(a) x = 5, y = 3,
(b) x = 22, y = 3,
(c) x = 3, y = 4,
(d) x = 22, y = 6,
(e) x = 22, y = 7,
(f ) x = 22, y = 11.
Ćwiczenie 2. Wypisać te z poniższych równości, które są rozkładami Euklidesa. Podać część całkowitą
i resztę ilorazu przybliżonego.
5 = 2 · 2 + 1, 12 = 3 · 4, 17 = 2 · 6 + 5, 17 = 3 · 6 − 1, 19 = 3 · 4 + 7, 17 = 5 · 3 + 2.
Ćwiczenie 3. Wykazać, że dla danych x, y ∈ N, przy czym x > y część całkowita ilorazu przybliżonego
ey (x) jest równa
ey (x) = max{k ∈ N : ky 6 x}.
Ćwiczenie 4. Niech x i y będą takimi liczbami naturalnymi, że 15y < x < 17y. Wyznaczyć e5y (x) i
r5y (x). Ile wynosi e5y (2x)?
Ćwiczenie 5. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne x, dla których:
6
(a) e4 (2x + 1) = 1,
(b) r4 (2x + 1) = 1,
(c) e5 (7x + 1) = x.
Ćwiczenie 6. Dla każdego x ∈ N wyznaczyć
(a) e2 (2x + 1) i r2 (2x + 1),
(b) e3x (4x + 1) i r3x (4x + 1),
(c) e5x (7x + 6) i r5x (7x + 6),
(d) ex (xx + 2) i rx (xx + 2).
Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla danych x, y ∈ N iloraz x : y istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy x > y i
nie istnieje reszta ry (x). Tym samym iloraz x : y nie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy x < y albo x > y
i istnieje reszta ry (x).
Ćwiczenie 8. Wykazać, że nie istnieją ilorazy 4 : 3 i 5 : 2.
Ćwiczenie 9. Wykazać, że dla dowolnych x, y, z ∈ N, jeśli x > y > z, to ey (x) 6 ez (x).
Ćwiczenie 10. Niech x, y ∈ N i y > x. Wykazać, że jeśli istnieje reszta rxy (y · y), to istnieje reszta
rx (y) i zachodzi równość rxy (y · y) = rx (y) · y.
Ćwiczenie 11. Niech x, y ∈ N, przy czym x > z i y > z. Wykazać, że wówczas zachodzi dokładnie
jeden z następujących przypadków:
1◦ ez (x + y) = ez (x) + ez (y),
2◦ ez (x + y) = (ez (x) + ez (y)) + 1.
Podać warunek jaki muszą dodatkowo spełnić x i y, aby zachodził przypadek 2◦ .
Ćwiczenie* 12. Dla dowolnych x, y ∈ N takich, że x > z i y > z wyznaczyć ez (x · y).
Ćwiczenie 13. Wykazać, że dla dowolnego x naturalnego zachodzi równość ex (∆(2x)) = 2x + 1.
Natomiast reszta rx (∆(2x)) nie istnieje. Stąd, jeśli x jest nieparzysta, to ∆(2x) jest również nieparzysta.
Niech w, x, y ∈ N. Jeśli istnieją ilorazy w : x i w : y, to liczbę w nazywamy wspólną wielokrotnością
liczb x i y, gdyż wtedy w = (w : x) · x i w = (w : y) · y.
Niech
A = {w ∈ N : w jest wspólną wielokrotnością liczb x i y}.
Zbiór A 6= ∅, gdyż xy ∈ A. Minimum zbioru A nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb x
i y i oznaczamy [x, y].
Ćwiczenie* 14. Wykazać, że każda wspólna wielokrotność liczb naturalnych x i y jest podzielna przez
najmniejszą wspólną wielokrotność liczb x i y. Wskazówka: przypuścić przeciwnie, że teza nie zachodzi
i skorzystać z ćwiczenia 7.
Analogicznie liczbę naturalną d nazywamy wspólnym dzielnikiem liczb x i y, gdy jednocześnie istnieją ilorazy x : d i y : d. Wówczas oczywiście d 6 x i d 6 y, więc zbiór
B = {d ∈ N : d jest wspólnym dzielnikiem liczb x i y}
jest ograniczony z góry. Maksimum zbioru B nazywamy największym wspólnym dzielnikiem liczb x i y
i oznaczamy (x, y).
Ćwiczenie* 15. Wykazać, że największy wspólny dzielnik liczb x i y jest podzielny przez każdy wspólny
dzielnik liczb x i y. Wskazówka: skorzystać z ćwiczenia 14.
Ćwiczenie* 16. Niech x, y, z ∈ N. Wykazać, że jeśli (x, y) = 1 i istnieje (x · z) : y, to istnieje z : y
i zachodzi równość (x · z) : y = x · (z : y) (porównaj z ćwiczeniem 9 z paragrafu Liczby naturalne.
Działania kilkuargumentowe.)
7
Przedziały. Postępowanie indukcyjne. Niech a, b ∈ N. Przedziałami liczb naturalnych nazywamy
zbiory postaci
ha, bi = {x ∈ N : a 6 x 6 b},
ha, +∞) = {x ∈ N : a 6 x}.
Ćwiczenie 1. Pokazać, że iloczyn dowolnej rodziny przedziałów liczb naturalnych, mających wspólny
element, jest przedziałem. Co więcej, iloczyn ten jest przedziałem niewłaściwym wtedy i tylko wtedy,
gdy rodzina składa sie wyłącznie z przedziałów niewłaściwych.
Ćwiczenie 2. Pokazać, że jeśli p < r, to hp, qi\hr, +∞) jest przedziałem właściwym. Wyznaczyć jego
postać.
Ćwiczenie 3. Podać przykład funkcji przekształcającej zbiór h1, ni ∪ hn + 2, +∞) na przedział hn, +∞)
w sposób wzajemnie jednoznaczny.
Ćwiczenie 4. Niech f : N → N będzie funkcją nierosnącą. Wykazać, że istnieje wtedy takie n0 ∈ N, że
f (n) = f (n0 )
dla wszystkich n > n0 .
Wykazać na tej podstawie, że nie istnieje funkcja malejąca f : N → N.
Ćwiczenie 5. Niech A bedzie niepustym zbiorem, α ∈ A i niech n ∈ N. Niech Az , Bz ⊂ A będą niepustymi zbiorami dla z ∈ h1, ni i niech τ będzie operatorem określonym na h1, ni, przyporządkowującym
każdej liczbie z ∈ N funkcję τz : Az → Bz . Pokazać, że jeśli α ∈ A1 , Az ⊂ Bz i Bz ⊂ Az+1 dla
z, z + 1 ∈ h1, ni, to istnieje dokładnie jedna funkcja γ : h1, n + 1i → A spełniająca warunki
1◦ γ(1) = α,
2◦ γ(y 0 ) = τy (γ(y)) dla y ∈ h1, ni.
Wskazówka. Wykazać, że dla każdego m ∈ h1, ni istnieje funkcja γm : h1, m + 1i → Bm spełniająca
warunki
1◦ γm (1) = α,
2◦ γm (y 0 ) = τy (γm (y)) dla y ∈ h1, mi.
Pokazać, że funkcja γ(y) = γn (y) dla y ∈ h1, n + 1i spełnia żądane warunki.
Ćwiczenie 6 (Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję). Niech A będzie dowolnym niepustym
zbiorem i α ∈ A oraz niech ϕ : A × N → A będzie ustaloną funkcją. Wykazać, że istnieje dokładnie
jedna funkcja f : N → A spełniająca warunki:
1◦ f (1) = α,
2◦ f (x0 ) = ϕ(f (x), x) dla x ∈ N.
Wskazówka. Rozważyć operator τ określony na N, przyporządkowujący każdej liczbie z ∈ N funkcję
τz : A → A daną wzorem
τz (a) = ϕ(a, z), a ∈ A
i skorzystać z twierdzenia 30. o istnieniu funkcji wysyconej γ̂, określonej indukcyjnie przez wartość
początkową α, operator τ i rodzinę Γ złożoną ze wszystkich funkcji γn , n ∈ N określonych na przedziałach normalnych h1, n + 1i przez wartość początkową α i operator τ (takie funkcje istnieją na mocy
wcześniejszego ćwiczenia). Patrz również Appendix.
8
Ćwiczenie 7. Wskazać zbiór A, wartość początkową α oraz funkcję ϕ : A × N → A definiującą funkcję:
(a) ∆ : N → N z ćwiczenia 3. §Dodawanie liczb
naturalnych.
(b) s : N → N z ćwiczenia 6. §Mnożenie liczb
naturalnych.
Ćwiczenie 8. Udowodnić zasadę indukcji wstecznej. Z warunków:
1◦ prawy koniec q przedziału hp, qi ma daną własność,
2◦ jeżeli x ∈ hp, qi ma tę własność, to poprzednik 8x ma także tę własność,
o ile 8x ∈ hp, qi,
wynika, że każda liczba z przedziału hp, qi ma daną własność.
Ćwiczenie 9. Niech a będzie dowolną liczbą naturalną i niech γ : N → N będzie funkcją określoną
indukcyjnie warunkami:
1◦ γ(1) = 1 + a,
2◦ γ(x0 ) = γ(x) · (1 + a).
Wykazać, że dla każdego x ∈ h1, 99i zachodzi następująca nierówność
γ(100 − x) > 1 + (100 − x) · a.
Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnego n ∈ h2, +∞) i dowolnych x, y ∈ N takich, że x + y = n
istnieje dokładnie jedna liczba N (x, y) ∈ N, N (x, y) > 1 taka, że
(x + y)! = (x! · y!) · N (x, y).
Wskazówka. Zauważyć, że (x − 1) + y = x + (y − 1) dla x, y ∈ h2, n − 1i, n > 2.
Dla dowolnego n ∈ h2, +∞) i k ∈ h1, n − 1i istnieje n − k i k + (n − k) = n. Liczbę N (k, n − k)
nazywamy symbolem Newtona i oznaczamy nk . Z powyższej definicji wynika natychmiast, że nk =
n n
n n+1
n−k . Z dowodu powyższego ćwiczenia można wyczytać również, że k + k+1 = k+1 .
Ćwiczenie 11. Znaleźć przedstawienie normalne i rosnące zbiorów:
(a) A = {3, 7, 15},
(b) B = {n ∈ N : ∃q∈N n = 3q + 2}.
Działania wieloargumentowe. Iteracje działań głównych.
Ćwiczenie 1. Określić mnożenie wieloargumentowe na ciągach
Qb
k=a xk .
Ćwiczenie 2. Wykazać, że:
b+1
b
(a)
k=a xk · xb+1 ,
k=a xk =
Qb
(b) dla przedziałów sąsiednich ha, bi i hc, di, c = b + 1 oraz ciągu (xk ), k = a, ..., d jest
k=a xk ·
Qd
Qd
k=c xk =
k=a xk ,
(c) dla ciągu (xk ), k = a, ..., b i ciągu (x̂k ), k = a, ..., b powstałego z poprzedniego przez przestawienie
Q
Q
wyrazów na miejscach d i b jest bk=a x̂k = bk=a xk ,
(d) dla ciągu różnowartościowego (kj ), j = p, ..., q przekształcającego hp, qi na jakiś przedział ha, bi i
Q
Q
ciągu (xk ), k = a, ..., b jest qj=p xkj = bk=a xk .
Q
Q
Ćwiczenie 3. Niech x, y, p, q, n ∈ N. Wykazać następujące własności potęgi:
9
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b+1)−a
,
k=a x = x·
(x · y)n· = xn· · y·n ,
xp· ·xq· = x·p+q ,
q
xp· · = x·p·q ,
jeśli p > q, to xp· : xq·
(f ) (x : y)n· = xn· : y·n , przy czym z istnienia
lewej strony jest wynika istnienie prawej,
(g) x > y wtedy i tylko wtedy, gdy xn· > y·n ,
(h) jeśli x > 1, to p > q wtedy i tylko wtedy, gdy
xp· > xq· .
Qb
= xp−q
,
·
Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla każdego x ∈ N mamy ∆(x) =
Px
k=1 k
i x! =
Qx
k=1 k.
Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla każdego n ∈ N i q ∈ N, q > 1 istnieje iloraz (q n − 1) : (q − 1)
Ćwiczenie 6. Wykazać, że każda liczba naturalna n > 1 posiada przynajmniej jeden dzielnik będący
liczba pierwszą.
Ćwiczenie 7. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza od niej większa.
Ćwiczenie** 8. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej x > 1 istnieje dokładnie jeden ciąg rosnący
liczb pierwszych (pi ), i = 1, ..., s oraz dokładnie jeden ciąg liczb naturalnych (ci ), i = 1, ..., s taki, że
x=
s
Y
pci i .
i=1
Powyższy wzór nazywamy rozkładem liczby naturalnej x na czynniki pierwsze.
Ćwiczenie* 9. Niech x, y, n ∈ N. Wykazać, że jeśli (x, y) = 1, to (xn , y n ) = 1. Na tej podstawie
wykazać, że jeśli istnieje iloraz xn : y n , to istnieje iloraz x : y. Porównaj z ćwiczeniem 3 (f ).
Postęp arytmetyczny i geometryczny.
Ćwiczenie 1. Wykazać, że jeżeli ciąg (ai ), i = 1, ... spełnia dla i ∈ N warunek ai+1 = a1 + ir, gdzie r
jest pewną liczbą naturalną, to (ai ) jest postępem arytmetycznym o różnicy r.
Analogicznie wykazać, że jeżeli ciąg (ai ), i = 1, ... spełnia dla i ∈ N warunek ai+1 = a1 · q i , gdzie q
jest pewną liczbą naturalną, to (ai ) jest postępem geometrycznym o ilorazie q.
Ćwiczenie 2. Wykazać, że jeżeli ciąg (ai ), i = 1, ... jest postępem arytmetycznym, to dla dowolnych
k, n ∈ N takich, że k 6 n zachodzi wzór ak + a(n+1)−k = a1 + an .
Ćwiczenie 3. Wykazać, że jeżeli ciąg (ai ), i = 1, ... jest postępem geometrycznym i Sn jest n-tą sumą
tego ciągu, to dla każdego n ∈ N zachodzi wzór Sn · q + a1 = Sn+1 .
Ćwiczenie 4. Wykazać, że jeżeli ciąg (ai ), i = 1, ... jest postępem arytmetycznym i Sn jest n-tą sumą
tego ciągu, to dla każdego n ∈ N zachodzi wzór 2Sn = n · (a1 + an ).
Ćwiczenie 5. Wykazać, że jeżeli ciąg (ai ), i = 1, ... jest postępem geometrycznym o ilorazie q > 1 i Sn
jest n-tą sumą tego ciągu, to dla każdego n ∈ N zachodzi następujący wzór Sn · (q − 1) = a1 · (q n − 1).
Ćwiczenie 6. Wykazać, że jeżeli ciąg (ai ), i = 1, ... jest postępem arytmetycznym o różnicy r i Sn jest
n-tą sumą tego ciągu, to dla każdego n > 2 zachodzi wzór
Sn = na1 + ∆(n − 1)r.
Ćwiczenie 7. Podać i udowodnić wzór na
Pn
k=4 3
k,
n > 4 oraz na
Pn
k=4 3k,
n > 4.
Ćwiczenie 8. Niech (ai ), i = 1, ..., n i (xi ), i = 1, ..., n będą dowolnymi ciągami liczb naturalnych oraz
Q
Q
x, a ∈ N. Podać i udowodnić wzory na następujące iloczyny: nk=1 xai , nk=1 xai .
10
§2. LICZBY CAŁKOWITE.
Ćwiczenie 1. W zbiorze N × N wprowadzono relację ∼ wzorem:
m  n ∼ p  q ⇔ m + q = n + p.
Wykazać, że ∼ jest relacją równoważności.
Ćwiczenie 2. Wykazać, że:
(a) jeśli m̂  n̂ ∼ m  n, to n̂  m̂ ∼ n  m,
(b) jeśli m  w ∼ p  w, to m = p,
(c) m  n ∼ (m + f )  (n + f ),
(d) jeśli m̂  n̂ ∼ m  n, to (m̂ + n)  (n̂ + n) ∼
(m + n̂)  (n + n̂).
Ćwiczenie 3. Niech x i y będą dowolnymi liczbami całkowitymi nieujemnymi. Wykazać, że jeśli x+y =
0, to x = 0 i y = 0.
Ćwiczenie 4. Niech x ∈ Z. Wykazać następujące dwie równoważności:
(a) x jest liczbą całkowitą dodatnią wtedy i tylko wtedy, gdy x > 0,
(b) x jest liczbą całowitą ujemną wtedy i tylko wtedy, gdy x < 0.
Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla dowolnych liczb całkowitych x, y, z ∈ Z
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
−(x + y) = (−x) + (−y),
x − y = x + (−y),
x · (−y) = −(x · y),
(−x) · (−y) = x · y,
x − (y − z) = (x − y) + z,
(f ) jeśli x > y, to −x < −y,
(g) x : (−y) = −(x : y), przy czym istnienie lewej strony jest równoważne istnieniu prawej
(y 6= 0).
Ćwiczenie 6. Niech x, y i z będą dowolnymi liczbami całkowitymi, gdzie z 6= 0. Wykazać, że (x + y) :
z = x : z + y : z, przy czym z istnienia prawej strony wynika istnienie lewej.
Ćwiczenie 7. Niech x i y będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Wykazać, że x · y = 1 wtedy i tylko
wtedy, gdy (x = 1 i y = 1) lub (x = −1 i y = −1).
Ćwiczenie 8. Niech x, y i z będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Wykazać, że jeśli x > y, to
x + z > y + z.
Ćwiczenie 9. Niech x, y i z będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Wykazać, że jeśli z > 0 i x > y,
to xz > yz, natomiast jeśli z < 0 i x > y, to xz < yz.
Ćwiczenie 10. Wykazać, że dla dowolnej liczby całkowitej x zachodzą nierówności −|x| 6 x 6 |x|.
Ćwiczenie 11. Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ Z zachodzi nierówność ||x| − |y|| 6 |x − y|.
Ćwiczenie 12. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite x spełniające nierówność |x − 1| > x + 3.
Ćwiczenie 13. Wykazać, że zbiór Z− = {[1  (n + 1)] : n ∈ N} wraz z funkcją następstwo określoną
wzorem a0 = a−1 dla a ∈ Z− spełniają aksjomaty liczb naturalnych. Pokazać, że N i Z− są izomorficzne
bez zachowania porządku.
Ćwiczenie 14. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite x spełniające równość e3 (5x + 7) = x.
§3. LICZBY UŁAMKOWE.
11
Ćwiczenie 1. W zbiorze N × N wprowadzono relację ∼ wzorem:
m : n ∼ p : q ⇔ m · q = n · p.
Wykazać, że ∼ jest relacją równoważności.
Ćwiczenie 2. Wykazać, że:
(a) jeśli m̂ : n̂ ∼ m : n, to n̂ : m̂ ∼ n : m,
(b) jeśli m : w ∼ p : w, to m = p,
(c) m : n ∼ (m · f ) : (n · f ),
(d) jeśli m̂ : n̂ ∼ m : n, to (m̂ · n) : (n̂ · n) ∼
(m · n̂) : (n · n̂).
Ćwiczenie 3. Wykazać, że jeżeli
m̂ : n̂ ∼ m : n,
p̂ : q̂ ∼ p : q,
to
(m̂ · p̂) : (n̂ · q̂) ∼ (m · p) : (n · q)
i
(m̂q̂ + p̂n̂) : (n̂q̂) ∼ (mq + pn) : (nq).
Ćwiczenie 4. Wykazać, że dla dowolnych liczb ułamkowych X, Y i Z:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f ) (X : Y ) : Z = X : (Y · Z),
(g) jeśli X < Y , to Z − Y < Z − X, przy czym
z istnienia lewej strony wynika istnienie prawej.
X · (: X) = 1
(: X) + (: Y ) = (X + Y ) : (XY ),
jeśli X > Y , to : Y >: X,
X : Y = X · (: Y ),
: (X · Y ) = (: X) · (: Y ),
Ćwiczenie 5. Wykazać, że dla liczb ułamkowych zachodzi następująca implikacja
[a : b] < [c : d]
=⇒
[a : b] < [(a + c) : (b + d)] < [c : d].
Ćwiczenie 6. Wykazać, że w zbiorze liczb ułamkowych nie istnieje liczba najmniejsza ani największa.
Ćwiczenie 7. Wykazać, że w zbiorze liczb ułamkowych nie zachodzi ani zasada minimum ani zasada
maksimum.
Ćwiczenie 8. Sformułować i udowodnić zasadę Archimedesa oraz twierdzenie o rozkładzie Euklidesa
dla liczb ułamkowych.
Ćwiczenie 9. Wykazać, że nie istnieje taka liczba ułamkowa X, że X 2 = 2.
Ćwiczenie* 10. Niech A = {X ∈ U : X 2 < 2} i B = {X ∈ U : X 2 > 2}. Wykazać, że para zbiorów
A i B stanowi lukę w zbiorze liczb ułamkowych.
Ćwiczenie* 11. Wykazać, że jeśli X = [m : n] > 1, to liczby ułamkowe [en (m) : 1] i [rn (m) : n]
nie zależą od wyboru reprezentanta m : n liczby X, przy czym druga przy założeniu, ze istnieje reszta
rn (m).
Liczbę [en (m) : 1] nazywamy częścią całkowitą liczby X i oznaczamy E(X), natomiast liczbę
[rn (m) : n] nazywamy częścią ułamkową liczby X i oznaczamy R(X).
Ćwiczenie 12. Niech X, Y będą liczbami ułamkowymi X, Y > 1 i N ∈ N. Wykazać, że:
12
(a) X ∈ N wtedy i tylko wtedy, gdy X = E(X),
(b) jeśli X ∈
/ N, to X = E(X) + R(X),
(c) R(X) < 1,
(d) E(X) 6 X < E(X) + 1,
(e) E(X + N ) = E(X) + N ,
(f ) E(X + Y ) > E(X) + E(Y ).
Ćwiczenie 13. Wykazać, że dla dowolnej liczby ułamkowej X > 1 część całkowita E(X) = e1 (X) oraz
reszta R(X) = r1 (X).
Ćwiczenie 14. Wyznaczyć wszystkie liczby ułamkowe X spełniające równość E(X) = 3.
§4. LICZBY WYMIERNE.
Ćwiczenie 1. Niech U i Z oznaczają odpowiednio zbiór wszystkich liczb ułamkowych i zbiór wszystkich
liczb całkowitych. W zbiorze U × U wprowadzono relację ∼I wzorem:
X  Y ∼I X̂  Ŷ ⇔ X + Ŷ = Y + X̂,
natomiast w zbiorze Z × (Z\{0}) wprowadzono relację ∼II wzorem:
x : y ∼II x̂ : ŷ ⇔ x · ŷ = y · x̂.
Wykazać, że są to relacje równoważności. Zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji ∼I oznaczamy QI
i nazywamy zbiorem liczb wymiernych pierwszego rodzaju, natomiast zbiór wszystkich klas abstrakcji
relacji ∼II oznaczamy QII i nazywamy zbiorem liczb wymiernych drugiego rodzaju.
Ćwiczenie 2. Wykazać, że jeżeli
ˆ
[a : b]  [c : d] ∼I [â : b̂]  [ĉ : d],
to
[ad  bc] : [bd + 1  1] ∼II [âdˆ  b̂ĉ] : [b̂dˆ + 1  1].
Ćwiczenie 3. Wykazać, że dla liczb całkowitych x i y 6= 0 zachodzi relacja x : y ∼II (−x) : (−y).
Ponadto Wykazać, że jeżeli
[m  n] : [p  q] ∼II [m̂  n̂] : [p̂  q̂],
to
[m : (p − q)]  [n : (p − q)] ∼I [m̂ : (p̂ − q̂)]  [n̂ : (p̂ − q̂)],
o ile istnieją różnice p − q i p̂ − q̂, natomiast
[m : (p − q)]  [n : (p − q)] ∼I [n̂ : (q̂ − p̂)]  [m̂ : (q̂ − p̂)],
o ile istnieją różnice p − q i q̂ − p̂.
Z powyższego wynika, że funkcje A : QI → QII oraz D : QII → QI dane wzorami:
A [a : b]  [c : d]
(1)
= [ad  bc] : [bd + 1  1]
oraz
(2)
D [m  n] : [p  q]
są poprawnie określone.
= [m : (p − q)]  [n : (p − q)] ,
dla [p  q] > 0
13
Ćwiczenie 4. Wykazać, że funkcja D : QII → QI jest poprawnie określona wzorem (2).
Ćwiczenie 5. Wykazać, że A ◦ D = idQII i D ◦ A = idQI , czyli A i D są odwzorowaniami wzajemnie
odwrotnymi.
Ćwiczenie 6. Wykazać, że A(1) = 1 i A(0) = 0 oraz dla dowolnych liczb wymiernych pierwszego
rodzaju α i β zachodzą wzory:
A(α + β) = A(α) + A(β),
A(α · β) = A(α) · A(β).
Ćwiczenie 7. Wykazać, że:
(a) Dla każdego α ∈ QI zachodzi równoważność α > 0 ⇔ A(α) > 0,
(b) Dla dowolnych α, β ∈ QI zachodzi równoważność α > β ⇔ A(α) > A(β).
Ćwiczenie 8. Udowodnić następujące własności:
(a) Ciąg stały (α), gdzie α ∈ Q jest zbieżny do wspólnej wartości swoich wyrazów czyli do α.
(b) Jeżeli ciągi (αn ) i (βn ) mają prawie wszystkie wyrazy identyczne, to albo oba spełniają warunek
Cauchy’ego albo oba tego warunku nie spełniają. Ponadto granice jednego są granicami drugiego.
(c) Ciąg (αn ) liczb wymiernych spełniający warunek Cauchy’ego jest ciągiem ograniczonym.
Niech (αn ), n = 1, 2, . . . będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych i (kn ) n = 1, 2, . . . dowolnym
ciągiem rosnącym liczb naturalnych. Ciąg (αkn ), n = 1, 2, . . . nazywamy podciągiem ciągu (αn ).
Ćwiczenie 9. Niech (αn ), n = 1, 2, . . . będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych. Wykazać, że jeśli
(αn ) jest ciągiem ograniczonym, to istnieje jego podciąg spełniający warunek Cauchy’ego.
Ćwiczenie 10. Wykazać, że jeśli ciąg liczb wymiernych (αn ) n = 1, 2, . . . spełnia warunek Cauchy’ego
i posiada podciąg zbieżny do 0, to (αn ) jest zbieżny do 0. Analogicznie, gdy podciąg jest zbieżny do
γ ∈ Q, to (αn ) zbiega do γ.
Ćwiczenie 11. Wykazać, że jeżeli ciąg liczb wymiernych (αn ) spełnia warunek Cauchy’ego i nie jest
zbieżny do 0, to ciąg (|αn |) jest prawie ograniczony z dołu przez dodatnią liczbę wymierną.
Ćwiczenie 12. Niech (αn ) i (βn ) będą ciągami liczb wymiernych. Wykazać, że
lim(αn · βn ) = lim αn · lim βn ,
przy czym z istnienia prawej strony wynika istnienie lewej.
Ćwiczenie 13. Niech (αn ) będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych. Wykazać, że warunek Cauchy’ego jest równoważny z następującym warunkiem:
dla każdego dodatniego ε ∈ Q zachodzi
(?)
|αn+k − αn | < ε
dla wszystkich k ∈ N i prawie wszystkich n ∈ N.
Ćwiczenie 14. Niech (αn ) będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych. Wykazać, że jeśli istnieje taki
ciąg (βn ) liczb wymiernych zbieżny do 0, że
|αn+k − αn | < βn
dla wszystkich k ∈ N i prawie wszystkich n ∈ N, to (αn ) spełnia warunek Cauchy’ego.
14
Ćwiczenie* 15. Wykazać, że ciąg (αn ) dany wzorem
αn = 1 +
n
X
1 : (i!)
i=1
spełnia warunek Cauchy’ego.
Ćwiczenie* 16. Wykazać, że ciąg (αn ) z poprzedniego zadania nie jest zbieżny (do liczby wymiernej).
Ćwiczenie 17. Niech (αn ) n = 1, 2, . . . będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych spełniającym warunek Cauchy’ego i niech
M = {µ ∈ Q : ∃m0 ∈N ∀n>m0 µ 6 αn }
N = {ν ∈ Q : ∃n0 ∈N ∀n>n0 αn 6 ν}.
i
Wykazać, że
(a) dla każdego ε ∈ Q, ε > 0 istnieją µ ∈ M i ν ∈ N takie, że ν − µ = ε,
(b) jeśli λ ∈ Q jest ograniczeniem górnym zbioru M i ograniczeniem dolnym zbioru N , to λ jest granicą
ciągu (αn ).
Ćwiczenie 18. Niech α i β będą dowolnymi liczbami wymiernymi nieujemnymi oraz n, p, q ∈ N.
Wykazać, że:
(a) jeśli α > 1, to αn > 1,
(b) α > β ⇔ αn > β n ,
(c) jeśli α > 1, to p > q ⇔ αp > αq ,
(d) jeśli 0 < α < 1, to p > q ⇔ αp < αq .
Ćwiczenie 19. Wyznaczyć wszystkie liczby wymierne α dla których ciąg (αn ) jest zbieżny i podać jego
granicę.
§5. LICZBY RZECZYWISTE.
Ćwiczenie 1. Niech P oznacza zbiór wszystkich ciągów liczb wymiernych spełniających warunek Cauchy’ego czyli tak zwanych ciągów podstawowych. W zbiorze P wprowadzamy relację ∼ wzorem:
(αn ) ∼ (βn ) ⇔ lim (αn − βn ) = 0.
n→∞
Wykazać, że ∼ jest relacją równoważności.
Ćwiczenie 2. Wykazać, że jeśli (αn ), n = 1, 2, . . . i (βn ), n = 1, 2, . . . są ciągami podstawowymi liczb
wymiernych to ciąg (αn βn ) jest również podstawowy.
Ćwiczenie 3. Niech (αn ), n = 1, 2, . . . i (βn ), n = 1, 2, . . . będą ciągami podstawowymi liczb wymiernych o wyrazach różnych od zera. Wykazać, że jeśli ciągi (αn ) i (βn ) nie są zbieżne do 0 oraz
(αn ) ∼ (βn ), to (: αn ) ∼ (: βn ).
Ćwiczenie 4. Niech (αn ), n = 1, 2, . . . i (α̂n ), n = 1, 2, . . . będą ciągami podstawowymi liczb wymiernych i δ ∈ Q. Wykazać, że jeśli (αn ) ∼ (α̂n ), to
(a) jeśli dla każdego β < δ jest αn > β dla prawie wszystkich n i dla każdego γ > δ jest αn < γ dla
prawie wszystkich n, to dla każdego β̂ < δ jest α̂n > β̂ dla prawie wszystkich n i dla każdego γ̂ > δ
jest α̂n < γ̂ dla prawie wszystkich n,
(b) jeśli istnieje γ0 > δ takie, że αn > γ0 dla prawie wszystkich n, to istnieje γ̂0 > δ takie, że α̂n > γ̂0
dla prawie wszystkich n.
15
Ćwiczenie 5. Wykazać, że każda liczba rzeczywista dodatnia zawiera ciąg podstawowy o wyrazach
dodatnich, każda liczba rzeczywista ujemna ciąg o wyrazach ujemnych, a liczba zero ciągi obu rodzajów.
Ćwiczenie 6. Wykazać, że jeśli liczby rzeczywiste A i B są dodatnie względnie ujemne, to iloczyn A · B
jest liczbą dodatnią, natomiast jeśli A i B są różnych znaków, to A · B jest liczbą ujemną. Ponadto
Wykazać, że jeśli A i B są jednocześnie dodatnie lub ujemne to A + B jest odpowiednio dodatnia bądź
ujemna.
Ćwiczenie 7. Niech A = [(αn )], B = [(βn )] ∈ R. Wtedy A > B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie
γ ∈ Q, γ > 0, że αn > βn + γ dla prawie wszystkich n.
Ćwiczenie 8. Niech A, B, Γ ∈ R i Γ 6= 0. Wykazać, że jeżeli A 6= B, to A · Γ 6= B · Γ.
Dla ciągów liczb rzeczywistych (An ), n = 1, 2, . . . analogicznie jak dla ciągów liczb wymiernych
definiujemy pojęcie podciągu.
Ćwiczenie 9. Wykazać, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych posiada podciąg zbieżny.
Ćwiczenie 10. Wykazać, że każdy ciąg liczb rzeczywistych (An ), n = 1, 2, . . . spełniający warunek
Cauchy’ego jest zbieżny.
Niech (αn ) oznacza ciąg podstawowy dany wzorem αn = 1 + ni=1 1 : (i!). Z zadania 16 z poprzedniego paragrafu wynika, że liczba rzeczywista [(αn )] nie jest liczbą wymierną. Liczbę tę oznaczamy
symbolem e. Z twierdzenia 2 wynika, że liczba e jest granicą ciągu (αn ).
P
Ćwiczenie 11. Wykazać, że suma i różnica dwóch liczb rzeczywistych, z których jedna jest wymierna
a druga niewymierna jest liczbą niewymierną, natomiast suma dwóch liczb niewymiernych może być
liczbą wymierną.
Ćwiczenie 12. Niech (αn ) i (βn ) będą dowolnymi ciągami liczb wymiernych, przy czym ciąg (βn ) jest
malejący i zbieżny do 0. Wykazać, że jeśli istnieje funkcja rosnąca f : Q → R i liczba rzeczywista A
taka, że dla każdego n ∈ N
f (αn ) 6 A < f (αn + βn ),
to ciąg (αn ) spełnia warunek Cauchy’ego.
Ćwiczenie* 13. Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną. Wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej
dodatniej A istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista dodatnia B, taka że B n = A.
√
Powyższą liczbę B oznaczamy symbolem n A i nazywamy pierwiastkiem
n-tego
√
√ stopnia z dodatniej
liczby A. Zauważmy, że wprost z definicji pierwiastka wynika, że n A > 0 √
i ( n A)n = A. Zauważmy
ponadto, że 0n = 0 i B n 6= 0 dla każdego B 6= 0. Zatem można przyjąć, że n 0 = 0.
Ćwiczenie 14. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich A i B oraz dowolnych liczb
naturalnych m i n zachodzą następujące własności:
√
√
√
√
n
(f ) jeśli
istnieje
m√
: n, to n Am = Am:n ,
A · n B =√n A · B,
(a) p
√
√
mn
n
(g) n A · m A = √Am+n√
,
(b) √
(: A) =: (√n A),√
√
mn
m
n
(h) jeśli m > n,√to n A
:
A=
Am−n ,
(c) √
A : B =√n A : n B,
√
n
n
n
n
m
(i) A < B ⇔ A < B, √
(d) qAm = ( qA) ,
√
m
n
√
√
√
m n
n m
mn
(j)
jeśli
A
>
1,
to
n
<
m
⇔
A
>
√ A,√
A=
A=
A,
(e)
(k) jeśli 0 < A < 1, to n < m ⇔ n A < m A.
Ćwiczenie 15. Niech A będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Wykazać, że limn→∞
√
n
A = 1.
16
§6. APPENDIX. DEFINICJE INDUKCYJNE.
Ćwiczenie 1 (Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję). Niech A będzie dowolnym niepustym
zbiorem i α ∈ A oraz niech τ : A × N → A będzie ustaloną funkcją. Wykazać, że istnieje dokładnie
jedna funkcja f : N → A spełniająca warunki:
1◦ f (1) = α,
2◦ f (x0 ) = τ (f (x), x) dla x ∈ N.
Wskazówka. Rozważyć rodzinę M złożoną z wszystkich relacji R ⊂ N × A spełniających waruki:
1. (1, α) ∈ R,
2. jeśli (x, y) ∈ R, to (x0 , τ (y, x)) ∈ R dla x ∈ N, y ∈ A.
Rodzina M jest niepusta, bo N×A ∈ M. Pokazać, że f =
że f ∈ M i stosując zasadę indukcji wykazać, że zbiory
T
R∈M R
jest poszukiwaną funkcją. Zauważyć,
N1 = {x ∈ N : ∃y∈A (x, y) ∈ f }
oraz
N2 = {x ∈ N : ∀y1 ,y2 ∈A (x, y1 ) ∈ f ∧ (x, y2 ) ∈ f ⇒ y1 = y2 }
są równe N. Patrz również ćwiczenie 6 z paragrafu "Postępowanie indukcyjne".
Ćwiczenie 2. Dany jest niepusty zbiór Ω, element α ∈ Ω oraz funkcja ϕ : Ω → Ω. Wykazać, że istnieje
dokładnie jedna funkcja γ : N → Ω spełniająca warunki:
1◦ γ(1) = α,
2◦ γ(x + 1) = ϕ(γ(x)) dla x ∈ N.
Ćwiczenie 3. Dany jest niepusty zbiór Ω, elementy α, β ∈ Ω oraz funkcja ϕ : Ω × Ω → Ω. Wykazać,
że istnieje dokładnie jedna funkcja γ : N → Ω spełniająca warunki:
1◦ γ(1) = α, γ(2) = β,
2◦ γ(x + 2) = ϕ(γ(x), γ(x + 1)) dla x ∈ N.
Wskazówka. Niech Φ : Ω × Ω → Ω × Ω będzie funkcją określoną wzorem
Φ(m, n) = (n, ϕ(m, n)).
Z ćwiczenia poprzedniego istnieje funckja F : N → Ω × Ω spełniająca warunki
1◦ F (1) = (α, β),
2◦ F (x0 ) = Φ(F (x)).
Wykazać, że π ◦ F jest poszukiwaną funkcją, gdzie π(m, n) = m.
Ćwiczenie 4. Wykazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja f : N → N spełniająca warunki:
1◦ f (1) = 1, f (2) = 1,
2◦ f (x + 2) = f (x) + f (x + 1) dla x ∈ N.
Funkcję f nazywamy ciągiem Fibonacciego. Pierwszych piętnaście wartości ciągu Fibonacciego:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, . . .