Teoria zdarzen ekstremalnych
Transkrypt
Teoria zdarzen ekstremalnych
Teoria wartości ekstremalnych Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Zdarzenia ekstremalne • Zdarzeniem ekstremalnym będziemy nazywać zdarzenie, które prowadzi do szkód znacznie przewyższających typowe szkody • Przykłady zdarzeń ekstremalnych w działalności ubezpieczeniowej – pożar teatru, muzeum, kościoła, – zatopienie statku, – katastrofa samolotu, – katastrofa budowlana, – powódź, sztorm, huragan, trzęsienie ziemi. Zdarzenia ekstremalne, c. d. • Zdarzenia ekstremalne są również charakterystyczne dla ryzyka operacyjnego (ryzyko wynikające z nieodpowiednich lub błędnych procesów, procedur, działania ludzi, systemów, zdarzeń zewnętrznych) w różnych obszarach ludzkiej działalności, np. – awaria systemu informatycznego w banku, – awaria łączności, – awaria zasilania, – awaria elektrowni atomowej. Modelowanie zdarzeń ekstremalnych • Zdarzenia ekstremalne powodują zwykle stratę X=u występującą w ogonie rozkładu prawdopodobieństwa strat odpowiadającą wysokiemu kwantylowi (bliskiemu 1) i są bardzo rzadkie P ( X ≥ u) ≈ 0 • Z tego powodu modelowanie rozkładu strat zdarzeń ekstremalnych napotyka na trudności P ( X > x + u | X > u) = ? Modelowanie zdarzeń ekstremalnych • Rozkład nadwyżki zmiennej X ponad u definiujemy jako rozkład warunkowy Fu ( x ) := 1 − P ( X > x + u | X > u ) =1− P ( X > x + u) P ( X > u) = F ( x + u ) − F (u ) 1 − F (u ) • Zadanie: wyznacz rozkład nadwyżki dla rozkładu wykładniczego i rozkładu Pareto . Uogólniony rozkład Pareto • Uogólniony rozkład Pareto o parametrachξ , β > 0 URP (ξ , β ) definiujemy jako rozkład o dystrybuancie Gξ , β ( x ) = 1 − e − x / β , gdy ξ = 0 oraz o dystrybuancie Gξ , β ( x ) = 1 − (1 + ξ x / β ) −1/ ξ , gdy ξ ≠ 0,1 + ξ x / β > 0 • Okazuje się, że dla dużych u i wielu rozkładów (wykładniczego, normalnego, gamma, Pareto) rozkład nadwyżki można przybliżyć URP Przybliżenie ogonów • Dla dużych x>u mamy przybliżoną równość F ( x ) ≈ F ( u ) + (1 − F ( u ) ) Gξ , β ( x − u ) • Okazuje się, że często łatwiej jest estymować parametry (ξ , β ) , niż wartości F(x) dla dużych x na podstawie danych historycznych • Jeżeli (ξ est , β est ) , są estymatorami parametrów (ξ , β ) , wówczas stosujemy przybliżenie −1/ ξ Nu x −u F (x) ≈ 1 − 1 + ξ est N β est est Przybliżenie VaR • Korzystając z przybliżenia kwantyla, dla q>F(u) otrzymujemy natychmiast przybliżenie VaR: β est VaRq ≈ u + ξ est − ξ est N 1 − q) − 1 ( Nu • Zadanie: dla q>F(u) uzasadnić przybliżenie FVaRq ( x ) ≈ Gξ , β + ξ ( VaRq − u x) ( ) Przybliżenie ES • Dla ξ < 1 zachodzi równość ESq 1 β − ξ iu ≈ + VaRq 1 − ξ (1 − ξ )iVaRq • Skąd natychmiast dostajemy przybliżenie na ES: β est − ξ est iu 1 ESq ≈ VaRq + 1 − ξ est 1 − ξ est Rozkład wartości ekstremalnych tw. Fishera-Tippeta, Gniedenki • Niech X1 , X 2 ,..., X N będzie próbą prostą • Jeżeli N → ∞ oraz X N:N = max1≤ i ≤ N X i to dla dużej rodziny rozkładów można znaleźć takie ciągi aN , bN, że zmienna aN ( X N:N − bN ) zbiega do zmiennej o dystrybuancie ( Hξ ( x ) = exp − (1 + ξ x ) lub −1/ ξ ) , 1 + ξ x > 0, ξ ≠ 0, H0 ( x ) = exp ( − exp ( − x ) ) Rozkład wartości ekstremalnych, c.d. • Dla ξ < 0 mamy do czynienia z rozkładem Weibulla, • dla ξ = 0 mamy do czynienia z rozkładem Gumbela, • dla ξ > 0 mamy do czynienia z rozkładem Frécheta. • Zadanie: udowodnić, że jeżeli próba pochodzi z rozkładu URP (ξ , β ) to istnieją takie aN , bN , że dystrybuanta aN ( X N:N − bN ) zbiega do Hξ Rozkład Weibulla – odbity symetrycznie • Rozkład Weibulla W (η , β ) o dystrybuancie β Wη , β ( x ) = 1 − exp − ( x / η ) , x > 0, β , η > 0 jest często stosowanym rozkładem do modelowania żywotności skomplikowanych urządzeń lub bezawaryjnej pracy skomplikowanych systemów • Jeżeli X ∼ W (η , β ), to ) ( r EX = η Γ 1 + β r r