MIEJSCE METODY BILANSÓW ELEMENTARNYCH WŚRÓD

Nr 62
Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Politechniki Wrocławskiej
Nr 62
Studia i Materiały
Nr 28
2008
metoda bilansów elementarnych,
pole temperatury, silnik indukcyjny dwuklatkowy
Jan MRÓZ*
MIEJSCE METODY BILANSÓW ELEMENTARNYCH
WŚRÓD METOD OBLICZANIA POLA TEMPERATURY
W MASZYNACH ELEKTRYCZNYCH
Pole temperatury maszyny elektrycznej ma zasadniczy wpływ na pewność jej pracy, szczególnie
w stanach nieustalonych i jego znajomość jest niezbędna, zarówno w etapie projektowania maszyn
jak i w czasie ich eksploatacji. Artykuł przedstawia miejsce metody bilansów elementarnych wśród
innych metod numerycznych obliczania pola temperatury w maszynach elektrycznych. Stwarza ona,
podobnie jak metoda elementów skończonych możliwości analizy stanów cieplnych w obiektach o
złożonych kształtach. W literaturze dotyczącej maszyn elektrycznych i w potocznej świadomości istnieje pewne nieuporządkowanie zarówno w nazewnictwie metod jak i w sposobie ich zastosowania
do określonego zagadnienia. Dlatego ten problem omówiono bardziej szczegółowo. Dodatkowo pokazano przykład zastosowania metody bilansów elementarnych do obliczenia pola temperatury wirnika silnika dwuklatkowego w czasie rozruchu.
1. ZNACZENIE ZJAWISK TERMICZNYCH
W MASZYNACH ELEKTRYCZNYCH
W maszynie elektrycznej zachodzi wzajemne sprzężenie zjawisk elektromagnetycznych i cieplnych (rys. 1), które oddziałując ze zjawiskami hydrodynamicznymi
związanymi z chłodzeniem maszyny wywołują określone skutki mechaniczne w postaci naprężeń. Zjawiska elektromagnetyczne związane z siłami naciągu magnetycznego wywołują deformacje i naprężenia mechaniczne oraz efekty wibracyjne. Na
rysunku 1 zwraca uwagę fakt, że wokół bloku zjawisk cieplnych, które z punktu widzenia roli maszyny elektrycznej należy uznać za pasożytnicze, koncentruje się największa ilość powiązań wzajemnych z innymi zjawiskami w maszynie.
__________
* Politechnika Rzeszowska, 35-959 Rzeszów, ul. Wincentego Pola 2
314
ZJAWISKA
ELEKTROMAGNETYCZNE
ZJAWISKA
HYDRODYNAMICZNE
ZJAWISKA
CIEPLNE
ZJAWISKA MECHANICZNE
ZJAWISKA WIBROAKUSTYCZNE
Rys. 1. Sprzężenie zjawisk w maszynie elektrycznej
Fig. 1. Coupling of the phenomena in the electric machine
W artykule autor chciałby zwrócić uwagę na miejsce metody bilansów elementarnych wśród metod numerycznych obliczania pola temperatury. Zostanie pokazany
przykład jej zastosowania do obliczenia pola temperatury wirnika silnika dwuklatkowego w czasie rozruchu. W literaturze i w potocznej świadomości istnieje pewne nieuporządkowanie zarówno w nazewnictwie metod jak i w sposobie ich zastosowania do określonego zagadnienia. Dlatego ten problem zostanie omówiony bardziej szczegółowo.
2. OPIS ZJAWISK CIEPLNYCH W MASZYNACH ELEKTRYCZNYCH
Pole temperatury opisuje równanie przewodzenia ciepła w postaci [5, 6]:
cρ
∂ϑ (r , t )
= −divq& + q& V (r, t ) ,
∂t
q& = − Λ∇ϑ (r , t )
(1)
gdzie: c – ciepło właściwe, ρ – rezystywność, ϑ – temperatura, r –wektor pozycyjny,
t – czas, q& – wektor gęstości strumienia ciepła, q&V – objętościowa gęstość źródeł
ciepła, Λ – tensor współczynników przewodności cieplnej, ∇– operator nabla. Warunek początkowy ma postać:
ϑ (r , t ) t = 0 = ϑ0 (r )
(2)
Warunki brzegowe odpowiednio I, II, III i IV rodzaju:
ϑ (r , t ) A = ϑ A (rA , t ) , Λ∇ϑ ⋅ n A = q& A (rA , t ) ,
− ( Λ∇ϑ ⋅ n) A = α (rA , t ,ϑ A )[ϑ (rA , t ) − ϑa ]
ϑ1 A = ϑ2 A ,
λ1
∂ϑ1
∂n
= λ2
A
∂ϑ2
∂n
A
(3)
315
gdzie: rA – wektor pozycyjny punktu na brzegu A, n – wektor normalny do powierzchni A skierowany na zewnątrz obszaru, q& A – gęstość strumienia ciepła na powierzchni A, α – współczynnik przejmowania ciepła, ϑa – temperatura czynnika
chłodzącego, λ1 , λ2 – współczynniki przewodności cieplnej obszarów 1 i 2.
3. METODY NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ CIEPLNYCH
W MASZYNACH ELEKTRYCZNYCH
Istotą metod numerycznych jest dyskretyzacja zagadnienia i dlatego zdaniem autora moment jej przeprowadzenia powinien być podstawowym kryterium podziału metod numerycznych. Wszystkie metody grupy 1 (rys. 2) wymagają sformułowania zagadnienia brzegowego po czym następuje specyficzna dla każdej z metod
dyskretyzacja modelu. W grupie 2 (rys. 2) dyskretyzacji przestrzennej analizowanego
obszaru dokonuje się już przed formalnym zapisem równań modelu.
Rys. 2. Metody numeryczne rozwiązywania zagadnień cieplnych w maszynach elektrycznych
Fig. 2. Numerical methods of solving thermal problems in the electric machines
Metody grupy 2 nazywa się metodami sieci cieplnej – odwzorowanie rozpatrywanego
obiektu za pomocą układu dyskretnych elementów. Konfiguracja sieci cieplnej uzależniona jest nie tylko od analizowanego obiektu czyli jego kształtu, warunków chłodzenia i miejsca występowania źródeł ciepła. Poważny wpływ na kształt sieci cieplnej
ma wybór metody jej tworzenia.
3.1. METODA MODUŁÓW CIEPLNYCH
Moduł cieplny był wykorzystywany w przypadkach, gdy poszukiwało się średniej
wartości temperatury większego fragmentu maszyny, który zastępowano najczęściej
prętem. Celem jego wprowadzenia było znaczące zmniejszenie ilości równań modelu
co wynikało głównie z ówczesnych możliwości technicznych uzyskania rozwiązania.
Zespół modułów odpowiadających poszczególnym częściom maszyny elektrycznej
tworzy sieć cieplną. W przypadku elementów objętościowych z wewnętrznymi źró-
316
dłami ciepła występują trudności przy obliczaniu przewodności cieplnych, które zależą od nieznanych przed rozwiązanie zagadnienia czynników. Ich pokonanie jest możliwe przez wprowadzenie modyfikacji przedstawionych w [3, 4].
3.2. METODA BILANSÓW ELEMENTARNYCH
Metoda bilansów elementarnych [1, 5, 6] zwana jest także metodą objętości kontrolnej lub objętości skończonej. W obszarze, dla którego obowiązuje równanie (1)
można wydzielić pewien dowolny element o objętości Vc i polu powierzchni Ac. Można teraz scałkować równanie (1) po objętości otrzymując [6]:
∂ϑ
∫ cρ ∂t dV = − ∫ divq& dV + ∫ q&
V
Vc
Vc
∫
∫
Ac
Vc
dV = − n ⋅ q& dA + q&V dV
Vc
(4)
Przyjmując, że temperatura w całym Vc jest jednakowa i ma wartość ϑ(i ) oraz że wewnętrzne źródło ciepła o wydajności q&V (i ) jest skupione w środku ciężkości elementu,
poszczególne człony równania (4) można przedstawić:
∂ϑ
∫ cρ ∂t dV ≈ V cρ
dϑ( i )
c
dt
Vc
∫
, − n ⋅ q& dA ≈
∑ Q&
(i , j )
+
j
Ac
∑ Q&
∫ q&
,
A(i , k )
V (i )
k
dV ≈ Vc q&V (i ) (5)
Vc
gdzie: Q& ( i , j ) – strumień ciepła dopływającego do węzła i z elementu sąsiedniego j,
Q& A( i , k ) – strumień ciepła dopływającego z powierzchni zewnętrznej do węzła i.
Uwzględniając (3) można napisać:
∑Λ
ϑ
(i , j ) ( j )
j
∑Λ

−


ϑ
A( i , k ) A(i , k )
k
∑Λ
A(i , k )
k
+
+
∑Λ
m
∑Λ
m
ϑ
a (i , m ) a ( i )
a (i , m)
+
∑Λ
j
(i , j )

ϑ(i ) +


∑A
+ Vc ( i ) q&V ( i ) = Vc ( i ) c( i ) ρ ( i )
& A( i , l )
(i,l ) q
+
l
dϑ( i )
dt
(6)
i = 1, 2,K , nn
gdzie: nn – ilość elementów obszaru. Przewodności cieplne na drodze przepływu ciepła między elementem i a jego otoczeniem, którym może być sąsiedni element
( Λ ( i , j ) ) lub otoczenie ( Λ a ( i ,k ) , Λ A( i ,k ) ), zależą jedynie od wymiarów, własności materiałowych oraz współczynników wymiany ciepła na brzegu obiektu. Przyjmując, że
jedyną objętością kontrolną jest cały rozpatrywany obiekt, wtedy byłby on ciałem
jednorodnym. Używaniu nazwy: metoda ciała jednorodnego musi towarzyszyć świadomość, że jest to tylko szczególny przypadek metody bilansów elementarnych. Podobnie, łączenie kilku ciał jednorodnych (metoda schematów cieplnych), jest szcze-
317
gólnym przypadkiem metody bilansów elementarnych. Można udowodnić, że w miarę
zmniejszania wymiaru liniowego elementu, schemat elementu utworzonego metodą
bilansów elementarnych coraz bardziej zbliża się do schematu modułu cieplnego,
odwzorowującego ściśle zjawisko przepływu ciepła [4].
4. PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METODY
BILANSÓW ELEMENTARNYCH
Wykorzystując metodę bilansów elementarnych, obliczono pole temperatury silnika dwuklatkowego 320 kW, 6000 V, 2p=6 (rys. 3), w czasie jego rozruchu. Szczegółowo przedstawiono ten problem w [2]. Przykładem wyniku jest przestrzenno-czasowy
obraz temperatury w osi pręta klatki rozruchowej przedstawiony na rysunku 3.
Rys. 3. Analizowany obszar wirnika i przestrzenno-czasowy rozkład temperatury
w osi pręta klatki rozruchowej
Fig. 3. The analyzed rotor section and spatiotemporal temperature distribution along the bar of
the starting cage
5. WNIOSKI
Trudność dostępu do kodów komercyjnych programów używających metody elementów skończonych, w celu ich modyfikacji do specyfiki maszyn, wymagana duża
liczba elementów skończonych, duży koszt pierwszego uruchomienia, mogą być powodem zainteresowania metodą bilansów elementarnych. Stosowanie obecnie odrębnych nazw: metoda ciała jednorodnego czy metoda schematów cieplnych może robić
wrażenie, że są one różne od metody bilansów elementarnych. Nazwa metoda schematów cieplnych czy sieci cieplnych jest zrozumiała jedynie w środowisku osób zaj-
318
mujących się maszynami elektrycznymi i jest zupełnie nieznana i nie używana w literaturze dotyczącej wymiany ciepła [5, 6]. Używana zamiennie nazwa: metoda parametrów skupionych, nie odróżnia metody modułów cieplnych od metody bilansów
elementarnych, gdyż w obu występują właśnie parametry skupione. W obliczu sprzężenia zjawisk w maszynach elektrycznych i konieczności prowadzenia prac interdyscyplinarnych powinno się stopniowo dążyć do ujednoliceń w tym zakresie
LITERATURA
[1] GDULA S. J., Przewodzenie ciepła, Warszawa, 1984.
[2] MRÓZ J., Temperature field of double squirrel-cage motor during startup, IEE Proc.-Electr. Power
Appl., Vol. 152, No. 6, 2005, 1531–1538.
[3] MUKOSIEJ J., Opory przewodzenia zastępczej sieci cieplnej maszyn elektrycznych, Archiwum Elektrotechniki, Zeszyt 4, 1973, 779–799.
[4] PASZEK W., RÓZYCKI A., Jednowymiarowy cieplny stan nieustalony uzwojenia prętowego w maszynie
elektrycznej dużej mocy, Archiwum Elektrotechniki, Zeszyt 1, 1981, 217–233.
[5] SZARGUT J., Modelowanie numeryczne pól temperatury, Warszawa, WNT, 1992.
[6] TALER J., DUDA P., Rozwiązywanie prostych i odwrotnych zagadnień przewodzenia ciepła, Warszawa, WNT, 2003.
STATUS OF CONTROL VOLUME METHOD AMONG OTHER METHODS OF
CALCULATION TEMPERATURE FIELD OF ELECTRIC MACHINES
The temperature field of the electric machine has significant influence on the reliability of its functioning.
The knowledge of the temperature field is indispensable, both at the design and operating stages. In this
paper the status of the control volume method among the other numerical methods of calculation the
temperature field of the electric machines is presented. Due to the fact that there is a certain ambiguity in
the nomenclature of the methods, both in the common notion and in the literature on the electric machines, this problem is here discussed in detail. In addition, the example of application of the control
volume method to compute the temperature field of the double squirrel-cage motor’s rotor during the
startup is given.