Seria 1. - kinematyka

Seria 1. - kinematyka
1. Z dachu domu rzucono poziomo kamień z prędkością v0 . Oblicz składową przyspieszenia kamienia
prostopadłą do toru po czasie t.
1
Odp. an = v0 g(v02 + g 2 t2 )− 2
2. Z wieży o wysokości h wyrzucono poziomo ciało z prędkością v1 . W tej samej chwili u podstawy
wieży wystrzelono w tym samym kierunku, ale pod kątem α do poziomu, ciało z prędkością
v2 . Tory obu ciał leżą w jednej płaszczyźnie. Opisać ruch względny obu ciał, podając wektor
położenia ~r, prędkości ~v i przyspieszenia względnego ~a jako funkcje czasu t. Na jaką minimalną
odległość zbliżą się te ciała? Opór powietrza i siłę Coriolisa zaniedbać.
Odp. ~r = [v2 cos αt − v1 t, v2 sin αt − h], ~v = [v2 cos α − v1 , v2 sin α], ~a = [0, 0]
dmin =
h(v2 cos α−v1 )
(v2 cos α−v1 )2 +v22 sin2 α
q
v22 sin2 α + (v2 cos α − v1 )2
3. Poziom wody w studni obniża się powoli ze stałą prędkością. Do studni wrzucamy kamień i po
czasie t1 słyszymy plusk. Po czasie T od momentu puszczenia pierwszego kamienia (T < t1 )
wrzucamy do studni drugi kamień i po czasie t2 od chwili jego upuszczenia słyszymy kolejny
plusk. Zakładając, że prędkość dźwięku w powietrzu wynosi v ≫ v1 , znaleźć prędkość obniżania
się lustra wody v1 i odległość lustra wody od powierzchni ziemi w momencie puszczenia drugiego
kamienia hT . Opory ruchu zaniedbać.
h
i
√
√
Odp. v1 =
hT =
v
g
v g(t2 −t1 )−
T g+
v + gt1 −
v 2 +2gvt2 +
√
v 2 +2gvt2 −
p
√
v 2 +2gvt1
v 2 +2gvt1
v 2 + 2gvt1 − v1
√
,
v 2 +2gvt1 −v
g
−T
4. W momencie, w którym rakieta wzniosła się do góry na wysokość h i osiągnęła prędkość v0 ,
odłączył się od niej niepotrzebny już zbiornik paliwa. Po jakim czasie zbiornik spadnie na ziemię
i jaką prędkość osiągnie przy uderzeniu?
√
q
v + v 2 +2gh
Odp. τ = 0 g0
, v = v02 + 2gh
5. Ciało spada swobodnie na ziemię z wysokości h. Na jakiej wysokości hn prędkość tego ciała
będzie n razy mniejsza od jego prędkości końcowej?
Odp. hn = (1 −
1
n2 )h
6. Dwa ciała wyrzucono z tego samego punktu z tą samą prędkością początkową v0 . Jedno z nich
wyrzucono do góry, drugie pod kątem θ do podłoża. Jaka będzie wartość odległości pomiędzy
tymi ciałami w funkcji czasu?
p
Odp. d = v0 t 2(1 − sin θ)
2
2
7. Punkt materialny porusza się po ćwiartce elipsy o równaniu xc2 + yb2 = 1, przy czym x, y ­ 0,
b, c = const. W chwili początkowej x (0) = 0, y (0) = b, vx (0) = v0 , vy (0) = 0. Wiedząc że wektor
przyspieszenia punktu (którego wartości nie znamy) skierowany jest stale wzdłuż osi y, znaleźć
równania ruchu punktu, wektor prędkości punktu oraz jego wartość oraz wektor przyspieszenia
punktu oraz jego wartość.
Odp. x (t) = v0 t, y (t) =
−
v02 bc
(c2 −v02 t2 )
b
c
q
2
v bt
c2 − v02 t2 , vx (t) = v0 , vy (t) = − √ 20 2 2 , ax (t) = 0, ay (t) =
c
c −v0 t
3/2
8. Prędkość wody płynącej w rzece o szerokości D zmienia się z kwadratem odległości od brzegu,
przy czym prędkość przy brzegu jest równa zeru, a na środku jest maksymalna i równa Vmax . O
ile zniesie łódkę prąd w dół rzeki, jeżeli porusza się ona prostopadle do nurtu z prędkością V0 ?
1
9. Wioślarz przepływa rzekę o szerokości d w ten sposób, że jego łódź jest cały czas skierowana prostopadle do przeciwległego brzegu. Prędkość wody w rzece opisuje funkcja vw (y) = vw cos (πy/d),
gdzie y oznacza odległość od środka rzeki. Prędkość łodzi względem wody wynosi v0 . Ustalając
początek układu współrzędnych na środku rzeki i skierowując oś Oy prostopadle do jej brzegów,
podać wektor prędkości łodzi w zależności od czasu. Jakiego odchylenia ∆l dozna łódź podczas
przeprawy na przeciwległy brzeg?. Jaki czas T zostanie zużyty na przeprawę?
h
Odp. ~v = vw cos
π
d
v0 t −
d
2
i
, v0 , ∆l =
2vw d
πv0 ,
T =
d
v0
10. Silnik motorówki, płynącej z prędkością v0 , w pewnym momencie przestaje pracować i zaczyna
ona tracić prędkość, poruszając się w taki sposób, że jej różnica prędkości w porównaniu do
v0 jest proporcjonalna do odległości od miejsca, w którym przerwał pracę silnik. Przyjmując,
że stała proporcjonalności wynosi k, obliczyć drogę, którą przebędzie motorówka do momentu
zatrzymania się. Wyznaczyć zależność położenia od czasu.
Odp. s =
v0
k ,
x(t) =
V0
k (1
− e−kt )
11. Koło o promieniu R toczy się ruchem jednostajnym z prędkością kątową ω po prostej. Zbadać
ruch dowolnego punktu leżącego na obwodzie koła. Podać zależność prędkości v i drogi s przebytej
przez ten punkt od czasu t.
ωt
Odp. x = R(ωt − sin ωt), y = R(1 − cos ωt), v = 2Rω sin ωt
2 , s = 4R(1 − cos 2 )
12. W czterech rogach kwadratowego sufitu o boku a znajdują się cztery pająki. W pewnej chwili
zaczynają ścigać się nawzajem, tzn. poruszają się wszystkie ze stałą co do wartości prędkością
v0 skierowaną wzdłuż prostej łączącej pająka danego z pająkiem poprzedzającym go. Znaleźć:
równania ruchu dowolnego pająka, czas ruchu, równanie toru.
Odp. r =
√
2
2
(a − v0 t), ϕ = − ln 1 −
v0 t a ,
t=
a
v0 ,
r (ϕ) =
√
2
−ϕ
2 ae
13. Kolista tarcza o promieniu R wiruje wokół swojej osi ze stałą prędkością ω. Ze środka tarczy
wyrusza biedronka i porusza się wzdłuż promienia ze stałą prędkością v0 . Znaleźć:
(a) równania ruchu i toru biedronki w nieruchomym układzie odniesienia we współrzędnych
kartezjańskich i biegunowych,
(b) zależność od czasu wartości wektora prędkości v oraz jego składowych radialnej vr i transwersalnej vϕ ,
(c) zależność od czasu wartości wektora przyspieszenia a, jak również jego składowych: radialnej
ar , transwersalnej aϕ , oraz normalnej an i stycznej as ,
(d) zależność wartości promienia krzywizny toru ρ od czasu,
(e) całkowitą długość drogi przebytej przez biedronkę względem nieruchomego układu odniesienia.
Odp.
y
x
= tg
ω
v0
p
x2 + y 2 , r =
ar = −v0 ω 2 t, aϕ = 2v0 ω, as =
v0
ω ϕ;
vr = v0 , vϕ = ωv0 t
2
√v0 ω t ,
1+ω 2 t2
an =
v0 ω (2+ω 2 t2 )
√
;
1+ω 2 t2
ρ=
v2
an
14. Rzeka o szerokości d tworzy zakole o promieniu wewnętrznym D. Prędkość przepływu wody w
zakolu wynosi vw . Pływak przepływa z brzegu wewnętrznego na zewnętrzny w ten sposób, że
cały czas utrzymuje kierunek prostopadły do brzegu zewnętrznego, a jego prędkość względem wody wynosi vp . Znajdź równanie toru pływaka r(ϕ) we współrzędnych biegunowych, przyjmując
początek układu odniesienia w środku zakola. Jakiego odchylenia ∆l, liczonego wzdłuż brzegu zewnętrznego, dozna pływak? Jaką drogę s przebędzie pływak podczas przeprawy? Znajdź
przyspieszenie radialne, transwersalne, styczne i normalne pływaka.
vp
Odp.: r(ϕ) = De vw ϕ , ∆l =
vw
vp (D
+ d) ln D+d
D
2
15. Sternik motorówki, zbliżającej się do małej wysepki postanawia, że będzie zbliżał się do niej ze
stałą prędkością u, jednocześnie okrążając ją ze stałą prędkością kątową ω. Zakładając, że w
momencie rozpoczęcia manewru odległość od środka wysepki wynosiła D, znajdź równanie toru
motorówki we współrzęnych biegunowych oraz składową styczną i normalną przyspieszenia, jak
również promień krzywizny toru jako funkcję bieżącej odległości od środka wyspy r.
Odp.: r(ϕ) = D −
uϕ
ω
16. Ciało porusza się po okręgu o promieniu R ruchem przyspieszonym w taki sposób, że wartość jego
przyspieszenia radialnego jest zawsze k razy większa od wartości przyspieszenia transwersalnego.
Jaką drogę przebędzie to ciało w czasie, w którym jego prędkość wzrośnie n-krotnie?
Odp. s = kR ln n
17. Znaleźć tor, po jakim w płaszczyźnie pionowej xy leci samolotem ponaddźwiękowym pilot, który
chce, aby jego koledzy stojący na lotnisku usłyszeli w tym samym momencie huk silnika z całego
toru. Podać współrzędne końca toru.
v ϕ
− √ dz
v 2 −v 2
dz
Odp. r (ϕ) = r0 e
18. Z nieruchomej szpulki o promieniu R jednostajnie odwijamy nić (długość odwiniętej nici l =
l0 + vt). Znaleźć: a) równania końca naprężonej nici, b) odległość końca nici od środka szpulki
w funkcji czasu, c) długość łuku, jaki zatacza koniec nici w funkcji kąta ϕ, o jaki przesunie się
punkt, w którym nitka odwija się ze szpulki.
Odp. x = R cos(vt/R) + l sin(vt/R), y = R sin(vt/R) − l cos(vt/R), r =
ϕ(l0 + ϕR/2)
p
R2 + (l0 + vt)2 , s =
19. Punkt porusza się po okręgu o promieniu R. Jego prędkość zależy od przebytej drogi w następu√
jący sposób: v = b s, przy czym b to dodatnia stała. Znajdź tangens kąta (w funkcji przebytej
drogi) pomiędzy wektorem prędkości a wektorem całkowitego przyspieszenia.
Odp. tg ϕ =
2s
R
20. Punkt porusza się ruchem opóźnionym po okręgu o promieniu R w taki sposób, że jego przyspieszenia styczne i normalne są sobie w każdej chwili co do modułu równe. W chwili początkowej
t = 0 prędkość punktu wynosiła v0 . Znajdź a) prędkość punktu jako funkcję czasu i przebytej
drogi s, b) całkowite przyspieszenie punktu jako funkcję prędkości i przebytej drogi.
√ 2
√ v2
Odp. a) v = ( Rt + v10 )−1 , v = v0 e−s/R , b) a = 2 vR , a = 2 R0 e−2s/R
3