Milena Dziêbaj praca mgr

Wydział Podstawowych Problemów Techniki
Metody otrzymywania i właściwości optyczne
materiałów z ujemnym współczynnikiem załamania
Praca dyplomowa magisterska
Milena Dziębaj
Opiekun:
dr hab. inŜ. Włodzimierz Salejda prof. PWr.
Wrocław 2006
1
Serdecznie dziękuję
Panu profesorowi Włodzimierzowi Salejdzie
za pomoc, cenne uwagi merytoryczne
i wsparcie w trakcie pisania tej pracy
2
Spis treści
Cel pracy ...........................................................................................................................4
Wykaz waŜniejszych oznaczeń i skrótów.........................................................................5
I Wprowadzenie................................................................................................................6
I.1
Ukryte właściwości równań Maxwella..............................................................7
I.2
Ośrodek „dodatni” ...........................................................................................10
I.3
Ośrodek „ujemny” ...........................................................................................12
II Wytwarzanie metamateriałów.....................................................................................15
II.1
Pierwsze materiały o ujemnych parametrach ..................................................15
Powierzchniowy rezonans plazmowy .......................................................16
II.2
Tablica długich drutów metalicznych..............................................................18
II.3
Rozproszone rezonatory kołowe .....................................................................23
II.4
Pierwszy ośrodek o ujemnym współczynniku załamania ...............................26
II.5
Model linii transmisyjnych..............................................................................27
Symulacja rzeczywistego dielektryka .......................................................28
Symulacja ujemnego współczynnika załamania .......................................34
II.6
Nanostruktury z drutów metalicznych.............................................................37
II.7
Metamateriały dla zakresu widzialnego ..........................................................40
III Eksperymenty ............................................................................................................44
III.1 Pierwsze dowody eksperymentalne.................................................................44
Ujemne załamanie – fikcja czy rzeczywistość? ........................................47
III.2 Modulacja transmisji fali EM ..........................................................................50
III.3 Istnienie fal wstecznych...................................................................................53
III.4 Ujemne załamanie światła ...............................................................................54
IV Zastosowania .............................................................................................................58
IV.1 Perfekcyjna soczewka......................................................................................58
Idealna soczewka płaska............................................................................58
Idealna soczewka sferyczna.......................................................................61
IV.2 Urządzenia mikrofalowe..................................................................................62
IV.3 Najnowsze odkrycia ........................................................................................63
V Transmitancja warstwowych układów optycznych ....................................................65
V.1
Ujemne załamanie fali EM ..............................................................................67
V.2
Polaryzacja typu „s” i „p”................................................................................68
V.3
Dyspersja współczynnika załamania ...............................................................69
V.4
Amplitudowe współczynniki transmisji ..........................................................69
V Podsumowanie ............................................................................................................74
Dodatek A – Iloczyn wektorowy ....................................................................................76
Dodatek B – Magnetyczny potencjał wektorowy...........................................................76
Dodatek C – Teoria linii transmisyjnych ........................................................................78
Dodatek D – Formalizm macierzowy.............................................................................82
Bibliografia .....................................................................................................................84
3
Cel pracy
Zjawisko ujemnego załamania opisane w 1967 roku przez Viktora Veselago wywołało
oŜywioną dyskusję w świecie naukowym w dziedzinie, której zjawiska i rządzące nimi
prawa wszyscy traktowali juŜ jak dogmat. Opisane przez niego ukryte właściwości równań
Maxwella wymogły ponowną dogłębną analizę bardzo dobrze znanych juŜ obszarów
fizyki.
Celem pracy była analiza syntetyczna osiągnięć naukowych związanych
ze zjawiskiem ujemnego załamania fali elektromagnetycznej oraz z wytwarzaniem
sztucznych materiałów dielektrycznych (metamateriałów) na przestrzeni lat 1967-2006.
Uzasadnione było to niesłabnącym w ostatnich latach zainteresowaniem naukowców tym
zagadnieniem i mnogością publikacji dotyczących tematu. Ze względu na dość liczne
głosy krytyki podwaŜające sam fakt istnienia zjawiska ujemnego załamania, w pracy
przedstawiono wyniki kilku najbardziej przełomowych eksperymentów, potwierdzających
moŜliwość przyjmowania przez współczynnik załamania wartości ujemnych, jak równieŜ
inne ciekawe właściwości metamateriałów.
Omówione zostały dotychczasowe osiągnięcia w dziedzinie zwanej niekiedy „nową
optyką”. Podstawy fizyczne dotyczące zjawiska ujemnego załamania oraz sposób
rozumowania, który doprowadził Veselago do przełomowych wniosków, przedstawione
zostały w rozdziale I. Rozdział II stanowi przegląd technologii wytwarzania
metamateriałów począwszy od pierwszych prób uzyskania takiego ośrodka,
aŜ do stworzonego w tym miesiącu metamateriału dla zakresu optycznego. Szereg prób
doświadczalnej weryfikacji właściwości projektowanych ośrodków, z których
te najbardziej udane i o kluczowym znaczeniu dla historii zjawiska ujemnego załamania
zebrane zostały w rozdziale III, otworzył drogę do dyskusji na temat potencjalnych
zastosowań sztucznych ośrodków w Ŝyciu mniej lub bardziej codziennym (rozdział IV).
Rozdział V zawiera wyprowadzenie analitycznych wzorów Fresnela na współczynniki
transmitancji i reflektancji dla dwóch warstwowych układów zawierających elementy
ujemne oraz opis zachowania się fali EM na granicy ośrodka dodatniego i ujemnego wraz
ze schematem polaryzacji poszczególnych składowych fali.
4
Wykaz waŜniejszych oznaczeń i skrótów
Skróty
LHM – Left-Handed Material; ośrodek „ujemny”;
RHM – Right-Handed Material, ośrodek „dodatni”;
ALMW – Array of Long Metallic Wires, tablica długich drutów metalicznych;
SRR – Split-Ring Resonators, rozszczepione rezonatory kołowe;
CSRR – Crossed Split-Ring Resonators, skrzyŜowane rozszczepione rezonatory kołowe;
fala EM – fala elektromagnetyczna;
Oznaczenia
r
E – wektor natęŜenia pola elektrycznego;
r
H – wektor natęŜenia pola magnetycznego;
r
D – wektor indukcji elektrycznej;
r
B – wektor indukcji magnetycznej;
r
S – wektor Poyntinga;
r
k – wektor falowy;
ε0 – przenikalność elektryczna próŜni;
µ0 – przenikalność magnetyczna próŜni;
εr – względna przenikalność elektryczna ośrodka;
µr – względna przenikalność magnetyczna ośrodka;
n – współczynnik załamania światła;
ω – częstość fali elektromagnetycznej;
f – częstotliwość fali elektromagnetycznej;
c – prędkość światła w próŜni;
v ( f ) – prędkość fazowa fali;
v ( g ) – prędkość grupowa fali;
d – grubość warstwy;
rs, rp – amplitudowe współczynniki odbicia dla polaryzacji s i p;
ts, tp – amplitudowe współczynniki transmisji dla polaryzacji s i p;
Γ – macierz charakterystyczna ośrodka;
P – macierz propagacji fali w warstwie dielektrycznej;
D – macierz transmisji fali na granicy ośrodków dielektrycznych;
τ – ślad macierzy 2 x 2;
σ – antyślad diagonalny macierzy 2 x 2;
ς – antysymetryczny antyślad niediagonalny macierzy 2 x 2;
η – symetryczny antyślad niediagonalny macierzy 2 x 2;
ΦD – strumień indukcji elektrycznej;
ΦB – strumień indukcji magnetycznej;
j – wektor gęstości prądu.
5
I Wprowadzenie
W ostatnich kilku latach moŜna zauwaŜyć znaczny wzrost zainteresowania nieznanym
dotąd zjawiskiem tak zwanego ujemnego załamania światła. Za inicjatora tej tendencji
powszechnie uwaŜa się rosyjskiego fizyka Victora Veselago, jednakŜe zjawisko to było
przedmiotem zainteresowania naukowców o wiele wcześniej, bo juŜ na początku XX
wieku [1]. Veselago jednak był pierwszym, który swoje przewidywania wyraził otwarcie
dodatkowo popierając je spójnym i pełnym uzasadnieniem oczekiwanych zjawisk.
W 1967 roku1 Victor Veselago w jednej ze swoich publikacji [1], [2] rozwaŜał
jak zachowywałaby się fala świetlna padająca na wyimaginowany ośrodek
charakteryzujący się obiema jednocześnie ujemnymi przenikalnościami – elektryczną
i magnetyczną. Rok później praca ta przetłumaczona została na język angielski [4].
Veselago rozwaŜania swe oparł na wnikliwej analizie równań Maxwella, dzięki czemu
odkrył nowe i nieoczekiwane ich właściwości. Konsekwencją tego była teza o istnieniu
nowej grupy materiałów charakteryzujących się nieznanymi dotychczas właściwościami,
które radykalnie zmieniłyby wiele dobrze znanych – jak się wydawało – zjawisk. Przez
wiele lat temat ten nie był poruszany z uwagi na swój jedynie teoretyczny charakter i brak
praktycznych moŜliwości realizacji takiego ośrodka. Jednak od końca XX wieku, kiedy
J.B.Pendry i in. po raz pierwszy opisali obiecujące zastosowania hipotezy Veselago
[5]−[7], zjawisko tak zwanego ujemnego załamania nieodmiennie skupia uwagę świata
naukowego.
Niniejszy rozdział zawiera obszerne omówienie teorii wysuniętej przez Victora
Veselago. Podkreślone zostały podstawowe róŜnice między materiałami „dodatnimi”
i „ujemnymi”.
1
W większości publikacji wymieniany jest jednak błędnie rok 1968 jako data pierwszej publikacji Victora
Veselago na ten temat. Obie prace (w języku rosyjskim z roku 1967 jak i w języku angielskim z roku
1968) dostępne są na stronie autora [3].
6
I.1 Ukryte właściwości równań Maxwella
Podstawowymi równaniami elektrodynamiki są równania zaprezentowane w 1873 r. przez
szkockiego matematyka i fizyka Jamesa Clerka Maxwella [8]−[10]. Celem Maxwella było
przedstawienie zjawiska elektromagnetyzmu w jak najprostszy i jednolity sposób.
Równania te – znane dziś jako równania Maxwella – mają następujące postacie2
Postać
róŜniczkowa
Postać
całkowa
r
Sens
fizyczny
r
r
∇ ⋅ D = ρV
ε 0 ∫ E ⋅ d s = ∫ ρV ⋅ dV = Q Prawo Gaussa dla elektryczności –
r
r
∂ B
∇×E = −
∂ t
r r
dΦ B
d
E
⋅
l
=
−
∫
dt
L
źródłem pola elektrycznego są ładunki
S
r
∇×B = 0
r r
B
∫ ⋅ ds = 0
r
r r ∂D
∇×H = j +
∂t
∫ B ⋅ d l = µ 0  ε 0
S
r
r

L
dΦ E

+I
dt

Prawo indukcji Faradaya – zmienne
w czasie pole magnetyczne wytwarza
wirowe pole elektryczne
Prawo Gaussa dla magnetyzmu – pole
magnetyczne jest bezźródłowe, linie
pola magnetycznego są zamknięte
Prawo Ampere’a–Maxwella – zmienne
pole elektryczne oraz przepływający
prąd
wytwarzają
wirowe
pole
magnetyczne
Dodatkowo, równania materiałowe mają postać
r
r
r
D = εE = ε 0 ε r E ,
r
r
r
B = µH = µ 0 µ r H .
(1.1)
(1.2)
Na granicy dwóch ośrodków fala elektromagnetyczna musi spełniać następujące warunki
r
ciągłości składowych stycznych wektorów natęŜenia pola elektrycznego E
r
r
i magnetycznego H i składowych normalnych wektorów indukcji elektrycznej D (1.1)
r
i magnetycznej B (1.2):
D1 ⊥ = ε 1 E1 ⊥ = ε 2 E 2 ⊥ = D2 ⊥
B1 = B2
⊥
⊥
E1 = E 2
||
||
||
H1
=
||
B1
µ1
=
B2
||
µ2
(1.3)
= H2
||
gdzie E1⊥ , E 2⊥ , D1⊥ , D2⊥ to składowe wektora natęŜenia i indukcji pola elektrycznego
normalne do kierunku propagacji fali elektromagnetycznej odpowiednio dla ośrodka 1 i 2,
analogicznie B1⊥ , B2⊥ – składowe prostopadłe wektora indukcji magnetycznej,
zaś E1|| , E 2|| , B1|| , B2|| , H 1|| , H 2|| – składowe styczne.
2
Spis uŜywanych w pracy oznaczeń znajduje się na stronie 5.
7
Victor Veselago [4] zauwaŜył dwa dodatkowe rozwiązania znanej równości opisującej
związek współczynnika załamania ośrodka i jego przenikalności elektrycznej
i magnetycznej
n2 = ε r ⋅ µr .
(1.4)
Dopuszczając wartości zespolone, uzyskał cztery moŜliwe pierwiastki powyŜszego
równania
n = + ε r ⋅ µr
n = + (−ε r ) ⋅ (− µ r )
,
n = − ε r ⋅ µr
,
n = − (−ε r ) ⋅ (−µ r )
(1.5)
Aby sprawdzić, które z powyŜszych moŜliwości są dopuszczalne, Vesalago rozpatrzył
równania Maxwella dla monochromatycznej fali płaskiej o postaci
rr
r r
E = E0 ⋅ ei⋅(k⋅r −ω⋅t ) ,
rr
r r
B = B 0 ⋅ ei⋅(k⋅r −ω⋅t ) .
(1.6)
(1.7)
Równania Maxwella dla takiej fali prowadzą do równości
r r
r
k × E = µ0 ⋅ µr ⋅ ω ⋅ H ,
r r
r
k × H = −ε 0 ⋅ ε r ⋅ ω ⋅ E ,
(1.8)
(1.9)
r
r
gdzie E – wektor natęŜenia pola elektrycznego, H – wektor natęŜenia pola
r r
magnetycznego, k̂ – wersor na kierunek k , k – wektor falowy
r n ⋅ω
k=
⋅ kˆ
c
(1.10)
Uwzględniając wzór
(1.10) otrzymujemy następujące równania:
r
n ⋅ω ˆ r
⋅ k × E = µ0 ⋅ µr ⋅ ω ⋅ H ,
c
r
n ⋅ω ˆ r
⋅ k × H = −ε 0 ⋅ ε r ⋅ ω ⋅ E ,
c
(1.11)
(1.12)
z których wynikają następujące cztery moŜliwe rozwiązania:
•
•
jeŜeli µ r > 0 , to n > 0 ;
jeŜeli µ r < 0 , to n < 0 ;
8
•
jeŜeli ε r > 0 , to n > 0 ;
•
jeŜeli ε r < 0 , to n < 0 .
Następnie zestawiając wszystkie przypadki otrzymujemy tylko dwie moŜliwości zgodne
z równaniami Maxwella i nie zmieniające ich postaci:
•
•
gdy µ r > 0 i ε r > 0 , to n > 0
gdy µ r < 0 i ε r < 0 , to n < 0
(1.13)
(1.14)
Oznacza to, iŜ równania Maxwella dopuszczają dwa spośród przytoczonych wcześniej
zespolonych równań na bezwzględny współczynnik załamania ośrodka
n = + ε r ⋅ µr ,
(1.15)
n = − (−ε r ) ⋅ (− µ r ) .
(1.16)
Pierwsza z powyŜszych zaleŜności (1.15) odpowiada ośrodkowi określanemu przez
Veselago mianem prawoskrętnego, zaś druga (1.16) tak zwanemu ośrodkowi
lewoskrętnemu.
Opisywane tu materiały, ze względu na swoją krótką historię, nie mają jeszcze
jednoznacznie ustalonej nazwy. W głównych pozycjach literaturowych [4] zauwaŜyć
moŜna pewną dowolność w tej kwestii. Ośrodki charakteryzujące ujemne załamanie
nazywane są na przykład materiałami lewoskrętnymi3, jednak określenie to zostało
juŜ uŜyte w opisie ośrodków chiralnych [12]. Innym zaproponowanym terminem jest
materiał wsteczny4 uŜyty przez Lindell’a i in. [13], jednak termin ten z góry narzuca
definicję kierunku wstecznego oraz stwarza problemy przy opisie innych niŜ płaskie czoła
fali. Ziółkowski i Heyman w swojej pracy [14] uŜywają określenia materiał podwójnie
ujemny 5 , które wyraźnie sugeruje jednoczesną ujemność rzeczywistych składowych
przenikalności elektrycznej i magnetycznej, jednak nie podkreśla dostatecznie znaczenia
efektów rozpraszania. Kolejnymi spotykanymi w wielu publikacjach terminami są materiał
o ujemnym współczynniku załamania6 oraz materiał o ujemnej prędkości fazowej7, które
są dość trafnymi nazwami dla tego typu ośrodków. W tej pracy uŜyte zostały dwa ostatnie
określenia, jak równieŜ ośrodek „dodatni” oraz ośrodek „ujemny” intuicyjnie odnoszące
się do dodatniego i ujemnego kąta załamania w omawianych ośrodkach. Ponadto naleŜy
mieć na uwadze, iŜ uŜywane tu określenie metamateriał domyślnie oznacza sztuczny
materiał ujemnie załamujący fale elektromagnetyczne.
3
LHM (left-handed medium)
BW (backward medium)
5
DNG (double negative medium)
6
NIM (negative index medium)
7
NPV (negative phase-velocity medium)
4
9
I.2 Ośrodek „dodatni”
Ośrodki, których współczynnik załamania opisać moŜna wzorem (1.15), zwane przez
Veselago ośrodkami prawoskrętnymi, stanowią dobrze poznaną grupę powszechnie
istniejących materiałów. Propagacja fal elektromagnetycznych przez takie ośrodki
jest przedmiotem zainteresowania między innymi optyki czy akustyki i została juŜ
wielokrotnie i wyczerpująco omówiona [8]−[10], [15]. Zachowanie fali EM w takim
r r
r
ośrodku określają prawa odbicia i załamania [10], zaś wektory E , H i k opisujące falę
tworzą prawoskrętną trójkę (Rys. 3).
Szybkość, z jaką fala elektromagnetyczna przemieszcza się w przestrzeni określić
moŜna mierząc jak zmienia się połoŜenie pewnego jej fragmentu, czyli jak szybko
w ośrodku przemieszcza się jej faza [10]. Mówimy wtedy o prędkości fazowej fali v ( f )
i taki opis dobrze sprawdza się w przypadku fali monochromatycznej. JeŜeli mamy
do czynienia z falą modulowaną – jaką jest rzeczywista fala elektromagnetyczna – złoŜoną
z kilku sinusoidalnych fal składowych o róŜnej częstotliwości, to prędkość propagacji
energii moŜe być inna niŜ prędkość fazowa fal składowych. Wtedy mówimy o prędkości
przemieszczania się obwiedni lub paczek falowych, czyli o prędkości grupowej fali v ( g )
(Rys. 1).
Rys. 1 Dwie fale sinusoidalne y1 i y2 o zbliŜonych częstotliwościach i długościach fal oraz
obwiednia ich sumy (linia przerywana) rozchodzi się z prędkością grupową [16].
Prędkość fazową moŜna opisać zaleŜnością
v( f ) =
ω
k
=λ⋅ f =ω
λ
.
2π
(1.17)
PoniewaŜ dla fal elektromagnetycznych częstość ω zaleŜna jest od wektora falowego
(długości fali)
ω (k ) =
ck
,
n( k )
(1.18)
10
więc prędkość fazowa wyraŜa się jako
v( f ) =
c
,
n(k )
(1.19)
gdzie n(k ) jest współczynnikiem załamania dla danej liczby falowej k =
2π
λ
.
Analizując wzór (1.19) moŜna zauwaŜyć, Ŝe gdy n<1 prędkość fazowa moŜe
przekroczyć prędkość światła. Nie oznacza to jednak moŜliwości przekazu informacji
z prędkością większą niŜ prędkość światła8. Szybkość przepływu informacji określa
prędkość grupowa, rozumiana jako prędkość przemieszczania się fali modulowanej. Jako
Ŝe prędkość grupowa zawiera w sobie informację o tempie transportu energii, więc
z punktu widzenia dynamiki ma ona większe znaczenie niŜ prędkość fazowa. Prędkość
grupową określa równanie
v(g) =
∂ω
=
∂k
c
n +ω
∂n
∂ω
(1.20)
i jest ona mniejsza od prędkości światła c , czyli teoria względności nie zostaje naruszona.
∂n
>> 1 . Mówimy
∂ω
wówczas o świetle spowolnionym, co jest zagadnieniem intensywnie badanym w ostatnich
latach [17].
Prędkość grupowa moŜe osiągać małe wartości v ( g ) << c dla
ω
Poglądowe symulacje dotyczące prędkości grupowej i fazowej zamieszczone są
w Internecie na stronach [18]−[20].
8
Fala sinusoidalna ma z góry ustaloną postać na początku i na końcu kanału transmisyjnego, więc nie moŜna
w niej zawrzeć Ŝadnej informacji [16].
11
I.3 Ośrodek „ujemny”
Materiał zaproponowany w 1967 r. przez Vesalago [1] był fikcją naukową –
charakteryzował się ujemnym współczynnikiem załamania. Cecha ta powoduje, Ŝe faza
fali przechodzącej przez taki ośrodek zmniejsza się zamiast zwiększać, jak to się dzieje
w ośrodkach prawoskrętnych. Vesalago podkreślał, Ŝe ta podstawowa róŜnica między
ośrodkami prawoskrętnymi i lewoskrętnymi ma decydujący wpływ na niemalŜe wszystkie
zjawiska elektromagnetyczne. Wiele niespotykanych dotąd dla ośrodków prawoskrętnych
efektów badanych jest do dziś [21].
Najłatwiej zauwaŜalnym efektem, wynikającym z ujemnej wartości współczynnika
załamania, jest zmiana kąta ugięcia się fali załamanej na granicy ośrodków o przeciwnych
znakach współczynnika załamania – doznaje ona ugięcia po tej samej stronie normalnej
(Rys. 2). JeŜeli wartości współczynnika załamania obu materiałów są jednakowe, fala
załamana moŜe nie być w ogóle obecna [22].
OP
nP > 0
OL
nL < 0
VL(f)
L
P
Vp(f)
VL(g)
Vp(g)
Rys. 2 Załamanie fali elektromagnetycznej na granicy ośrodka prawo- i lewoskrętnego.
JeŜeli porównamy przytoczone wcześniej równania Maxwella (1.11) i (1.12)
dla ośrodka prawoskrętnego, któremu odpowiada dodatnia wartość współczynnika
załamania (1.15) oraz dla ośrodka lewoskrętnego o ujemnym współczynniku (1.16),
odkryjemy podstawową róŜnicę między tymi ośrodkami.
12
Analizując równania (1.11) i (1.12) dla pierwszej z dopuszczonych moŜliwości (1.13),
gdzie wszystkie parametry są większe od zera, postać przytoczonych równań nie zmienia
się. Po opuszczeniu wartości skalarnych, moŜna zapisać
r r
kˆ × E = H ,
r r
kˆ × H = E ,
(1.21)
(1.22)
co zgodnie z właściwościami iloczynu wektorowego (Dodatek A) oznacza prawoskrętność
r r r
trójki wektorów E , H i k jak zostało to pokazane na Rys. 3.
Rys. 3 Wzajemne połoŜenie wektorów natęŜenia pola elektrycznego, magnetycznego,
wektora falowego oraz wektora Poyntinga w ośrodkach „dodatnich”.
JeŜeli natomiast weźmiemy pod uwagę drugą moŜliwość (1.14), gdzie wszystkie
parametry są mniejsze od zera, równania (1.11) i (1.12) przyjmą postać
r
− n ⋅ω ˆ r
⋅ k × E = µ 0 ⋅ (− µ r ) ⋅ ω ⋅ H ,
c
r
( − n) ⋅ ω ˆ r
⋅ k × H = −ε 0 ⋅ (−ε r ) ⋅ ω ⋅ E .
c
(1.23)
(1.24)
Analogicznie po opuszczeniu wartości skalarnych zapisać moŜna jako
r r
kˆ × E = H ,
r
r
kˆ × H = −E .
(1.25)
(1.26)
Zgodnie ze wspomnianymi juŜ właściwościami iloczynu wektorowego odpowiada
r r r
to lewoskrętnej trójce wektorów E , H i k (Rys. 4).
13
Rys. 4 Wzajemne połoŜenie wektorów natęŜenia pola elektrycznego, magnetycznego,
wektora falowego oraz wektora Poyntinga w ośrodkach „ujemnych”.
Wektor Poyntinga, definiowany jest za pomocą iloczynu wektorowego
r
1 r r r r
S=
E× B = E× H ,
µ0
(1.27)
r r
r
gdzie E , B i H są chwilowymi wartościami pola elektromagnetycznego w danym
punkcie. Po raz pierwszy wprowadzony został przez Johna Henry’ego Poyntinga [8]-[10]
i określa kierunek transportu energii przez falę elektromagnetyczną. Jednostką wektora
 J 
Poyntinga w układzie SI jest  2  . Za jego pomocą opisać moŜna szybkość przepływu
m s
energii płaskiej fali elektromagnetycznej przez jednostkową powierzchnię. Jak widać
r
na Rys. 3, w ośrodku dodatnim kierunek i zwrot wektora Poyntinga S są takie same
r
jak wektora falowego k , co oznacza Ŝe energia propaguje się zgodnie z kierunkiem
r r
rozchodzenia się fali. W ośrodku ujemnym (Rys. 4) kierunki wektorów S i k są zgodne,
ale ich zwroty przeciwne, co oznacza wsteczną propagację energii fali. Fakt ten stanowi
kolejną istotną róŜnicą między ośrodkiem dodatnim i ujemnym. Fala taka określana jest
mianem fali wstecznej9 i zjawisko to opisywał juŜ poczynając od roku 1904 H.Lamb [23],
A.Schuster [24], H.C.Pocklington [25], L.I.Mandel’shtam [26], [27] oraz D.V.Sivukhin
[28].
Jak zostało powyŜej zaznaczone, za przenoszenie informacji w fali odpowiada
prędkość grupowa, zatem jej zwrot wskazuje kierunek propagacji energii przy przejściu
fali EM przez granicę ośrodków dodatniego i ujemnego. Energia w takim układzie
propaguje się tak samo jak w przypadku układu zbudowanego tylko z materiałów
dodatnich, zatem zwrot prędkości grupowej przy przejściu przez granicę ośrodków nie
(g)
(f)
zmienia się. Prędkość grupowa v1
i prędkość fazowa v1
w ośrodku lewoskrętnym
(izotropowym) są równe co do wartości, lecz antyrównoległe. Przechodząc z ośrodka
dodatniego do ujemnego prędkość fazowa zmienia zwrot na przeciwny (Rys. 2).
9
BW – backward wave
14
II Wytwarzanie metamateriałów
Rozdział stanowi podsumowanie dotychczasowych dokonań naukowych dotyczących
metod wytwarzania metamateriałów o ujemnym współczynniku załamania począwszy
od pierwszych prób budowy kompozytów o moŜliwych do projektowania właściwościach
fizycznych aŜ do najnowszych publikacji związanych z tematem pracy. Omówiono dające
się zauwaŜyć analogie pomiędzy ośrodkami naturalnymi a metamateriałami oraz ewolucję
struktury przestrzennej wytwarzanych kompozytów pozwalającą na rozszerzenie
operacyjnego zakresu częstotliwości aŜ do zakresu optycznego.
W naturalnych materiałach dielektrycznych lokalne (mikroskopowe) oddziaływania
elektromagnetyczne między tworzącymi je atomami i cząstkami powodują efekty
na większą (makroskopową) skalę w postaci parametrów materiałowych znanych jako
przenikalność elektryczna i przenikalność magnetyczna. Aby parametry te miały znaczenie
praktyczne, wykluczone musi być zjawisko dyfrakcji fali EM na strukturze materiału,
co sprowadza się do warunku d >> λ , gdzie d to wymiary elementarnej komórki
tworzącej sieć krystaliczną danego materiału. Dla naturalnych dielektryków i fali z zakresu
widzialnego warunek ten jest spełniony, bowiem długość fali świetlnej jest o wiele rzędów
większa od rozmiaru atomu i komórki elementarnej. JeŜeli rozwaŜymy jednak przypadek
promieniowania rentgenowskiego, którego λ ≈ d 10, obserwować będziemy efekty
dyfrakcyjne. Początkowo wytworzenie jakiegokolwiek sztucznego materiału mogącego
symulować materiał naturalny wydawało się nieosiągalne właśnie ze względu na skalę,
jaką naleŜy osiągnąć, aby wyeliminować dyfrakcję światła. JeŜeli jednak uŜyjemy
promieniowania z zakresu mikrofalowego, których długość fali jest rzędu centymetrów,
stworzenie sieci z komórek o rozmiarach mniejszych od długości takich fal nie jest juŜ
abstrakcją. To właśnie miał na myśli Winston E. Kock wprowadzając po raz pierwszy
w 1949 roku w swojej pracy [29] termin „sztuczny dielektryk”. Opisał on
elektromagnetyczne struktury o moŜliwych praktycznie do wytworzenia rozmiarach,
które naśladowałyby sposób oddziaływania naturalnych kryształów z promieniowaniem
EM. Dwa lata wcześniej w swoich pracach [30], [31] Kock badał wielkogabarytowe
anteny wykorzystujące układ płaskich soczewek metalicznych, początkowo nie zdając
sobie sprawy z analogii zachodzących między jego metalicznymi soczewkami
a naturalnymi dielektrykami. Kiedy jego późniejsze badania sztucznych dielektryków
złoŜonych z komponentów o róŜnych kształtach wykazały liczne interakcje
z promieniowaniem EM obserwowane w naturalnych kryształach – idea metamateriałów
przestała być jedynie naukową fikcją.
II.1 Pierwsze materiały o ujemnych parametrach
Metamateriał jest to sztucznie wytworzony ośrodek, którego właściwości fizyczne
wynikają nie tylko z rodzaju tworzących go elementów, ale głównie z jego struktury
przestrzennej. Inspiracja metamateriałoznawców i technologów hipotezą Veselago [4]
zaowocowała kilkoma propozycjami takich ośrodków [32]–[37]. Głównym załoŜeniem
było podejście do kaŜdego materiału naturalnie występującego w przyrodzie
jak do kompozytu złoŜonego z atomów i cząstek, których rodzaj i wzajemne ułoŜenie mają
decydujący wpływ na elektromagnetyczne właściwości danego ośrodka i sztuczne
10
Dla kryształu NaCl długość boku komórki elementarnej wynosi 0.562737 nm zaś długość fali
promieniowania X jest rzędu 0.1 nm – dla porównania światło Ŝółte ma długość fali równą 589 nm [16].
15
wytworzenie analogicznego materiału tylko na większą skalę [7]. Struktura taka miałaby
być zbudowana z powtarzających się komórek elementarnych (zwanych takŜe
„fotonicznym atomem”) o rozmiarach znacznie mniejszych niŜ długość fali
elektromagnetycznej, dzięki czemu moŜna by traktować ją jak materiał jednorodny oraz
miała być bardzo lekka, dzięki uŜyciu drobnych i cienkich metalowych elementów.
Jednymi z pierwszych propozycji były ośrodki wytworzone przy uŜyciu tablicy długich
i cienkich drutów metalicznych11 [5], [6], której ε < 0 lub na bazie rozproszonych
rezonatorów kołowych12 o bardzo wysokiej polaryzowalności magnetycznej [7], których
µ < 0 (przy częstotliwościach z zakresu mikrofalowego). Zadaniem tak zaprojektowanych
struktur miała być symulacja zachowania plazmy, w której upatrywano klucza
do wytworzenia ujemnych przenikalności elektrycznej i magnetycznej.
Powierzchniowy rezonans plazmowy
Plazma jest czwartym stanem skupienia obok stałego, ciekłego i gazowego, w jakim moŜe
znaleźć się materia [38]. W stan plazmy przechodzi gaz, jeŜeli zostanie podgrzany
do temperatury tak wysokiej, Ŝe elektrony uwalniane są z orbit atomowych, czyli następuje
jego jonizacja. Ten sam efekt uzyskać moŜna oddziałując bardzo duŜym polem
elektrycznym lub zmiennym polem magnetycznym. Obecność w plazmie swobodnych
ładunków elektrycznych jest przyczyną tego, Ŝe plazma jest stanem przewodzącym i silnie
oddziałuje z polem elektromagnetycznym. Cechą charakterystyczną tego stanu jest funkcja
przenikalności elektrycznej, która poniŜej pewnej częstotliwości zwanej częstotliwością
plazmową, przyjmuje wartości ujemne, co skutkuje urojoną wartością stałej propagacji
energii. Ta właściwość plazmy zaowocowała zainteresowaniem naukowców moŜliwością
modelowania ujemnej wartości przenikalności elektrycznej w sztucznych dielektrykach
wykorzystując zjawisko rezonansu plazmowego.
Plazmon jest kwazicząstką powstałą w wyniku kwantyzacji drgań gęstości ładunku
plazmy na powierzchni metalu. Plazmon powierzchniowy jest elektromagnetyczną falą
powierzchniową, o polaryzacji typu p, propagującą się wzdłuŜ powierzchni styku dwóch
materiałów, których stałe dielektryczne mają przeciwne znaki [10]. Związane z nią jest
zanikające wykładniczo pole elektromagnetyczne prostopadłe do kierunku propagacji fali.
Zmieniając kąt padania lub długość fali promieniowania, które są funkcją współczynnika
załamania, moŜliwe jest wzbudzenie powierzchniowego rezonansu plazmowego13, czego
rezultatem jest skokowy spadek intensywności promieniowania odbitego. Powierzchniowy
rezonans plazmowy jest zjawiskiem fizycznym mogącym wystąpić, gdy płasko
spolaryzowana fala elektromagnetyczna z zakresu widzialnego lub bliskiego ultrafioletu
pada na powierzchnię metalu przy spełnionych warunkach całkowitego wewnętrznego
odbicia [10]. Wtedy pomimo, iŜ padające promieniowanie jest całkowicie odbijane przez
powierzchnię metalu, pole elektromagnetyczne fotonów powierzchniowych rozciąga się
poza powierzchnię metalu na odległość około ¼ długości fali promieniowania.
Materiały naturalne, na przykład metale, mogą zostać doprowadzone do stanu
plazmy, jednak dla nich częstość plazmowa jest tak wysoka, Ŝe odpowiadające jej
promieniowanie EM charakteryzuje się tak małą długością fali, Ŝe zbudowanie komórki
o rozmiarach jeszcze od niej mniejszych jest właściwie niemoŜliwe. NaleŜało zatem
11
ALMW – Array of Thin Metallic Wires
SRR – Split Ring Resonator
13
SPR – Surface Plasmon Resonance
12
16
znaleźć materiał, dla którego stan plazmy występuje przy niŜszej częstości. Zastosowanie
tutaj znalazły opisane przez Kock’a sztuczne dielektryki [29], będące przedmiotem
zainteresowania takŜe kilku innych prac naukowych [39]−[41]. Podsumowania historii
dotyczącej rozwoju sztucznych dielektryków dostarcza praca [42].
Symulacji zachowań plazmowych przy uŜyciu sztucznych dielektryków jako jeden
z pierwszych podjął się w 1962 roku Walter Rotman [43]. Efektem jego pracy był opis
ośrodka dielektrycznego złoŜonego z drutów zorientowanych zgodnie z kierunkiem
wektora falowego przyłoŜonego pola EM oraz ośrodek zbudowany z przewodzących
pasków metalu. Analiza charakterystyk dyspersyjnych potwierdziła, iŜ taki ośrodek jest
dobrą analogią plazmy.
Rys. 5 Schematyczna ilustracja zjawiska powierzchniowego rezonansu plazmowego
(na podstawie: [44], [45]).
Plazmony powierzchniowe traktować moŜna jako powiązane oscylacje przy powierzchni
metalu, których częstotliwość wyznaczona jest przez
ε 1 (ω s ) + ε 2 (ω s ) = 0 ,
(2.1)
gdzie ε 1 i ε 2 to funkcje dielektryczne na obu płaszczyznach oddziaływania metalu
z promieniowaniem. JeŜeli pierwszym ośrodkiem jest próŜnia, a drugim metal i jeŜeli
zaniedbamy rozpraszanie, to
ωs =
ωp
2
,
(2.2)
gdzie częstość plazmowa ω p potrzebna do wywołania tego rezonansu zwyczajowo leŜy
w ultrafiolecie i ma postać
ne 2
ω p2 =
,
(2.3)
ε 0 me
gdzie me − efektywna masą elektronu, zaś n to gęstość elektronów w pojedynczym drucie.
17
Częstość plazmowa nie zaleŜy od długości fali padającego promieniowania, więc cechą
charakterystyczną oscylacji plazmowych jest nieskończona prędkość fazowa i zerowa
prędkość grupowa.
Plazmony mają znaczny wpływ na właściwości metalu i jego sposób oddziaływania
z promieniowaniem elektromagnetycznym, gdyŜ przenikalność dielektryczna ε
następująco zaleŜy od częstotliwości plazmowej
ωp2
,
ε (ω ) = 1 −
ω (ω + iγ )
(2.4)
gdzie γ to współczynnik rozpraszania energii plazmonu w układzie14. Przenikalność
elektryczna takiej struktury jest silnie ujemna dla częstotliwości mniejszych niŜ plazmowa.
II.2 Tablica długich drutów metalicznych
W 1996 roku J.B.Pendry i in. [5], [6] zaproponowali sposób na przesunięcie częstotliwości
rezonansowej aktywującej powierzchniowy rezonans plazmowy w metalach nawet o sześć
rzędów wielkości (tj. w zakres GHz). Opisywany przez nich materiał składał się z bardzo
cienkich drutów metalicznych o średnicy rzędu 1 µm zestawionych w periodyczną sieć
kubiczną o stałej sieci a (Rys. 6). Struktura taka posiada właściwości nie zaobserwowane
dotąd w paśmie GHz. PoniewaŜ druty metaliczne uŜyte do budowy tego materiału
zajmowały znikomą część kaŜdej komórki elementarnej, sieć taka charakteryzowała się
mniejszą koncentracją elektronów, co pozwoliło uzyskać przyrost efektywnej masy
elektronu me .
Rys. 6 Periodyczna struktura złoŜona z cienkich drutów metalicznych, połączonych
na krawędziach i ułoŜonych w kubiczną sieć, (na podstawie: [5])
Równolegle zagadnienie periodycznych struktur sieci metalicznych badała inna
grupa naukowców [46], jednak nie kładli oni szczególnego nacisku na rozmiary
uŜywanych drutów metalicznych, co według Pendry’ego [5], [6] ma kluczowe znaczenie,
bowiem tylko przy takim załoŜeniu, promieniowanie padające na badaną strukturę moŜe
14
Dla prostych metali jest on pomijalnie mały w porównaniu do częstości plazmowej
ωp .
18
wnikać w nią wystarczająco głęboko i jednocześnie nie powodować zjawiska wzajemnej
indukcji między poszczególnymi drutami.
Periodyczne struktury elektromagnetyczne budowane na bazie dielektryków były
kilkukrotnie juŜ opisywane [47]–[50]. Metale natomiast, ze względu na obecne w ich
strukturze elektrony walencyjne umoŜliwiające sprawne przekazywanie energii,
charakteryzują się specyficzną odpowiedzią na promieniowanie elektromagnetyczne,
wiąŜącą się z występowaniem na ich powierzchni plazmowego rezonansu gazu
elektronowego. Idealny metal opisać moŜna przy uŜyciu funkcji dielektrycznej
ε ideal . = 1 −
ω p2
ω2
,
(2.5)
wektor falowy
i wynikająca z niego idealna zaleŜność dyspersyjna przedstawiona została na Rys. 7.
PowyŜej częstotliwości plazmowej powstają dwa poprzeczne asymptotyczne mody,
dla częstości równej częstości plazmowej występuje jeden mod podłuŜny, zaś poniŜej
częstości plazmowej obecne są tylko zanikające mody związane z urojoną wartością
wektora falowego i promieniowanie wnika w metal bardzo płytko.
częstość (w jednostkach częstości plazmowej)
Rys. 7 ZaleŜność dyspersyjna dla światła padającego na idealny metal. [6]
Dla metalu rzeczywistego w zaleŜności (2.5) uwzględnić naleŜy uwzględnić tłumienie
wynikające z rezystancji
ε rzecz.
ω p2
= 1−
.
ω (ω + iγ )
(2.6)
W większości znanych metali (poza nadprzewodnikami) tłumienie przyjmuje znaczące
wielkości dopiero w podczerwieni.
Celem było wytworzenie kompozytowego materiału, który powieliłby charakterystyczne
dla metali oddziaływanie z falą elektromagnetyczną, ale dla zakresu GHz. Pendry
rozpatrzył propagację promieniowania wzdłuŜ oś OZ i za aktywne uznał tylko druty
do niej równoległe.
19
r
a
Rys. 8 Tablica cienkich drutów metalicznych równoległych do osi z i uporządkowanych
w kwadratową sieć w płaszczyźnie x-y (na podstawie [6])
W takim układzie tylko część przestrzeni wypełniona jest metalem, więc efektywna
gęstość elektronów jest mniejsza niŜ w metalu jednorodnym i wynosi
nef = n
π r2
a2
,
(2.7)
gdzie n – gęstość elektronów w pojedynczym drucie, r – promień drutu, a – stała siatki.
Dominujące znaczenie ma fakt, Ŝe samoindukcja drutów zaleŜy takŜe od ich
wzajemnego ułoŜenia przestrzennego i maleje logarytmicznie wraz z odległością od osi
drutu. NatęŜenie pola magnetycznego wokół kaŜdego drutu w zaleŜności od odległości R
od jego osi opisać moŜna zaleŜnością
H( R) =
I
2πR
=
π r 2 nve
,
2πR
(2.8)
gdzie I to natęŜenie prądu płynącego przez drut, zaś v to średnia prędkość ruchu
elektronów. Wektorowo pole magnetyczne wokół drutu moŜna opisać jako
H ( R ) = µ 0−1 ∇ × A( R ) ,
(2.9)
gdzie A to magnetyczny potencjał wektorowy (Dodatek B) równy
µ 0π r 2 ve  a 
A( R ) =
ln  .
2π
R
(2.10)
20
Biorąc pod uwagę dodatkowy wkład elektronów w polu magnetycznym do ich momentu
wektorowego, moment na jednostkę długości drutu wynosi
(
)
2
µ0 e 2 π r 2 n v  a 
eπ r nA(r ) =
ln  = mef π r 2v ,
2π
r
2
(2.11)
gdzie mef jest masą efektywną elektronów daną zaleŜnością
µ 0 e 2π r 2 n  a 
mef =
ln  .
2π
r
(2.12)
Masa efektywna elektronów w badanej przez Pendry’ego strukturze była równa
mef = 2,4808 × 10 −26 kg = 2,7233 × 10 4 ⋅ me = 14,83 ⋅ m p gdzie me jest masą elektronu a m p
masą protonu. Tak duŜa masa efektywna miała wpływ na zmianę wartości częstości
plazmowej
ω p2 =
nef e 2
ε 0 mef
=
2π c 02
a ln (a r )
2
= 5,15 × 1010 rad ⋅ s −1 = 8,20 GHz
(2.13)
Realizacja geometryczna badanej struktury przedstawiona została na Rys. 9.
Ze względu na łatwość wytworzenia i cenę, model Pendry’ego składał się
ze skrzyŜowanych pod kątem 90º arkuszy polistyrenowych, rozsuniętych na odległość
3 mm, wypełnionych cienkimi, powleczonymi złotem, wolframowymi drutami o średnicy
20 µm.
Rys. 9 Realizacja geometryczna struktury o ujemnej przenikalności elektrycznej [6].
Na podstawie równania (2.13) wyjaśnić moŜna dlaczego kluczowe znaczenie
w rozumowaniu Pendry’ego odgrywały małe rozmiary poprzeczne drutów. Gdyby druty
nie były cienkie, czynnik ln(a r ) byłby bliski 1. Wtedy długość fali w próŜni przy
częstotliwości
plazmowej
wynosiłaby
λ0 p
 2π c02 

= 2π
= 2π c 0  2
 a ln (a r ) 
ωp


c0
−1
2
≈ a 2π ,
21
2 ln(a r )
. Zatem
3π
gdyby druty tworzące badany materiał nie miały małego promienia, długość fali λ0 p
byłaby rzędu stałej siatki i pojawiłyby się efekty dyfrakcyjne, zaś promieniowanie bardzo
płytko wnikałoby do struktury.
zaś głębokość penetracji promieniowania w strukturę byłaby równa a
Eksperyment potwierdził przewidywane właściwości trójwymiarowych struktur
zbudowanych z cienkich drutów metalicznych. Warunkiem koniecznym okazały się
odpowiednie wymiary drutów, które muszą być wystarczająco długie i cienkie. Taka
geometria struktury zaproponowanej przez Pendry’ego [6] pozwoliła na obniŜenie
częstości plazmowej.
22
II.3 Rozproszone rezonatory kołowe
Przedstawiając hipotezę dotyczącą ujemnego załamania fali EM Veselago [2] zdawał sobie
sprawę z tego, Ŝe uzyskanie ujemnej przenikalności magnetycznej będzie stwarzało więcej
trudności niŜ uzyskanie ujemnej przenikalności elektrycznej, czego główną przyczyną jest
brak dowodów na istnienie elementarnej cząstki magnetycznej – monopolu
magnetycznego. Jednak w 1999 roku Pendry i inni [7] opisali sztuczne ośrodki
o niezwykłych właściwościach magnetycznych. Zaprezentowany przez Pendry’ego
posiadał pojemność, która wraz z naturalnie występującą indukcją wynikającą ze struktury
przestrzennej uŜytych pierścieni, dała efekt w postaci odpowiedzi rezonansowej opisanej
przez efektywną przenikalność magnetyczną
πr 2
µ eff = 1 −
a2
2ljρ
3l
− 2
1−
ωrµ 0 π µ 0ω 2 Cr 3
,
(2.14)
gdzie r – promień pierścienia uŜytego w SRR, a – odległość między osiami sąsiadujących
SRR leŜących w jednej płaszczyźnie, l – odległość między płaszczyznami, ρ – oporność
metalu, C – pojemność pomiędzy dwoma płaszczyznami metalu.
Z równania (2.14) wynika, Ŝe materiał złoŜony z tablic SRR charakteryzowałby się ujemną
przenikalnością magnetyczną dla częstości bliskich rezonansowym i ograniczony byłby
tylko rezystywnością uŜytego metalu. Częstość rezonansowa wyraŜa się wzorem
ω0 =
3l
π µ 0 Cr 3
(2.15)
2
.
JeŜeli załoŜymy, Ŝe ρ → 0 , to ze wzoru (2.14) wynika, Ŝe ujemne wartości µ eff przyjmie
wówczas, gdy drugi czynnik w mianowniku będzie większy od 1, co odpowiada częstości
plazmowej wyraŜonej jako
3l
ω mp =
 πr 2 
(2.16)
π 2 µ 0 Cr 3 1 − 2 
a 

,
gdzie
π r2
a2
przez SRR.
= F to współczynnik wypełnienia informujący o stopniu wypełnienia komórki
Umieszczone w powietrzu tablice SRR mają pasmo zabronione w pobliŜu zakresu
częstości pomiędzy ω 0 a ω mp co sugerować moŜe, Ŝe w tym zakresie przenikalność
magnetyczna przyjmuje wartości ujemne. Jest to zjawisko wąskopasmowe, jednak moŜna
częstość plazmową umieścić w obszarze GHz, powodując tym samym rozszerzenie
wspomnianego wyŜej zakresu.
23
Typowe rozproszone rezonatory kołowe (SRR) formowane są z pary
przewodzących pierścieni nadrukowanych na dielektryku (Rys. 10). Mechanizm
powstawania ujemnej przenikalności magnetycznej jest następujący: zmienne w czasie
pole magnetyczne przyłoŜone wzdłuŜ osi pierścienia indukuje przepływ prądu, który
w zaleŜności od oporności pierścienia wytwarza przeciwne pole magnetyczne
wzmacniające lub przeciwdziałające polu indukującemu [51]. Pierścienie tworzące SRR
posiadają przerwy, dzięki czemu rezonans moŜe zostać osiągnięty przy uŜyciu długości fali
wielokrotnie przekraczających średnicę pierścieni (typowe wymiary pierścieni to około
jedna dziesiąta długości fali padającego promieniowania). Celem takiej geometrii układu
jest generacja moŜliwie największej pojemności magnetycznej w małej przestrzeni
pomiędzy pierścieniami, co pozwala znacząco obniŜyć częstotliwość rezonansu
i skoncentrować pole elektryczne w obszarze SRR [32].
Rys. 10 Pojedynczy rozszczepiony rezonator kołowy zbudowany z dwóch niepełnych
pierścieni. Przerwy w pierścieniach zorientowane są przeciwnie.
Odpowiedź SRR bezpośrednio zaleŜy od oddziałującego na pierścienie pola
magnetycznego [52]. Pole elektryczne takŜe moŜe mieć swój wkład do rezonansu,
ale zaleŜy on od jego orientacji względem przerw w pierścieniach tworzących SRR.
Wynika z tego, iŜ SRR jest w ogólności strukturą anizotropową, a w celu wytworzenia
jednorodnego izotropowego metamateriału, struktury SRR często formowane są
w kubiczne sieci, jak pokazane to zostało na Rys. 11.
Rys. 11 Sześcienna sieć złoŜona z SRR.
24
Olivier J.F. Martin opisał pokrewne struktury SRR o lepszych właściwościach
magnetycznych [52]. Strukturą magnetyczną wykazującą jeszcze większą izotropię
są skrzyŜowane rozszczepione rezonatory kołowe (CSRR)15 zbudowane z dwóch
prostopadle ustawionych SRR. KaŜdy rozszczepiony rezonator kołowy zbudowany jest
z dwóch aluminiowych pierścieni o średnicy 15 mm i 20 mm, osadzonych na słabo
przewodzącej piance. Zmierzona odpowiedź elektromagnetyczna CSRR okazała się być
idealnie izotropowa w płaszczyźnie poziomej niezaleŜnie od obrotu wokół osi badanej
struktury [52]. Olivier J.F. Martin zasymulował numerycznie trzy róŜne typy geometrii
CSRR dla dwóch skrzyŜowanych elementów SRR Rys. 12 oraz dwa typy geometrii CSRR
dla trzech skrzyŜowanych elementów SRR Rys. 13.
Rys. 12 Trzy typy geometrii podwójnego CSRR: (a) przerwy dwóch skrzyŜowanych SRR
umieszczone są na tym samym biegunie CSRR; (b) na biegunach przeciwnych;
(c) obrócone o 45o kaŜda w przeciwne strony
Izotropią w płaszczyźnie XY wykazały się struktury CSRR (a) i (b) przedstawione
na Rys. 12, zaś struktura (c) jest izotropowa tylko dla pewnych kierunków propagacji
i nie kaŜdy kierunek propagacji jest w stanie w ogóle wywołać jej rezonans. Przyczyną są
róŜnice w rozmieszczeniu przerw w pierścieniach tworzących struktury SRR – dla (a) i (b)
ulokowane są one tak, Ŝe przepływ ładunku nie jest zaburzony, w przypadku (c) następuje
zwarcie.
Rys. 13 Dwa typy geometrii potrójnego CRSS: (a) z trzech identycznych elementów SRR
wzajemnie prostopadłych; (b) z trzech elementów SRR o róŜnych rozmiarach.
Potrójne CSRR charakteryzuje idealna izotropia w trzech wymiarach (niezaleŜnie
od kierunku padania fali elektromagnetycznej) dla geometrii przedstawionej na Rys. 13
(b), ale w przypadku (a) kaŜda ze struktur SRR jest zwarta przez pozostałe dwie.
15
CSRR – Crossed Split Ring Resonators
25
II.4 Pierwszy ośrodek o ujemnym współczynniku załamania
Pierwszy metamateriał ujemnie załamujący fale EM zaproponowany został
przez D.R.Smith’a [32]−[35]. Materiał miał postać trójwymiarowej tablicy zbudowanej
z komórek zawierających rozproszone rezonatory kołowe [6] i cienkie druty metaliczne [7]
(Rys. 14). Opisane struktury wykorzystują rozproszone rezonatory kołowe do wytworzenia
ujemnej przenikalności magnetycznej i drutów metalicznych do wytworzenia ujemnej
przenikalności elektrycznej w pewnych – częściowo pokrywających się – pasmach
częstotliwości. W ten sposób otrzymano okno częstotliwości, gdzie przenikalności
magnetyczna µ i elektryczna ε są jednocześnie ujemne.
UŜyte przez Smitha rozproszone rezonatory miały postać dwóch kwadratowych
miedzianych pierścieni grubości c = 0,25 mm z przerwą równą g = 0,46 mm, odległych
od siebie o d = 0,3 mm. Zewnętrzny wymiar pojedynczego SRR wynosił w = 2,62 mm,
a uŜyte druty metaliczne miały długość 1 cm. Komórka elementarna zbudowana była
ze skrzyŜowanych, osadzonych na podłoŜu krzemowym sześciu rozproszonych
rezonatorów kołowych (SRR) i dwóch cienkich drutów metalicznych (ALMW).
Rys. 14 (a) pojedynczy rezonator kołowy (SRR); (b) komórka elementarna metamateriału
o stałej siatki 0,5 cm [35].
Dla takiego materiału Smith uŜył następujących wzorów opisujących przenikalności
µ eff (ω ) = 1 −
F ⋅ ω 02
,
ω 2 − ω 02 − jωγ
ε eff (ω ) = 1 −
ω ep2
ω2
.
(2.17)
(2.18)
W oparciu o powyŜsze równania zostało udowodnione [53], Ŝe taki ośrodek osadzony
w próŜni posiada analogię w postaci modelu opartego na linii transmisyjnej z elementami
indukcyjnymi L, pojemnościowymi C i rezystancyjnymi (Rys. 15).
26
Rys. 15 Model linii transmisyjnych dla ośrodka zbudowanego z komórek elementarnych
zawierających cienkie druty metaliczne i rozszczepione rezonatory kołowe [65].
Odkrycie tego ośrodka było przełomem w historii metamateriałów. Po weryfikacji
eksperymentalnej [54], która potwierdziła oczekiwania (taki materiał posiada ujemny
współczynnik załamania dla promieniowania mikrofalowego z pewnego zakresu
częstotliwości), coraz śmielej zaczęto wierzyć (choć nie wszyscy [55]), iŜ zaskakująca
teoria Veselago znajdzie swe zastosowanie praktyczne.
II.5 Model linii transmisyjnych
Zachowanie się fali EM przy przejściu przez dowolny ośrodek opisują dobrze znane juŜ
równania Maxwella
r
r
∇ × E = − jω B ,
r r
r
∇ × H = J + jωD ,
(2.19)
(2.20)
które w jednorodnymm izotropowym ośrodku uzupełnione są przez równania materiałowe,
ściśle zaleŜne od częstości padającego promieniowania
r
r
B = µ (ω )H ,
r
r
D = ε (ω )E .
(2.21)
(2.22)
Nowe podejście do tych dobrze znanych podwalin współczesnej fizyki
zaprezentowali prawie równocześnie w 1944 roku Gabriel Kron [62], przedstawiając
jednocześnie numeryczna procedurę rozwiązywania równań Maxwella w tej nowej postaci
[63] oraz J.R.Whinnery i S.Ramo [64]. Udowodnili oni, Ŝe dzięki dyskretyzacji
przestrzennej równań Maxwella moŜna zastosować je dla obwodów RLC, gdzie ich pełną
analogią są równania prądowo-napięciowe Kirchhoffa, co było pierwszym krokiem
w kierunku stworzenia modelu naturalnych ośrodków dielektrycznych opartych
na obwodach RLC.
27
Kluczem do wytworzenia sztucznego dielektryka było zbudowanie takiego modelu,
który umoŜliwiałby odnalezienie bezpośrednich analogii do ośrodków spotykanych
w naturze. Podstawowym załoŜeniem, które naleŜy w tym celu poczyniono, było podejście
do kaŜdego materiału – zarówno sztucznego jak i naturalnego – jak do sieci pewnych
podstawowych elementów o bardzo małych wymiarach (w naturalnych materiałach
są to atomy i cząstki). Analogie te powinny dać się takŜe zauwaŜyć w zachowaniu fali
elektromagnetycznej padającej na wytworzony materiał – fale o długości porównywalnej
z wymiarami pojedynczego elementu sieci (atomu, cząstki, komórki elementarnej)
powinny doznawać efektów dyfrakcyjnych takich, jak ma to miejsce w ciałach stałych, zaś
fale o długości odpowiednio większej od wymiarów jednostkowych komórek powinny
załamywać się, a takŜe dawać moŜliwość zdefiniowania odpowiedniego dla tego
przypadku współczynnika załamania fali elektromagnetycznej.
Symulacja rzeczywistego dielektryka
Model linii transmisyjnych (Dodatek C) mogący reprezentować naturalny ośrodek
przy uŜyciu sieci rozproszonych reaktancji moŜe być złoŜony z komórek przedstawionych
na Rys. 16.
½
Zx
{ Vy +dVy , Ix + dIx }
½ Zz
½ Zz
{ Vy , Iz }
X
ś
{ Vy , Ix }
O
Y
Oś Y
½
Zx
{ Vy +dVy , Iz + dIz }
Oś Z
Rys. 16 Elementarna komórka modelu linii transmisyjnej dla płaskiego, jednorodnego
ośrodka dielektrycznego.(na podstawie: [65])
Aby podkreślić periodyczność sieci, równania Maxwella (2.19) – (2.22) dla takiego
przypadku rozwiązuje się oddzielnie dla kaŜdej z komórek, dzięki czemu występujące tam
pola elektryczne i magnetyczne moŜna traktować jako statyczne. Zakładamy, Ŝe istnieje
jednostkowa komórka w przestrzeni o wymiarach ∆x, ∆y, ∆z (Rys. 17), której wymiary
są pomijalnie małe w porównaniu do długości fali padającego promieniowania, co pozwala
traktować pole E i H jako statyczne.
28
X
O
ś
x
Rys. 17 Rozkład quasi-statycznych pól w komórce elementarnej (na podstawie: [65])
W przypadku sieci dwuwymiarowej, moŜna przyjąć, Ŝe pole elektromagnetyczne
∂
→ 0 . W takim przypadku wszelkie zjawiska
jest stałe w kierunku y czyli
∂y
elektromagnetyczne zachodzące w komórce opisać moŜna za pomocą kombinacji modów
TEy i TMy. JeŜeli rozwaŜymy mod TMy , dominującymi składowymi pól elektrycznego
i magnetycznego będą Ey, Hx i Hz
∂E y
∂x
∂E y
∂z
= − jωµ (ω ) H z ,
(2.23)
= + jωµ (ω ) H x ,
(2.24)
∂H x ∂H z
−
= + jωε (ω ) E y .
∂z
∂x
(2.25)
Dyskretyzacja przestrzenna równań Maxwella prowadzi do następujących wyraŜeń:
E y ( x 0 + ∆x, z 0 ) − E y ( x0 , z 0 ) = − jωµ (ω ) H z ∆x ,
(2.26)
E y ( x 0 , z 0 + ∆z ) − E y ( x0 , z 0 ) = + jωµ (ω ) H x ∆z ,
(2.27)
[H x ( x0 , z 0 + ∆z ) − H x ( x0 , z 0 )] ⋅ ∆x − [H z ( x0 + ∆x, z 0 ) − H z ( x0 , z 0 )] ⋅ ∆z =
= + j ⋅ ω ⋅ ε (ω ) ⋅ E y ( x0 , y 0 ) ⋅ ∆x ⋅ ∆z
(2.28)
RóŜnicę potencjałów w elementarnej komórce definiuje się jako
a'
r
Va ' − Va = − ∫ E ⋅ dl ,
(2.29)
a
29
zaś natęŜenie prądu
r
I = ∫ H ⋅ dl ,
(2.30)
C
gdzie a-a’ to dowolna ścieŜka łącząca dolną i górną ścianę sześciennej komórki
elementarnej, zaś C to odpowiednio wybrany zamknięty przekrój przez powierzchnie
dolną i górną. Jako Ŝe pole elektromagnetyczne jest lokalnie niezmienne, otrzymujemy
V y = E y ∆y ,
(2.31)
I z = − H x ∆x ,
(2.32)
I x = H z ∆z ,
(2.33)
natomiast impedancje i admitancje moŜna zdefiniować jako
∆x ⋅ ∆y
,
∆z
∆y ⋅ ∆z
Z z = jωµ (ω )
,
∆x
∆x ⋅ ∆z
Y = jωε (ω )
.
∆y
Z x = jωµ (ω )
(2.34)
(2.35)
(2.36)
W związku z tym poprzednie równania (2.26)–(2.28) przechodzą do postaci
V y ( x0 + ∆x, z 0 ) − V y ( x0 , z 0 ) = − Z x I x ,
(2.37)
V y ( x0 , z 0 + ∆z ) − V y ( x 0 , z 0 ) = − Z z I z ,
2.38)
[I z ( x0 , z 0 + ∆z ) − I z ( x0 , z 0 )] + [I z ( x0 + ∆x, z 0 ) − I z ( x0 , z 0 )] = −YVx ( x0 , z 0 ) .
(2.39)
Równania (2.37) i (2.38) opisujące róŜnicę potencjałów między odpowiednio przednią
i tylną lub lewą i prawą ścianą sześcianu są wynikiem natęŜenia prądu wywołanego przez
efektywną impedancję Zx lub Zz. Równanie (2.39) opisujące róŜnicę potencjałów między
górną i dolną ścianą wynika z natęŜenia prądu pochodzącym od admitancji Y.
Wartości impedancji i admitancji dla zadanej częstości promieniowania ω = ω 0 wyraŜają
się zaleŜnościami
∆x ⋅ ∆y
Z x = jωµ (ω 0 )
,
(2.40)
∆z
∆y ⋅ ∆z
,
Z z = jωµ (ω 0 )
(2.41)
∆x
∆x ⋅ ∆z
Y = jωε (ω 0 )
.
(2.42)
∆y
PoniewaŜ na obszarze ∆x∆z komórki elementarnej na przestrzeni jej grubości ∆y
występuje jednorodne pole elektryczne, moŜemy zastosować analogię do kondensatora
30
okładkowego wypełnionego ośrodkiem o ε (ω 0 ) i µ (ω 0 ) , którego pojemność dana jest
zaleŜnością
C = ε (ω 0 )
∆x∆z
.
∆y
(2.43)
Obecność lokalnie jednorodnego pola magnetycznego związana jest z przeciwnie
skierowanymi prądami w równoległych płaszczyznach (Rys. 17), których wkład
do przepływu sumuje się w płaszczyźnie ∆y∆z dla prądów płynących wzdłuŜ ∆x
oraz w płaszczyźnie ∆x∆y dla prądów płynących wzdłuŜ ∆z. Z tego względu mamy
do czynienia z indukcjami
∆x ⋅ ∆y
,
∆z
∆y ⋅ ∆z
L z = µ (ω 0 )
.
∆x
L x = µ (ω 0 )
(dla kierunku x)
(2.44)
(dla kierunku z)
(2.45)
½
O
L
ś
X
Oś Y
½
L
Na uwagę zasługuje fakt, Ŝe rozproszone pojemność i indukcja są silnie
uzaleŜnione od ε (ω 0 ) i µ (ω 0 ) oraz od wymiarów komórki elementarnej. JeŜeli
rozpatrzymy sieć z komórek elementarnych o pomijalnie małych wymiarach
w porównaniu do długości fali promieniowania zawierających rozproszone L’ i C’, moŜe
ona być traktowana jak ośrodek izotropowy. W związku z tym kaŜdy jednorodny
i bezstratny dielektryk moŜe być (przy zadanej częstotliwości promieniowania) traktowany
jako dyskretna sieć z komórek zawierających tylko cewki i kondensatory natomiast
ośrodek rzeczywisty, obarczony pewnymi stratami transmisyjnymi, modeluje się
uwzględniając w obwodzie szeregową rezystancję.
Rys. 18 Dwuwymiarowy model linii transmisyjnych opisujący ośrodek o parametrach
µ (ω ) = µ 0 i ε (ω ) = ε 0ε r przy uŜyciu rozproszonej szeregowej induktancji
i rozproszonej równoległej pojemności (na podstawie: [65]).
JeŜeli rozwaŜamy idealnie sześcienne komórki elementarne (Rys. 18), czyli jeŜeli
spełnione są warunki
Z = Zx = Zz ,
d = ∆x = ∆y = ∆z ,
(2.46)
31
wspomniane wyŜej impedancje i admitancja będą wyraŜone zaleŜnościami
Z = jωµ (ω )d ,
Y = jωε (ω )d ,
(2.47)
(2.48)
zaś efektywne stałe materiałowe dla omawianego modelu linii transmisyjnych będą miały
postacie
Z (ω )
,
jω d
Y (ω )
ε (ω ) =
.
jω d
µ (ω ) =
(2.49)
(2.50)
Dla tradycyjnego ośrodka – izotropowego, niemagnetycznego i charakteryzującego się
względną przenikalnością elektryczną ε r otrzymamy
Z = jωµ 0 d ,
(2.51)
Y = jωε r ε 0 d ,
(2.52)
czyli szeregowa impedancja i równoległa pojemność mają wartości
L = µ0d ,
[H]
(2.53)
C = ε 0ε 0 d .
[F]
(2.54)
Rozproszone wartości L’ i C’ przypadające na jednostkę długości są dodatnie, rzeczywiste
i równe
L
,
d
C
C' = ε rε 0 = .
d
L' = µ 0 =
(2.55)
(2.56)
Z równania falowego dla obwodów
∂ 2V y
∂x 2
+
∂ 2V y
∂z 2
+ β 2V y = 0
(2.57)
otrzymać moŜna stałą propagacji β równą
β = ± − ZY = ω L' C ' = ω µ 0ε r ε 0 =
ω
vφ
.
(2.58)
PowyŜsza relacja dyspersyjna reprezentuje związek stałej propagacji fali z częstością
promieniowania (Rys. 19).
32
Rys. 19 ZaleŜności dyspersyjne dla ośrodka o parametrach µ (ω ) = µ 0 i ε (ω ) = ε 0ε r
(na podstawie: [65])
Wykres ω-β ilustruje zmiany stałej propagacji wzdłuŜ wyróŜnionej osi
na płaszczyźnie x-z w funkcji częstotliwości. Dostarcza informacji o wartości fazy
i prędkości grupowej w ośrodku. Wykres βx-βz ilustruje zmiany stałej propagacji
w zaleŜności od kierunku propagacji dla zadanej częstotliwości i przedstawia diagram EFS
(equifrequency surface), czyli powierzchnię równej częstotliwości. Dostarcza informacji
o kierunku fazy i prędkości grupowej w ośrodku. Dla kubicznej, elektrycznie obojętnej
komórki elementarnej taka rozproszona sieć modeluje ośrodek izotropowy i diagram EFS
jest kołowy.
Wartość prędkości fazowej w ośrodku odczytać moŜna z wykresu ω-β jako odcinek
łączący punkty (0,0) i (β0, ω0) natomiast kierunek z wykresu βx-βz jako linię łączącą
punkty (0,0) i (β0z, β0x). Prędkość fazowa definiowana jest jako
vφ =
ω
.
β
(2.59)
Analogicznie odczytujemy z wykresów wartość i zwrot prędkości grupowej zdefiniowanej
jako
−1
 ∂β 
vg = 
 .
 ∂ω 
(2.60)
Z analizy wykresu ω-β wynika, Ŝe stała propagacji typowego ośrodka
prawoskrętnego zamodelowanego przy uŜyciu rozproszonej sieci szeregowych induktancji
i równoległych pojemności jest zaleŜna od częstotliwości padającej fali EM analogicznie
jak ma to miejsce w naturalnych dielektrykach przy niskich częstotliwościach. Na wykres
βx-βz widać, Ŝe prędkości fazowa i grupowa (dla ośrodka bezdyspersyjnego) są równe oraz
równoległe i wyraŜają się następująco
ω
vφ = =
β
1
L' C '
=
 ∂β 
=

µ 0 ε r ε 0  ∂ω 
1
−1
= vg .
(2.61)
33
Obie prędkości w tym przypadku są dodatnie, co jest wynikiem wyboru dodatniego
pierwiastka w równaniu (2.61) odpowiadającego jednej z gałęzi wykresu ω-β,
więc współczynnik załamania, który definiowany jest jako stosunek prędkości światła
w próŜni do prędkości fazowej w ośrodku jest dodatni
n=
c
=
vφ
L' C '
µ 0ε 0
=
µ 0ε r ε 0
µ 0ε 0
= εr .
(2.62)
Co więcej – tak jak było to oczekiwane – impedancja falowa ośrodka η jest dokładnie
równa uŜytej impedancji w rozproszonym modelu linii transmisyjnych
η=
µ0
L'
=
= Z0 .
ε rε 0
C'
(2.63)
Symulacja ujemnego współczynnika załamania
O
ś
X
Oś Y
Dalszym etapem stała się próba modelowania za pomocą komórek elementarnych LC
sztucznych ośrodków dielektrycznych – metamateriałów. Fakt, iŜ przy uŜyciu modelu linii
transmisyjnych o określonej wartości rozproszonych induktancji L’ i pojemności C’ mamy
wpływ na parametry wytwarzanego ośrodka, pozwala uzyskać materiały nie występujące
w naturze. PoniewaŜ L’ i C’ są związane z wartościami przenikalności elektrycznej
i magnetycznej, więc wprowadzenie do komórki elementarnej przedstawionej na Rys. 18
ujemnych wartości L’ i C’ pozwala uzyskać ujemny współczynnik załamania n. Z natury
tych elementów wynika jednak, Ŝe gdy szeregowa impedancja − jωL' d i równoległa
admitancja − jωC ' d mają wartości ujemne, zmienia się ich rola w układzie. W takim
wypadku szeregowa impedancja odgrywa rolę szeregowej admitancji, zaś równoległa
admitancja – równoległej impedancji. Tak zbudowana elementarna komórka
przedstawiona jest na Rys. 20.
Rys. 20 Dwuwymiarowy model linii transmisyjnych opisujący ośrodek o jednocześnie
ujemnych, dyspersyjnych parametrach µ = − µ (ω ) i ε = − ε (ω ) przy uŜyciu
rozproszonej szeregowej induktancji i rozproszonej równoległej pojemności
(na podstawie: [65]).
34
TakŜe w tym przypadku wymiary komórki elementarnej mają kluczowy wpływ
na zaleŜności dyspersyjne parametrów uzyskanego w ten sposób ośrodka [66], [67].
Korzystając z równań (2.49) i (2.50) efektywną przenikalność elektryczną i magnetyczną
takiego modelu wyznaczyć moŜna jako
µ (ω ) =
ε (ω ) =
1
1
1
jωCd
=− 2
,
jω
ω Cd
(2.64)
jωLd
1
=− 2
.
jω
ω Ld
(2.65)
W odróŜnieniu od modelu linii transmisyjnych dla materiałów dodatnich, tutaj parametry
ośrodka są wyraźnie ujemne, a dodatkowo mają charakter dyspersyjny. Uśredniona
po czasie energia elektryczna i magnetyczna zgromadzona w takim materiale jest jednak
dodatnia, więc zasada zachowania energii pozostaje spełniona.
Rozproszone wartości indukcji i pojemności wynoszą dla tego przypadku odpowiednio
C' = C ⋅ d ,
L' = L ⋅ d .
[F⋅ m]
[H ⋅ m]
(2.66)
(2.67)
Cechą charakterystyczną stałej propagacji w powyŜszym modelu jest odwrotny związek
z częstością
β = − − ZY = −
1
ω L' C '
(2.68)
zaś odpowiadające temu wykresy ω-β oraz βx-βz przedstawione są na Rys. 21.
Rys. 21 ZaleŜności dyspersyjne dla ośrodka o parametrach µ = − µ (ω ) i ε = − ε (ω )
(na podstawie: [65])
35
W tym przypadku prędkości fazowa i grupowa są antyrównoległe
−1
ω
 ∂β 
vφ = = −ω 2 L' C ' = −
 = −v g .
β
 ∂ω 
(2.69)
Ze względu na to, Ŝe prędkości grupowe w modelu linii transmisyjnych ośrodka
dodatniego i ujemnego są antyrównoległe, moŜna spodziewać się ujemnego załamania
fali EM przy przejściu przez granicę tych ośrodków.
Współczynnik załamania takiego ośrodka
n=
c − µ (ω )ε (ω )
1
.
=
=− 2
vφ
µ 0ε 0
ω L'⋅C '⋅µ 0 ε 0
Efektywna impedancja fali
ηr =
L'
µ (ω )
=
= Z0 .
ε (ω )
C'
(2.70)
(2.71)
Opisany tu model został zweryfikowany doświadczalnie poprzez zastosowanie
go do badania zdolności skupiających zbudowanej na jego podstawie płaskiej soczewki
o ujemnym współczynniku załamania [67]. Model znalazł teŜ kilka innych zastosowań
w układach i urządzeniach optycznych [68]−[70]. Warto zauwaŜyć, Ŝe takŜe ten model jest
bezstratny, co oznacza, iŜ model linii transmisyjnych pozwala na osiągnięcie ujemnego
współczynnika załamania bez konieczności wprowadzania do układu elementów
rezystywnych.
W modelu ośrodka ALMW/SRR (rozdział II.4) efektywna funkcja przenikalności
przyjmowała ujemne wartości w zakresie częstotliwości między ω 0 a ω mp , który
w modelu linii transmisyjnych (Rys. 15) odpowiada dokładnie zakresowi częstotliwości,
w którym czynna jest szeregowa gałąź. Analogicznie dla przenikalności elektrycznej
zakres częstotliwości dający ujemną jej wartość odpowiadał zakresowi pracy gałęzi
równoległej w modelu linii transmisyjnych (Rys. 15). W ujęciu linii transmisyjnych
materiał ALMW/SRR wprowadza dodatkowe składowe rezonansowe, co moŜe zostać
wyeliminowane poprzez bezpośrednie zastosowanie indukcji i pojemności. Dzięki temu
moŜliwe jest osiągnięcie bardzo szerokich pasm częstotliwości, w których współczynnik
załamania utrzymuje swoją ujemną wartość.
36
II.6 Nanostruktury z drutów metalicznych
Metamateriał będący kompozytem złoŜonym z par nanodrutów po raz pierwszy opisał
i zasymulował numerycznie Viktor A. Podolskiy [71], [72]. Udowodnił, Ŝe zewnętrzne
pole EM oddziałujące na pojedyncze nanodruty moŜe wzmacniać powstający
na powierzchni materiału plazmon powierzchniowy, w wyniku czego lokalne pola EM
mogą zostać wzrosnąć nawet o trzy rzędy wielkości. Ponadto w kompozycie złoŜonym
z par równoległych nanodrutów występować moŜe rezonans elektryczny i magnetyczny,
co przy spełnionych odpowiednich warunkach, moŜe skutkować ujemnym
współczynnikiem załamania takiego metamateriału.
W odróŜnieniu od metamateriału złoŜonego z cienkich drutów metalicznych
i rozproszonych rezonatorów kołowych, które musiały być projektowane dla konkretnej
częstości padającego promieniowania, zasadniczą zaletą metamateriału z nanodrutów jest
o wiele większa jego uniwersalność. Wzajemne oddziaływania nanodrutów tworzących
kompozyt powoduje powstanie wielu zlokalizowanych plazmonów powierzchniowych
o róŜnych częstościach rezonansowych. Plazmon powierzchniowy pochodzący
od pojedynczego nanodrutu jest stosunkowo wąski (50 nm), jeŜeli jednak nanodruty
tworzą kompozyt, zakres częstości rezonansowych jest bardzo duŜy, co umoŜliwia
wykorzystanie takiego materiału w bardzo szerokim przedziale częstości ściśle zaleŜnym
od wymiarów nanodrutów.
Komórka elementarna metamateriału zaproponowanego przez Podolskiy’ego
składała się z pary równoległych nanodrutów metalicznych o długości 2b1, średnicy b2,
rozsuniętych na odległość d (Rys. 22).
Rys. 22 (a) para równoległych nanodrutów; (b) dwuwymiarowy kompozyt zawierający
pary równoległych nanodrutów (na podstawie [71]).
37
Grupa Podolskiy’ego rozwaŜała przypadek, gdy b2 << d << b1 . Promień drutu b2
musi być duŜo mniejszy od długości fali padającego promieniowania i moŜe być
porównywalny z głębokością penetracji promieniowania w strukturę. Długość drutu 2b1
moŜe być rzędu długości fali świetlnej. Ze względu na takie wymiary nanodrutów bardzo
trudno było jednoznacznie wyznaczyć rozwiązania równań Maxwella w tym układzie.
Podolskiy zastosował dyskretne przybliŜenie dipolowe [73] zastępując nanodruty duŜą
liczbą zachodzących na siebie, spolaryzowanych sfer ułoŜonych w kubiczną sieć (Rys. 23).
Rys. 23 Model pojedynczego nanodrutu w dyskretnym przybliŜeniu dipolowym.
JeŜeli stała takiej sieci a i promień R pojedynczej sfery są duŜo mniejsze
od długości fali padającego światła, pola EM pochodzące od kaŜdego z dipoli mogą być
traktowane jako kwazistatyczne i są sumą pól zewnętrznych w danym miejscu sieci oraz
pól pochodzących od wszystkich pozostałych dipoli. Podolski udowodnił, Ŝe wyniki
symulacji przy uŜyciu tego przybliŜenia silnie zaleŜą od przyjętego współczynnika
pokrywania się sąsiadujących sfer (a/R).
Padająca fala EM rozchodziła się tak, Ŝe pole elektryczne było równoległe
do osi nanodrutów, podczas gdy pole magnetyczne było do nich prostopadłe. Składowa
magnetyczna padającego promieniowania EM indukuje w drutach przepływ prądu,
będącego sumą prądów płynących w kaŜdym z nanodrutów oraz prądu przesunięcia
pomiędzy drutami. Wartość odpowiedzi rezonansowej silnie zaleŜy od wymiarów drutów
i maleje wraz ze wzrostem promienia drutu lub odległości d między drutami, gdyŜ wtedy
straty stają się znaczące. Efekt jest najmocniejszy dla drutów o promieniach b2
porównywalnych z głębokością penetracji promieniowania EM (~20nm).
Aby uwzględnić efekt naskórkowy wprowadzono funkcję
r
(
1 − i ) j1[(1 + i )∆ ]
f (∆ ) =
⋅r
∆
j0 [(1 + i )∆ ] ,
r
gdzie j – wektor gęstości prądu, ∆ =
(2.72)
b2 2πσ mω
>> 1 parametr opisujący stosunek
c
średnicy nanodrutów do głębokości penetracji promieniowania, σ m przewodność metalu.
38
Przenikalność magnetyczną µ kompozytu wyznaczono posługując się momentem
magnetycznym m H dla pojedynczej pary drutów przybliŜonej dwoma równoległymi,
nieskończonymi drutami, dzięki czemu moŜliwe było zastosowanie równania telegrafistów
(Dodatek C). Moment magnetyczny został wyznaczony jako
m H = 2 Hb13C 2 (kd )
2
gdzie C 2 =
εd
4 ln d 
 b2 
tan (gb1 ) − gb1
(gb1 )3
,
pojemność na jednostkę długości, g = k ε d + i
(2.73)
εd
2∆ f (∆ ) ln d 
 b2 
.
2
Padające pole elektryczne jest równoległe do osi drutów, więc wzbudza w nich
równe prądy, które mogą być traktowane jako niezaleŜne. Całkowity moment dipolowy
dla pary nanodrutów dany jest jako
dE =
2
b1b22 f (∆ )Eε m
3
gdzie Ω 2 = (b1k )
2
1
2
b
b
1 + f (∆ )ε m  2  ln1 + ε d 1  cos Ω
b2 
 b1  
,
(2.74)
ln b1  + i ε d kb1
 b2 
to bezwymiarowa częstość promieniowania.
b


1
ln1 + ε d
b2 

Podolskiy wyznaczył efektywną stałą dielektryczną i przenikalność magnetyczną
struktury przedstawionej na Rys. 22 jako
ε = 1+
4 p dE
,
b1b2 d E
µ = 1+
4 p mH
,
b1b2 d H
(2.75)
gdzie p – gęstość powierzchniowa metalu.
Obszar, w którym taki ośrodek wykazuje ujemną wartość współczynnika załamania
uwarunkowany jest wymiarami nanodrutów, czyli wartościami parametrów b1 , b2 oraz d.
Ustalając odpowiednio wartości tych parametrów moŜna przesunąć aktywne pasmo
częstotliwości do zakresu optycznego.
Alternatywnym sposobem na wytworzenie metamateriału o ujemnym
współczynniku załamania jest zastosowanie stosu warstw z nadrukowanymi pojedynczymi
nanodrutami lub uŜycie jednej takiej warstwy umieszczonej nad powierzchnią metalu.
W tym drugim wypadku promieniowanie EM powoduje powstanie obrazu nanodrutów
na powierzchni metalu, co prowadzi do powstania wirtualnej pary równoległych
nanodrutów. Powierzchnię pomiędzy metalem i filmem z nanodrutami wypełnia się
dielektrykiem. Zmieniając grubość i parametry dielektryka moŜna regulować odległość d
pomiędzy nanodrutami.
39
II.7 Metamateriały dla zakresu widzialnego
PoniewaŜ materiały charakteryzujące się ujemnym współczynnikiem załamania nie istnieją
w naturze, w ostatnich latach nieustająco trwają prace badawcze nad wytworzeniem
sztucznych materiałów dających ujemną odpowiedź elektryczną i magnetyczną w pewnym
przedziale częstotliwości. Dwa główne podejścia do tematu realizacji zjawiska ujemnego
załamania obejmują zastosowanie metamateriałów oraz kryształów fotonicznych.
W zakresie promieniowania mikrofalowego ujemny współczynnik załamania został
uzyskany w obu typach struktur, podczas gdy dla zakresu widzialnego ostatnio
zastosowanie znalazły kryształy fotoniczne [74], [75]. W zakresie 10 – 100 THz
zaprezentowane niedawno zostały rezonujące struktury magnetyczne charakteryzujące się
ujemną przenikalnością magnetyczną [76]−[78]. JednakŜe, pomijając prace teoretyczne
i symulacje numeryczne [79], ujemne załamanie fal EM dla zakresu widzialnego
potwierdzone doświadczalnie zostało dopiero pod koniec 2005 roku [80].
MoŜliwość zastosowania nanometrowych struktur do uzyskania ujemnego
współczynnika załamania dla zakresu widzialnego opisano teoretycznie [81]−[83]
w 2002 roku. Pokazano, Ŝe pary równoległych nanodrutów lub płytek mogłyby
z powodzeniem zastąpić wykorzystywane dotąd rozszczepione rezonatory kołowe (SRR).
Oczekiwano, Ŝe zbudowana z nich struktura będzie charakteryzowała się ujemnym
współczynnikiem załamania nawet, jeŜeli komórka elementarna nie będzie zawierała
dodatkowego metalowego drutu. Analogia pomiędzy typowym SRR i parą nanodrutów
przedstawiona została na Rys. 24 i łatwo ją zrozumieć, jeŜeli potraktujemy SRR
przedstawiony na Rys. 24 (a) jako obwód LC o induktancji L i pojemności przerwy
pierścienia C.
Rys. 24 Analogia pomiędzy rozszczepionym pierścieniem (SRR) a parą nanodrutów:
kolejne fazy przejścia pomiędzy strukturami (a)-(d) [84].
Zmienne pole magnetyczne prostopadłe do powierzchni SRR indukuje w nim
przepływ prądu, który w pobliŜu częstości rezonansowej ω LC = 1
wywołuje
LC
moment magnetyczny prostopadły do płaszczyzny SRR i przeciwstawiający się
zewnętrznemu polu magnetycznemu, co powoduje pojawienie się ujemnej przenikalności
magnetycznej µ. JeŜeli przerwa w pierścieniu zostanie powiększona (Rys. 24 (b)),
pojemność C zmniejszy się, co spowoduje wzrost częstości ωLC potrzebnej do wzbudzenia
rezonansu w obwodzie. Gdy drut tworzący pierścień SRR zostanie przerwany równieŜ
z drugiej strony (Rys. 24 (c)), w obwodzie pojawi się druga szeregowa pojemność C,
co dodatkowo zmniejszy wypadkową pojemność obwodu LC. Kolejnym krokiem jest
całkowite otwarcie pierścienia SRR z obu stron (Rys. 24 (d)), prowadzące do otrzymania
pary równoległych drutów. Spadek pojemności C prowadzi do wyŜszej częstości
40
rezonansowej zgodnie ze wzorem ω LC = 1
, co oznacza, Ŝe długość fali λ
LC
padającego promieniowania EM potrzebnego do wywołania rezonansu w takim obwodzie
jest coraz mniejsza i moŜe osiągnąć nawet wartości z zakresu promieniowania
widzialnego. Zaletą par równoległych nanodrutów w stosunku do wcześniej stosowanych
komponentów są mniejsze wymagania konstrukcyjne pod względem stosunku wymiarów
komórki elementarnej i długości fali λ padającego promieniowania. Dla SRR stosunek ten
musiał być co najmniej rzędu λ = 10 , aby strukturę moŜna było traktować jak
a
jednorodną, zaś dla par nanodrutów jest on prawie 5 razy mniejszy ( λ ≈ 2 ).
a
(a)
(b)
(c)
(d)
Rys. 25 (a) Wymiary pary równoległych nanodrutów tworzących komórkę elementarną;
(b) Schemat wzajemnego rozmieszczenia par nanodrutów w próbce; Wykonane
pod mikroskopem elektronowym zdjęcie (c) dwuwymiarowej tablicy i (d) pojedynczej pary
nanodrutów. (na podstawie: [85]).
W roku 2005 grupa badawcza z Purdue University [80] zaprezentowała
metamateriał zbudowany z par równoległych nanodrutów w kształcie trapezu o róŜnicy
szerokości podstaw 20 nm. Opisana przez nich periodyczna dwuwymiarowa tablica
z nadrukowanymi parami złotych drutów była stosunkowo prosta do wytworzenia
w nanoskali i wskazała kierunek dalszych prac nad zaprojektowaniem metamateriału
dla zakresu widzialnego. Nanodruty wytworzone zostały przy uŜyciu litografii
41
elektronowej na szklanym podłoŜu pokrytym cienką warstwą Cr, która zapobiegała
naładowaniu się podłoŜa i została usunięta po zakończeniu procesu. Nanoszenie warstw
powtórzono kilkukrotnie kolejno dla warstw Ti, Au i SiO2, aŜ do uzyskania struktury
przedstawionej na Rys. 25.
Dwa równoległe druty tworzyły obwód, który zachowywał się jak linia
transmisyjna (Rys. 26). Prądy przesunięcia na końcach drutów powodowały „zamknięcie”
obwodu. JeŜeli na próbkę padało światło spolaryzowane poprzecznie magnetycznie
względem osi nanodrutów, wzbudzany był jednocześnie rezonans elektryczny
i magnetyczny, co powodowało powstanie ujemnej odpowiedzi elektrycznej ε
i magnetycznej µ w tak zaprojektowanym metamateriale. Zakres częstotliwości fali
elektromagnetycznej, dla której zjawisko to było moŜliwe uzaleŜniony był od wymiarów
nanodrutów oraz ich wzajemnego rozmieszczenia w tablicy. Współczynnik załamania
w takim materiale powyŜej częstości rezonansowej moŜe przyjąć wartości ujemne [71],
[72]. Rezonans plazmowy moŜe być traktowany jak rezonans w obwodzie LC
o induktancji L, zapewnionej przez metalowe druty, i pojemności C zapewnionej przez
przestrzeń pomiędzy nimi.
Rys. 26 (a) UłoŜenie nanodrutów w metamateriale; (b) Komórka elementarna zawierająca
parę równoległych nanodrutów (na podstawie: [85]).
Doniesienie literaturowe na temat dalszej miniaturyzacji metamateriałów
i przesunięcia operacyjnej częstości w spektrum widzialne pochodzą z sierpnia 2006 roku
[88]. Grupa naukowców G.Dolling, M.Wegener, C.M.Soukoulis oraz S.Linden
wytworzyła metamateriał zbudowany z par równoległych srebrnych nanodrutów
nadrukowanych na szklanym podłoŜu, charakteryzujący się ujemnym współczynnikiem
załamania dla światła o długości fali 780 nm (zob. Rys. 27). Dla zakresu widzialnego
srebro charakteryzuje się znacząco mniejszymi stratami w porównaniu do złota [89],
co pozwoliło po raz pierwszy zademonstrować ujemne załamanie światła dla światła
czerwonego.
42
(c)
Rys. 27 (a) Schemat budowy metamateriału dla zakresu widzialnego; (b) Komórka
elementarna o wymiarach ax = ay = 300 nm, wx = 102 nm, wy = 68 nm, t = 40 nm,
s = 17 nm, ex = ey = e = 8 nm; (c) Zdjęcie pojedynczej pary nanodrutów i
dwuwymiarowej tablicy wykonane pod mikroskopem elektronowym (na
podstawie: [88]).
Stosunek grubości kompozytu 2t+s = 97 nm do szerokości drutu wy = 68 nm przekracza 1,
co stwarzało pewne trudności technologiczne. Grubość drutów zorientowanych wzdłuŜ
składowej elektrycznej padającego promieniowania musiała zostać zwiększona
do wx = 102 nm. Pozwoliło to na podniesienie efektywnej częstości plazmowej powyŜej
częstości operacyjnej, co było konieczne dla osiągnięcia ujemnej przenikalności
elektrycznej ε. Do wytworzenia metamateriału wykorzystano fluorek magnezu MgF2,
którego współczynnik załamania wynosi n MgF2 = 1,38 oraz szkło o współczynniku
n szkłz = 1,5 .
43
III Eksperymenty
Naturalną koleją rzeczy była chęć eksperymentalnej weryfikacji zjawiska ujemnego
załamania fali elektromagnetycznej we wzbudzających tyle zainteresowania ośrodkach.
Jako pierwsi dokonali tego R.A.Shelby, D.R.Smith i S.Schultz [54] w 2001 roku. Pomimo
wątpliwości niektórych [55], eksperyment grupy Shelby’ego stał się początkiem nowego
rozdziału w historii metamateriałów. Po okresie teoretycznych dyskusji na temat odkrycia
Veselago [1], metamateriały potwierdziły swą wyjątkowość otwierając tym samym drogę
do licznych nowych zastosowań (rozdział III.1).
Kolejny waŜny eksperyment wykonany został w 2003 roku przez grupę
I.V. Shadrivov’a [90]. Udowodniono, Ŝe wprowadzenie defektów do warstwowej struktury
złoŜonej z naprzemiennie ułoŜonych warstw ośrodka o ujemnym współczynniku załamania
i powietrza pozwala na modyfikowanie zakresu częstości, dla którego obserwuje się
ujemne załamanie fali elektromagnetycznej (rozdział III.2) Istnienie fal wstecznych
w ujemnych metamateriałach zbadał G.V.Eleftheriades [102]. Przeprowadzony przez
niego eksperyment udowodnił, Ŝe model metamateriału wykorzystujący linie transmisyjne
(rozdział II.5) pozwala na łatwe wykorzystanie zjawiska ujemnego załamania do budowy
wydajniejszych urządzeń mikrofalowych (rozdział III.3). Długo oczekiwane ujemne
załamanie dla fal z zakresu widzialnego zrealizowane w praktyce zostało dopiero w 2006
roku [88].
III.1 Pierwsze dowody eksperymentalne
Przeprowadzony w 2001 roku eksperyment [54] dotyczył rozpraszania fali EM
o częstotliwości z zakresu mikrofalowego na próbce metamateriału charakteryzującego się
pasmem częstotliwości, w którym jego efektywny współczynnik załamania n ma wartość
mniejszą od zera. Mierząc kąt odbicia promienia przechodzącego przez pryzmat wykonany
z takiego metamateriału, określano efektywny współczynnik załamania n zgodny
z prawem Snelliusa [10]. Eksperyment potwierdził przewidywania równań Maxwella,
iŜ współczynnik załamania n jest równy ujemnemu pierwiastkowi kwadratowemu
z iloczynu przenikalności ε i µ dla zakresu częstotliwości, gdzie obie przenikalności
są mniejsze od zera (zob. równanie (1.5)). W doświadczeniu wykorzystano metamateriał
zaproponowany przez D.R.Smitha [32]−[35].
Próbka zbudowana była przy wykorzystaniu dwuwymiarowej okresowej tablicy
zawierającej miedziane rozproszone rezonatory kołowe (SRR) i druty metaliczne
(ALMW), wyprodukowanej metodą maski i kwasorytu na podłoŜu krzemowym o grubości
0,25mm. Metamateriał uŜyty w tym doświadczeniu zbudowany był z komórek
elementarnych o wymiarach 5mm, co oznacza, Ŝe dla badanego zakresu częstotliwości
(8-12 GHz) średnia długośc fali promieniowania λ=3cm była 6 razy większa od wymiarów
takiej komórki i materiał mógł być traktowany jako jednorodny. Kąt pomiędzy prostymi
normalnymi do powierzchni padania (nr 1 na Rys. 28) i załamania (nr 2 na Rys. 28) był
równy 18,43o. Aby określić współczynnik załamania, mierzono odchylenie wiązki
promieniowania mikrofalowego przechodzącej przez pryzmat wykonany z takiego
metamateriału. Próbka i absorbent promieniowania mikrofalowego umieszczone były
pomiędzy dwoma kołowymi płytami aluminiowymi o promieniu 15cm. Na obwodzie
wierzchniej płyty zamontowany był ruchomy detektor promieniowania mikrofalowego
pozwalający na pomiar transmitowanej mocy pod dowolnym kątem. Na ścianę pryzmatu,
44
stanowiąca powierzchnię padania (nr 1), padała wiązka promieniowania mikrofalowego
o poprzecznej polaryzacji magnetycznej. Po przejściu przez pryzmat fala doznawała
ugięcia zgodnego z prawem Snelliusa na płaszczyźnie załamania (nr 2). Aby zmniejszyć
spowodowane dyfrakcją rozmycie kątowe padającego promieniowania, poprowadzone ono
było współosiowym kablem do adaptera falowego, a następnie przechodziło pomiędzy
dwoma aluminiowymi płaszczyznami rozsuniętymi na taką samą odległość jak aluminiowe
koła (1,2 cm), gdzie dodatkowo po bokach ograniczały je rozsunięte na odległość 9,3 cm
płaszczyzny absorbentu promieniowania mikrofalowego. Strzałki na Rys. 28 przedstawiają
bieg fali przy przejściu przez teflonową próbkę kontrolną – kąt θ ma tu wartość dodatnią.
Detektor obracany był po obwodzie z krokiem 1,5o, a przechodzące widmo mocy mierzone
w funkcji kąta obrotu θ detektora od normalnej do powierzchni padania próbki.
Rys. 28 Schemat układu pomiarowego [54].
Moc transmitowana
Pomiary wykonano dla ośmiu róŜnych połoŜeń próbki w układzie. Uśrednione
wyniki przedstawiono na wykresach w funkcji kąta (Rys. 29) (po wcześniejszym
znormalizowaniu mocy transmitowanego przez próbkę promieniowania) oraz w funkcji
częstotliwości (Rys. 30). Maksimum mocy transmitowanej występowało przy bardzo
zbliŜonych kątach dla kaŜdego z połoŜeń próbki.
Rys. 29 Moc transmitowana jako funkcja kąta [54].
45
Przy częstotliwości 10,5 GHz, mikrofale były uginane pod dodatnimi kątami
w przypadku teflonu i w przeciwną stronę dla próbki z z metamateriału. Maksimum
zarejestrowanej mocy promieniowania dla próbki teflonowej miało miejsce przy kącie
θpowietrze = 27º, co odpowiada wartości współczynnika załamania nteflon = 1,4 ± 0,1 i mieści
się w granicach błędu. Natomiast dla próbki z metamateriału zmierzony kąt wyjściowy
θpowietrze = −61o , przy którym moc osiągała maksimum oznacza, Ŝe współczynnik
załamania tego ośrodka to nLHM = −(2,7 ± 0,1) . Na Rys. 30 przedstawiony został
zmierzony współczynnik w funkcji częstotliwości dla ujemnej próbki (ciągła czarna linia)
i porównany z krzywą teoretyczną (ciągła czerwona linia) oraz wykresem dla teflonu
(ciągła niebieska linia)
3
LHM
Teflon
LHM (teoria)
2
1
0
-1
-2
-3
8
9
10
11
12
Częstotliwość [GHz]
Rys. 30 Współczynnik załamania jako funkcja częstotliwości [54].
Oczekiwano, Ŝe współczynnik załamania będzie szybko dąŜył do wartości mocno
ujemnych przy niskoczęstotliwościowej granicy w badanego obszaru „lewoskrętnego”
(10,2 ÷ 10,8 GHz), by następnie osiągnąć wartość zerową dla granicy
wysokoczęstotliwościowej. Wyniki częściowo potwierdziły rozwaŜania teoretyczne,
jednakŜe w pewnych obszarach (przerywana czarna linia) współczynnik załamania n był
albo niemoŜliwy do wykrycia albo zdominowany przez składową urojoną (przerywana
czerwona linia) i nie mógł być wiarygodnie zbadany doświadczalnie. W badanym paśmie
częstotliwości zmierzony współczynnik załamania dla teflonu (linia niebieska na Rys. 30)
jest w przybliŜeniu wartością stałą, zaś współczynnik załamania dla badanego
metamateriału jest ujemny i ma charakter silnie dyspersyjny, co zgadza się z teorią.
Do wyznaczenia teoretycznej zaleŜności współczynnika załamania n
od częstotliwości uŜyto poniŜszych ogólnych równań na zaleŜność przenikalności ε i µ
od częstotliwości
2
2
− ω mo
ω mp
µ (ω )
= 1− 2
,
2
µ0
ω − ω mo
+ iγω
(3.1)
ω ep2 − ω eo2
ε (ω )
= 1− 2
,
ε0
ω − ω eo2 + iγω
(3.2)
46
przy wykorzystaniu parametrów fmp = 10,95 GHz, fmo = 10,05 GHz, fep = 12,8 GHz,
feo = 10,3 GHz, γ = 10 MHz gdzie ωmo , ωmp – magnetyczna częstość rezonansowa
i plazmowa, ωeo , ωep – elektryczna częstość rezonansowa i plazmowa, i = − 1 , f=ω / 2π .
Istnieją dwa zasadnicze ograniczenia w tym doświadczeniu, które uniemoŜliwiają
zmierzenie efektywnego współczynnika załamania odpowiadającego krawędziom
„lewoskrętnego” pasma częstotliwości. Po pierwsze, kiedy efektywny współczynnik
załamania osiąga zero, długość fali w ośrodku ujemnym staje się bardzo duŜa,
przypuszczalnie większa niŜ wymiary próbki. Nie udało się jednoznacznie określić
współczynnika załamania w zakresie od 10,8GHz do 12GHz, czyli powyŜej
„lewoskrętnego” pasma częstotliwości; uzyskane wyniki odpowiadają raczej urojonej
składowej współczynnika, a nie jego dodatniej wartości. To ograniczenie moŜe zostać
częściowo wyeliminowane poprzez zastosowanie grubszych i szerszych próbek. Po drugie,
poniewaŜ obszar ugięcia jest zawęŜony do około 18,4o od normalnej, gdy n ≥ 3 ,
promieniowanie ulega raczej całkowitemu wewnętrznemu odbiciu niŜ załamaniu,
co według autorów eksperymentu mogłoby tłumaczyć, dlaczego nie udało się zmierzyć
współczynników załamania o wartościach poniŜej -3 i powyŜej 3.
Ujemne załamanie – fikcja czy rzeczywistość?
Wyniki eksperymentu [54] zakwestionowane zostały przez N.Garcia i M.NietoVesperinas’a [55], P.M.Valanju [56] i innych [57], co zaowocowało oŜywioną dyskusją
w środowisku naukowym na temat zjawiska ujemnego załamania i istnienia ośrodków,
w których byłoby ono moŜliwe. PodwaŜona została moŜliwość ujemnego załamania
rzeczywistego promieniowania zawierającego pewne spektrum długości fali [56]. Ujemny
współczynnik załamania występować moŜe jedynie w materiałach dyfrakcyjnych,
co oznacza, Ŝe jest uzaleŜniony od częstości padającego promieniowania, czyli takŜe
od jego długości fali. W związku z tym przy przejściu przez metamateriał wiązka
rzeczywistego promieniowania zostałaby raczej rozszczepiona niŜ ujemnie załamana.
Skrytykowano takŜe sposób przeprowadzenia eksperymentu. Wykorzystany przez
R.A.Shelby’ego, D.R.Smith’a i S.Schultz’a ośrodek [54] charakteryzował się znacznymi
stratami, zaś detektor ustawiony był w niewielkiej odległości od powierzchni pryzmatu,
co było uwaŜane za przyczynę złudzenia, Ŝe fala EM została ugięta pod ujemnym kątem.
Twierdzono [56], Ŝe gdyby detektor znajdował się w większej odległości od próbki, Ŝadne
promieniowanie nie zostałoby zmierzone. Krytyka wyników eksperymentu grupy
Shelby’ego zmobilizowała zwolenników idei ujemnego załamania do szukania
kontrargumentów. Niecały rok później opublikowane zostały uzyskane niezaleŜnie przez
dwie grupy badawcze [58]-[60] wyniki, wyraźnie potwierdzające, przy zastosowaniu
prawa Snelliusa, istnienie ujemnego załamania promieniowania z zakresu mikrofalowego.
A.Houck i in. z MIT16 [58] wykonali dwa doświadczenia, w których odwzorowali
mikrofalowe pole EM przechodzące przez kilka pryzmatów wykonanych z materiałów
dodatnich i ujemnych oraz płaską płytkę z materiału ujemnego. Materiałem odniesienia
podobnie jak w [54] był teflon, zaś metamateriał ujemny był kompozytem analogicznym
do opisanego w [35]17. Aby ustalić zakres częstotliwości promieniowania, w którym
metamateriał charakteryzuje się ujemnym współczynnikiem załamania, wykonane zostały
16
Massachusetts Institute of Technology
Metamateriał uŜywany w doświadczeniach zbudowany był z miedzianych drutów o grubości 50 µm,
umieszczonych na podłoŜu o grubości 0,5 mm zestawionych w sieć 6 mm komórek elementarnych.
17
47
niezaleŜne pomiary właściwości elektromagnetycznych dla struktur zawierających tylko
prostoliniowe przewodniki oraz tylko przerwane pierścienie. Operacyjna częstotliwość
ustalona została na 10,5 GHz. Ponadto udowodniono, Ŝe górna płaszczyzna prowadnicy
falowej nie moŜe dotykać powierzchni próbki, gdyŜ nie obserwowano wtedy zachowania
ujemnego. Przyczyny tego zjawiska upatrywano w zmianę pojemności metalowych
przewodników, gdy odległość płaszczyzny od próbki była mniejsza niŜ 1,5 mm.
W ramach pierwszego eksperymentu A.Houck i in. zaproponowali nowy układ
pomiarowy, wykorzystujący zamkniętą i dokładnie izolowaną prowadnicę falową,
zbudowaną z dwóch równoległych metalowych płaszczyzn (górna płaszczyzna była
dwukrotnie większa od dolnej), w całości pokrytych absorbentem promieniowania
mikrofalowego i mogących przesuwać się względem siebie. UmoŜliwiło to pomiar
rozkładu pola EM w całej przestrzeni wewnątrz prowadnicy. Pomiary wykonane zostały
dla kilku pryzmatów dodatnich (teflon) i ujemnych, o dwóch róŜnych kątach, dla dwóch
połoŜeń górnej płaszczyzny nad próbką. Zmierzona w ten sposób wartość współczynnika
załamania dla teflonu pokrywała się z wartością rzeczywistą18, co pozwoliło zweryfikować
poprawność układu pomiarowego. Kąty załamania fali EM obserwowane dla próbki
ujemnej, były wyraźnie umieszczone po przeciwnej stronie normalnej do płaszczyzny
załamania pryzmatu w porównaniu do pomiarów dla próbki teflonowej19. Na uwagę
zasługuje fakt, Ŝe w przypadku próbki ujemnej, tłumienie fali miało wartość 25dB
(w porównaniu do 5dB dla pryzmatu z teflonu), co wskazuje na duŜe znaczenie efektów
rozpraszania i absorpcji w metamateriałach.
Drugi eksperyment wykonany przez grupę z MIT dotyczył opisanego wcześniej
teoretycznie przez Pendry’ego [93] i równieŜ skrytykowanego [94] zjawiska supersoczewkowania. Z wytworzonego metamateriału wykonano płasko-równoległa płytkę
o grubości 6 cm i umieszczono ją w prowadnicy falowej w odległości 2 cm
od mikrofalowej anteny nadawczej. Antena odbiorcza po przeciwnej stronie płytki miała
za zadane rejestrować przechodzące promieniowanie EM. Dla konfiguracji układu z górną
płaszczyzną uniesioną na 2 mm, pochodząca z punktowego źródła promieniowania (anteny
mikrofalowej) fala EM padająca na płytkę została skupiona po jej przeciwnej stronie.
Gdy górna płaszczyzna była obniŜona, skupienie nie występowało, co potwierdziło, Ŝe jest
ono moŜliwe tylko dla płytki z ujemnym współczynnikiem załamania.
PoniewaŜ we wszystkich badanych pryzmatach fala EM propagowała się zgodnie
z prawem załamania Snelliusa, eksperyment ten stanowił wyraźne potwierdzenie istnienia
zjawiska ujemnego załamania. Ponadto wyniki przedstawione dla płasko-równoległej
płytki o ujemnym współczynniku załamania były wstępnym potwierdzeniem słuszności
tezy Veselago [2] i Pendry’ego [93]. Kolejne wnioski z wykonanych przez grupę z MIT
doświadczeń dotyczą wytwarzania metamateriałów. Metamateriał moŜe posiadać
właściwości, których nie mają Ŝadne z tworzących go elementów. Ponadto bardzo waŜna
jest precyzja wykonania modelu. ZauwaŜono [58], Ŝe jeŜeli po cięciu ich laserem płytki
z naniesionymi elementami przewodzącymi nie zostały dokładnie wyczyszczone, obecna
na nich cienka warstwa węgla uniemoŜliwiał obserwację zjawiska ujemnego załamania.
18
19
Wartość zmierzona to n= 1,52 ± 0,07, wartość rzeczywista nteflonu= 1,5.
Dla pryzmatu o kącie ϕ = 18o kąt załamania wynosił θ = – (6,4 ± 2,4º), co odpowiadało wartości
n = – (0,36 ± 0,13), zaś dla pryzmatu o kącie ϕ = 26º kąt załamania θ = – (9 ± 2 º) , czyli współczynnik
załamania n = – (0,35 ± 0,08).
48
Inne podejście eksperymentalne przedstawione zostało w publikacjach [59], [60].
Podobnie jak w doświadczeniu [58] pryzmaty wykonane były z metamateriałów
zbudowanych z równoległych przewodników i pierścieni, jednak komórka elementarna
zawierała dodatkowy metalowy drut, co pozwoliło na rozszerzenie operacyjnego pasma
częstotliwości. Doświadczenia i symulacje numeryczne przeprowadzone zostały
dla pryzmatów o kątach 12° i 32° w zakresie 10–15 GHz, a ich wyniki były zgodne
z teorią. Ponadto uwzględniono rolę strat związanych z rozpraszaniem promieniowania,
które mają bardzo duŜe znaczenie, gdy rozwaŜa się moŜliwości praktycznego zastosowania
metamateriałów. Zidentyfikowano przyczyny strat, zaproponowano sposób wytworzenia
metamateriału, który charakteryzuje się znacznie mniejszym rozpraszaniem
i doświadczalnie sprawdzono jego właściwości [61]. Przyczyną strat była skończona
konduktywność drutów oraz straty pochodzące od dielektrycznego podłoŜa i uŜytego
spoiwa, które odgrywają największą rolę przy duŜej koncentracji pola EM. Symulacje
komputerowe wykazały, Ŝe największa koncentracja pola EM występuje w przerwie
miedzianych pierścieni. Usunięcie dielektryka i spoiwa z tego obszaru spowodowało
poprawę właściwości transmisyjnych metamateriału z 80% do 90% dla próbki o grubości
1cm. Wykazano równieŜ, Ŝe uŜycie metalowych elementów nie grubszych niŜ 3–5
głębokości wnikania promieniowania pozwala zminimalizować straty spowodowane
rozpraszaniem na metalu.
Rys. 31 Komórka elementarna 901 HWD o wymiarach C = 0,025 cm, D = 0,03 cm,
G = 0,046 cm, H = 0,0254 cm, L = 0,33 cm, S = 0,0263 cm, T = 17,0×10-4 cm,
W = 0,025 cm, V = 0,255 cm [61].
Tym samym ujemne załamanie zostało dobitnie potwierdzone praktycznymi
pomiarami. Rozpoczęła się faza nasilonych prac nad miniaturyzacją wytworzonych
struktur i przesunięcia przedziału częstotliwości, w którym współczynnik załamania jest
ujemny do zakresu optycznego.
49
III.2 Modulacja transmisji fali EM
Struktury wielowarstwowe zawierające materiały o ujemnym współczynniku załamania
mogą być traktowane jak sekwencja płasko-równoległych soczewek [90], których
wzajemne efekty pochodzące od płytek materiału ujemnego i przestrzeni materiału
dodatniego (powietrza) znoszą się. Takie struktury periodyczne o uśrednionym
współczynniku załamania równym zero, mają tę właściwość, Ŝe transportowana przez nie
fala jest modyfikowana, co ma wpływ na wzmocnienie lub osłabienie transmisji przez taki
układ. Wprowadzając defekt w postaci warstwy o innej grubości zaburzającej
periodyczność układu udowodniono, Ŝe moŜna zmieniać sposób rozchodzenia się w nim
promieniowania [90]. Metamateriał utworzony był przez trójwymiarową sieć komórek
elementarnych zbudowanych z drutów i rozproszonych rezonatorów kołowych
analogicznych do tych opisanych w pracach [32],[36], [37] (Rys. 32).
Rys. 32 Schemat wielowarstwowej struktury złoŜonej z naprzemiennie ułoŜonych warstw
metamateriału i powietrza o grubości a, zawierający warstwę o grubości b
wprowadzającą defekt do układu; elementarna komórka metamateriału [90].
Główny wkład do efektywnej przenikalności elektrycznej mają druty, zaś do efektywnej
przenikalności magnetycznej rozproszone rezonatory kołowe [5], [92]. Efektywna
przenikalność elektryczna
ε (ω ) = 1 −
ω 2p
,
ω (ω − iγ ε )
(3.3)
gdzie
ωp ≈
γε =
c
2π
⋅
to efektywna częstość plazmowa,
d ln d 
 r 
 w
c2
2 ⋅ σ ⋅ S ln d 
 rw 
to tłumienie przenikalności elektrycznej,
(3.4)
(3.5)
50
σ to przewodność drutu, zaś S to efektywny przekrój drutu określony jako
S = π ⋅ rw2

S ≈ π ⋅ δ ⋅ (2 ⋅ rw − δ )
dla
dla
δ ≥ rw
,
δ < rw
(3.6)
gdzie
δ=
c
2πσω
to penetracja promieniowania EM w strukturę materiału.
(3.7)
Aby obliczyć efektywną przenikalność magnetyczną sieci złoŜonej z rozproszonych
rezonatorów kołowych (SRR) ich magnetyzację naleŜy określić jako
M =
nm
πRr2 I r ,
2c
(3.8)
gdzie
3
to liczba SRR przypadająca na jedną komórkę elementarną,
(3.9)
d3
Rr to promień pojedynczego rezonatora kołowego, zaś I r to prąd płynący przez rezonator
kołowy.
nm =
Rezonator kołowy moŜna traktować jak efektywny obwód oscylujący o indukcji L
i rezystancji drutu R oraz pojemności C przestrzeni wewnątrz SRR. W takim obwodzie siła
elektromotoryczna ( Π) pochodzi od zmiennego w czasie pola magnetycznego
rozchodzącej się fali elektromagnetycznej. Przy takich załoŜeniach zmiany prądu I r
w pojedynczym SRR opisać moŜna następująco
L
∂2Ir
∂I
1
∂Π
+ R r + Ir =
∂t
C
∂t ,
∂t 2
(3.10)
gdzie H’ to lokalna (mikroskopowa) wartość pola magnetycznego, róŜna od wartości
średniej (makroskopowej) pola magnetycznego H, zaś
Π=
πRr2 ∂H '
c
⋅
∂t .
(3.13)
JeŜeli liczba SRR przypadających na objętość d 3 (czyli pojedynczą komórkę elementarną)
jest wystarczająco duŜa, tablicę SRR traktujemy jako układ dipoli magnetycznych
i zaleŜność między polami magnetycznymi mikroskopowym i makroskopowym opisujemy
jako
H '= H +
4π
8π
M = B−
M.
3
3
(3.11)
51
W efekcie z równań (3.8)−(3.11) otrzymujemy wyraŜenie na efektywną przenikalność
magnetyczną zaleŜną od częstości promieniowania elektromagnetycznego
µ (ω ) = 1 +
Fω 3
ω 02 + ω 2 1 + F
(
)+ iωγ
3
,
(3.12)
µ
gdzie
2
2π nm  πRr2 

 to współczynnik wypełnienia komórki elementarnej,
F=
L  c 
1
ω 02 =
to częstość rezonansowa obwodu LC,
LC
R
γ µ = to tłumienie przenikalności magnetycznej.
L
(3.13)
(3.14)
(3.15)
Indukcja L, rezystancja R i pojemność C wynoszą odpowiednio
L=
4π Rr   8Rr  7 
− ,
ln
c2   r  4
2πRr
R=
,
σ Sr
(3.16)
(3.17)
π r2
C=
,
4π d g
(3.18)
gdzie r to średnica drutu tworzącego rezonator kołowy, d g to szerokość przerwy
w pierścieniu SRR, S r to efektywny przekrój drutu tworzącego SRR, definiowany
analogicznie jak (3.6)
S r = π r 2

S r ≈ π δ (2r − δ )
dla
δ ≥r
dla
δ <r
.
(3.19)
Pojemność C jest niezmienna, poniewaŜ d g << r .
Dla materiału o parametrach d = 1 cm, rw = 0,05 cm, Rr = 0,2 cm, r = 0,02 cm,
d g = 10 3 cm, σ = 2 ⋅ 1019
[1 s ] otrzymano zaleŜność rzeczywistych części przenikalności
ε (ω ) oraz µ (ω ) od częstotliwości, których wykresy przedstawia Rys. 33. Częstość
rezonansowa w tym wypadku wynosiła 5,82 GHz, zaś pasmo dla którego występują
jednocześnie ujemne przenikalności elektryczna i magnetyczna zawiera się pomiędzy
5,82 GHz a 5,96 GHz.
52
Rys. 33 ZaleŜność rzeczywistej składowej przenikalności elektrycznej i magnetycznej
od częstotliwości [90].
Układ tworzyło siedem warstw metamateriału umieszczonych w powietrzu. Liczba
warstw tworzących układ (Rys. 32) została tak wybrana, aby zminimalizować straty.
Periodyczność struktury zaburzał wprowadzony defekt strukturalny w postaci warstwy
ujemnego materiału o innej grubości. WaŜną cechą badanej struktury periodycznej, mającą
decydujący wpływ na jej właściwości elektromagnetyczne, był jej uśredniony
współczynnik załamania równy zero <n> = 0. Efekt taki uzyskano dzięki zastosowaniu
metamateriału o n = −1, a takŜe optymalnemu wyborowi liczby warstw, ich grubości
i szerokości przerw pomiędzy warstwami. Udowodniono, Ŝe przy takiej konfiguracji
w strukturze pojawiają się dodatkowe przerwy wzbronione, które nie występują
w strukturach warstwowych utworzonych wyłącznie z dodatnich materiałów. ZauwaŜono,
Ŝe maksimum transmisyjne znajduje się wewnątrz pasma <n> = 0, jeŜeli grubość warstw
jest całkowitą wielokrotnością połowy długości fali padającego promieniowania.
Szerokość pasm transmisyjnych zmniejszała się wraz ze wzrostem liczby lub grubości
warstw. Współczynnik transmisji wewnątrz odkrytych przerw wzbronionych mógł zanikać
nawet dla bardzo cienkich warstw materiału, w czym upatrywano moŜliwości wytworzenia
efektywnych zwierciadeł pracujących w zakresie mikrofalowym.
III.3 Istnienie fal wstecznych
A.Grbic i G.V.Eleftheriades pod koniec roku 2002 zaprezentowali wyniki
przeprowadzonego eksperymentu mającego na celu potwierdzić zjawisko wstecznego
rozchodzenia się fali EM w ośrodkach ujemnych i moŜliwość zastosowania takich
metamateriałów do budowy anten mikrofalowych [102].
Naładowane cząstki poruszające się w ośrodku z prędkością większą niŜ prędkość
fazowa światła emitują spójne promieniowanie zwane promieniowaniem Czerenkowa.
Kąt wypromieniowywanego stoŜkowego frontu falowego zaleŜy od wzajemnego stosunku
prędkości cząstki V i prędkości fazowej fali EM w otaczającym ośrodku (v(f)) zgodnie
ze wzorem
cos θ =
v ( f ) c / n0
=
V
V
53
gdzie n0 – współczynnik załamania otaczającego ośrodka, c – prędkość światła, θ – kąt
pomiędzy wektorem prędkości cząstki a wektorem falowym odbitej fali EM.
Z właściwości funkcji cosinus wynika, Ŝe kąt θ w ośrodku ujemnym będzie
rozwarty (θ > 90°), co oznacza wsteczną propagację frontu falowego emitowanej fali EM.
JeŜeli rozwaŜamy periodyczną strukturę przewodzącą prędkość cząsteczki V zostanie
zastąpiona przez prędkość fazową fali EM w tej strukturze. Wówczas kąt
wypromieniowywania energii wyznaczyć moŜna jako
cos θ =
c / n0 n1
=
c / n1 n0
gdzie n1 – współczynnik załamania próbki.
Gdy n1<0, emitowane promieniowanie jest skierowane wstecznie do otaczającego strukturę
ośrodka dodatniego, co oznacza istnienie wstecznej fali, której istnienie przewidział
w 1968 roku Veselago [2].
Zaproponowany model ośrodka ujemnego (opisany za pomocą teorii linii
transmisyjnych) został zastosowany w roli anteny odbiorczej i umieszczony został w polu
anteny nadawczej. Obracając próbkę z krokiem 1°, zbadano rozkład transmitowanej przez
strukturę mocy w zaleŜności od kąta padania z anteny nadawczej. Uzyskany rozkład
promieniowania elektromagnetycznego wokół próbki wyraźnie potwierdził istnienie
ujemnego promieniowania Czerenkowa. Potwierdzono tym samym kolejną moŜliwość
wykorzystania zjawiska ujemnego załamania fali EM. Obecność fal wstecznych
w ujemnych metamateriałach czyni je dobrymi kandydatami do budowy płaskich,
kompaktowych urządzeń mikrofalowych takich jak mieszacze fal lub soczewki
mikrofalowe. Miniaturyzacja tych urządzeń moŜliwa dzięki zastosowaniu sztucznych
materiałów umoŜliwiłaby ich zastosowanie w komunikacji bezprzewodowej, radarach,
monitoringu i bezprzewodowej transmisji mocy.
III.4 Ujemne załamanie światła
Doświadczalnego potwierdzenia właściwości metamateriałów w zakresie optycznym
dostarczyła grupa badawcza z Purdue University [85] Uzyskane przez nich wyniki
dla metamateriału zbudowanego z par złotych nanodrutów, poparte trójwymiarowymi
symulacjami numerycznymi FDTD20. Dzięki uŜyciu róŜnych próbek pokazano, Ŝe rodzaj
podłoŜa i współczynnik wypełnienia metalem maja kluczowy wpływ na właściwości
kompozytu: wartość współczynnika załamania i jego znak. Zaprezentowana w [85] metoda
umoŜliwia bezpośredni pomiar wartości i znaku przesunięcia fazowego dla fali świetlnej
o polaryzacji liniowej „s” i „p” przy przejściu przez badaną próbkę. Czyni to ją bardziej
uniwersalną w porównaniu do metody zaprezentowanej w [86], gdzie mierzono zmiany
fazy bez wykorzystania interferometrów, co wymagało dobrej znajomości próbki przed
pomiarami.
20
FDTD – Finite Difference Time Domain
54
Dla transparentnych materiałów optycznych przesunięcie fazy fali przechodzącej
2π ⋅ nd
przez próbkę o grubości d wyraŜa się φtrans =
, więc ujemne przesunięcie fazy
λ
φtrans < 0
oznacza, Ŝe ośrodek posiada ujemny współczynnik załamania n < 0 .
W doświadczeniach interferometrycznych przesunięcie fazy w materiale moŜe być
dokładnie zmierzone dzięki wykorzystaniu kontrolnej warstwy powietrza o tej samej
2π d
grubości jako φ = φtrans −φ pow , gdzie przesunięcie fazy fali w powietrzu to φ pow =
λ
zatem n jest ujemne w badanym materiale jeŜeli φ < −φ pow . Płytkę zbudowaną z komórek
zawierających metal i dielektryk charakteryzuje absorpcja i odbicia na powierzchniach
granicznych, więc związek przesunięcia fazy φ trans i współczynnika załamania n jest
bardziej skomplikowany. Z tego względu pomiar przesunięcia fazy fali przechodzącej
przez układ został uzupełniony pomiarami amplitudy fali transmitowanej i odbitej.
Zespolony współczynnik załamania warstwy zawierającej pary nanodrutów został
wyznaczony na podstawie równania
cos nkd =
1 − r 2 + n pt 2
(n p + 1) t + rt (n p − 1) ,
gdzie np to współczynnik załamania podłoŜa21 zaś r,t to amplitudowe współczynniki
reflektanci i transmitancji zmierzone doświadczalnie. W symulacji FDTD do opisania
przenikalności elektrycznej złota wykorzystano model Debye’a oparty na modelu Drudego
2
2π c
1,3673 ⋅ 1016
ε Au = 9,0 − 2
,
gdzie
ω
=
.
λ
ω + i 1,0027 ⋅ 1014 ω
(
(
)
)
2
2
Amplitudowe współczynniki transmisji T = t i reflektacji R = r mierzone były
na spektrofotometrze przy uŜyciu światła spolaryzowanego liniowo. Spektrum
transmisyjne zmierzono dla normalnego padania światła, spektrum refleksyjne dla światła
padającego pod niewielkim kątem do normalnej – 8°. Ujemny współczynnik załamania
zmierzony został poprzez bezpośrednie pomiary fazy i amplitudy dla promieniowania EM
o częstości z pobliŜa zakresu telekomunikacyjnego (długość fali 1,5 µm) przy
zastosowaniu technik interferencyjnych (Rys. 34).
W interferometrze polaryzacyjnym dwa kanały optyczne mają tę samą drogę
geometryczną i róŜnią się polaryzacją światła. RóŜnicę faz pomiędzy ortogonalnie
spolaryzowanymi falami wyznacza się jako ∆φ = φ|| − φ ⊥ . Drugi interferometr22 posiada
dwa kanały optyczne o róŜnych ścieŜkach geometrycznych o tej samej polaryzacji. Wynik
odczytywany jest jako δφ = φ próbki − φ pow i opisuje stosunek zmiany fazy wywoływanej
przez próbkę φ próbki w odniesieniu do zmiany fazy wywołanej przez kontrolną warstwę
powietrza φ pow o jednakowej grubości.
21
22
W doświadczeniu [85] wykorzystano szkło o np = 1,48
Określany w literaturze jako „walk-off interferometer” [85]
55
Rys. 34 Schemat pomiaru transmisji i odbicia fali EM przy uŜyciu interferometru
(a) polaryzacyjnego (b) róŜnicowego (na podstawie [85]).
Efekt rozszczepienia („walk-off”) przez kalcyt jest uŜywany do rozdzielenia dwóch
promieni a następnie do ich złączenia ich, Ŝeby wywołać interferencję jak zostało
to pokazana na Rys. 34 (b). Przesunięcia fazy dla obu polaryzacji światła zmierzone
drugim interferometrem δφ|| i δφ ⊥ zostały porównane z otrzymaną z pierwszego typu
interferometru ∆φ = δφ|| − δφ ⊥ . Błąd metody dla interferometru polaryzacyjnego określony
został na ±1,7°. ZauwaŜono, Ŝe grubość podłoŜa nie ma wpływu na pomiar róŜnicy faz
∆φ = δφ|| − δφ ⊥ , co jest typowe dla interferometrów ze wspólną ścieŜką promienia.
Dla drugiego interferometru zmiana grubości podłoŜa jest źródłem dodatkowego błędu
metody i moŜe zwiększyć go do ±4°.
Metamateriał z równoległych par złotych nanodrutów wykazał ujemny
współczynnik załamania n ≅ −0,3 dla promieniowania o długości fali 1,3 µm
spolaryzowanego poprzecznie magnetycznie (polaryzacja „p”). W tym przypadku światło
wzbudzało jednocześnie rezonans elektryczny i magnetyczny. Dla innych konfiguracji
współczynnik załamania był bliski zeru, ale cały czas dodatni (najniŜszy wynosił n = 0,08
dla 1,1 µm dla wielowarstwowej struktury analogicznej do tej opisanej w pracy [87]).
Dla światła o polaryzacji „s” wzbudzony został rezonans elektryczny (ujemna
przenikalność elektryczna) dla promieniowania o długości fali 800 nm, jednak nie udało
się dla tak krótkich fal otrzymać ujemnej przenikalności magnetycznej.
56
Ujemne załamanie światła potwierdzone zostało dopiero niedawno, w sierpniu
2006 roku [88]. Wcześniej dla podobnego zakresu częstotliwości udało się wytworzyć
i zbadać metamateriał o ujemnej przenikalności magnetycznej [89] zbudowany ze słupków
złota o wysokości 85 ± 5 nm i średnicy 100 nm, dla których rezonans magnetyczny
wywoływany był przez falę EM o długości 670 nm. W doświadczeniu G.Dolling’a i in.
[88] do wytworzenia badanego metamateriału (zob. rozdział II.7) uŜyto srebrnych
nanodrutów, co pozwoliło na znaczne zmniejszenie strat i przesunięcie uŜytkowego
zakresu częstotliwości w zakres widzialny. W symulacjach FDTD wykorzystano model
Drudego, poniewaŜ dla częstotliwości z zakresu optycznego pozwala on wystarczająco
dokładnie określić właściwości dielektryczne srebra. Aby bez wątpienia określić parametry
metamateriału pomiary interferometryczne róŜnicy faz uzupełniono badaniem czułości
fazy.
Rys. 35 ZaleŜność transmitancji i reflektanci badanego metamateriału uzyskana
(a) doświadczalnie i (b) symulacyjnie [88].
Współczynnik załamania dla rozwaŜanej polaryzacji fali EM o długości 780 nm w badanej
próbce przedstawionej na Rys. 27 wyniósł n = −0,6.
57
IV Zastosowania
Ujemne załamanie fali EM, poza swoim czysto teoretycznym charakterem, wzbudza
ogromne zainteresowanie i emocje właściwie od roku 1967. JuŜ Veselago [2] zwrócił
uwagę na pomijane dotąd rozwiązania równań Maxwella i opisał zachowanie się fali
elektromagnetycznej padającej na płytkę o ujemnym współczynniku załamania. Ponad
30 lat później dokładnego i obszernego opisu realizacji takiego materiału dokonała w swej
pracy grupa badawcza z Uniwersytetu Kalifornijskiego w San Diego [32], zaś Pendry
rozwinął koncepcję Veselago opisując sposób działania idealnej soczewki zbudowanej
z płasko-równoległej płytki materiału o ujemnym współczynniku załamania [93]. Artykuł
ten podzielił świat naukowców na dwie grupy: tych, którzy optymistycznie podchodzili
do potencjalnych moŜliwości, jakie daje zastosowanie metamateriałów we współczesnej
optyce oraz sceptyków tej idei [57], [94]−[96].
IV.1 Perfekcyjna soczewka
Jednym z najczęściej stosowanych i najdłuŜej znanych elementów optycznych jest
soczewka. MoŜe być uŜywana do skupiania bądź kierowania promieniowania, co pozwala
na wykorzystanie jej w ogromnej ilości układów i dla wielu długości fali – od fal
radiowych po optyczne. JeŜeli uświadomimy sobie jak szeroki jest zakres jej zastosowań,
zrozumiemy dlaczego wokół moŜliwości wykorzystania zjawiska ujemnego załamania fali
elektromagnetycznej w celu wytworzenia soczewki idealnej rozpętała się tak Ŝarliwa
dyskusja pośród naukowców.
Zjawisko załamania stanowi podstawę istnienia soczewek i odwzorowywania
obrazów. KaŜdy materiał o współczynniku załamania innym niŜ współczynnik załamania
otoczenia zmienia kierunek biegu fali elektromagnetycznej przy jej przejściu przez granicę
tych dwóch ośrodków. Kiedy fala pada na powierzchnię styku dwóch materiałów
pod przypadkowym kątem, kierunek rozchodzenia się fali po wejściu do drugiego ośrodka
zmienia się o wartość zaleŜną od współczynników załamania obu ośrodków. Ilościowej
zaleŜności pomiędzy kątem padania θ1 i załamania θ2 mierzonymi od normalnej
do powierzchni padania, oraz współczynnikami załamania obu materiałów n1 i n2 dostarcza
prawo Snelliusa (otrzymane przy Ŝądaniu równości fazy fali padającej i przechodzącej)
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
Idealna soczewka płaska
Veselago przewidział [2],
przenikalnościach równych
Ŝe
materiał
ε r = −1

µr = −1 ,
o
jednocześnie
ujemnych
względnych
(3.20)
będzie wykazywał ujemny współczynnik załamania n = −1 , a materiał taki będzie
zachowywał się jak soczewka skupiająca. W roku 2001 istnienie zjawiska ujemnego
58
załamania fali potwierdzono eksperymentalnie [54] a w kolejnych latach zaprojektowane
zostały materiały, które umoŜliwiają otrzymanie ujemnych przenikalności elektrycznej
[5]−[7], [32] i magnetycznej [6], [7], [32], [97], [98], takŜe przy wykorzystaniu struktur
fotonicznych [99]. Zaproponowaną przez Veselago teorię rozwinął Pendry [93], który
wykazał, Ŝe jeŜeli warunek (3.20) zostanie spełniony bardzo dokładnie, rozwaŜana
soczewka będzie skupiała padające promieniowanie idealnie punkt w punkt23. Sposób
na realizację takiej soczewki Pendry dostrzegł w metamateriałach wykonanych po raz
pierwszy przez grupę Smith’a [32].
Powszechnie wiadomo, iŜ zdolności skupiające soczewki, a więc rozdzielczość
obrazu, ograniczona jest przez długość promieniowania padającego na układ. śadna
powszechnie stosowana soczewka nie jest w stanie skupić promienia fali EM na obszarze
mniejszym niŜ kwadrat długości fali. WiąŜe się to z faktem, iŜ cała informacja
o przedmiocie przenoszona przez falę EM podzielona jest na dwa obszary – bliski i daleki.
Tradycyjne soczewki są w stanie zrekonstruować tylko dalekie składowe pola EM,
zaś informacja zawarta w bliskim polu w postaci zanikających fal przypowierzchniowych
nie moŜe zostać odtworzona i jest bezpowrotnie tracona, co ma decydujący wpływ
na jakość uzyskanego obrazu.
a)
b)
Rys. 36 (a) Bieg promieni w płytce z materiału o ujemnym współczynniku załamania;
(b) Płytka z materiału o współczynniku załamania n=-1 załamuje światło pod ujemnym
kątem względem normalnej. Światło skupiane jest dwukrotnie: wewnątrz płytki i poza nią.
Według Pendry’ego alternatywą dla tradycyjnej soczewki jest płasko–równoległa
płytka z materiału o ujemnym współczynniku załamania (Rys. 36). Światło przechodzące
przez płytkę o grubości d2 umieszczoną w odległości d1 od źródła promieniowania
jest skupiane w odległości z = d2 – d1 po drugiej stronie płytki. Przenikalność elektryczna
i magnetyczna materiału równe są –1 i współczynnik załamania jest ujemny zgodnie
z równaniem (1.15). Impedancja ośrodka pozostaje w tym przypadku dodatnia
23
W literaturze zjawisko to określane jest mianem „superskupienia” lub „supersoczewkowania”.
59
Z=
µµ 0
,
εε 0
(4.7)
i jeŜeli taka soczewka umieszczona jest w próŜni, nie występuje odbicie i promieniowanie
jest w całości transmitowane przez układ.
Pendry rozpatrzył punktowe źródło promieniowania elektromagnetycznego
o częstości ω, którego pole
E (r , t ) = ∑ E (k x , k y ) × exp(ik z z + ik x x + ik y y − iω t ) ,
(4.1)
propaguje się wzdłuŜ osi z soczewki. Zgodnie z równaniami Maxwella mamy
kz = +
ω2
c2
ω2
c2
− k x2 − k y2 ,
(4.2)
>k +k .
2
x
2
y
Zadaniem soczewki jest korekta fazy kaŜdej ze składowych Fouriera pola
elektromagnetycznego tak, aby w pewnej odległości od soczewki nastąpiło skupienie
i powstał obraz źródła promieniowania.
JeŜeli
ω2
k z = +i k x2 + k y2 −
ω2
c2
c2
,
(4.3)
<k +k ,
2
x
2
y
fale przypowierzchniowe zanikają ekspotencjalnie wzdłuŜ osi z i ich amplituda
nie jest odtwarzana. Powstały obraz źródła promieniowania tworzony jest tylko z fal
rozchodzących się wzdłuŜ osi z. PoniewaŜ fale te ograniczone są do
k x2 + k y2 <
ω2
c2
,
(4.4)
więc największa moŜliwa do uzyskania rozdzielczość to
∆≈
2π c
2π
=
=λ
ω
k max
(4.5)
W przypadku tych fal ich zanikanie ma związek z amplitudą, nie zaś z fazą, zatem aby
temu zapobiec konieczne jest ich wzmocnienie, nie zaś korekta fazy. Pendry udowadnia
[93], Ŝe fale przypowierzchniowe doznają potrzebnego wzmocnienia w procesie transmisji
przez płytkę o ujemnym współczynniku załamania, zatem metamateriały mają zdolność
zapobiegania zanikaniu fal przypowierzchniowych.
60
Idealna soczewka sferyczna
Płytka z materiału o ujemnym współczynniku załamania skupia promieniowanie
elektromagnetyczne, jeŜeli zaś współczynnik ten równy jest –1 zachowuje się jak idealna
soczewka skupiająca produkując idealny obraz odwzorowywanego przedmiotu. Jednak
powstały w ten sposób obraz jest w skali 1:1 i powiększenie go nie jest moŜliwe.
Uzyskanie idealnego i powiększonego obrazu przedmiotu wymaga zastosowania soczewki
skupiającej o zakrzywionej powierzchni, co pociąga za sobą konieczność zmiany definicji
przenikalności elektrycznej ε i magnetycznej µ materiału tak, aby były one funkcjami
połoŜenia.
W roku 2003 Pendry przedstawił sposób na uzyskanie powiększenia
w perfekcyjnych soczewkach [100]. Aby uzyskać idealną soczewkę powiększającą,
powierzchnia materiału musiała być zagięta, przy jednoczesnym zachowaniu wszystkich
jego właściwości fizycznych. Pendry zaproponował dwie moŜliwości budowy takiej
soczewki (Rys. 37).
Rys. 37 Soczewka o cylindrach współosiowych (a) i stycznych wewnętrznie (b); r2 = r1
b2
a2
(na podstawie [100])
Deformacja kształtu powierzchni pociągała za sobą zmianę charakteru parametrów
takiego materiału. Zastosowana przez Pendry’ego transformacja między tymi geometrią
planarną i cylindryczną szczegółowo opisana została w [100]. Efektem takiej transformacji
była cylindryczna soczewka, która odtwarzała i powiększała bez zniekształceń zawartość
mniejszego cylindra (o promieniu a) na zewnątrz większego cylindra (o promieniu b)
lub wytwarzała pomniejszony idealny obraz obiektu umieszczonego na zwenątrz
większego cylindra wewnątrz cylindra mniejszego. Współczynnik powiększenia soczewki
2
to b 2 . Ponadto jest to soczewka jest krótkoogniskowa i tylko obiekty oddalone od jej
a
2
osi o mniej niŜ r = b
mogą być odwzorowane wewnątrz przestrzeni pomiędzy
a
cylindrami, zaś obiekty umieszczone w tej przestrzeni jak równieŜ te umieszczone bliŜej
2
środka niŜ r = a
nie wytworzą obrazu na zewnątrz duŜego cylindra. Przenikalności
b
elektryczna ε i magnetyczna µ opisanej soczewki muszą być proporcjonalne
do odwrotności kwadratu promienia 1 2 [100].
r
61
IV.2 Urządzenia mikrofalowe
Metamateriały o ujemnym współczynniku załamania znalazły zastosowanie takŜe
w budowie róŜnego typu urządzeń mikrofalowych. W tym zakresie jednym z najbardziej
aktywnych metamateriałoznawców jest George V. Eleftheriades. Opisany przez niego
model linii transmisyjnych dla metamateriału o ujemnym współczynniku załamania [53],
[65] okazał się być bardzo uŜyteczny, ze względu na swoją prostotę i łatwość, z jaką
moŜna przy jego uŜyciu budować dwuwymiarowe obwody mikrofalowe.
Kompaktowy, jednowymiarowy modulator fazy zbudowany z naprzemiennie
ułoŜonych warstw materiału ujemnego i dodatniego [101] posiada kilka niewątpliwych
zalet w porównaniu do swojego konwencjonalnego odpowiednika. Zastosowanie warstw
o ujemnym współczynniku załamania pozwoliło zminiaturyzować modulator
a jednocześnie uniezaleŜnić jego działanie od wymiarów. Ponadto udowodniono,
Ŝe odpowiedni dobór wartości poszczególnych elementów pojemnościowych
i indukcyjnych w modelu linii transmisyjnych uŜytego metamateriału pozwala
na osiągnięcie dodatniego, ujemnego lub zerowego przesunięcia fazy fali EM,
przy jednoczesnym zachowaniu niewielkich wymiarów urządzenia. Ze względu na swoje
niewielkie wymiary, planarną geometrię i liniową odpowiedź, modulatory wykorzystujące
ujemne załamanie są łatwe do zintegrowania ich z innymi urządzeniami mikrofalowymi.
MoŜliwość wykorzystania metamateriałów o ujemnym współczynniku załamania
jako anteny mikrofalowej [102], [103] opisana została pod koniec 2002 roku przez
A.Grbic’a i G.V. Eleftheriades’a. Zarówno symulacje jak i eksperyment potwierdziły
dyspersyjny charakter odbiorczej anteny mikrofalowej (zob. rozdział III.3)
wykorzystującej ujemne materiały: kąt, pod jakim rozchodziła się emitowana fala
wsteczna jest silnie zaleŜny od częstości uŜytego padającego promieniowania ω zgodnie
−1
z równaniem B ≈
, gdzie v ( g ) ≅ ω 2 LC d .
ω LC d
62
IV.3 Najnowsze odkrycia
Najnowszy sposób wykorzystania metamateriałów przedstawiony został przez Pendry’ego,
Schuringa i Smitha [104] w maju 2006 roku. Zaprezentowali oni sposób na dowolne
kształtowanie linii pola EM przy uŜyciu wydrąŜonej kuli z metamateriału o ujemnym
współczynniku załamania, do której wnętrza promieniowanie EM o określonej częstości
nie wnika (Rys. 38).
Rys. 38 Bieg promieni wewnątrz układu, widok w dwóch (A) i w trzech wymiarach (B)
[104].
Odpowiednio zaprojektowany metamateriał umoŜliwia praktycznie dowolne
zniekształcenie trajektorii padającego promieniowania: moŜna spowodować,
by promieniowanie ominęło pewną część przestrzeni, a następnie wróciło na swój
pierwotny tor (Rys. 39).
Rys. 39 Linie pola EM pochodzące od punktowego źródła promieniowania zakrzywiają się
wokół obszaru wewnątrz kuli, a następnie wracają na swój pierwotny tor [104].
Dystorsję pola EM opisano stosując transformacje przestrzenną współrzędnych
do określenia wartości przenikalności elektrycznej ε i magnetycznej µ przy jednoczesnym
spełnieniu równań Maxwella. Aby skompresować pole, które pierwotnie wypełniało
63
przestrzeń r < R2 , do przestrzeni R1 < r < R2 pomiędzy współśrodkowymi kulami,
zastosowano współrzędne przestrzenne
r ' = R1 + r ( R2 − R1 ) / R2
 '
,
θ = θ
 '
ϕ = ϕ
(4.6)
które następnie wykorzystano do zdefiniowania przenikalności elektrycznej ε’ i magnetycznej µ’ w tym układzie
R2 (r '− R1 ) 2
,
( R2 − R1 )r '
R2
ε 'θ ' = µ 'θ ' =
,
R2 − R1
R2
ε 'ϕ ' = µ 'ϕ ' =
.
R2 − R1
ε 'r ' = µ 'r ' =
(4.7)
Dla kuli wewnętrznej r < R1 wartości ε’ i µ’ mogą być dowolne i nie mają wpływu
zewnętrzną
( r > R2 )
na rozpraszanie
promieniowania
EM,
poza
kulą
ε ' r ' = µ ' r ' = ε 'θ ' = µ 'θ ' = ε 'ϕ ' = µ 'ϕ ' = 1 , zaś na granicy r = R2 występuje idealne
dopasowanie opisane warunkami
ε 'θ ' = ε 'ϕ ' =
1
1
oraz µ 'θ ' = µ 'ϕ ' =
ε 'r '
µ 'r '
(4.8)
Dzięki temu osłona wykonana z takiego metamateriału będzie omijana przez
promieniowanie z zakresu częstotliwości, dla którego został on zaprojektowany.
Co więcej, kaŜdy otoczony nią obiekt, będzie niezauwaŜalny z zewnątrz. PowyŜszy opis
wyklucza jednak istnienie pola EM wewnątrz obszaru r < R1 , co oznacza, Ŝe obserwator
znajdujący się wewnątrz niego obserwator równieŜ nie będzie widział tego, co znajduje się
po drugiej stronie osłony metamateriałowej. Takie osłony mogłyby być uŜywane
do całkowitej ochrony urządzeń wraŜliwych na działanie promieniowania o konkretnej
częstości, a zastosowane dla zakresu widzialnego, stanowiłyby urządzenie kamuflujące.
64
V Transmitancja warstwowych układów optycznych
Metamateriały o ujemnym współczynniku załamania znajdą zapewne zastosowanie
w konstrukcji wielu urządzeń optycznych bazujących na supersieciach. Ze względu na to,
w tym rozdziale prezentujemy wzory Fresnela dla prostych układów wielowarstwowych
zawierających ośrodki ujemne i dodatnie. Supersieć jest nową klasą materiałów
niemoŜliwą do wytworzenia za pomocą powszechnie stosowanych metod wzrostu
kryształów. Składa się z ułoŜonych naprzemiennie co najmniej dwóch rodzajów warstw
materiałów dielektrycznych o grubości kilku atomów. W porównaniu do konwencjonalnych kryształów, supersieci zapewniają większą elastyczność projektowania nowych
materiałów, charakteryzują się lepszą luminescencją kwantową oraz oferują moŜliwość
projektowania struktury pasmowej materiału. Wszystkie te cechy zawdzięczają ściśle
określonemu rozkładowi współczynnika załamania n, przenikalności elektrycznej ε
i magnetycznej µ uzyskiwanym poprzez ustalony porządek ułoŜenia poszczególnych
warstw w strukturze supersieci opisany za pomocą wzorów rekurencyjnych.
Do analizy i obliczeń najprostsze są sieci dwuskładnikowe. Transmitancja
wielowarstwowych układów optycznych omówiona została obszernie w [15], [106].
Tutaj natomiast przedstawiona zostanie supersieć binarna, w której jeden z uŜytych
materiałów jest metamateriałem o ujemnym współczynnikiem załamania n. RozwaŜane są
dwa układy optyczne złoŜone z trzech warstw materiałów przedstawione na Rys. 40 i Rys.
41. Dla uproszczenia zakładamy, Ŝe współczynnik załamania ośrodka wejściowego
i wyjściowego są jednakowe, czyli płytka środkowa otoczona jest dwoma płytkami
wykonanymi z tego samego metamateriału o ujemnym bądź dodatnim współczynniku
załamania. Drugim poczynionym uproszczeniem jest załoŜenie, iŜ uŜywamy
bezdyspersyjnych materiałów dodatnich. Rozpatrzone zostaną dwie konfiguracje.
Pierwsza, przedstawiona jest na (Rys. 40), gdzie pomiędzy półpłaszczyznami ośrodka
ujemnego znajduje się ośrodek dodatni i druga (Rys. 41), gdzie ośrodek dodatni otacza
ośrodek ujemny.
Rys. 40 Ośrodek dodatni otoczony półpłaszczyznami z jednakowego, ujemnego
metamateriału.
65
Rys. 41 Płytka płasko-równoległa wykonana z metamateriału o ujemnym współczynniku
załamania otoczona półpłaszczyznami jednakowego, bezdyspersyjnego ośrodka
dodatniego.
Aby wyeliminować z rozwaŜań przypadki całkowitego wewnętrznego odbicia,
gdy θ 2 = π , wybieramy tylko takie kąty padania, które wynikają z zastosowania prawa
2
załamania
π 
n1 ⋅ sin θ1 < n 2 ⋅ sin  
2
n1 ⋅ sin θ1
<1
n2
co oznacza, Ŝe kąt padania na pierwszą powierzchnię graniczną musi spełniać warunek
n
sin θ1 < 2 .
n1
PoniewaŜ na wejściu i wyjściu fali elektromagnetycznej uŜyty został ten sam
ośrodek i współczynnik załamania wejściowy i wyjściowy są jednakowe, więc kąt wyjścia
θ 3 fali elektromagnetycznej będzie równy co do wartości kątowi wejścia θ1 ,
co jest zgodne z prawem Snelliusa. Dla rozpatrywanych układów prawo Snelliusa
moŜna zapisać następująco
Dla układu I:
− n1 ⋅ sin θ1 = n2 ⋅ sin(−θ 2 )
n 2 ⋅ sin θ 2 = n1 ⋅ sin(−θ 3 )
dla pierwszej granicy ośrodków
dla drugiej granicy ośrodków
Dla układu II:
n2 ⋅ sin θ1 = − n1 ⋅ sin(−θ 2 )
dla pierwszej granicy ośrodków
− n1 ⋅ sin θ 2 = n2 ⋅ sin(−θ 3 )
dla drugiej granicy ośrodków
Po wykonaniu prostych przekształceń matematycznych wyraźnie widać, iŜ w kaŜdym
z przypadków kąty są sobie równe co do wartości, czyli θ1 = θ 3 .
66
V.1
Ujemne załamanie fali EM
Zachowanie się fali elektromagnetycznej przy przejściu przez granicę ośrodków o róŜnych
co do wartości i przeciwnych co do znaku współczynnikach załamania ilustruje rysunek
Rys. 42 Fala elektromagnetyczna na granicy ośrodków o przeciwnych znakach
współczynnika załamania.
Zakładamy teŜ, Ŝe spełnione są warunki ciągłości linii pola elektromagnetycznego
na granicy dwóch ośrodków (1.3) oraz Ŝe częstość drgań fali elektromagnetycznej
jest stała. Wektory falowe leŜą wtedy w jednej płaszczyźnie zwanej płaszczyzną padania
i mają postać
k j = [k x, j , 0, k z , j ] = [ n j
ω
c
cos θ j , 0, n j
ω
c
sin θ j ]
(5.1)
gdzie: j = 1,2.
67
Wykorzystywana tu jest wielkość zwana liczbą falową i definiowana jako k =
ω
c
dla propagacji fali elektromagnetycznej w próŜni. WyraŜa ona całkowitą liczbę długości
fali zawartą w odległości 1 m Zgodnie z prawem odbicia, kąt padania fali EM na granicę
'
dwóch ośrodków jest równy kątowi odbicia θ1 = θ 1 oraz spełnione jest prawo Snelliusa.
V.2
Polaryzacja typu „s” i „p”
W zaleŜności od typu polaryzacji fali elektromagnetycznej rozkład wektorów pól
oraz wektorów falowych fali EM przy przejściu przez granicę ośrodków o przeciwnych
co do znaku współczynnikach załamania przedstawiony jest na Rys. 43 oraz Rys. 44 [15].
Rys. 43 Polaryzacja typu „s” – wektor pola E = [0 , Ey , 0].
Rys. 44 Polaryzacja typu „p” – wektor pola H = [0 , Hy , 0].
gdzie: E1( + ) to amplituda fali padającej, E1( − ) to amplituda fali odbitej, E 2( − ) to amplituda
fali załamanej, E 2( + ) to amplituda fali odbitej od drugiej powierzchni granicznej.
68
V.3
Dyspersja współczynnika załamania
Ujemny współczynnik załamania metamateriałów ma charakter silnie dyspersyjny,
co oznacza, Ŝe jego wartość jest bardzo czuła na zmiany częstości promieniowania
elektromagnetycznego padającego na układ. Zjawisko to opisane jest przez następujące
związki dyspersyjne[22]
ε r (ω ) = 1 +
gdzie:
ω p2ε
γ ε ,γ µ
µr (ω ) = 1 +
,
ωε2 − ω 2 + i ⋅ ω ⋅ γ ε
ω 2pµ
ωµ2 − ω 2 + i ⋅ ω ⋅ γ µ
(5.2)
– tłumienie dla przenikalności elektrycznej i magnetycznej, i = − 1 .
Dla ułatwienia analizy zakładamy, Ŝe rozpatrujemy tylko częstości bliskie częstości
rezonansowej ωε i ω µ co oznacza brak tłumienia, czyli γ ε = γ µ = 0
V.4
Amplitudowe współczynniki transmisji
Na podstawie warunków granicznych (1.3) dla fali elektromagnetycznej, stwierdzić
moŜna, iŜ ciągłość składowych stycznych pola elektrycznego i magnetycznego zachowana
jest jedynie w punkcie x = 0. Pozwala to zapisać relacje między natęŜeniami fali padającej
i odbitej oraz padającej i załamanej uŜywając wzorów Fresnela. W ten sposób moŜna
określić amplitudowy współczynnik odbicia rj,j+1 oraz amplitudowy współczynnik
załamania tj,j+1 dla obu typów polaryzacji, gdzie indeksy j,j+1 oznaczają numery
sąsiadujących warstw układu optycznego. W rozwaŜanym tutaj przypadku układ składa się
z trzech warstw, co pozwala zapisać wyraŜenia na współczynniki transmisji t i odbicia r
dla obu typów polaryzacji w postaci analitycznej.
JeŜeli rozwaŜamy przejście fali EM z ośrodka ujemnego n1<0 do dodatniego n2>0
(pierwsza powierzchnia graniczna na Rys. 40 oraz druga powierzchnia graniczna na Rys.
41), amplitudowe współczynnik odbicia r12 i amplitudowy współczynnik transmisji t12
dla polaryzacji „s” (poprzeczna polaryzacja elektryczna, Rys. 43) mają postać
Amplitudowy współczynnik odbicia:
k x ,1
 E1( − )
rs =  ( + )
 E1
−
k x,2
n1
ω
c
cos θ1
=
µ1
n1 cos θ1
µ1
ω
c
cos θ 2

µ
µ2
µ1
µ2
 = 1
=
=
ω
ω
 s k x ,1 + k x , 2
n1 cos θ1 n 2 cos θ 2
c
c
µ1
µ2
+
µ1
n1 cos θ1
−
n2
−
+
n 2 cos θ 2
µ2
n2 cos θ 2
µ2
=
µ2
(5. 3)
(− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1 n2 cos θ 2
−
µ2
(− µ r (ω ))
(− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1 n2 cos θ 2
+
(− µ r (ω ))
µ2
69
Amplitudowy współczynnik transmisji:
n1
k x ,1
ω
c
cos θ1
2⋅
2⋅

µ1
µ1
 =
=
=
ω
ω
 s k x ,1 + k x , 2
n1 cos θ1 n 2 cos θ 2
c
c
µ1
µ2
+
 E (−)
t s =  2( + )
 E1
µ1
2⋅
=
µ1
2⋅
µ1
+
(5. 4)
(− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1
(− µ r (ω ))
(− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1 n2 cos θ 2
+
(− µ r (ω ))
µ2
n1 cos θ1
n1 cos θ1
µ2
n2 cos θ 2
=
µ2
Korzystamy w tym miejscu (jak równieŜ w dalszych wyprowadzeniach)
z zaleŜności dyspersyjnych dla przenikalności elektrycznej i magnetycznej określonych
są wzorami (5.2) oraz wzoru (1.16) na ujemny współczynnik załamania.
Transmisję fali elektromagnetycznej spolaryzowanej poprzecznie magnetycznie
(polaryzacja „p”, Rys. 44) opisują natomiast
Amplitudowy współczynnik odbicia:
H
rp = 
H
(−)
1
(+)
1
n ⋅
2
1
(−)
1
(+)
1

E
 = 
p
E
n2
=
n ⋅
2
1
=
n2
ω
c
cos θ 2
µ1
ω
c
cos θ 2
µ1
 µ1 ⋅ k 2

 µ 2 ⋅ k1
−n ⋅
2
2
+n ⋅
2
2
n1
n1
n12 ⋅
k x,2
n ⋅
k x,2
=
2
1
ω
c
µ1
cos θ1
µ2
ω
c
µ1
cos θ1
− n 22 ⋅
k x ,1
+n ⋅
k x ,1
2
2
=
−
+
µ1
n1 cos θ 2
µ1
=
µ2
n1 cos θ 2
µ2
(− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ 2
(− µ r (ω ))
(− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ 2
(− µ r (ω ))
µ2
−
+
n 2 cos θ1
µ2
n 2 cos θ1
=
(5.5)
µ2
n 2 cos θ1
µ2
n 2 cos θ1
µ2
70
Amplitudowy współczynnik transmisji:
H
t p = 
H
(−)
2
(+)
1
(−)
2
(+)
1

E
 = 
p
E
2 ⋅ n1 ⋅ n 2 ⋅
=
n12 ⋅
n2
ω
2⋅
=
c
cos θ 2
µ1
2 ⋅ n1 ⋅ n 2 ⋅
 µ1 ⋅ k 2

 µ 2 ⋅ k1
n1
ω
c
=
n ⋅
2
1
k x,2
+ n 22 ⋅
n1
ω
c
µ2
+n ⋅
2
2
µ1
cos θ1
µ2
k x ,1
2⋅
=
cos θ1
k x ,1
µ2
n1 cos θ1
n1 cos θ 2
µ1
µ2
=
µ2
+
n 2 cos θ1
=
(5.6)
µ2
(− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1
µ2
(− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ 2
(− µ r (ω ))
+
n 2 cos θ1
µ2
Dla przejścia fali EM z ośrodka dodatniego n1>0 do ujemnego n2<0 (druga
powierzchnia graniczna na Rys. 40 oraz pierwsza powierzchnia graniczna na Rys. 41),
poprzez analogię amplitudowe współczynnik odbicia r12 i amplitudowy współczynnik
transmisji t12 dla polaryzacji „s” określić moŜna jako
Amplitudowy współczynnik odbicia:
k x ,1
 E ( −)
rs =  1( + )
 E1
k x,2
n1
ω
c
cos θ1
=
µ1
n1 cos θ1
µ1
ω
c
cos θ 2
−
−

µ1 µ 2
µ1
µ2
 =
=
=
ω
ω
 s k x ,1 + k x , 2
n1 cos θ1 n 2 cos θ 2
c
c
µ1
µ2
+
µ1
n1 cos θ1
n2
−
+
n 2 cos θ 2
µ2
n 2 cos θ 2
µ2
n1 cos θ1
=
µ1
n1 cos θ1
µ1
−
+
µ2
(5.7)
(− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ 2
(− µ r (ω ))
(− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ 2
(− µ r (ω ))
71
Amplitudowy współczynnik transmisji:
 E ( −)
t s =  2( + )
 E1
2⋅
k x ,1
2⋅
n1
ω
c
cos θ1

µ1
µ1
 =
=
=
ω
ω
k
k
x
,
1
x
,
2
s
n1 cos θ1 n 2 cos θ 2
+
c
c
µ1
µ2
+
µ1
2⋅
=
n1 cos θ1
2⋅
µ1
n1 cos θ1
+
µ1
µ2
n2 cos θ 2
=
µ2
(5.8)
n1 cos θ1
µ1
(− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1
n1 cos θ1
+
(− µ r (ω ))
µ1
Dla fali EM o polaryzacji „p” współczynniki wynoszą
Amplitudowy współczynnik odbicia:
H
rp = 
H
( −)
1
(+)
1
n ⋅
2
1

E
 = 
p  E
n2
=
n ⋅
2
1
(−)
1
(+)
1
n2
ω
c
µ1
ω
c
n1 cos θ 2
=
µ1
n1 cos θ 2
µ1
cos θ 2
cos θ 2
µ1
−
+
n12 ⋅
k x,2
− n 22 ⋅
k x ,1
 µ1 ⋅ k 2
µ1
µ2

=
=
k x, 2
k x ,1
2
2
 µ 2 ⋅ k1
n1 ⋅
+ n2 ⋅
µ1
−n ⋅
2
2
+n ⋅
2
2
n1
n1
ω
c
cos θ1
µ2
ω
c
cos θ1
µ2
n1 cos θ 2
=
µ1
n1 cos θ 2
µ2
µ1
−
+
n 2 cos θ1
µ2
n 2 cos θ1
µ2
=
(5.9)
(− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1
(− µ r (ω ))
(− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1
(− µ r (ω ))
72
Amplitudowy współczynnik transmisji:
 H (−)
t p =  2( + )
 H1
2 ⋅ n1 ⋅ n 2 ⋅
=
n ⋅
2
1
n2
ω
c
cos θ 2
µ1
n1
n1 cos θ 2
µ1
+
ω
c
+n ⋅
2
2
=
n ⋅
2
1
k x,2
µ1
cos θ1
µ2
2⋅
=
 µ1 ⋅ k 2

 µ 2 ⋅ k1

 E (−)
 =  2( + )
p
 E1
2 ⋅ n1 ⋅ n 2 ⋅
n1
ω
c
cos θ1
µ2
+n ⋅
2
2
2⋅
=
k x ,1
µ2
=
µ2
n1 cos θ1
n1 cos θ 2
µ1
k x ,1
µ2
+
n 2 cos θ1
µ2
=
(5.10)
n1 cos θ1
(− µ r (ω ))
(− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1
(− µ r (ω ))
Równania (5. 3)–(5.10) moŜna wykorzystać do opisu propagacji fale elektromagnetycznej
w układzie stosując formalizm macierzowy (Dodatek D).
73
V Podsumowanie
Zjawisko ujemnego załamania fali elektromagnetycznej jest zagadnieniem nowym i nie do
końca jeszcze poznanym. Sprzeczne z intuicją właściwości, jakie wykazują ośrodki
charakteryzujące się ujemnym współczynnikiem załamania, wciąŜ wzbudzają wiele
oŜywionych dyskusji w środowisku naukowym.
W ostatnich latach przedstawiono kilka sprzecznych ze sobą opinii [109]. Wydaje
się jednak, Ŝe okres najŜarliwszych dyskusji metamateriały mają juŜ za sobą. Ich
wyjątkowość potwierdzona została kilkoma wiarygodnymi eksperymentami, których
wyniki trudno zakwestionować. Do najbardziej przełomowych naleŜą doświadczenia
wykonane w sierpniu 2006 roku, których wyniki zostaną wkrótce opublikowane [88],
[107]. Po raz pierwszy efekty eksperymentu przy uŜyciu układów zawierających
metamateriały moŜna było obserwować w laboratorium gołym okiem.
Nowy rozdział w historii metamateriałów stanowi moŜliwość ich praktycznego
wykorzystania. Teraz pytanie nie brzmi juŜ „Jak wytworzyć ośrodek o ujemnym
współczynniku załamania?”, ale raczej „Jak go wykorzystać?”. Opisywane w literaturze
zastosowania obejmują zarówno obszary dość dobrze juŜ poznane jak technika
mikrofalowa, poprzez urządzenia wykorzystywane w Ŝyciu codziennym na przykład
w medycynie (MRI24 – obrazowanie przy uŜyciu magnetycznego rezonansu jądrowego)
aŜ po pomysły z pogranicza science fiction jak powodowanie niewidzialności obiektów
[104] lub ich lewitowania [108]. O ile praktyczne zastosowanie tych ostatnich wciąŜ
jeszcze mieści się poza granicami wyobraźni przeciętnego człowieka, to ulepszenie
metody MRI przyniosłoby bardzo wymierne efekty. Przekroczenie granicy dyfrakcji
(zob. Rozdział IV.1) oznacza moŜliwość obrazowania wnętrza ciała ludzkiego
z dokładnością większą niŜ długość fali uŜywanego promieniowania, co pozwoliłby
na wykrywanie juŜ pojedynczych komórek nowotworowych.
Praca stanowi syntezę dokonań w omawianej dziedzinie. Dość szczegółowo
przedstawiono podstawowe idee leŜące u podstaw koncepcji Veselago (Rozdział I).
Scharakteryzowano stosowaną w literaturze źródłowej terminologię oraz dokonano
klasyfikacji ośrodków na dodatnie i ujemne.
Zaprezentowano zwięzły rys historyczny dotyczący technologii wytwarzania
metamateriałów, a następnie omówiono rozwiązania technologiczne z przełomu XX i XXI
wieku (Rozdział II). DuŜo uwagi poświęcono modelowaniu badanych struktur za pomocą
linii transmisyjnych. Dokładnie omówiono teorię linii transmisyjnych (Dodatek C)
i zasadność stosowania jej w tym przypadku. Praca uwzględnia najnowsze osiągnięcia
technologiczne umoŜliwiające wytwarzanie metamateriałów dla widzialnego zakresu
widma elektromagnetycznego.
Stosunkowo duŜo uwagi poświęcono zebraniu wyników eksperymentów, które
jednoznacznie potwierdziły hipotezę Veselago o istnieniu ośrodków o ujemnym
współczynniku załamania i udowodniły posiadanie przez nie przewidywanych
wyjątkowych właściwości fizycznych (Rozdział III). Zaprezentowano najnowsze
i oczekujące na publikację eksperymenty dla zakresu widzialnego.
24
MRI − Magnetic Resonance Imaging
74
Opisany został szereg wybranych zastosowań metamateriałów i układów je
zawierających w dzisiejszej technice (Rozdział IV). DuŜo uwagi poświęcono dokładnemu
wyjaśnieniu teorii Pendry’ego dotyczącej idealnej soczewki płaskiej i sferycznej.
Szczególny nacisk połoŜony został na zastosowania metamateriałów w widzialnym
zakresie widma elektromagnetycznego – zarówno te juŜ wynalezione jak i zupełnie nowe,
wzbudzające wielkie nadzieje naukowców.
Scharakteryzowana została polaryzacja fali elektromagnetycznej na granicy
ośrodków o przeciwnych współczynnikach załamania, co poparte zostało starannymi
rysunkami (Rozdział V). Wyprowadzono wzory Fresnela dla ośrodków dodatnich
i ujemnych, a takŜe omówiono proste wielowarstwowe układy optyczne zawierające
metamateriały. Zdefiniowano pojęcie supersieci optycznych i zwięźle przedstawiono
ich główne zalety. Omówiono takŜe sposób opisu propagacji fali elektromagnetycznej
przez układy warstwowe przy zastosowaniu formalizmu macierzowego (Dodatek D).
Wyprowadzone w rozdziale V wzory Fresnela mogą być przydatne przy numerycznym
modelowaniu propagacji fali elektormagnetycznej przez supersieci optyczne zawierające
ośrodki ujemne.
W pracy zebrano obszerny spis literatury dotyczącej ujemnego załamania fal
elektromagnetycznych. Zawiera on najwaŜniejsze, wydane ostatnio, pozycje ksiąŜkowe,
liczne publikacje naukowe powstałe zarówno w początkowym okresie rozwoju tej
dziedziny jak i oczekujące na wydanie, najnowsze odkrycia oraz adresy najbardziej
wartościowych pod względem merytorycznym stron internetowych dotyczących
metamateriałów. Z tych powodów praca moŜe być wykorzystana jako obszerny materiał
źródłowy do celów naukowych i dydaktycznych.
Według najlepszej wiedzy Autorki, praca stanowi obecnie jedyne tak obszerne
opracowanie w języku polskim zagadnień z zakresu podstaw fizycznych i technologii
otrzymywania metamateriałów wykazujących zjawisko ujemnego załamania fal
elektromagnetycznych.
75
Dodatek A – Iloczyn wektorowy
r
r
r
Iloczynem wektorowym wektorów a = [a x , a y , a z ] i b = [bx , b y , bz ] jest wektor c
określony jako
r
c = [c x , c y , c z ] = [ a y b z − a z b y , a z b x − a x b z , a x b y − a y b x ]
r
Wektor wynikowy c ma następujące właściwości:
•
•
jego wartość jest równa iloczynowi wartości obu wektorów wyjściowych razy sinus
r r r
r r
kąta zawartego między nimi c = a ⋅ b ⋅ sin(a, b)
r r
jest on prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory wyjściowe a i b
•
jego zwrot ustalany jest przy pomocy reguły śruby prawoskrętnej
Wartość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi długości pierwszego wektora przez
długość rzutu drugiego wektora na kierunek prostopadły do pierwszego wektora. Wektor
zerowy otrzymamy, gdy jeden z wektorów wyjściowych jest zerowy lub gdy wyjściowe
wektory są równoległe.
Dodatek B – Magnetyczny potencjał wektorowy
Przypuśćmy, Ŝe mamy wzdłuŜne wzbudzenie plazmowe w strukturze przedstawionej
na Rys. 8. Wektor falowy jest skierowany wzdłuŜ osi z a długość fali padającego
promieniowania jest znacznie większa niŜ stała siatki a.
Wektor indukcji elektrycznej
D = [ 0, 0, D0 ] ⋅ e [i (kz − ωt )]
(B.1)
Zgodnie z prawem Ampere’a-Maxwella przepływający prąd oraz zmienne pole
elektryczne wytwarzają wirowe pole magnetyczne
∇×H =
∂D
+j
∂t
(B.2)
JeŜeli zarówno D jak i j mają ten sam rozkład w płaszczyźnie x-y to prawa strona równania
równa jest zero czyli nie ma tam pola magnetycznego. MoŜna się o tym przekonać
obliczając towarzyszący temu gęstość ładunku i gęstość prądu wprowadzone przez
wzdłuŜne pole.
σ = ∇ ⋅ D = ikD0 ⋅ e [l(kz −ωt )]
j = iω [ 0, 0, D ] ⋅ e [i (kz −ωt )]
(B.3)
(B.4)
JeŜeli wstawimy równania (B.3) i (B.4) do wzoru (B.2), jego prawa strona będzie
równa zero. Tak dzieje się wewnątrz kondensatora rozładowującego się poprzez
0
76
jednorodny dielektryczny rdzeń – pole magnetyczne nie jest generowane. W naszym
przypadku D i j mają inne rozkłady w płaszczyźnie x-y. Prąd jest ograniczony do bardzo
cienkich metalowych drutów, podczas gdy przy zastosowaniu duŜej długości fali
padającego promieniowania D jest stałe w płaszczyźnie x-y.
Dlatego teŜ w naszym przypadku pole magnetyczne nie jest zerowe. Jego wartość
w pobliŜu drutu obliczyć moŜna stosując następujące przybliŜenie: płaszczyznę x-y
dzielimy na kwadratowe komórki tak, aby w kaŜdej komórce w punkcie przecięcia jej
przekątnych znalazł się cienki metalowy drut. Aby obliczyć pole magnetyczne w otoczeniu
drutu przybliŜamy kaŜdy kwadrat prostopadłu do drutu kołem o takim samym polu
a
powierzchni, czyli o promieniu równym Rk =
. W kaŜdym punkcie płaszczyzny x-y
π
badane pole magnetyczne pochodzi tylko od jednego z drutów – tego, który znajduje się
najbliŜej. Pole magnetyczne wewnątrz kaŜdego z kół obliczyć moŜna
 j
j
R2
dla
0 < R < Rk
−
⋅ 2

H k =  2π R 2π R Rk
(B.5)

dla
r > Rk
0
zaś odpowiadający temu potencjał wektorowy (skierowany wzdłuŜ osi z)
µ j   R  R2 − R2 
k
−
dla 0 < R < R k
 0 ln
2 
Ak ( R) =  2π   Rk 
2 Rk 

dla r > R k
0
(B.6)
Gdzie wykorzystano moŜliwość wyboru stałej integracji tak Ŝe A jest zerem poza
kołem. Powód takiego wyboru był taki, Ŝe wektor A jednego koła nie zachodzi w ten
sposób na inne, więc wykluczona jest induktancja wzajemna pomiędzy drutami,
przynajmniej w tym przybliŜeniu.
MoŜemy więc obliczyć wartość A
µ j  r
Ak (r ) = 0 ln
2π   Rk
Przyjęliśmy Ak (r ) ≈
 r 2 − Rk2  µ 0 j   r π
 −
ln
=
2 Rk2  2π   a

2
 π r
1
−

+
 2a 2 2 


(B.7)
 10 −6 
µ0 j  r 
r
 = −8,51 . Resztkowe
ln  , poniewaŜ ln  = ln
 5 × 10 −3 
2π  a 
a


pole magnetyczne wynikające z zastosowania przybliŜenia komórek sześciennych kołami,
jest znikome poniewaŜ kwadrat ma poczwórną symetrię, więc korekta pola magnetycznego
byłaby na poziomie R-4.
77
Dodatek C – Teoria linii transmisyjnych
W obwodzie elektrycznym długość przewodów łączących ze sobą poszczególne elementy
obwodu nie ma znaczenia tylko w uproszczonych przypadkach, gdy do czynienia mamy
ze stałym napięciem na całej długości przewodu. JeŜeli jednak napięcie w obwodzie
zmienia się z okresem porównywalnym z czasem, jaki potrzebuje sygnał by pokonać
długość przewodu – wpływu jego długości nie da się pominąć i wtedy przewód taki
traktować naleŜy jako linię transmisyjną. Przewód naleŜy traktować jako linię transmisyjną
Mówiąc ogólnie – przewód naleŜy traktować jak linię transmisyjną, jeŜeli obwód zawiera
elementy częstotliwościowe operujące na długości fali porównywalnej z długością drutu.
Linia transmisyjna jest to ośrodek lub struktura słuŜąca do transmisji energii
w róŜnej postaci (np. fali elektromagnetycznej, fali akustycznej, mocy elektrycznej)
z jednego miejsca do drugiego. MoŜe stanowić całość lub część obwodu. Linie
transmisyjne budowane są z drutów, kabli współosiowych, płytek dielektryka, włókien
optycznych lub prowadnic falowych. Opisuje je para równań róŜnicowych zwanych
równaniami telegrafistów opisanych przez Oliviera Heaviside’a – twórcę modelu linii
transmisyjnej. Zasadniczą ideę linii transmisyjnych moŜna ująć w ten sposób,
Ŝe przewodnik złoŜony jest z nieskończonej liczby małych segmentów, analogicznych jak
ten na rysunku Rys. 45. Równania telegrafistów moŜna traktować jako uproszczony
przypadek równań Maxwella.
Rys. 45 Schemat elementarnej komórki linii transmisyjnej.
Rozproszona rezystancja R przewodnika reprezentowana jest przez równoległy
rezystor R’, którego wartość wyraŜa się w ohmach na jednostkę długości;
Rozproszona induktancja L (wynikająca z obecności pola magnetycznego wokół
przewodnika z prądem oraz z samoindukcji) reprezentowana jest przez szeregową
cewkę L’ (henry na jednostkę długości);
Pojemność C pomiędzy dwoma przewodnikami reprezentowana jest przez
równoległy kondensator C’ (farad na jednostkę długości);
Konduktancja G dielektryka pomiędzy przewodnikami reprezentowana jest przez
równoległą konduktancję G’ pomiędzy drutem przesyłowym i odbiorczym
(siemens na jednostkę długości).
78
W przypadku, gdy R i G są bardzo małe ich efekt oddziaływania na układ moŜe być
zaniedbany i wtedy linię transmisyjną uznajemy za idealną i bezstratną. W tym przypadku
model opiera się tylko na elementach L i C i otrzymujemy parę równań róŜnicowych –
pierwsze opisujące napięcie V, a drugie prąd I wzdłuŜ linii w zaleŜości od połoŜenia x
i czasu t
∂
∂
V ( x, t ) = − L I ( x , t )
∂x
∂t
∂
∂
I ( x , t ) = −C V ( x , t )
∂x
∂t
PowyŜsze równania mogą być przekształcone do postaci dwóch równowaŜnych równań
falowych
∂2
1 ∂2
V=
V
LC ∂t 2
∂t 2
∂2
1 ∂2
I
=
I
LC ∂t 2
∂t 2
W przypadku statycznym równania redukują się do
∂ 2V ( x )
+ ω 2 LC ⋅ V ( x ) = 0
∂x 2
∂ 2 I (x )
+ ω 2 LC ⋅ I ( x ) = 0
2
∂x
gdzie ω jest zadaną częstością
JeŜeli linia jest nieskończenie długa lub gdy jest zakończona swoją impedancją
charakterystyczną, równania te opisują falę elektromagnetyczną poruszającą się
1
c=
LC . JeŜeli rozwaŜymy współosiową linię transmisyjną wykonaną
z prędkością
z idealnego przewodnika i próŜni jako dielektryka, wspomniana prędkość jest prędkością
światła.
Kiedy R i G nie moŜna zaniedbać równania telegrafistów opisujące pojedynczą
komórkę mają postać
∂
∂
V ( x, t ) = − L I (x, t ) − RI ( x, t )
∂x
∂t
∂
∂
I ( x, t ) = −C V ( x, t ) − GV ( x, t )
∂x
∂t
RóŜniczkując pierwsze równanie po drodze, a drugie po czasie i dokonując kilku
przekształceń algebraicznych otrzymujemy równania róŜniczkowe z jedną niewiadomą
∂
∂2
∂2
V = LC 2 V + (RC + GL ) V + GRV
2
∂t
∂x
∂t
2
2
∂
∂
∂
I = LC 2 I + (RC + GL ) I + GRI
2
∂t
∂x
∂t
79
Równania moŜna traktować jak jednorodne równania falowe z tym zastrzeŜeniem,
Ŝe tłumienie w nich objawia się obecnością dodatkowych czynników przy V i I.
PowyŜsze
równania
falowe
sugerują
dla przemieszczającej się wzdłuŜ linii transmisyjnej fali
k = ω LC =
gdzie
ω
dwa
moŜliwe
rozwiązania
V ( x, t ) = f1 (ωt − kx ) + f 2 (ωt + kx )
v to liczba falowa (wyraŜona w radianach na metr)
ω jest częstością kołową (wyraŜoną w radianach na sekundę)
f1 , f 2 to dowolna funkcja
v=
1
LC prędkość propagacji
Parametr f1 reprezentuje falę poruszającą się w prawo (w kierunku dodatnich x), zaś f2
reprezentuje falę poruszającą się w lewo (w kierunku ujemnych x). Napięcie sumaryczne
w dowolnym punkcie linii jest sumą napięć pochodzących od tych dwóch fal.
PoniewaŜ prąd I jest związany z napięciem V poprzez równania telegraficzne, moŜna
zapisać
I ( x, t ) =
f1 (ωt − kx ) f 2 (ωt + kx )
−
Z0
Z0
gdzie Z0 jest impedancją charakterystyczną danej linii transmisyjnej, która dla linii
bezstratnej dana jest jako
L
Z0 =
C
Linia transmisyjna zwarta impedancją charakterystyczną nie będzie posiadała fal stojących
ani odbiciowych, zaś stosunek napięcia do prądu przy zadanej częstotliwości będzie
wartością stałą na całej długości linii. Impedancja charakterystyczna dla liniowego,
jednorodnego, izotropowego ośrodka dielektrycznego dana jest relacją
Z0 =
µ 1
=
= cµ
ε cε
gdzie Z0 – to impedancja charakterystyczna
ε – przenikalność elektryczna ośrodka (wyraŜona w faradach na metr)
µ – przenikalność magnetyczne ośrodka (wyraŜona w henrach na metr)
1
c=
µε to prędkość fali w ośrodku
80
JeŜeli rozwaŜanym ośrodkiem jest próŜnia c jest prędkością światła w próŜni rozumianą
jako
c=
1
µ 0ε 0
i wtedy impedancja charakterystyczna to
Z0 = cµ0 =
µ0
ε 0 , gdzie µ0 –
stała magnetyczna (przenikalność magnetyczna próŜni), ε0 – stała elektryczna
(przenikalność elektryczna próŜni).
UŜywając zapisu zgodnego z modelem linii transmisyjnych, ogólne wyraŜenie
R + jωL
Z0 =
G + jωC i dla linii bezstratnych
na impedancję charakterystyczną ma postać
L
Z0 =
C (bo R i G są pomijalnie małe)
to wspomniane juŜ
Dla rzeczywistych linii transmisyjnych mamy dwa przypadki:
Dla niskich częstotliwości czyli dla ωL << R oraz ωC << G mamy
Z0 =
Dla wysokich częstotliwości czyli dla ωL >> R oraz ωC >> G mamy
R
G
Z0 =
L
C
Są dwa rodzaje moŜliwych charakterystyk dla linii transmisyjnych. Zazwyczaj G
jest bardzo znikome, więc impedancja charakterystyczna przy niskiej częstotliwości ma
duŜą wartość, zaś dla wysokiej częstotliwości jest niewielka. Punktami przełomowymi dla
G
R
R
L
ω1 =
ω2 =
>>
C oraz
L . JeŜeli G
C
zaleŜności impedancja – częstość jest
to oczywistym jest, Ŝe ω 2 >> ω1 . Pomiędzy tymi dwoma częstotliwościami impedancja
charakterystyczna w kablu zmienia się jednostajnie.
81
Dodatek D – Formalizm macierzowy
Propagację fali elektromagnetycznej w wielowarstwowym ośrodku dielektrycznym
o J naprzemiennie ułoŜonych warstwach dwóch typów o róŜnych co do wartości i co do
znaku współczynnikach załamania opisać najłatwiej moŜna posługując się formalizmem
macierzowym [106]
 Γ11
Γ=
Γ21
 J

Γ12 
= Din ,1 ∏ Pj D j , j +1  ,

Γ22 
 j =1

gdzie j = 0,1,2,..., J , J + 1 to numery kolejnych ośrodków
Dzięki macierzy charakterystycznej moŜna obliczyć energetyczne współczynniki
transmisji (transmitancja
ℑ ) i odbicia (reflektancja
ℜ)
dla ośrodka
wielowarstwowego.Poszczególne składowe macierzy charakterystycznej to macierz
propagacji w ośrodku j-tym Pj oraz macierz transmisji Dj,j+1 z ośrodka j do j+1. Definiuje
się je następująco
Macierz propagacji Pj
e iφ j
Pj = 
 0
gdzie
φ j = d jn j
2π
λ
0 
,
iφ 
e j
cos θ j = d j n j
ω
c
cos θ j = d j ⋅ k x , j ,
jest grubością fazową
j-tej warstwy układu. Dla warstw dodatnich zakładamy
bezdyspersyjność współczynnika załamania nj i jest on z góry ustalony, natomiast
dla warstw ujemnych określamy go w sposób opisany
Macierz transmisji z ośrodka j do j+1
1
D j , j +1 =
t j , j +1
 1
r
 j , j +1
r j , j +1 
.
1 
Elementami macierzy transmisji są amplitudowe współczynniki odbicia i transmisji równe
odpowiednio Transmitancję ℑ i reflektancję ℜ dla wielowarstwowego ośrodka moŜna
obliczyć ze wzorów
2
n cos θ 3 1
ℑΓ = 3
,
n1 cos θ 1 Γ11
2
Γ
ℜ Γ = 21 .
Γ11
82
JeŜeli, tak jak w rozpatrywanym tu przypadku, ośrodek wejściowy i wyjściowy są
identyczne (n1 = n3), układ taki ma unimodularną macierz charakterystyczną Γ czyli
det Γ = 1 . Wtedy wzór transmitancja wyraŜa się jako
2
1
ℑΓ =
.
Γ11
Formalizm śladów i antyśladów macierzy charakterystycznej
W takim przypadku transmitancję moŜna wyrazić takŜe uŜywając formalizmu śladów
i antyśladów jako
ℑΓ =
gdzie
4
τΓ + σΓ
2
2
,
τ Γ = Γ11 + Γ22 to ślad macierzy, natomiast
σ Γ = Γ11 − Γ22 jest antyśladem diagonalnym,
który dla niediagonalnych wyrazów macierzy charakterystycznej Γ ma postać
ς Γ = Γ21 − Γ12 antysymetryczny antyślad niediagonalny
ηΓ = Γ21 + Γ12 symetryczny antyślad niediagonalny
Ślady macierzy i symetryczne antyślady niediagonalne mają tylko część
rzeczywistą, zaś antyślady diagonslnr i antysymetryczne antyślady diagonalne tylko część
urojoną.
D
la aperiodycznego układu wielowarstwowego złoŜonego z dwu typów warstw A i B
macierz charakterystyczna Γ przyjmuje postać
Γ = Din, A Q D A,out ,
gdzie Q jest unimodularną macierzą charakterystyczną opisującą propagację fali
elektromagnetycznej w wielowarstwowym ośrodku aperiodycznym umieszczonym między
dwoma jednorodnymi ośrodkami typu A. Macierz Q jest iloczynem macierzy QA
i QB opisujących propagację fali EM w kaŜdej z warstw
eiφ A
QA = PA = 
 0
QB = DAB PB DBA
1 1
=
t AB rAB
0 

e − iφ A 
rAB  eiφ A

1   0
0  1

e − iφ A  tBA
1
r
 BA
rBA 
1 
83
Bibliografia
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
www.wave-scattering.com/negative.html ;
V.G.Veselago, Usp. Fiz. Nauk. 92, 517–526 (1967);
http://zhurnal.ape.relarn.ru/~vgv/ ;
V.G.Veselago, “The electrodynamics of substances with simultaneously negative
values of ε and µ”, Sov. Phys. Usp. 10 509–514 (1968);
J.B.Pendry, A.J.Holden, D.J.Robbins, I.Youngs, “Extremely low Frequency
Plasmons in Metallic Mesostructures”, Phys. Rev. Lett. 76 4773–4776 (1996)
J.B.Pendry, A.J.Holden, D.J.Robbins, W.J.Stewart, “Low frequency plasmons in
thin-wire structures”, J.Phys.: Condens. Matter 10 4785–4809 (1998);
J.B.Pendry, A.J.Holden, D.J.Robbins, W.J.Stewart, “Magnetism from conductors and
enhanced nonlinear phenomena”, IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 47 2075–
2084 (1999);
D.Halliday, R.Resnick, J.Walker, “Podstawy Fizyki T 2–4”, wydanie pierwsze, PWN
Warszawa (2003);
R.P.Feynman, R.B.Leighton, M.Sands, “Feynmana wykłady z fizyki T.2, cz.1”,
wydanie piąte PWN Warszawa (2004);
M.Born, E.Wolf, “Principles of optics”, wydanie siódme rozszerzone, Pergamon
Press, London 1999;
A.Lakhtakia, M.W. McCall, W.S.Weiglhofer, J.Gerardin, J.Wang, “On mediums
with negative phase velocity: a brief overview”, arXiv:physics/0205027 v1 (2002);
A.Lakhtakia, wybrane artykuły na temat naturalnej aktywności optycznej (Milestone
Volume 15) SPIE Optical Engineering Press, Bellingham, WA, USA (1990);
I.V.Lindell, S.A.Tretyakov, K.I.Nikoskinen, S.Ilvonen, „BW media – media with
negative parameters, capable of supporting backward waves”, Microw. Opt.
Technol. Lett. 31 129-133 (2001);
R.W.Ziolkowski, E.Heyman, “Wave propagation in media having negative
permittivity and permeability”, Phys. Rev. E 64 056625 (2001);
P.Yeh, “Optical Waves in Layered Media”, Rockwell International Science Center,
Thousand Oaks, California (1988);
http://home.agh.edu.pl/~kakol/efizyka_pl.htm ;
A.Figotin, I.Vitebskiy, “Slow light in photonic crystals” arXiv:physics/0504112 v3
(2002);
http://krypton.mnsu.edu/~7364eb/Math113/groupvelocity.html ;
http://ocw.mit.edu/index.html ;
http://www.isvr.soton.ac.uk/SPCG/Tutorial/Tutorial/Tutorial_files/Web-furtherdispersive.htm ;
J.B.Pendry, D.R.Smith, “Metamorfoza soczewki”, Świat Nauki, nr8 (180), s.46-53,
(2006);
J.Q.Shen, “Introduction to the theory of left-handed media”, arXiv:condmat/0402213 v1 (2004);
84
[23] H.Lamb, “On group velocity”, Proc. London Math. Soc. vol.1, 473-479, (1904);
[24] A.Schuster, “An introduction to the theory of optics”, Edward Arnold, London, 313318, (1905);
[25] H.C.Pocklington, “Growth of a wave-group when the group velocity is negative”,
Nature 71, 607-608, (1905);
[26] L.I.Mandel’shtam, “Lectures on certain problems in the theory of oscillations”,
(1944) tłumaczenie dostępne na stronie http://ece-www.colorado.edu/~kuester/ ;
[27] L.I.Mandel’shtam, “Group velocity in a crystal lattice”, (1945) tłumaczenie j.w.;
[28] D.V.Sivukhin, “The energy of electromagnetic waves in dispersive media”, Opt.
Spektrosk. 3, 308−312, (1957);
[29] W.E.Kock “Metallic delay lenses”, Bell Syst. Tech. J., vol.27, 58−82, (1948);
[30] W.E.Kock, “Radio lenses”, Bell Lab Rec., vol.24, 177−216, (1946);
[31] W.E.Kock, “Metal lens antennas”, Proceedings, IRE and Waves and Electrons,
828−836, (1946);
[32] D.R.Smith, W.J.Padilla, D.C.Vier, S.C.Nemat-Nasser, S.Schultz, “Composite
medium with simultaneously negative permeability and permittivity”, Phys.Rev. Lett.
84 4184−4187 (2000);
[33] D.R.Smith, N.Kroll, “Negative refractive index in left-handed materials”, Phys. Rev.
Lett., vol. 84, nr 14 2933−2936, (2000);
[34] D.R.Smith, D.C.Vier, N.Kroll, S.Schultz, “Direct calculation of permeability and
permittivity for a left-handed metamaterial”, Appl. Phys. Lett., vol.77, nr 14,
2246−2248, (2002);
[35] R.A.Shelby, D.R.Smith, S.C.Nemat-Nasser, S.Schultz, “Microwave transmission
through a two-dimensional, isotropic, left-handed metamaterial”, Appl. Phys. Lett.,
vol.78, nr 4, 489−491, (2004);
[36] M.Bayindir, K.Aydin, E.Ozbay, P.Markoš, C.M.Soukoulis, “Transmission properties
of composite metamaterials in free space”, Appl. Phys. Lett. 81 120–122 (2002);
[37] K.Li, S.J.McLean, R.B.Greegor, C.G.Parazzoli, M.H.Tanielian, “Free-space focusedbeam characterization of left-handed materials”, Appl. Phys. Lett. 82 2535–2537
(2003);
[38] http://www.plasmas.org/ ;
[39] S. B. Cohn, “Analysis of the metal-strip delay structure for microwave lenses” J.
Appl. Phys., vol. 20, 257–262, (1949);
[40] S. B. Cohn, “Experimental verfication of the metal-strip delay-lens theory” J. Appl.
Phys., vol. 24, no. 7,839–841, (1953);
[41] J. Brown, “Artificial dielectrics” in Progress in dielectrics, vol. 2, 195–225, (1960);
[42] P.Ikonen, “Artificial dielectrics and magnetics in microwave engineering: A brief
historical
revision”,
http://www.tkk.fi/Yksikot/Sahkomagnetiikka/kurssit/S96.4620/reports/artificial_history_pekka.pdf ;
[43] W.Rotman, “Plasma simulation by artificial dielectrics and parallel-plate media”,
IRE Trans. Antennas Propag., vol.AP-10, nr 10, 82-85, (1962);
[44] http://www.ifm.liu.se/applphys/sensor/spr.html ;
[45] http://www.uni-oldenburg.de/biochemie/11906.html ;
85
[46] D.F.Sievenpiper, M.E.Sickmiller, E.Yablonovitch, “3D wire mesh photonic
crystals”, Phys. Rev. Lett. 76 2480–2483 (1996);
[47] E.Yablonovitch, T.J.Gmitter, K.M.Leung, “Photonic band structure: The facecentered-cubic case employing nonspherical atoms” Phys. Rev. Lett. 67 2295–2298
(1991);
[48] E.Yablonovitch, “Photonic band-gap crystals” J.Phys.: Condens. Matter 5 2443–
2460 (1993);
[49] E.Yablonovitch, “Photonic band-gap structures” JOSA B 10 283 (1993);
[50] J.B.Pendry, “Calculating photonic band structure”, J.Phys.: Condens. Matter 8
1085−1108 (1996);
[51] http://physics.ucsd.edu/~dav/animae.html ;
[52] http://www.ifh.ee.ethz.ch/~martin/ ;
[53] G.V.Eleftheriades, O.Siddiqui, A.K.Iyer, “Transmission line models for negative
refractive index media and associated implementations without excess resonators”,
IEEE Microwave Wireless Components Lett., vol.13, nr 2, 51−53, (2003);
[54] R.A.Shelby , D.R.Smith , S.Schultz, “Experimental Verification of Negative Index of
Refraction”, Science 292 77–79 (2001);
[55] N.Garcia, M.Nieto-Vesperinas, „Is there an experimental verification of negative
index of refraction yet?”, Opt. Lett. Vol.27, nr 11, 885−887 (2002);
[56] P.M.Valanju, R.M.Walser, A.P.Valanju, “Wave Refraction in Negative-Index Media:
Always Positive and Very Inhomogeneous”, Phys.Rev.Lett. vol.88, 187401, (2001);
[57] J.M.Williams, „Some problems with negative refraction”, Phys. Rev. Lett. vol.87,
249703, (2001);
[58] A.A.Houck, J.B.Brock, I.L.Chuang, “Experimental observations of a left-handed
material that obeys Snell’s law”, Phys.Rev.Lett. vol.90, nr 13, 137401, (2003);
[59] C.G.Parazzoli, R.B.Greegor, K.Li, B.E.C.Koltenbah, M.Tanielian,“Experimental
verification and simulation of negative index of refraction using Snell's law”, Phys.
Rev. Lett. vol.90, 107401, (2003);
[60] C.G.Parazzoli, R.B.Greegor, K.Li, B.E.C.Koltenbah, M.Tanielian,“Experimental
determination and numerical simulation of the properties of negative index of
refraction materials”, Opt.Ex. vol.11, nr 7, s.688−695, (2003);
[61] R.B.Greegor, C.G.Parazzoli, K.Li, M.Tanielian, “Origin of dissipative losses in
negative index of refraction materials”, Appl.Phys.Lett. vol.82, nr 14, 2356−8,
(2002);
[62] G. Kron, „Equivalent circuit of the field equations of Maxwell”, Proc. IRE, vol. 32,
nr 5, s. 289−299 (1944);
[63] G.Kron, “Numerical solution of ordinary and partial differential equations by
means of equivalent circuits”, General Electric Company, Schenectady, New York
(1944);
[64] J.R.Whinnery, S.Ramo, “A new approach to the solution of high-frequency field
problems”, Proc. IRE, vol. 32, nr 5, s.284−288 (1944);
[65] G.V.Eleftheriades, K.G.Balmain, “Nagative-refraction metamaterials –
Fundamental Principles and Applications”, IEEE Press (2005);
[66] A.K.Iyer, G.V.Eleftheriades, “Negative refractive index materials supporting 2-D
waves”, IEEE MTT-S Internationam Microwave Symposium Digest, vol. 2, 1067–70
(2002);
86
[67] G.V.Eleftheriades, A.K.Iyer, P.C.Kremer, “Planar negative refractive index media
using periodically L-C loaded transmission lines”, IEEE Trans. Microwave Theory
Tech., vol.50, no.12, pp.2702-2712, (2002);
[68] C.Caloz, H.Okabe, H.Iwai, T.Itoh, “Transmission line approach of left-handed
materials”, USNC/URSI National Radio Science Meeting Digest (2002);
[69] C.Caloz, T.Itoh, “Novel microwave devices and structures based on the
transmission line approach of metamaterials”, IEEE MTT-S Internationam Microwave
Symposium Digest, vol. 1, pp.195 – 198 (2003);
[70] A.A.Oliner, “A planar negative-refractive-index medium without resonant
elements”, IEEE MTT-S Internationam Microwave Symposium Digest, vol. 1, pp.191
– 194 (2003);
[71] V.A.Podolskiy, A.K.Sarychev, V.M.Shalaev, “Plasmon modes in metal nanowires
and lefthanded materials”, J. Nonlinear Opt. Phys. Materials 11, 65 (2002);
[72] V.A.Podolskiy, A.K.Sarychev, V.M.Shalaev, “Plasmon modes and negative
refraction in metal nanowire composites”, Opt.Ex. vol. 11, nr 7, 735, (2003);
[73] E.M.Purcell, C.R.Pennypacker, “Scattering and absorption of light by nonspherical
dielectric grains”, Astrophys. J. 186, 705, (1973);
[74] A.Berrier, M.Mulot, M.Swillo, M.Qiu, L.Thylen, A.Talneau, S.Anand, „Negative
refraction at infrared wavelengths in a two-dimensional photonic crystal”, Phys.
Rev. Lett. 93, 073902 (2004);
[75] E.Schonbrun, M.Tinker, W.Park, J.B.Lee, “Negative Refraction in a Si-Polymer
Photonic Crystal Membrane”, IEEE Phot.Tech.Lett., vol. 17, nr 6, (2005);
[76] T.J.Yen, W.J.Padilla, N.Fang, D.C.Vier, D.R.Smith, J.B.Pendry, D.N.Basov,
X.Zhang, “Terahertz Magnetic Response from Artificial Materials”, Science 303,
1494-1496, (2004);
[77] S.Linden, C.Enkrich, M.Wegener, J.Zhou, T.Koschny, C.M.Soukoulis, “Magnetic
Response of Metamaterials at 100 Terahertz”, Science 306, 1351-1353, (2004);
[78] S.Zhang, W.Fan, B.K.Minhas, A.Frauenglass, K.J.Malloy, S.R.J.Brueck, “Midinfrared resonant magnetic nanostructures exhibiting a negative permeability”,
Phys. Rev. Lett. vol.94, 037402 (2005);
[79] N.-C.Panoiu, R.M.Osgood Jr., “Influence of the dispersive properties of metals on
the transmission characteristics of left-handed materials”, Phys. Rev. E 68, 016611
(2003);
[80] V.M.Shalaev, W.Cai, U.Chettiar, H.-K.Yuan, A.K.Sarychev, V.P.Drachev,
A.V.Kildishev, „Negative index of refraction In optical metamaterials”, Opt.Lett.
vol.30, nr 24, s.3356-8, (2005);
[81] A.N.Lagarkov, A. K.Sarychev, “Electromagnetic properties of composites
containing elongated conducting inclusion”, Phys. Rev. B 53, 6318–6336 (1996);
[82] L.V.Panina, A.N.Grigorenko, D. P. Makhnovskiy, “Optomagnetic composite medium
with conducting nanoelements”, Phys. Rev. B 66, 155411 (2002);
[83] V.A.Podolskiy, A.K.Sarychev, E.E.Narimanov, V.M.Shalaev, “Resonant light
interactions with plasmonic nanowire systems”, J.Opt.A:Pure Appl.Opt. vol. 7,nr 2,
S32-S37, (2005);
[84] G.Dolling, C.Enkrich, M.Wegener, J.Zhou, C.M.Soukoulis, S.Linden, “Cut-wire
pairs and plate pairs as magnetic atoms for optical metamaterials”, Opt.Lett., vol.
30, nr 23, s.3198-3200, (2005);
87
[85] V.P.Drachev, W.Cai, U.Chettiar, H.-K.Yuan, A.K.Sarychev, A.V.Kildishev,
G.Klimeck, V.M.Shalaev, „Experimental verification of an optical negative-index
material”, Laser Phys.Lett. vol.3, nr 1, s.49-55, (2006);
[86] S.Zhang, W.Fan, N.C.Panoiu, K.J.Malloy, R.M.Osgood, S.R.J.Brueck,
„Demontsration of near-infrared negative-index-materials”, Phys.Rev.Lett., vol. 95,
nr 13, 137404, (2005);
[87] D.R.Smith, S.Shultz, P.Markos, C.M.Soukoulis, „Determination of negative
permittivity and permeability of metamaterials from reflection and transmission
coefficients”, Phys.Rev.B vol.65, 195104, (2002);
[88] G.Dolling, M.Wegener, C.M.Soukoulis, S.Linden, “Negative-index metamaterial at
780 nm wavelength”, http://arXiv:physics/0607135 , (2006);
[89] A.N.Grigorenko, A.K.Geim, H.F.Gleeson, Y.Zhang, A.A.Firsov, I.Y.Khrushchev,
J.Petrovic, „Nanofabricated media with negative permeability at visible
frequencies”, Nature 438, nr 7066, s.335 (2005);
[90] I.V.Shadrivov, N.A. Zharova, A.A.Zharov, Y.S.Kivshar, „Defect modes and
transmission properties of left-handed bandgap structures”, Phys. Rev. E vol. 70,
(2004);
[91] http://www.waves.utoronto.ca/prof/gelefth/publications.html
[92] A. A. Zharov, I. V. Shadrivov, and Yu. S. Kivshar, “Nonlinear Properties of LeftHanded Metamaterials”, Phys. Rev. Lett. 91, 037401 (2003)
[93] J.B.Pendry, “Negative refraction makes a perfect lens”, Phys.Rev.Lett. vol. 85, nr
18, 3966-9 (2000);
[94] G.W.’t Hooft, “Comment on <Negative refraction makes a perfect lens>”,
Phys.Rev.Lett. vol. 87, nr 24, 249701, (2001);
[95] N.Garcia, M.Nieto-Vesperinas, „Left-handed materials do not make a perfect lens”,
Phys.Rev.Lett. vol. 88 nr 20, 207403, (2002);
[96] Long Gen Zheng, Wen Xun Zhang, „Discussion on Negative Refraction and Perfect
Lens”, Progress In Electromagnetics Research Symposium 2005, Hangzhou,
(23-26.08.2005);
[97] R.F.Broas, D.F.Sieverpiper, E.Yablonovitch, “A high-impedance ground plane
applied to a cell phone handset geometry”, IEEE Trans. Micr. Theory and Tech.
vol.49, 1262-1265, (2001);
[98] M.C.K.Wiltshire, J.B.Pendry, I.R.Young, D.J.Larkman, D.J.Gilderdale, J.V.Hajnal,
“Microstructured magnetic materials for RF flux guides in magnetic resonance
imaging”, Science 291, 848-851, (2001);
[99] Chiyan Luo, Steven G. Johnson, J.D.Joannopoulos, J.B.Pendry, “All-angle negative
refraction without negative effective index”, Phys. Rev. Rapid Communications B65,
201104®, (2002);
[100] J.B.Pendry, “Perfect cylindrical lenses”, Opt.Ex., vol. 11, nr 7, 755, (2003);
[101] M.A.Antoniades, G.V.Eleftheriades, “Compact linear lead/lag metamaterial phase
shifters for broadband applications”, IEEE Antennas and wireless propagation
letters, vol.2, (2003);
[102] A.Grbic, G.V.Eleftheriades, “Experimental verification of backward-wave radiation
from a negative refractive index metamaterial”, J.Appl.Phys. vol.92, nr10, 5930-5,
(2002);
88
[103] G.V.Eleftheriades, “Enabling RF/Microwave devices using negative-refractive index
transmission-line metamaterials”, Radio Science Bulletin nr 312, (2005);
[104] J.B.Pendry, D.Schuring, D.R.Smith, “Controlling electromagnetic fields”, Science
vol. 312, 1780 (2006);
[105] R.A.Shelby, D.R.Smith, S.C.Nemat-Nasser, S.Schultz, “Microwave transmission
through a two-dimensional, isotropic, left-handed metamaterial”, Appl. Phys.
Lett. 78, 489–491 (2001);
[106] A.Klauzer-Kruszyna, „Propagacja światła spolaryzowanego w wybranych
supersieciach aperiodycznych”, praca doktorska przygotowana pod kierunkiem dr
hab. Włodzimierza Salejdy, prof. nadzw. PWr ;
[107] J.Zhou, T.Koschny, L.Zhang, G.Tuttle, C.M.Soukoulis, „Experimental verification of
negative index of refraction”, http://arXiv.org/physics/0608301 ;
[108] U.Leonhardt, T.G.Philbin, “Quantum optics of special transformation media”,
http://arXiv.org/quant-ph/0608115 .
[109] Bliokh K.Yu., Bliokh Yu.P. What are the left-handed media and what is interesting
about them? Uspekhi Fizicheskikh Nauk, No 4, 439. (Methodological Notes).
89