Metody przybliżonego rozwiązywania równań

Analiza numeryczna
III rok matematyki
Laboratorium 5
Zadanie 1. Oszacować błąd obliczenia x2 − y 2
a) zgodnie z kolejnością działań
b) wykorzystując wzór skróconego mnożenia.
Zadanie 2. Napisać funkcję, która za pomocą metody stycznych (Newtona) wyznacza
przybliżenie miejsca zerowego zadanej funkcji f : R 7→ R.
Zadanie 3. Napisać funkcję, która za pomocą metody siecznych wyznacza przybliżenie
miejsca zerowego zadanej funkcji f : R 7→ R.
Zadanie 4. Przeanalizować działanie funkcji FindRoot w programie Mathematica.
Zadanie 5. Niech funkcja f : R 7→ R będzie dana wzorem f (x) = 3x2 − 1. Uzasadnij, że
f ma miejsce zerowe w przedziale [0, 1]. Wyznacz przybliżenie tego miejsca zerowego wykonując 3 kroki metody bisekcji. Następnie wykonaj 3 kroki metody Newtona przyjmując
x0 = 1 i oceń, która metoda jest szybsza - metoda bisekcji, czy metoda stycznych. Czy
funkcja f może mieć miejsce zerowe w przedziale [1, 2], a może w [−2, 2]? Odpowiedzi
uzasadnij.
Zadanie 6. Załóżmy, że pewne równanie ma rozwiązanie w przedziale [0, 1]. Ile kroków
metody bisekcji należy wykonać, aby znaleźć je z błędem bezwzględnym mniejszym niż
2−10 ?
Zadanie 7. Znaleźć rozwiązanie równania x4 + 10x − 100 = 0 w przedziale (2, 3) z
dokładnością 0, 01.
Zadanie 8. Wyznaczyć przybliżenie miejsca zerowego funkcji f (x) = 2ex − 3 wykonując
1 krok metody stycznych i przyjmując jako punkt startowy x0 = 1.
Zadanie 9. Korzystając z metody siecznych wyznacz przybliżenie liczby log10 8 bez liczenia logarytmu. Jako punkty startowe przyjmij x0 = 1, x1 = 2. Obliczenia zakończ, gdy
spełniony będzie warunek
x
n+1 − xn ¬ 0, 01,
xn+1
gdzie {xn } jest ciągiem kolejnych przybliżeń liczby log10 8. Zmodyfikuj procedurę dla metody siecznych tak, by wypisywała kolejne przybliżenia i kończyła działanie po spełnieniu
powyższego warunku. Jeden krok metody siecznych wykonaj w zeszycie.
Zadanie 10. Stosując metodę siecznych wyznacz ciągi przybliżeń miejsc zerowych poniższych funkcji. Obliczenia zakończ, gdy spełniony będzie warunek
x
n+1 − xn xn+1
¬ 0, 01.
Analiza numeryczna
III rok matematyki
Dwa kroki metody wykonaj pisemnie w zeszycie.
a) f (x) = x3 + 2x2 − 3x + 5,
b) f (x) = cos x − x + 3,
c) f (x) = 3x − 7,
x0 = −6,
x0 = 1,
x0 = 1,
x1 = −5,
x1 = 2,
x1 = 2,
d) f (x) = 2x − 12x + 3,
x0 = 3,
e) f (x) = 2x − 12x + 3,
x0 = 4, 5,
x1 = 4,
x1 = 5.
Zadanie 11. Dla funkcji z poprzedniego zadania wyznacz ciągi przybliżeń miejsc zerowych
stosując metodę Newtona przyjmując x0 jako punkt startowy. Obliczenia zakończ, gdy
spełniony będzie warunek
x
n+1 − xn ¬ 0, 01.
xn+1
Dwa kroki metody wykonaj pisemnie w zeszycie. Porównaj tempo zbieżności metody
stycznych i metody siecznych.