dj zderzenie

energia
ver-28.06.07
praca
proces wykonywania pracy wiąże się ze zmianą
energii ciała, na które działa siła…
Ft
et
α
F
2
r r 2
= ∫ F ⋅ ds = ∫ F cos α ds = ∫ Ft ds
def 2
L12
1
1
r def
r
ds = ds
d et
1
praca (cd
(cd.))
2
• wielkość skalarna
1
• nie zależy
y od układu odniesienia
r r
L12 = ∫ F ⋅ ds
π
α<
2
π
α =
2
π
α>
2
Ft (s)
L
s
siła napędowa
siła niepracująca
siła oporowa
siły zachowawcze
a
b
1
2
La = Lb = Lc
c
r r
∫ F ⋅ ds = 0
Γ
dla każdego konturu
zamkniętego Γ
przykłady
siły zachowawcze
siły niezachowawcze
moc:
P=
dL
dt
grawitacyjne
sprężyste
elektrostatyczne
(…)
opór
tarcie
lepkość
(…)
⎛ ∂L ⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂t ⎠
NB: każde pole jednorodne
jest zachowawcze
energia kinetyczna
siła
ił styczna
t
d
do ttoru nadając
d j ciału
i ł przyspieszenie,
i
i wykonuje
k
j
pracę, która zwiększa / zmniejsza jego energię kinetyczną…
2
2
dv
L12 = ∫ Fds = ∫ m
ds
dt
1
1
2
2
dv
= m∫ v
dt = m ∫ vdv
dt
1
1
mv 22 mv 12
⎛ mv 2 ⎞ def
=
−
= Δ⎜
⎟ = ΔE k
2
2
⎝ 2 ⎠
mv 2
Ek =
2
własności
energia kinetyczna
skalar
dodatnia
addytywna
zależna od układu
odniesienia
ale ΔEk nie zależy od układu odniesienia...
jednostki
[L] = [E] = 1N ⋅1m = 1J
dżul (Joule):
m2kg
J=
s2
SI
m2kg
W=
s3
SI
[P] = 1J/1s = 1W
wat (Watt):
energia potencjalna
jeżeli wykonana praca nie powoduje zmiany
prędkości…
występuje zamiana pracy na energię potencjalną.
np. energia potencjalna sprężystości:
F = kx
0
x
siła sprężystości:
r
r
F = − kr
k = const
energia sprężystości
siła rozciągająca:
2
2
1
1
L = ∫ Fds = ∫ kxdx =
F = kr
1 2 1 2
kx 2 − kx 1
2
2
⎛ 1 2 ⎞ def
= Δ ⎜ kx ⎟ = ΔE p( spr )
⎠
⎝2
E p( spr )
- energia potencjalna sprężystości
E p( spr ) =
1 2
kx
2
energia grawitacji
h
r
r
F = mg = const
(h << R Z )
ds
α
mg
2
r r 2
L = ∫ F ⋅ ds = ∫ mg cos α ds = ∫ mgdh
2
1
1
1
def
= mgh2 − mgh1 = Δ (mgh ) = ΔE p( gr )
E p( gr )
- energia potencjalna grawitacji
E p( gr ) = mgh
dh
pola sił
zasada zachowania energii
w układzie odosobnionym Ek + Ep = const
(o ile siły są zachowawcze…)
...dysypacja energii
Ep(x)
E3
E2
E1
x
mv 2
+ Ep = E
2
przykład jednowymiarowy
energia całkowita E
(E = const)
cd.
cd
mv 2
+ Ep = E
2
v (t ) =
dx
=
dt
po scałkowaniu:
p
2
[
E − E p ( x )]
m
∫
dx
⎡
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
2 E − E (x )
p
m
znajdujemy t(x) a więc również x(t)
=t
twierdzenie Noether
prawa zachowania wynikają z symetrii przestrzeni.
np. prawo zachowania energii jest konsekwencją
f kt żże prawa fi
faktu,
fizyki
ki ((a ttakże
kż stałe
t ł fi
fizyczne)) są
niezmiennicze względem przesunięcia w czasie;
nie zmieniają się w trakcie upływu czasu (1918).
Emmy N
E
Noether
th
(1882 – 1935)
zderzenie centralne niesprężyste
v1
v2
m2
m1
v
r
r
r
m1v 1 + m 2v 2 = (m1 + m 2 ) v
m1v 1 + m2v 2
v=
m1 + m 2
m1 + m2
m1v 12 mv 22 (m1 + m2 ) v 2
ΔE k =
+
−
2
2
2
m1m2
(v 1 − v 2 )2
= 21
m1 + m 2
zderzenie centralne sprężyste
v1
v2
m1
m2
v1´
v2´
⎧m1v 1 + m 2v 2 = m1v 1′ + m 2v 2′
⎨1
2
2
2
2
1
1
1
′
′
+
=
+
m
v
m
v
m
v
m
v
⎩2 1 1 2 1 1
2
1 1
2
1 1
⎧m1 (v 1 − v 1′ ) = m2 (v 2′ − v 2 )
⎨
2
2
2
2
′
′
m
v
−
v
=
m
v
−
v
⎩ 1 1
1
2
2
2
(
)
(
)
cd.
cd
v 1 + v 1′ = v 2 + v 2′
po podzieleniu stronami:
v 1′ =
2m 2
m1 − m 2
v1 +
v2
m1 + m 2
m1 + m 2
v 2′ =
2m 2
m 2 − m1
v1 +
v2
m1 + m 2
m1 + m 2
gdy:
g
y
m2 → ∞
pociąga za sobą:
v2 → 0
i wtedy:
v 1′ = −v 1
koniec
zagadnienia
d i i
• praca i energia
• siły zachowawcze
• energia kinetyczna
• energia potencjalna sprężystości
• energia potencjalna grawitacji
• pole sił
• zasada
d zachowania
h
i energii
ii
• zderzenia sprężyste i niesprężyste
glossary
• work, power, energy
• kinetic,
kinetic potential (position)
(position), total mechanical
• gravitational, elastic
• (non-)conservative force
• force of g
gravity,
y, force of friction
• field of force
• law of conservation of energy
• homogeneous field
• (in)elastic collision
collision, central,
central periferal
• Noether’s theorem