geometria płaska - Gimnazjum im. Lady Sue Ryder w Woli Batorskiej

Transkrypt

,
GEOMETRIA NA PŁASZCZYZNIE (PLANIMETRIA)
Treść:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Podstawowe pojęcia geometrii (punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń, półprosta, odcinek, łamana, figura
geometryczna (płaska i przestrzenna). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
PołoŜenie prostych i odcinków na płaszczyźnie (proste równoległe, przecinające się, prostopadłe,
odcinki równoległe, prostopadłe). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------3
Kąt. Rodzaje kątów. Miary kątów. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------4
Definicja kąta płaskiego. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------4
Miary kątów (stopnie, radiany, gradusy). ------------------------------------------------------------------------------------4
Klasyfikacja kątów ze względu na miarę (ostry, prosty, rozwarty, półpełny, wklęsły, pełny, wypukły). -------5
Kąty przy przecinających się prostych (wierzchołkowe, przyległe, odpowiadające, naprzemianległe). -----6
Jednostki długości, pola i objętości.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------6
Wielokąty. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10
Definicja. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10
Rodzaje wielokątów. Pojęcia związane z wielokątem (obwód, przekątna). ---------------------------------------------11
Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta. ------------------------------------------------------------------------------------11
Trójkąty. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12
Definicja trójkąta. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------12
Podstawowe pojęcia związane z trójkątem. -------------------------------------------------------------------------------------12
Klasyfikacja trójkątów i ich własności. ---------------------------------------------------------------------------------12
Twierdzenia związane z trójkątem. ---------------------------------------------------------------------------------------------14
Czworokąty. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15
Definicja czworokąta. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------15
Podstawowe pojęcia związane z czworokątem. ---------------------------------------------------------------------15
Klasyfikacja czworokątów i ich własności. -----------------------------------------------------------------------------15
ZaleŜności między czworokątami. --------------------------------------------------------------------------------------17
Twierdzenia związane z czworokątem. ---------------------------------------------------------------------------------18
Koło i okrąg. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------18
Definicja koła. Pojęcia związane z kołem. -----------------------------------------------------------------------------18
Liczba π. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------19
Wzory związane z pojęciem koła. ----------------------------------------------------------------------------------------19
Twierdzenia o kątach w kole. ---------------------------------------------------------------------------------------------20
Wzajemne połoŜenie prostej i okręgu na płaszczyźnie. ------------------------------------------------------------20
Wzajemne połoŜenie dwóch okręgów na płaszczyźnie. ---------------------------------------------------------- 20
Wielokąty foremne, okrąg wpisany i opisany. ----------------------------------------------------------------------------------------- 21
Wielokąty foremne. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------21
Okrąg opisany na wielokącie. ---------------------------------------------------------------------------------------------22
Okrąg wpisany w wielokąt. ----------------------------------------------------------------------------------------------- 23
Twierdzenia o okręgu opisanym na czworokącie i okręgu wpisanym w czworokąt. --------------------- 23
Okrąg wpisany i opisany na wielokącie foremnym. ---------------------------------------------------------------- 24
Trójkąt prostokątny. Twierdzenie Pitagorasa. Elementy trygonometrii. ----------------------------------------------------------25
Twierdzenie Pitagorasa. -----------------------------------------------------------------------------------------------------25
Interpretacja geometryczna twierdzenia Pitagorasa. ---------------------------------------------------------------27
Elementy trygonometrii. ----------------------------------------------------------------------------------------------------27
Figury przystające. Cechy przystawania trójkątów. ----------------------------------------------------------------------------------29
Figury przystające. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------29
Cechy przystawania trójkątów. ---------------------------------------------------------------------------------------------29
Figury podobne. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------30
Figury podobne. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------30
Pola figur podobnych. ------------------------------------------------------------------------------------------------------32
Podobieństwo prostokątów. -------------------------------------------------------------------------------------------------32
Podobieństwo trójkątów. ---------------------------------------------------------------------------------------------------32
Twierdzenie Talesa. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------33
Symetrie. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------34
Symetria osiowa. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------34
Oś symetrii figury. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------34
Symetria środkowa. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------35
Środek symetrii figury. ------------------------------------------------------------------------------------------------------35
Symetralna odcinka. -------------------------------------------------------------------------------------------------------36
Dwusieczna kąta. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------36
Geometria w układzie współrzędnych. -----------------------------------------------------------------------------------------------------36
Kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie. ----------------------------------------------------------------36
Długość odcinka w układzie współrzędnych. ------------------------------------------------------------------------------37
Obliczanie pola wielokąta w układzie współrzędnych. --------------------------------------------------------------37
Symetrie w układzie współrzędnych. -------------------------------------------------------------------------------------38
- zagadnienie elementarne
- zagadnienie wykraczające poza program
1
,
GEOMETRIA NA PŁASZCZYZNIE (PLANIMETRIA)
1.
PODSTAWOWE POJĘCIA GEOMETRII:
Punkt – pojęcie, którego się nie definiuje. Punkt nie ma wymiarów, czyli nie ma długości, szerokości ani wysokości.
Oznaczamy duŜymi literami alfabetu: A, B, C, D …
A
Prosta – pojęcie, którego się nie definiuje. Prosta nie ma końców, ma niekończoną długość, nie ma szerokości ani wysokości.
Oznaczamy małymi literami alfabetu: k, l, m …
k
Płaszczyzna – pojęcie, którego się nie definiuje. Płaszczyzna nie ma krawędzi, ma nieskończoną długość i szerokość.
Oznaczamy małymi literami greckiego alfabetu np. π …
π
Przestrzeń – pojęcie, którego się nie definiuje. Przestrzeń nie ma krawędzi, ma nieskończoną długość, szerokość i wysokość.
Oznaczamy za pomocą liter greckich.
Półprosta – część prostej, wyznaczona przez punkt A, zwany początkiem półprostej. Do półprostej naleŜą wszystkie punkty
prostej leŜące po jednej stronie punktu A. Na rysunku zaznaczono półprostą AB, czyli półprostą o początku w punkcie A,
przechodzącą przez punkt B. Półprosta ma nieskończoną długość.
B
A
Odcinek – część prostej wyznaczona przez dwa punkty. Do odcinka AB naleŜą wszystkie punkty prostej leŜące między
punktami A i B. Punkty A i B nazywamy końcami odcinka. Końce odcinka naleŜą do odcinka. KaŜdy odcinek ma długość.
Długość odcinka oznaczamy AB lub za pomocą małych liter alfabetu: a, b, c, d …
a
B
A
Łamana – figura geometryczna złoŜona z odcinków, z których kaŜde dwa kolejne połączone są końcami i nie leŜą na jednej
linii prostej. Na rysunku przedstawiono łamaną ABCDEF, łamaną zwyczajną otwartą ABCDEF i łamaną zwyczajną zamkniętą
ABCDEFGHI.
B
I
B
F
D
A
G
H
D
D
C
A
A
E
F
Łamana
E
C
Łamana zwyczajna otwarta
B
E
F
C
Łamana zwyczajna zamknięta
Figura geometryczna – to dowolny zbiór punktów.
Figurą geometryczną jest np.:
Zbiór kilku
punktów
Odcinek z dwoma
punktami
Układ złoŜony z
prostej odcinka i
punktu
Wielokąt
Bryła
…itd…
2
WyróŜniamy kilka rodzajów figur:
Figury płaskie: dowolny zbiór punktów na płaszczyźnie. Do figur płaskich zaliczamy między innymi:
kwadrat
koło
trójkąt
romb
elipsa
pięciokąt
siedmiokąt
kąt
Figury przestrzenne, czyli bryły geometryczne: dowolny zbiór punktów w przestrzeni trójwymiarowej, który nie naleŜy do jednej
płaszczyzny. Do brył zaliczamy między innymi:
sześcian
2.
prostopadłościan
walec
graniastosłup
ostrosłup
kula
stoŜek
POŁOśENIE PROSTYCH I ODCINKÓW NA PŁASZCZYŹNIE:
Proste równoległe: Dwie proste na płaszczyźnie są równolegle, jeŜeli nie mają punktów wspólnych ( nie przecinają się).
UWAGA! Dwie proste, które pokrywają się uznaje się równieŜ za równoległe.
k
n
k II n
Proste przecinające się: Dwie proste przecinają się, jeŜeli mają jeden punkt wspólny.
n
k
S
Punkt przecięcia się
prostych
Proste prostopadłe: Dwie proste przecinające się są prostopadłe, jeŜeli tworzą kąty proste (kąt prosty oznaczamy „kropką”).
k
k ⊥n
n
Odcinki równoległe: dwa odcinki są równoległe, jeŜeli proste, które wyznaczają te odcinki, są wzajemnie równoległe lub gdy
leŜą na jednej prostej. Np.:
AB II CD
3
Odcinki prostopadłe: dwa odcinki są prostopadłe, je
jeŜeli proste, które wyznaczają te odcinki, są
ą wzajemnie prostopadłe. Np.:
AB ⊥ CD
3.
KĄT. RODZAJE KĄTÓW. MIARY KĄTÓW.
ĄTÓW.
A
O
B
wierzchołek kąta
ramię kąta
Definicja kąta płaskiego: Kąt płaski to część płaszczyzny ograniczona przez dwie półproste o wspólnym początku.
pocz
Półproste
tworzące kąt naleŜą do kąta i nazywają się ramionami. Wspólny początek
pocz tek półprostych to wierzchołek kąta.
k
Kąty
ty oznaczamy literami alfabetu greckiego: α – alfa, β – beta, γ – gama, δ – delta, lub za pomocą
pomoc nazw wierzchołka i
punktów naleŜących do ramion: ∠ AOB (środkowy
(ś
punkt w nazwie kąta, to wierzchołek).
Miary kątów:
Stopnie. Kąty płaskie mierzymy za pomocą miary stopniowej. Jeden stopień (1°) to k ąt równy
1 kąta pełnego.
360
Jeden stopień to 60 minut. (1° = 60’)
Jedna minuta to 60 sekund (1’ = 60’’)
Jedna sekunda to 60 tercji (1’’ – 60’’’)
Kąt 1°
Radiany. Kąty płaskie mierzymy równieŜ za pomocą
pomoc radianów. Jeden radian to kąt środkowy,
owy, jaki w kole o promieniu r tworzy
łuk o długości r. 1 radian ma około 57,296°. Radian to miara stosowana w geometrii analitycznej (w układzie współrzędnych).
współrz
1 rad ≈ 57,296 o
90 o =
π
2
rad
180 = π rad
r
360 o = 2π rad
r
r
Gradusy. Kąty
ty płaskie mierzymy czasami za pomocą
pomoc gradusów. Jeden gradus to kąt równy
Miara wprowadzona
prowadzona w Europie przez Napoleona. Stosowana w geodezji.
Do mierzenia kątów słuŜy przyrząd
d zwany ką
kątomierzem.
4
1
100
kąta prostego.
Klasyfikacja kątów ze względu na miarę.
Rodzaje kątów:
kąt ostry – kąt, którego miara jest mniejsza niŜ 90°.
kąt prosty – kąt, którego miara jest równa 90°.
kąt rozwarty – kąt, którego miara jest większa niŜ 90°i mniejsza ni Ŝ 180°.
kąt półpełny – kąt, którego miara jest równa 180°. Ramiona k ąta tworzą prostą.
kąt wklęsły – kąt, którego miara jest większa niŜ 180° i mniejsza ni Ŝ 360°.
kąt pełny – kąt, którego miara jest równa 360°. Ramiona k ąta pełnego pokrywają się. Kąt jest całą płaszczyzną.
Kąty ostre, proste, rozwarte, półpełne i pełne nazywamy kątami wypukłymi.
5
Kąty przy przecinających się prostych:
Kąty wierzchołkowe – para kątów, którą tworzą dwie przecinające się proste. Kąty te mają wspólny wierzchołek i nie mają
wspólnych ramion. Kąty wierzchołkowe mają równe miary. Rysunek przedstawia dwie pary kątów wierzchołkowych:
Kąty przyległe – para kątów, którą tworzą dwie przecinające się proste. Kąty te mają wspólny wierzchołek i mają wspólne
ramię. Kąty przyległe tworzą razem kąt półpełny (180 °). Rysunek przedstawia par ę kątów wierzchołkowych:
α + β = 180°
Kąty odpowiadające – para kątów, które tworzy prosta przecinająca dwie proste równoległe. Kąty odpowiadające mają równe
miary. Rysunek przedstawia cztery pary kątów odpowiadających (zaznaczone tymi samymi kolorami i tą samą literą grecką):
Kąty naprzemianległe – para kątów, które tworzy prosta przecinająca dwie proste równoległe. Kąty naprzemianległe mają
równe miary. Rysunek przedstawia cztery pary kątów naprzemianległych (zaznaczone tymi samymi kolorami i tą samą literą
grecką):
4.
JEDNOSTKI DŁUGOŚCI, POLA I OBJĘTOŚCI.
Jednostki długości. Podstawową jednostką długości jest 1 metr (1 m). Inne jednostki (pochodne):
1 cm
1 dm
6
Zamiana jednostek długości:
Zamiana:
milimetr
1 mm
---
centymetr
1 cm
1 cm = 10 mm
decymetr
1 dm
1 dm = 10 cm
metr
1m
1 m = 10 dm
…
…
…
…
…
…
kilometr
1 km
1 km = 1000 m
Czynności
: (dzielimy przez przelicznik)
Symbol
· (mnoŜymy przez przelicznik)
Nazwa
Przykłady:
1) Zamień 4,5 metra na decymetry – zamieniamy większe jednostki na mniejsze, a więc (zgodnie ze strzałką) powinniśmy
4,5 pomnoŜyć przez przelicznik. PoniewaŜ metry i decymetry to sąsiadujące ze sobą jednostki mnoŜymy liczbę przez 10
(przesuwając przecinek o jedno miejsce w prawo):
4,5 m · 10 = 45 dm
2)
Zamień 74,5 metra na kilometry – zamieniamy mniejsze jednostki na większe, a więc (zgodnie ze strzałką) powinniśmy
730 podzielić przez przelicznik. Metry i kilometry to jednostki sąsiadujące ze sobą, a przelicznikiem pomiędzy nimi jest
liczba 1000, dzielimy liczbę 74,5 przez 1000 (przesuwamy przecinek o trzy miejsca w lewo):
74,5 mm : 1000 = 0,0745 km
3)
Zamień 730 milimetry na metry – zamieniamy mniejsze jednostki na większe, a więc (zgodnie ze strzałką) powinniśmy
730 podzielić przez przelicznik. PoniewaŜ milimetry i metry to jednostki nie sąsiadujące ze sobą dzielimy liczbę przez 10
trzykrotnie (musimy „przeskoczyć” centymetry, decymetry i metry). Dzielenie przez 10 trzy razy moŜna zastąpić
dzieleniem przez 1000 (przesuwamy przecinek o trzy miejsca w lewo):
730 mm : 1000 = 0,730 m = 0,73 m
2
Jednostki pola. Podstawową jednostką pola jest 1 metr kwadratowy (1 m ). 1 metr kwadratowy to powierzchnia równa polu
kwadratu o boku 1 metr. Inne jednostki (pochodne):
2
1 cm
1 dm
7
2
Zamiana jednostek pola:
2
Zamiana:
milimetr kwadratowy
1 mm
centymetr kwadratowy
1 cm
decymetr kwadratowy
1 dm
metr kwadratowy
1m
ar
1a
1a
hektar
1 ha
1 ha = 100 a
kilometr kwadratowy
1 km
Czynności
---
2
1 cm = 100 mm
2
1 dm = 100 cm
2
2
2
2
2
1 m = 100 dm
2
2
= 100 m
2
1 km = 100 ha
2
2
Symbol
Nazwa
Przykłady:
4) Zamień 6,2 ara na metry kwadratowe – zamieniamy większe jednostki na mniejsze, a więc (zgodnie ze strzałką)
powinniśmy 6,2 pomnoŜyć przez przelicznik. PoniewaŜ ary i metry kwadratowe to jednostki sąsiadujące ze sobą,
mnoŜymy liczbę 6,2 przez 100 (przesuwając przecinek o dwa miejsca w prawo):
6,2 a · 100 = 620 m2
5)
Zamień 30 decymetrów kwadratowych na metry kwadratowe – zamieniamy mniejsze jednostki na większe, a więc
(zgodnie ze strzałką) powinniśmy liczbę 30 podzielić przez przelicznik. Decymetry kwadratowe i metry to jednostki
sąsiadujące ze sobą, a przelicznikiem pomiędzy nimi jest liczba 100, dzielimy liczbę 30 przez 100 (przesuwamy przecinek
o dwa miejsca w lewo):
30 dm2 : 100 = 0,30 m2 = 0,3 m2
6)
Zamień 25000 metrów kwadratowych na hektary – zamieniamy mniejsze jednostki na większe, a więc (zgodnie ze
strzałką) powinniśmy liczbę 25000 podzielić przez przelicznik. PoniewaŜ metry kwadratowe i hektary to jednostki nie
sąsiadujące ze sobą dzielimy liczbę 25000 przez 100 dwukrotnie (musimy „przeskoczyć” ary i hektary). Dzielenie przez
100 dwa razy moŜna zastąpić dzieleniem przez 10000 (przesuwamy przecinek o cztery miejsca w lewo):
25000 m2 : 10000 = 2,5000 ha = 2,5 ha
3
Jednostki objętości. Podstawową jednostką objętości jest 1 metr sześcienny (1 m ). 1 metr sześcienny to miara przestrzeni
równa objętości sześcianu o krawędzi 1 metr. Inne jednostki (pochodne):
3
1 cm
3
1 dm = 1 l
8
Zamiana jednostek objętości:
Zamiana:
3
---
1 mm
Czynności
---
3
1 cm = 1000 mm
3
3
centymetr sześcienny
mililitr
1 cm = 1 ml
decymetr sześcienny
litr
1 dm = 1 l
1 dm = 1000 cm
---
hektolitr
1 hl
1 hl
3
= 100 dm
3
metr sześcienny
kilolitr
3
3
1 m = 1000 dm
3
1 m = 1 kl
3
3
3
1 m = 10 hl
…
…
…
…
3
kilometr sześcienny
3
1 km
9
1 km = 10 m
3
milimetr sześcienny
Symbol
Inna
nazwa
Nazwa
Przykłady:
7) Zamień 1,4 decymetra sześciennego na mililitry – mililitry to centymetry sześcienne. Zamieniamy większe jednostki na
mniejsze, a więc (zgodnie ze strzałką) powinniśmy 1,4 pomnoŜyć przez przelicznik. PoniewaŜ decymetry sześcienne i
centymetry sześcienne to jednostki sąsiadujące ze sobą, mnoŜymy liczbę 1,4 przez 1000 (przesuwając przecinek o trzy
miejsca w prawo):
1,4 dm3 · 1000 = 1400 cm3 = 1400 ml
8)
Zamień 480 decymetrów sześciennych na metry sześcienne – zamieniamy mniejsze jednostki na większe, a więc
(zgodnie ze strzałką) powinniśmy liczbę 480 podzielić przez przelicznik. Decymetry sześcienne i metry sześcienne to
jednostki sąsiadujące ze sobą, a przelicznikiem pomiędzy nimi jest liczba 1000. Dzielimy liczbę 480 przez 1000
(przesuwamy przecinek o trzy miejsca w lewo):
480 dm3 : 1000 = 0,480 m3 = 0,48 m3
9)
Zamień 5700 mililitrów na hektolitry – zamieniamy mniejsze jednostki na większe, a więc (zgodnie ze strzałką)
powinniśmy liczbę 5700 podzielić przez przelicznik. PoniewaŜ mililitry i hektolitry to jednostki nie sąsiadujące ze sobą
dzielimy liczbę 25000 najpierw przez 1000 (przelicznik między mililitrem a litrem), a następnie przez 100 (przelicznik
między litrem a hektolitrem). Dzielenie przez 1000 i przez 100 moŜna zastąpić dzieleniem przez 100000 (przesuwamy
przecinek o pięć miejsc w lewo):
5700 ml : 100000 = 0,05700 hl = 0,057 hl
Inne jednostki długości, pola i objętości
Inne jednostki uŜywane na świecie
Jednostki długości
Nazwa
Symbol
Jednostki pola
Przelicznik
Cal
1 in
2,54 cm
Stopa
1 ft = 12 in
Jard
Jednostki objętości
Nazwa
Symbol
Przelicznik
Akr
1 akr
4047 m
2
Nazwa
Symbol
Przelicznik
Galon (USA)
1 gal
3,785 l
30,48 cm
Galon (UK)
1 gal
4,546 l
1 yd = 3 ft
91,44 cm
Baryłka (USA)
1 bbl = 42 gal
158,968 l
SąŜeń
1 fm = 2 yd
182,88 cm
Kwarta
1 quart
¼ gal
Mila
1 M = 528ft
1609,344 m
Pinta
1 pint
½ quart
Mila
morska
1 Mm
1852 m
Garniec
---
2,75 l
Kabel
1 cable
185,2 m
Rok
świetlny
---
9,4605 · 10
km
12
9
Przedrostki uŜywane do określania miar.
Tworząc nazwy jednostek miar, do nazwy podstawowej dodajemy przedrostek. Na przykład: do jednostki podstawowej „metr”
dodajemy przedrostek „kilo” i powstaje jednostka „kilometr”; do jednostki podstawowej „litr” dodajemy przedrostek „mili” i
powstaje jednostka „mililitr”. Znaczenie przedrostków omawia tabela:
Znaczenie przedrostków przed nazwą jednostek miar
Przykłady
Przedrostek
Symbol
Przelicznik
Wartość
Długość
jotta
Y
10
24
kwadrylion
tryliard
zetta
Z
10
21
eksa
E
10
18
trylion
bilard
Pamięć*
peta
P
10
15
tera
T
10
12
bilion
terabajt
10
9
miliard
gigabajt
milion
giga
G
mega
M
10
6
kilo
k
10
3
tysiąc
10
2
sto
10
1
dziesięć
hekto
deka
h
da
JEDNOSTKA
1
megabajt
megametr = tona
kilometr
kilobajt
kilogram
---
METR
BAJT
decy
d
10
dziesiąta
decymetr
centy
c
10
-2
setna
centymetr
10
-3
tysięczna
milimetr
m
Pojemność elektr.
dekagram
-1
mili
Masa
GRAM
FARAD
miligram
milifarady
mikro
µ
10
-6
milionowa
mikrometr
mikrofarady
nano
n
10
-9
miliardowa
nanometr
nanofarady
bilionowa
pikometr
pikofarady
piko
p
10
-12
femto
f
10
-15
biliardowa
atto
a
10
-18
trylionowa
tryliardowa
kwadrylionowa
zepto
z
10
-21
jokto
y
10
-24
10
* jednostki pamięci komputerowej przeliczane są w systemie dwójkowym (przelicznikiem jest 2 , czyli 1024.
2
UWAGA! W przypadku jednostek pola wartość przedrostków naleŜy podnieść do kwadratu, np. kilometr kwadratowy, to 1000
metrów kwadratowych, czyli milion metrów kwadratowych. W przypadku jednostek objętości wartość przedrostków naleŜy
3
podnieść do trzeciej potęgi, np. kilometr sześcienny, to 1000 metrów sześciennych, czyli miliard metrów sześciennych.
5.
WIELOKĄTY
Definicja wielokąta: wielokąt to figura geometryczna płaska, która jest częścią płaszczyzny ograniczoną przez łamaną
zwyczajną zamkniętą.
E
F
D
bok
A
C
B
kąt wewnętrzny
10
wierzchołek
Rodzaje wielokątów – pojęcia związane z wielokątem:
Wielokąty dzielimy ze względu na ilość boków na:
trójkąty
czworokąty
pięciokąty
sześciokąty
siedmiokąty
ośmiokąty
szesnastokąty
… itd. …
Wielokąty dzielimy ze względu na rodzaj kątów na:
wypukłe – gdy wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta
są wypukłe, czyli mniejsze niŜ 180°
wklęsłe – gdy przynajmniej jeden kąt wewnętrzne
wielokąta jest wklęsły, czyli większy niŜ 180°
Obwód wielokąta: Obwodem wielokąta nazywamy długość łamanej zamkniętej, która tworzy ten wielokąt. Aby obliczyć obwód
wielokąta naleŜy dodać do siebie długości wszystkich boków wielokąta.
Przekątna wielokąta: Przekątna wielokąta to odcinek, którego końcami są wierzchołki wielokąta, które nie naleŜą do jednego
boku.
Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta:
Aby obliczyć, ile wynosi suma miar wewnętrznych wielokąta wypukłego naleŜy wykonać następujące czynności:
a)
b)
c)
d)
wybieramy jeden z wierzchołków wielokąta,
z wybranego wierzchołka prowadzimy wszystkie przekątne do przeciwległych wierzchołków,
liczymy ilość trójkątów, które powstały po poprowadzeniu przekątnych,
poniewaŜ w kaŜdym trójkącie suma miar kątów wynosi 180°, mno Ŝymy 180° przez ilo ść trójkątów. Otrzymana liczba to
suma miar kątów wielokąta.
Przykład: Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych sześciokąta.
2
3
1
4
Wybieram wierzchołek
Rysuję przekątne
Liczę trójkąty
Wykonuję działanie 180° · 4 = 720°. Suma k ątów wewnętrznych w dowolnym sześciokącie wynosi 720°
MoŜna zauwaŜyć, Ŝe trójkątów jest zawsze o dwa mniej niŜ boków wielokąta (w sześciokącie utworzyły się cztery trójkąty).
Stąd moŜna wyprowadzić wzór na sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta:
Jeśli wielokąt ma n boków, to moŜna go podzielić na ( n – 2 ) trójkąty. Suma miar kątów wewnętrznych w kaŜdym z tych
trójkątów wynosi 180°, wi ęc suma miar kątów wewnętrznych w wielokącie o n bokach wyraŜa się wzorem:
(n − 2 ) ⋅ 180 o
11
6.
TRÓJKĄTY
Definicja trójkąta: Trójkąt to wielokąt o trzech bokach.
Podstawowe pojęcia związane z trójkątem:
C
γ
wierzchołek
ramię
c
b
wysokość
ramię
h
α
A
β
a
podstawa
B
kąt wewnętrzny
wysokość
Trójkąt bierze swoją nazwę od wierzchołków. Na rysunku jest zaprezentowany ∆ ABC .
Trójkąt ma trzy wierzchołki. Ich nazwy to zazwyczaj A, B, C.
Trójkąt ma trzy boki. Ich nazwy, to AB, BC, AC, a ich długości oznaczamy zazwyczaj symbolami: a, b, c.
Trójkąt ma trzy kąty wewnętrzne. Ich nazwy to: ∠ABC , ∠ACB , ∠BAC . Ich miary oznaczamy zazwyczaj literami greckimi:
α, β, γ.
Podstawa – dowolny, wyróŜniony bok trójkąta (podstawą moŜe być zarówno bok a, jak i bok b, jak i c).
Zwykle wykonujemy rysunek trójkąta w ten sposób, by podstawą był bok leŜący u dołu.
Wysokość trójkąta – odcinek prostopadły do podstawy, którego jeden
koniec naleŜy do podstawy (lub jej przedłuŜenia), a drugi koniec to
wierzchołek przeciwległy do podstawy.
UWAGA! W trójkącie moŜna wyznaczyć trzy wysokości, w zaleŜności od
tego, który bok zostanie wybrany jako podstawa.
C
środkowa
Środkowa boku – odcinek, którego końcami są: środek boku trójkąta
oraz przeciwległy wierzchołek (na rysunku obok: odcinek CD). Środkowe
boków trójkąta wyznaczają środek cięŜkości trójkąta. Środkowe boków
A
trójkąta dzielą się wzajemnie w stosunku 2 : 1.
B
D
Klasyfikacja trójkątów i ich własności:
KLASYFIKACJA TRÓJKĄTÓW ZE WZGLĘDU NA DŁUGOŚCI BOKÓW.
RÓWNOBOCZNY
Nazwa
trójkąta
Rysunek
Własności boków i kątów i wysokości.
Wzory.
Wszystkie boki mają równe długości.
Wysokość:
Wszystkie kąty mają równe miary, kaŜdy kąt ma miarę 60°.
h=
Wszystkie wysokości są równej długości.
a
h
a
Pole:
Wysokości dzielą się wzajemnie w stosunku 2 : 1. Oznacza to,
Ŝe krótsza część wysokości to 1 h , natomiast dłuŜsza to 2 h .
3
a
a 3
2
P=
a ⋅h
2
P=
a2 3
4
3
KaŜda wysokość dzieli trójkąt na dwa przystające (identyczne)
trójkąty prostokątne.
Obwód:
Obw = 3a
12
Dwa boki (ramiona) są równej długości*.
RÓWNORAMIENNY
Kąty przy podstawie mają równe miary.
b
Jedna z wysokości (opuszczona na bok a) dzieli trójkąt na dwa
przystające (identyczne) trójkąty prostokątne. Dwie pozostałe
wysokości mają tą samą długość.
b
Pole:
P=
a⋅h
2
Obwód:
Obw = a + 2b
h
a
RÓśNOBOCZNY
Wszystkie boki mają róŜną długość*.
Wszystkie kąty wewnętrzne mają róŜne miary.
c
h
b
Pole:
P=
Wszystkie wysokości mają róŜną długość.
a⋅h
2
Obwód:
Obw = a + b + c
a
KLASYFIKACJA TRÓJKĄTÓW ZE WZGLĘDU NA RODZAJ KĄTÓW.
Nazwa
trójkąta
Rysunek
OSTROKĄTNY
Wszystkie kąty wewnętrzne są kątami ostrymi* (mniejszymi
niŜ 90°)
Wysokości trójkąta przecinają się we wnętrzu trójkąta.
c
h
Wzory.
Pole:
P=
a⋅h
2
b
Obwód:
Obw = a + b + c
a
Jeden kąt wewnętrzny trójkąta jest kątem prostym* (jego
miara wynosi 90°), pozostałe dwa s ą kątami ostrymi.
PROSTOKĄTNY
przeciwprostokątna
c
a
h
b
przyprostokątna
przyprostokątna
Nazwy poszczególnych boków:
a, b – boki przyprostokątne,
c – przeciwprostokątna.
Bok a jest wysokością opuszczoną na bok b.
Bok b jest wysokością opuszczoną na bok a.
Wysokość opuszczona na bok c (wysokość oznaczona jako h)
dzieli trójkąt na dwa trójkąty podobne. Oba te trójkąty są
podobne do trójkąta o bokach a, b, c.
Boki trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa: „W trójkącie
prostokątnym
suma
kwadratów
długości
boków
przyprostokątnych
jest
równa
kwadratowi
długości
przeciwprostokątnej”:
a2 + b2 = c 2
13
Pole:
P=
a⋅h
2
Obwód:
Obw = a + b + c
ROZWARTOKĄTNY
Jeden kąt wewnętrzny trójkąta jest kątem rozwartym*
(większy niŜ 90°), pozostałe dwa s ą kątami ostrymi.
Dwie wysokości znajdują się na zewnątrz trójkąta (wysokości
opuszczone z wierzchołków kątów ostrych).
b
h
Pole:
P=
a⋅h
2
Obwód:
c
Obw = a + b + c
a
*UWAGA! Tłustym drukiem wyróŜniono warunek definicyjny.
Twierdzenia związane z trójkątem:
Twierdzenie o kątach trójkąta: Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180° (w śród wielokątów, tylko trójkąty mają
tą własność).
γ
α + β + γ = 180 °
α
β
Przykład:
Czy istnieje trójkąt o kątach 57°, 71° i 52°?
Odpowiedź TAK.
Uzasadnienie: Suma kątów wewnętrznych trójkąta musi wynosić 180°, wi ęc naleŜy sprawdzić, czy podane
kąty w sumie tworzą kąt 180°:
57° + 71° + 52° = 180°. Odpowied ź: Mogą to być kąty trójkąta.
Przykład:
Oblicz miary brakujących kątów trójkątów:
114°
α
52°
62°
x
x
43°
β
α = 180° - (43° + 114°) =
= 180° - 157° = 23°
γ
β = 180° - (90° + 62°) =
= 180° - 152° = 28°
γ = (180° - 52°) : 2 =
= 128° : 2 = 64°
Twierdzenie o bokach trójkąta – Nierówności trójkąta: W kaŜdym trójkącie, suma długości dwóch boków jest większa od
długości trzeciego boku.
a+b>c
a+c>b
b+c>a
b
a
c
Z twierdzeniem o bokach trójkąta związany jest warunek mówiący o moŜliwości skonstruowania trójkąta: Trzy odcinki mogą
być bokami trójkąta, wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości dwóch krótszych boków jest większa niŜ długość boku
najdłuŜszego.
Przykład:
Czy z odcinków o długościach 6 cm, 16 cm i 12 cm moŜna skonstruować trójkąt?
Odpowiedź: TAK.
Uzasadnienie: Suma długości dwóch krótszych boków wynosi 6 cm + 12 cm = 18 cm i jest większa niŜ
długość boku najdłuŜszego: 18 cm > 16 cm.
14
7.
CZWOROKĄTY.
Definicja czworokąta: Czworokąt to wielokąt o czterech bokach.
Podstawowe pojęcia związane z czworokątem:
przekątna
c
D
wysokość
C
γ
δ
wierzchołek
d
przekątna
b
ramię
β
α
A
B
a
kąt wewnętrzny
podstawa
Czworokąt bierze swoją nazwę od wierzchołków. Na rysunku jest zaprezentowany czworokąt ABCD .
Czworokąt ma cztery wierzchołki. Ich nazwy to zazwyczaj: A, B, C, D.
Czworokąt ma cztery boki. Ich nazwy, to AB, BC, CD, AD, a ich długości oznaczamy zazwyczaj symbolami: a, b, c, d.
Czworokąt ma cztery kąty wewnętrzne. Ich nazwy to: ∠ABC , ∠BCD , ∠CDA , ∠DAB . Ich miary oznaczamy zazwyczaj
literami greckimi: α, β, γ, δ.
Czworokąt ma dwie przekątne.
Klasyfikacja czworokątów i ich własności:
KLASYFIKACJA CZWOROKĄTÓW ZE WZGLĘDU NA RODZAJ KĄTÓW.
Nazwa
czworokąta
Rysunek
Czworokąt, którego wszystkie
wypukłymi* (mniejszymi niŜ 180°).
c
WYPUKŁY
d
b
kąty
są
Wzory.
kątami
Do tej grupy czworokątów naleŜy większość najczęściej
spotykanych czworokątów, takich jak: kwadrat, prostokąt,
romb, równoległobok, trapez. Ich własności omówione są
w innej tabeli.
Pole:
W zaleŜności od
własności boków.
Obwód:
Obw = a + b + c + d
Obie przekątne znajdują się wewnątrz figury.
a
Czworokąt, którego jeden kąt jest kątem wklęsłym*
(większym niŜ 180°), a pozostałe trzy k ąty są kątami
wypukłymi (mniejsze niŜ 180°).
WKLĘSŁY
b
Pole:
W zaleŜności od
własności boków.
Jedna z przekątnych figury znajduje się na zewnątrz figury.
c
Obwód:
Obw = a + b + c + d
d
a
15
KLASYFIKACJA CZWOROKĄTÓW ZE WZGLĘDU NA WŁASNOŚCI BOKÓW I KĄTÓW.
Nazwa
czworokąta
KWADRAT
Rysunek
d
a
a
Wzory.
Wszystkie boki kwadratu są równej długości*.
Kwadrat ma dwie pary boków (przeciwległych)
równoległych.
Przekątna:
Wszystkie kąty kwadratu są proste* (90°)
Pole:
Przekątne są równej długości.
Przekątne przecinają się pod kątem prostym.
Przekątne dzielą się wzajemnie na połowy.
Przekątna tworzy z kaŜdym bokiem kąt 45°.
P=
d =a 2
P = a2
d2
2
Obwód:
Obw = 4a
PROSTOKĄT
d
b
Pole:
Prostokąt ma dwie pary boków (przeciwległych) równej
długości.
Prostokąt ma dwie pary boków (przeciwległych)
równoległych.
Obwód:
Wszystkie kąty prostokąta są proste (90°)
Obw = 2a + 2b
P = a⋅b
Przekątna:
Obliczamy
Pitagorasa.
z
tw.
a
Romb ma wszystkie boki są równej długości*.
Romb ma dwie pary boków (przeciwległych)
równoległych.
a
ROMB
h
Romb ma dwie pary kątów (przeciwległych) równych.
Suma miar dwóch sąsiednich kątów wynosi 180°.
f
e
RÓWNOLEGŁOBOK
a
Równoległobok ma dwie pary równoległych boków
(boki przeciwległe)*.
Równoległobok ma dwie pary boków (przeciwległych)
równej długości.
h
b
a
e⋅f
2
P = a⋅h
P=
Obwód:
Obw = 4a
Pole:
P = a⋅h
Obwód:
Obw = 2a + 2b
podstawa
b
TRAPEZ
Równoległobok ma dwie pary kątów przeciwległych
równych.
Suma miar dwóch sąsiednich kątów wynosi 180°.
Pole:
d
ramię
c
h
Trapez to czworokąt, który ma jedną parę boków
równoległych*.
Suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi 180°.
Przekątne dzielą się wzajemnie w tym samym stosunku.
Pole:
a+b
⋅h
2
1
P = (a + b ) ⋅ h
2
P=
Obwód:
Obw = a + b + c + d
a
podstawa
16
TRAPEZ
RÓWNORAMIENNY
TRAPEZ
PROSTOKĄTNY
Trapez równoramienny ma
równoległych*.
Ramiona są równej długości*.
b
c
boków
a
Trapez prostokątny
równoległych*.
b
c h
h
ma
jedną
parę
boków
Obwód:
Obw = a + b + 2c
Pole:
a+b
⋅h
2
1
P = (a + b ) ⋅ h
2
Obwód:
Obw = a + b + c + d
a
DELTOID
a+b
⋅h
2
1
P = (a + b ) ⋅ h
2
P=
Dwa kąty przy ramieniu są proste*.
d
Pole:
P=
b
TRAPEZOID
parę
Kąty przy podstawie są równe.
c
h
jedną
Deltoid ma dwie pary sąsiednich boków równych*.
b
Deltoid ma jedną parę kątów równych.
f
e
Jedna z przekątnych dzieli drugą na połowę.
a
P=
e⋅f
2
Obwód:
Obw = 2a + 2b
a
Trapezoid to czworokąt, który nie
równoległych.
d
c
a
Pole:
ma boków
Pole:
Aby obliczyć pole
naleŜy
podzielić
figurę na trójkąty.
Obwód:
Obw = a + b + c + d
b
*UWAGA! Tłustym drukiem wyróŜniono warunek definicyjny.
ZaleŜności między czworokątami:
KaŜdy kwadrat jest prostokątem.
KaŜdy kwadrat jest rombem.
KaŜdy kwadrat jest równoległobokiem.
KaŜdy kwadrat jest trapezem równoramiennym.
KaŜdy kwadrat jest trapezem prostokątnym.
KaŜdy prostokąt jest równoległobokiem.
KaŜdy prostokąt jest trapezem prostokątnym.
KaŜdy romb jest równoległobokiem.
KaŜdy romb jest deltoidem.
KaŜdy romb jest trapezem równoramiennym.
KaŜdy równoległobok jest trapezem równoramiennym.
KaŜdy kwadrat jest czworokątem wypukłym.
KaŜdy prostokąt jest czworokątem wypukłym.
KaŜdy romb jest czworokątem wypukłym.
KaŜdy równoległobok jest czworokątem wypukłym.
KaŜdy trapez jest czworokątem wypukłym.
KaŜdy kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez nie są trapezoidami.
17
Twierdzenia związane z czworokątem:
Twierdzenie o kątach czworokąta: Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360° (w śród wielokątów, tylko
czworokąty mają tą własność).
γ
α + β + γ + δ = 360 °
δ
α
β
8.
KOŁO I OKRĄG.
Definicja koła: Koło o środku w punkcie S i promieniu r, to figura geometryczna płaska, będąca zbiorem wszystkich punktów,
których odległość od środka koła S jest równa lub mniejsza niŜ promień.
S
r
Pojęcia związane z kołem:
Promień koła:
W definicji koła – promień oznacza pewną określoną dla koła długość odcinka.
Promień jest określany równieŜ jako odcinek, którego końcami są: środek koła S oraz dowolny punkt leŜący
na okręgu. Promień oznaczamy najczęściej literą r.
Okrąg:
Okrąg to krzywa, będąca brzegiem koła. Jej długość to obwód koła.
Okrąg o środku w punkcie S i promieniu r, to zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka S jest
równa promieniowi.
Cięciwa:
Odcinek, którego końcami są punkty leŜące na okręgu.
Średnica koła: Odcinek „przechodzący” przez środek koła, którego końcami są punkty leŜące na okręgu. Średnica jest
najdłuŜszą cięciwą. Średnicę oznaczamy najczęściej literą d.
Łuk okręgu:
Część okręgu leŜąca między dwoma punktami.
Odcinek koła:
Część koła wyznaczona przez cięciwę i odpowiadający jej łuk.
Kąt środkowy: Kąt, którego wierzchołkiem jest środek koła. Kąt środkowy oparty jest zawsze na pewnym łuku.
Wycinek koła:
Część koła ograniczona kątem środkowym i łukiem, na którym jest on oparty.
Kąt wpisany:
Kąt, którego wierzchołek naleŜy do okręgu koła, a ramiona zawierają cięciwy tego koła. Kąt wpisany oparty
jest zawsze na pewnym łuku.
18
Liczba π
Liczba π (pi) jest to liczba niewymierna, która jest stosunkiem obwodu koła i jego średnicy. Inaczej mówiąc, liczba π określa,
ile razy długość okręgu jest większa od długości średnicy.
Długość okręgu
π = ______________
długość średnicy
W przybliŜeniu liczba π jest równa:
π ≈ 3,14
Wzory związane z pojęciem koła:
Średnica:
d = 2r
Długość okręgu:
Pole koła:
Obwo = 2 π r
d
S
Po = π r 2
r
Długość łuku AB:
Ł=
α
360
0
Pole wycinka ABS:
⋅2 π r
Pw =
α
360
0
⋅ π r2
S
α
B
A
PRZYKŁAD:
Oblicz pole i obwód koła, którego promień ma długość 4 cm.
Korzystamy z odpowiednich wzorów:
Obwo = 2 π r = 2 · π · 4 = 8π cm ≈ 8 · 3,14 = 25,12 cm (przy czym wynik 8π cm – jest wynikiem dokładnym,
natomiast 25,12 cm – to wynik przybliŜony).
2
2
2
2
2
Po = π r = π · 4 =16π cm ≈ 16 · 3,14 = 50,24 cm (przy czym wynik 16π cm – jest wynikiem dokładnym,
2
natomiast 50,24 cm – to wynik przybliŜony).
PRZYKŁAD:
Koło ma promień długości 6 cm. Kąt środkowy tego koła ma miarę 80° i jest opary na łuku AB. Oblicz
długość tego łuku oraz pole wycinka utworzonego przez ten kąt.
Korzystamy z odpowiednich wzorów:
Ł=
α
360 °
⋅2 π r =
80 °
⋅2 ⋅π ⋅ 6
360 °
Po skróceniu otrzymujemy:
Ł=
2
2
8
⋅ 12 πr = ⋅ 4 ⋅ π = π cm (wynik dokładny, zapisany w postaci działania z liczbą π)
9
3
3
W przybliŜeniu:
Ł≈
8
⋅ 3,14 ≈ 8,37 cm
3
Podobnie obliczamy pole wycinka:
Pw =
α
360 °
π r2 =
80°
2
⋅ π ⋅ 6 2 = ⋅ π ⋅ 36 = 8π cm2 (wynik dokładny)
360 °
9
W przybliŜeniu:
Pw ≈ 8 ⋅ 3,14 ≈ 25,12 cm2
19
Twierdzenia o kątach w kole:
α
α
α
β
Twierdzenie 1
Twierdzenie 2
Twierdzenie 3
Twierdzenie 1: Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary.
Twierdzenie 2: Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku (β = 2α).
Twierdzenie 3: Kąt wpisany oparty na półokręgu (średnicy) jest kątem prostym.
Wzajemne połoŜenie prostej i okręgu na płaszczyźnie:
k
Na płaszczyźnie okrąg i prosta mogą być połoŜone względem siebie na trzy sposoby:
1)
Prosta i okrąg są rozłączne.
Prosta k i okrąg o środku w punkcie S i promieniu r nie mają punktów wspólnych.
Odległość pomiędzy prostą a środkiem okręgu jest większa niŜ długość promienia r.
2)
S
r
k
Prosta jest styczna do okręgu.
P
Prosta k i okrąg o środku w punkcie S i promieniu r mają jeden punkt wspólny zwany punktem
styczności (P). Odległość pomiędzy prostą a środkiem okręgu jest równa długości promienia r.
S
r
Twierdzenie: Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą, tworzy z nią kąt prosty.
3)
B
A
Prosta sieczna względem okręgu (przecinająca okrąg).
S
Prosta k i okrąg o środku w punkcie S i promieniu r mają dwa punkty wspólne. Odległość
pomiędzy prostą a środkiem okręgu jest mniejsza niŜ długość promienia r. Prosta k
tworzy w kole o środku w punkcie S i promieniu r cięciwę AB.
r
Wzajemne połoŜenie dwóch okręgów na płaszczyźnie:
Na płaszczyźnie dwa okręgi mogą być połoŜone względem siebie na sześć sposobów:
a)
Dwa okręgi są rozłączne zewnętrznie.
Dwa okręgi nie mają punktów wspólnych (punktów przecięcia). Odległość
pomiędzy środkami okręgów, czyli długość odcinka S1S2 jest większa niŜ suma
długości promieni tych okręgów r1 + r2.
S1
S2
r1
r2
S1S2 > r1 + r2.
b)
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie.
Dwa okręgi mają jeden punkt wspólny, zwany punktem styczności (P). Odległość
pomiędzy środkami okręgów, czyli długość odcinka S1S2 jest równa sumie długości
promieni tych okręgów r1 + r2.
S1
r1
S1S2 = r1 + r2.
20
S2
P
r2
k
c)
Dwa okręgi przecinają się (okręgi przecinające się).
A
Dwa okręgi mają dwa punkty wspólne (punkty przecięcia A i B). Odległość pomiędzy
środkami okręgów, czyli długość odcinka S1S2 jest mniejsza niŜ suma długości promieni
tych okręgów r1 + r2 i większa od róŜnicy długości tych promieni r2 – r1
B
Dwa okręgi są wewnętrznie zewnętrznie.
Dwa okręgi mają jeden punkt wspólny, zwany punktem styczności (P). Odległość pomiędzy
środkami okręgów, czyli długość odcinka S1S2 jest równa róŜnicy długości promieni tych
okręgów r2 – r1
P
S1 S2
r1
0 < S1S2 < r2 – r1
r2
Dwa okręgi są współśrodkowe.
Dwa okręgi nie mają punktów wspólnych i ich środki pokrywają się. Odległość pomiędzy
środkami tych okręgów, czyli długość odcinka S1S2 jest więc równa zero.
S1S2 = 0
9.
r2
Dwa okręgi są wewnętrznie rozłączne.
Dwa okręgi nie mają punktów wspólnych (punktów przecięcia). Odległość pomiędzy środkami
okręgów, czyli długość odcinka S1S2 jest mniejsza niŜ róŜnica długości promieni tych okręgów
r2 – r1 i nie jest równa zero.
f)
S1 S2
r1
S1S2 = r2 – r1
e)
r2
r1
r2 – r1 < S1S2 < rr + r2.
d)
S2
S1
S2 S1
r1
r2
WIELOKĄTY FOREMNE, OKRĘGI WPISANY I OPISANY.
Wielokąty foremne.
Definicja wielokąta foremnego: Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, którego wszystkie boki są równej długości
i wszystkie kąty mają tą samą miarę.
PRZYKŁADY:
TRÓJKĄT FOREMNY CZWOROKĄT FOREMNY
(RÓWNOBOCZNY)
(KWADRAT)
PIĘCIOKĄT
FOREMNY
SZEŚCIOKĄT
FOREMNY
Miara kąta wielokąta foremnego:
Aby obliczyć, ile wynosi miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego naleŜy:
a) obliczyć sumę miar kątów wewnętrznych w wielokącie (patrz punkt 5. Wielokąty).
b) podzielić sumę miar kątów przez liczbę kątów w wielokącie.
Jeśli wielokąt ma n boków i n kątów, moŜna skorzystać ze wzoru:
(n − 2 ) ⋅ 180 o
n
21
OŚMIOKĄT
FOREMNY
Miary kątów w szczególnych wielokątach foremnych wynoszą:
− w trójkącie równobocznym – 60°,
− w kwadracie – 90°,
− w pięciokącie foremnym – 108°,
− w sześciokącie foremnym – 120°,
− w siedmiokącie foremnym – około 128,6°,
− w ośmiokącie foremnym – 135°,
− itd…
Okrąg opisany na wielokącie.
Definicja okręgu opisanego na wielokącie: Okrąg jest opisany na wielokącie, jeŜeli wszystkie wierzchołki wielokąta naleŜą do
tego okręgu.
PRZYKŁADY:
Okrąg opisany na
prostokącie
Okrąg opisany na
trapezie
Okrąg opisany na
sześciokącie
Okrąg opisany na
ośmiokącie
Istnieją wielokąty, na których nie da się opisać okręgu. Przykładami takich figur są np.: romb, równoległobok, trapez
prostokątny.
To nie jest okrąg opisany na rombie, bo dwa
wierzchołki rombu nie naleŜą do tego okręgu!
Okrąg opisany na trójkącie: Na kaŜdym trójkącie moŜna opisać okrąg. Środek tego okręgu to punkt przecięcia się wszystkich
symetralnych boków trójkąta (przypomnienie: symetralna to prosta, która dzieli odcinek na połowy pod kątem prostym).
Promień tego okręgu moŜna wyznaczyć „łącząc” środek okręgu z jednym z wierzchołków.
PRZYKŁAD:
symetralna
r
okrąg opisany
S
Uwaga! Jeśli okrąg jest opisany na wielokącie, moŜna równieŜ powiedzieć, Ŝe wielokąt jest wpisany w okrąg.
22
Okrąg wpisany w wielokąt.
Definicja okręgu wpisanego w wielokąt: Okrąg jest wpisany w wielokąt, jeŜeli jest styczny do wszystkich boków wielokąta.
PRZYKŁADY:
Okrąg wpisany w
kwadrat
Okrąg wpisany w
romb
Okrąg wpisany w
sześciokąt
Okrąg wpisany w
ośmiokąt
UWAGA! Istnieją wielokąty, w które nie da się wpisać okręgu. Przykładami takich figur są np.: prostokąt, równoległobok,
większość trapezów.
To nie jest okrąg wpisany w prostokąt, bo
jeden bok nie jest styczny do tego okręgu!
Okrąg wpisany w trójkąt: W kaŜdy trójkąt moŜna wpisać okrąg. Środek tego okręgu to punkt przecięcia się wszystkich
dwusiecznych kątów trójkąta (przypomnienie: dwusieczna to półprosta, która dzieli kąt na połowy). Promień tego okręgu
moŜna wyznaczyć „łącząc” środek okręgu prostopadle z jednym z boków.
PRZYKŁAD:
dwusieczna
S
okrąg wpisany
r
Uwaga! Jeśli okrąg jest wpisany w wielokąt, moŜna równieŜ powiedzieć, Ŝe wielokąt jest opisany na okręgu.
Twierdzenia o okręgu opisanym na czworokącie i okręgu wpisanym w czworokąt.
Twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie: Okrąg moŜna opisać na czworokącie,
jeŜeli suma miar dwóch przeciwległych kątów czworokąta wynosi 180°.
α + γ = 180°
γ
δ
β + δ = 180°
β
α
c
Twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt: Okrąg moŜna wpisać w czworokąt, jeŜeli suma
długości przeciwległych boków jest zawsze taka sama.
b
d
a+c=b+d
a
23
Okrąg wpisany i opisany na wielokącie foremnym.
Trójkąt równoboczny:
Wysokości trójkąta równobocznego, dwusieczne kątów trójkąta równobocznego,
symetralne boków trójkąta równobocznego i środkowe boków trójkąta
równobocznego pokrywają się ze sobą. Przecinają się one w jednym punkcie
zaznaczonym na rysunku literą S. Punkt ten jest środkiem okręgu opisanego na
trójkącie równobocznym oraz środkiem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny.
R
a
a
h
S
Promień okręgu opisanego, to
2
wysokości trójkąta.
3
R=
Promień okręgu wpisanego, to
1
wysokości trójkąta.
3
r =
2
h
3
r
a
1
h
3
Kwadrat:
Środkiem okręgu opisanego na kwadracie i wpisanego w kwadrat jest punkt
przecięcia się przekątnych kwadratu, zaznaczony na rysunku literą S.
Promień okręgu opisanego, to połowa przekątnej kwadratu.
R
S
R=
a
r
d
1
1
d = a 2
2
2
Promień okręgu wpisanego, to połowa długości boku kwadratu.
r =
a
1
a
2
Sześciokąt foremny:
Sześciokąt foremny ma dwa rodzaje przekątnych: dłuŜszą (na rysunku oznaczona
literą D) i krótszą (na rysunku oznaczona literą d).
a
D = 2a
DłuŜsza przekątna ma długość równą dwóm bokom a
d
a
a
r
Wszystkie trzy dłuŜsze przekątne dzielą sześciokąt foremny na sześć trójkątów
równobocznych. Wynika stąd wzór na pole sześciokąta foremnego:
R
S
a2 3
P = 6⋅
4
D
a
a
Krótsza przekątna ma długość równą dwóm wysokościom trójkąta równobocznego:
a
d = 2⋅
a 3
=a 3
2
Wszystkie trzy dłuŜsze przekątne D przecinają się w jednym punkcie (na rysunku oznaczony literą S), który jest środkiem
okręgu opisanego i wpisanego w sześciokąt foremny. Promienie tych okręgów to:
R =a
r =
24
a 3
2
10. TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY. TWIERDZENIE PITAGORASA. ELEMENTY TRYGONOMETRII.
przeciwprostokątna
Twierdzenie Pitagorasa: W trójkącie prostokątnym suma
kwadratów długości przyprostokątnych jest równa
kwadratowi długości przeciwprostokątnej
c
a
a2 + b2 = c 2
b
przyprostokątna
przyprostokątna
Komentarz: Twierdzenie Pitagorasa opisuje związek, który zachodzi pomiędzy bokami trójkąta prostokątnego. Dzięki
twierdzeniu Pitagorasa moŜna obliczyć długość brakującego boku trójkąta prostokątnego, gdy znane są długości dwóch
pozostałych boków.
PRZYKŁAD: Oblicz długość brakującego boku trójkąta.
Znane są długości przyprostokątnych (we wzorze oznaczone literami a i b), a wyliczyć
naleŜy długość przeciwprostokątnej (we wzorze oznaczoną literą c). Podstawiamy
2
2
2
odpowiednie wartości do wzoru a + b = c i rozwiązujemy powstałe w ten sposób
równanie:
x
6 cm
a2 + b2 = c 2
8 cm
62 + 82 = x 2
36 + 64 = x 2
x 2 = 100
x = 100 = 10 cm
PRZYKŁAD: Oblicz długość brakującego boku trójkąta.
Znane są: długość przyprostokątnej i przeciwprostokątnej. Podstawiamy
2
2
2
odpowiednie wartości do wzoru a + b = c i rozwiązujemy powstałe w ten sposób
równanie:
8 cm
a2 + b2 = c 2
y
8 2 + y 2 = 12 2
64 + y 2 = 144
12 cm
− 64
y 2 = 80
y = 80 = 4 5 cm
PRZYKŁAD: Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 12 cm i 5 cm.
PoniewaŜ przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne, moŜna
zastosować twierdzenie Pitagorasa dla jednego z nich:
5 cm
d
a2 + b2 = c 2
5 2 + 12 2 = d 2
25 + 144 = d 2
12 cm
d 2 = 169
d = 13 cm
25
PRZYKŁAD: Oblicz pole trójkąta równoramiennego o bokach długości 10 cm, 10 cm i 12 cm.
PoniewaŜ przekątna dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne, moŜna
zastosować twierdzenie Pitagorasa dla jednego z nich. Jedną z przyprostokątnych
jest połowa podstawy trójkąta równoramiennego, a przeciwprostokątna to ramię.
10 cm
a2 + b2 = c 2
10 cm
h
6 2 + h 2 = 10 2
36 + h 2 = 100
− 36
h 2 = 64
12 cm
h = 8 cm
Wzór na pole trójkąta to: P =
ah
12 ⋅ 8
. Obliczamy pole trójkąta: P =
= 48 cm2.
2
2
PRZYKŁAD: Oblicz obwód rombu, którego przekątne mają długości 24 cm i 18 cm. Jaką długość ma wysokość tego rombu?
a
PoniewaŜ przekątne dzielą romb na cztery trójkąty prostokątne, moŜna zastosować
twierdzenie Pitagorasa dla jednego z nich. Przyprostokątne tego trójkąta to połowy
przekątnych rombu.
a
h
a2 + b2 = c 2
24 cm
12 2 + 9 2 = a 2
18 cm
144 + 81 = a 2
a
a
− 36
a 2 = 225
a = 15 cm
Obwód rombu to suma długości czterech boków a. Czyli Obw = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 15 = 60 cm.
Aby obliczyć długość wysokości rombu moŜna uŜyć dwóch wzorów na pole. Z pierwszego z nich, P =
e⋅f
, moŜna obliczyć
2
18 ⋅ 24
= 216 cm2. Obliczoną wartość pola figury moŜna uŜyć do wyznaczenia długości wysokości
2
wstawiając ją do wzoru P = a ⋅ h :
216 = 15 ⋅ h
: 15
pole rombu: P =
h = 216 : 15
h = 14,4 cm
PRZYKŁAD: Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego boki mają długości 8 cm, 4 cm, 4 cm i 4 cm.
Dwie wysokości opuszczone z wierzchołków kątów rozwartych dzielą trapez
na
prostokąt
i
dwa
identyczne
trójkąty
prostokątne.
Jedna
z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego (oznaczona na rysunku literą x)
moŜe zostać obliczona jako połowa róŜnicy długości podstaw:
4 cm
4 cm
h
h
x=
4 cm
8−4
= 2 cm.
2
Teraz moŜna wykorzystać twierdzenie Pitagorasa, by wyliczyć długość
wysokości trapezu:
x
a2 + b2 = c 2
x
8 cm
22 + h2 = 42
4 + h 2 = 16
h 2 = 12
h = 12 = 2 3 cm
MoŜna obliczyć pole figury:
P =
a+b
8+4
⋅h =
⋅ 2 3 = 12 3 cm 2
2
2
26
−4
Interpretacja geometryczna twierdzenia Pitagorasa.
P3
c
b
P2
Na bokach trójkąta prostokątnego „zbudowano” kwadraty.
2
Pole kwadratu zbudowanego na boku a wynosi P1 = a ,
2
Pole kwadratu zbudowanego na boku b wynosi P2 = b ,
2
Pole kwadratu zbudowanego na boku c wynosi P3 = c .
2
2
2
W tej sytuacji twierdzenie Pitagorasa opisane wzorem a + b = c moŜna
sformułować w sposób geometryczny:
Suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta
prostokątnego
jest
równa
polu
kwadratu
zbudowanego
na
przeciwprostokątnej.
a
P1
Komentarz:
Interpretacja
geometryczna
twierdzenia
wykorzystywana jest w dowodach tego twierdzenia.
Pitagorasa
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa: JeŜeli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest
równa kwadratowi długości najdłuŜszego boku, to jest to trójkąt prostokątny.
Komentarz: Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa słuŜy do sprawdzania, czy trójkąt jest prostokątny.
PRZYKŁAD. Sprawdź, czy trójkąt o bokach długości 10 cm, 26 cm i 24 cm jest prostokątny?
2
2
2
Sprawdzam (zgodnie z twierdzeniem odwrotnym do tw. Pitagorasa), czy boki tego trójkąta spełniają równanie a + b = c .
Pamiętać naleŜy o tym, Ŝe w miejsce litery c naleŜy podstawić długość boku najdłuŜszego (czyli w zadaniu 26 cm)
a2 + b2 = c 2
10 2 + 24 2 = 26 2
100 + 576 = 676
676 = 676
2
2
2
Czyli trójkąt o bokach długości 10 cm, 26 cm i 24 cm jest prostokątny, bo jego boki spełniają równanie a + b = c .
Elementy trygonometrii.
Trójkąt prostokątny równoramienny (trójkąt o kątach 45°, 45°, 90°).
45°
ZaleŜności pomiędzy bokami w trójkącie prostokątnym równoramiennym zapisane są na
rysunku. Wynikają one z faktu, Ŝe trójkąt prostokątny równoramienny jest połową kwadratu
(przeciwprostokątna to przekątna kwadratu).
a 2
a
.
45°
a
Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°.
30°
ZaleŜności pomiędzy bokami w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90° zapisane s ą na
rysunku. Wynikają one z faktu, Ŝe trójkąt prostokątny o kątach 30°, 60°, 90° jest
połową trójkąta równobocznego (dłuŜsza przyprostokątna to wysokość trójkąta
równobocznego).
a
a 3
2
.
Komentarz: ZaleŜności trygonometryczne słuŜą do obliczania brakujących boków
trójkąta prostokątnego, gdy znane są miary jego kątów oraz długość jednego boku
(rzadziej uŜywa się ich teŜ do obliczania miar kątów trójkąta).
27
60°
1
a
2
PRZYKŁAD: Oblicz długości brakujących boków trójkąta.
Trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, więc, zgodnie ze wzorami:
45°
y
x
x = 4 cm
y = a 2 = 4 2 cm.
.
45°
4 cm
Trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, więc, zgodnie ze wzorami moŜna zapisać:
a
a 2
6= a 2
Wyznaczany teraz z tego równania niewiadomą a:
45°
6 cm
y
6=a 2
.
45°
a
a=
x
Wyznaczona liczba to długość boków x oraz y:
6
2
: 2
=
6 2
= 3 2 cm.
2
x = 3 2 cm i y = 3 2 cm.
a 3 30°
2
a
Trójkąt jest trójkątem o kątach 30°, 60°, 90°, wi ęc, zgodnie ze wzorami moŜna zapisać:
a = 10 cm
10 cm
x
1
1
a=
⋅ 10 = 5 cm
2
2
a 3 10 3
=
= 5 3 cm
x=
2
2
y=
.
60°
y
1
a
2
a
60° 1
1
a = 3 cm. Wynika z tego, Ŝe:
2
2
y
3 cm
y = a = 6 cm
x=
a
.
30°
a 3
6 3
=
= 3 3 cm
2
2
a 3
2
x
.
a 3
2
y
12 cm
1
a
2
60°
a
30°
x
a 3
= 12 cm. Przekształcając to równanie moŜna wyliczyć a.
2
a 3
= 12
⋅2
2
a 3 = 24
a=
24
=
: 3
24 3
= 8 3 cm
3
3
1
1
Czyli x = 8 3 cm , natomiast y = a = ⋅ 8 3 = 4 3 cm
2
2
28
Funkcje trygonometryczne:
Funkcją trygonometryczną kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości dwóch boków trójkąta.
Stosunek ten zaleŜy jedynie od miary kąta α, a nie zaleŜy od długości boków, czy wielkości trójkąta. W zaleŜności od wyboru
pary boków, moŜna ułoŜyć sześć stosunków będących wartościami funkcji trygonometrycznych. KaŜdy z nich ma swoją
osobną nazwę:
Sinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej (a) leŜącej na
przeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej (c).
Cosinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej (b) leŜącej
przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej (c).
Tangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej (a) leŜącej
na przeciw tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej (b).
Cotangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej (b)
przyległej do tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej (a).
Secansem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przeciwprostokątnej (c) do
przyprostokątnej leŜącej na przeciw tego kąta (a). UWAGA! Secans jest funkcją, której obecnie się nie uŜywa!
Cosecansem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przeciwprostokątnej (c) do
przyprostokątnej przyległej do tego kąta (b). UWAGA! Cosecans jest funkcją, której obecnie się nie uŜywa!
c
a
c
tgα =
cos α =
b
c
ctgα =
a
α
a
b
sin α =
b
b
a
11. FIGURY PRZYSTAJĄCE. CECHY PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW.
Figury przystające. Dwie figury geometryczne są przystające, jeŜeli są identyczne. Figury przystające nie róŜnią się od siebie
długościami odpowiednich boków, miarami odpowiednich kątów, obwodami, polami itd… RóŜnią się jedynie połoŜeniem na
płaszczyźnie (lub w przestrzeni).
Przykłady figur przystających:
−
dwa kwadraty o takich samych bokach
−
dwa koła o równych promieniach
−
dwa trójkąty równoboczne o takich samych bokach
−
dwa kąty o tych samych miarach
Cechy przystawania trójkątów.
Pierwsza cecha przystawania trójkątów (BBB): Dwa trójkąty są przystające, jeŜeli wszystkie boki jednego trójkąta są równe
odpowiednim bokom w drugim trójkącie.
C’
A
PRZYKŁAD:
∆ABC ≡ ∆A' B ' C '
6 cm
C
12 cm
10 cm
12 cm
6 cm
B’
B
29
10 cm
A’
Druga cecha przystawania trójkątów (BKB): Dwa trójkąty są przystające, jeŜeli dwa boki jednego trójkąta są równe
odpowiednim bokom w drugim trójkącie, a kąt leŜący pomiędzy tymi bokami w pierwszym trójkącie ma taką samą miarę jak
odpowiedni kąt w drugim trójkącie.
C’
PRZYKŁAD:
A
α
∆ABC ≡ ∆A' B ' C '
8 cm
6 cm
6 cm
α
C
B
8 cm
A’
B’
Komentarz: WaŜnym elementem cechy BKB jest uwaga, Ŝe badany kąt musi leŜeć między badanymi bokami. Nie moŜna
porównać ze sobą innych kątów! Wówczas trójkąty nie muszą być przystające, co prezentuje poniŜszy rysunek. Trójkąty mają
dwie pary równych boków i parę odpowiednich kątów równych, jednak nie są przystające!!!
A
A’
4 cm
4 cm
α
α
C
8 cm
C’
B
B’
8 cm
Widać bardzo wyraźnie, Ŝe dwa narysowane wyŜej trójkąty nie są przystające, chociaŜ mają dwie pary odpowiednich boków
równych oraz parę równych kątów odpowiadających sobie. Jednak kąty te nie leŜą pomiędzy badanymi bokami, więc nie jest
spełniona cecha BKB. Trójkąty nie są przystające, bo nie zachodzą warunki opisane w cesze BKB.
Trzecia cecha przystawania trójkątów (BKB): Dwa trójkąty są przystające, jeŜeli dwa kąty jednego trójkąta są równe
odpowiednim kątom w drugim trójkącie, oraz jeden bok pierwszego trójkąta jest równy odpowiedniemu bokowi trójkąta
drugiego.
B’
PRZYKŁAD:
A
β
∆ABC ≡ ∆A' B ' C '
α
C
β
8 cm
8 cm
α
B
A’
C’
12. FIGURY PODOBNE.
Figury podobne. Dwie figury nazywamy podobnymi, jeśli nie róŜnią się kształtem i istnieje pewna liczba k, zwana skalą
podobieństwa, która określa nam w sposób jednoznaczny, ile razy jedna figura jest większa od drugiej.
Na rysunku zaznaczono figury podobne tym samym kolorem:
Na rysunku zaprezentowano dwa prostokąty. Skala podobieństwa wynosi k = 2, bo drugi prostokąt jest dwa razy większy od
pierwszego:
30
Na rysunku zaprezentowano dwa trójkąty. Skala podobieństwa wynosi k = 3, bo drugi
trójkąt jest trzy razy większy od pierwszego:
Na rysunku zaprezentowano dwa pięciokąty. Skala podobieństwa wynosi k =
1
,
2
bo drugi pięciokąt jest dwa razy mniejszy od pierwszego (jego wymiary stanowią
połowę wymiarów pierwszego pięciokąta:
Figury zawsze podobne. Istnieją figury geometryczne, które zawsze są podobne, niezaleŜnie od własności, np.:
− dwa kwadraty są zawsze podobne,
− dwa koła są zawsze podobne,
− dwa odcinki są zawsze podobne,
− dwa trójkąty równoboczne są zawsze podobne,
− dwa sześciokąty foremne są zawsze podobne,
− dwa n – kąty foremne są zawsze podobne.
Obliczanie skali podobieństwa: Aby obliczyć skalę podobieństwa naleŜy podzielić długość dowolnego odcinka związanego z
drugą figurą (np. długość boku, długość przekątnej , długość promienia itd…), przez długość odpowiedniego odcinka pierwszej
figury.
PRZYKŁAD. Na rysunku zaprezentowano dwa prostokąty podobne. Oblicz skalę podobieństwa.
D
C
A’
D’
8 cm
6 cm
B’
12 cm
A 4 cm B
C’
Aby obliczyć skalę, naleŜy znaleźć stosunek odpowiadających sobie boków tych figur, np.:
k =
A' B'
AB
=
6 cm 3
=
4 cm 2
=
12 cm 3
=
8 cm
2
lub:
k =
B' C '
BC
PRZYKŁAD. Na rysunku zaprezentowano dwa koła. Oblicz skalę podobieństwa.
d1 = 20 cm
d2 = 8 cm
Aby obliczyć skalę, naleŜy znaleźć stosunek średnic tych kół:
k=
d2
8 cm
2
=
=
d1 20 cm 5
31
Pola figur podobnych.
Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali. Jeśli dwie figury są podobne do siebie w skali k, to stosunek ich pól
2
wynosi k .
P1
Jeśli figury na rysunku są podobne w skali k, to stosunek ich pól
wynosi:
P2
P1
= k2
P2
Zastosowanie pojęcia podobieństwa:
Pojęcie podobieństwa ma zastosowanie w kartografii, czyli w dziale geografii zajmującym się tworzeniem map. Dzięki
podobieństwu tworzy się skalę mapy. KaŜda skala mapy określa za pomocą ułamka, ile razy odległości zaznaczone na mapie
są mniejsze od odległości prawdziwych mierzonych w terenie w skali rzeczywistej. PoniewaŜ odległości na mapie są znacznie
mniejsze od odległości rzeczywistych skala mapy jest przewaŜnie bardzo niewielkim ułamkiem, np.:
1
lub
1000000
1
500000
Na mapie zapisuje się ten ułamek za pomocą symbolu działania dzielenia:
1 : 1000000 lub 1 : 500000
Podobieństwo prostokątów:
Cecha podobieństwa prostokątów: Dwa prostokąty są podobne, jeŜeli stosunek ich boków jest taki sam.
PRZYKŁAD. Sprawdź, czy prostokąty o bokach długości 4 cm i 10 cm oraz 3 cm i 7,5 cm są podobne?
4 cm
3 cm
7,5 cm
10 cm
Nie trzeba sprawdzać istnienia skali podobieństwa. Zgodnie z cechą podobieństwa wystarczy zbadać stosunki boków kaŜdego
z prostokątów.
Prostokąt pierwszy: 10 cm : 4 cm = 2,5,
prostokąt drugi: 7,5 cm : 3 cm = 2,5
PoniewaŜ stosunki długości boków w obu prostokątach są równe, to prostokąty są podobne.
Podobieństwo trójkątów:
Cecha podobieństwa trójkątów (KKK): Dwa trójkąty są podobne, jeŜeli jeden z nich ma takie same kąty wewnętrzne jak drugi.
80°
63°
37°
63°
80°
37°
Trójkąty na rysunku są podobne, bo – zgodnie z cechą KKK – mają takie same kąty.
32
13. TWIERDZENIE TALESA.
k
B
l
b
A
a
l II k
O
c
A’
d
B’
Twierdzenie Talesa (wersja 1): Jeśli ramiona kąta przetniemy dwoma prostymi równoległymi, to stosunki odpowiadających
sobie odcinków na obu ramionach kąta są równe.
Np.:
OA
OA'
=
AB
OA
lub
A' B '
OA'
=
OB
AB
lub
OB '
A' B '
=
OB
OB '
Przy innych oznaczeniach (gdy mamy podane długości odcinków pod postacią liter):
a b
=
c d
a a+b
=
c c+d
lub
b a+b
=
d
c+d
lub
Twierdzenie Talesa (wersja 2): Jeśli ramiona kąta przetniemy dwoma prostymi równoległymi, to stosunek dowolnych
odcinków powstałych na jednym z ramion kąta jest równy stosunkowi odpowiadających im odcinków drugiego ramienia.
Np.:
OA
AB
=
OA'
OA
lub
A' B '
OB
=
OA'
AB
lub
OB '
OB
=
A' B '
OB '
Przy innych oznaczeniach (gdy mamy podane długości odcinków pod postacią liter):
a c
=
b d
a
c
=
a+b c+d
lub
b
d
=
a+b c+d
lub
Twierdzenie Talesa (wersja rozszerzona): MoŜna poszerzyć twierdzenie Talesa do bardziej ogólnej sytuacji: Jeśli dwie
proste przecinające się przetniemy prostymi równoległymi, to stosunek dowolnych dwóch odpowiadających sobie odcinków
powstałych na prostych przecinających się jest stały.
Komentarz: w wersji rozszerzonej zamiast ramion kąta przecinamy parę prostych nierównoległych (czyli ramiona dwóch kątów
wierzchołkowych). Prostych równoległych moŜe być wiele.
m
n
l
h
k
g
a
l II k II m II n
b
c
f
d
e
a b c d
= = =
e f
g h
Twierdzenie Talesa – wniosek dla odcinków na prostych równoległych: Jeśli ramiona kąta przetniemy dwoma prostymi
równoległymi, to stosunek odcinków powstałych na prostych równoległych jest równy stosunkowi odcinków jednego ramienia,
których końcami są: wierzchołek kąta i punkt przecięcia się ramienia z jedną z prostych równoległych.
l
A
a
O
Bk
b
e
f
c
A’
l II k
d
B’
BB'
AA'
=
OB
OA
lub
BB'
AA'
=
OB'
OA'
. Przy innych oznaczeniach moŜna zapisać:
33
e a+b
e c+d
lub
=
=
f
a
f
c
PRZYKŁAD. Oblicz długość brakującego odcinka.
Sytuacja w zadaniu spełnia załoŜenia twierdzenia Talesa.
MoŜna zapisać odpowiednią proporcję, by wyliczyć długość
odcinka x (zgodnie z wersją 1)
k
l
6 cm
4 cm
2 cm
2,5 cm
y
4
6
=
2,5 x
l II k
x
Zgodnie z zasadą rozwiązywania proporcji moŜna zapisać:
4 x = 2,5 ⋅ 6
4 x = 15
:4
x = 3,25 cm
Aby wyliczyć długość odcinka y, trzeba skorzystać z wniosku z twierdzenia Talesa, z którego wynika proporcja:
y 10
y 6+4
czyli
=
=
2
4
2
4
Zgodnie z zasadą rozwiązywania proporcji moŜna zapisać:
4 y = 2 ⋅ 10
4 y = 20
:4
y = 5 cm
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa: JeŜeli w wyniku przecięcia ramion kąta dwoma prostymi powstają na
ramionach kąta odcinki proporcjonalne, to znaczy, Ŝe proste są równoległe.
Komentarz: twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa słuŜy do sprawdzania, czy dwie proste (odcinki) są równoległe.
14. SYMETRIE.
Symetria osiowa. Symetria osiowa to przekształcenie geometryczne na płaszczyźnie (lub w przestrzeni), w którym obrazem
punktu A w symetrii względem prostej k jest taki punkt A’, Ŝe odcinek AA’ jest prostopadły do prostej k, a prosta k, dzieli ten
odcinek na połowy.
k
B
Dodatkowe informacje:
− Punkt A’ jest nazywany obrazem punktu A.
− Symetria osiowa jest nazywana równieŜ symetrią względem prostej lub
(rzadziej) odbiciem lustrzanym.
− Prosta k jest nazywana osią symetrii.
− Obrazem punktu leŜącego na osi symetrii jest ten sam punkt (patrz punkty B i B’).
− Symetria osiowa jest izometrią, to znaczy, Ŝe obrazem odcinka jest odcinek o tej
samej długości.
− Odległość punktu A od osi k jest taka sama jak odległość punktu A’ od tej osi.
B’
A
A’
Rysunki prezentują przykłady obrazów figur w symetrii osiowej:
A
B
k
B
k
C C’
B’
A’
B’
A
A’
Oś symetrii figury. Osią symetrii figury nazywamy taką prostą, Ŝe obrazem figury w symetrii względem tej prostej jest
dokładnie ta sama figura.
Komentarz: osią symetrii figury moŜe być tylko taka prosta, która dzieli figurę na połowy i połowy te są symetryczne względem
siebie. MoŜna wyjaśnić sobie ten fakt wyobraŜając sobie „składanie” figury niczym kartkę papieru. Osią symetrii będzie taka
linia zagięcia kartki, która spowoduje Ŝe „składane” części figury nałoŜą się na siebie, wzajemnie się pokrywając.
34
Na rysunkach poniŜej znajdują się podstawowe figury geometryczne oraz wszystkie osie symetrii tych figur:
4 osie
3 osie
2 osie
2 osie
1 oś
BRAK
OSI
BRAK
OSI
Trójkąt
równoboczny
Trójkąt
róŜnoboczny
Trójkąt
równoramienny
Kwadrat
6 osi
5 osi
1 oś
Prostokąt
Równoległobok
Romb
nieskończenie
wiele osi
8 osi
BRAK
OSI
Trapez
równoramienny
Trapez
Pięciokąt
foremny
Sześciokąt
foremny
Koło
Ośmiokąt
foremny
Symetria środkowa. Symetria środkowa to przekształcenie geometryczne na płaszczyźnie (lub w przestrzeni), w którym
obrazem punktu A w symetrii względem punktu O jest taki punkt A’, Ŝe punkt O jest środkiem odcinka AA’.
Dodatkowe informacje:
− Punkt A’ jest nazywany obrazem punktu A.
− Symetria środkowa jest nazywana równieŜ symetrią względem punktu.
− Punkt O jest nazywany środkiem symetrii.
− Symetria środkowa jest izometrią, to znaczy, Ŝe obrazem odcinka jest odcinek o tej
samej długości.
− Odległość punktu A od punktu O jest taka sama jak odległość punktu A’ od punktu O.
O
A
A’
Rysunki prezentują przykłady obrazów figur w symetrii środkowej:
A
A’
A’
B
O
B’
C
B’
C’
O
O
D
B
C’
A’
A
D’
C
B’
A
B
Środek symetrii figury. Środkiem symetrii figury nazywamy taki punkt, Ŝe obrazem figury w symetrii względem tego punktu
jest dokładnie ta sama figura.
Komentarz: środkiem symetrii figury moŜe być środek tej figury. Jeśli figura ograniczona nie posiada wyraźnego środka, to nie
ma teŜ środka symetrii. Trzeba uwaŜać, bo niejednokrotnie środek figury nie jest równocześnie środkiem symetrii.
UWAGA! śaden wielokąt o nieparzystej liczbie boków nie posiada środka symetrii (np. trójkąt)! Wielokąt moŜe mieć tylko jeden
środek symetrii. Tylko figury nieograniczone mogą mieć więcej niŜ jeden środek symetrii (np. prosta czy płaszczyzna ma ich
nieskończenie wiele)
Na rysunkach poniŜej znajdują się podstawowe figury geometryczne oraz wszystkie osie symetrii tych figur (punkt O):
BRAK
ŚRODKA
Trójkąt
równoboczny
BRAK
ŚRODKA
Trapez
równoramienny
BRAK
ŚRODKA
Trójkąt
róŜnoboczny
O
O
Kwadrat
Prostokąt
O
O
BRAK
ŚRODKA
Trójkąt
równoramienny
BRAK
ŚRODKA
Trapez
O
BRAK
ŚRODKA
Pięciokąt
foremny
Sześciokąt
foremny
35
Równoległobok
O
Ośmiokąt
foremny
Romb
O
Koło
Symetralna odcinka. Symetralna odcinka to prosta, która dzieli odcinek na połowy pod kątem prostym.
Symetralna odcinka AB
Własności symetralnej:
− Symetralna odcinka jest jedną z jego osi symetrii
(druga to prosta zawierająca odcinek).
− KaŜdy punkt symetralnej odcinka AB ma ta własność,
Ŝe odległość od tego punktu od punktu A (czyli A
jednego końca odcinka) jest taka sama jak odległość
tego punktu od punktu B (drugiego końca odcinka).
MoŜna powiedzieć, Ŝe symetralna odcinka to zbiór
wszystkich punktów, których odległość od końców
odcinka jest taka sama.
B
Dwusieczna kąta. Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która dzieli kąt na dwie równe części (kąty
przystające).
Dwusieczna kąta
Własności dwusiecznej:
− Prosta zawierająca dwusieczną kąta jest jedyną osią symetrii kąta.
− KaŜdy punkt dwusiecznej kąta ma ta własność, Ŝe odległość od tego punktu od jednego z ramion kąta jest taka sama
jak odległość tego punktu od drugiego ramienia kąta.
15. GEOMETRIA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.
Kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie. Kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie to dwie prostopadłe
osie liczbowe, przecinające się w punkcie zero.
Układ współrzędnych słuŜy do określania połoŜenia punktów na
płaszczyźnie. KaŜdy punkt moŜe zostać zlokalizowany dzięki określeniu
dla niego dwóch współrzędnych:
−
pierwsza współrzędna, to liczba odczytana na osi x – liczba
znajdująca się poniŜej lub powyŜej punktu na osi x – w przypadku punktu A
jest to liczba 4.
−
druga współrzędna, to liczba odczytana na osi y – liczba
znajdująca się z prawej lub z lewej punktu na osi y – w przypadku punktu A
jest to liczba 5.
Punkt A ma dwie współrzędne 4 i 5. Zapisujemy je w następujący sposób:
A = (4 , 5)
lub:
A (4 , 5)
Oś x układu współrzędnych nazywana jest osią odciętych.
Oś y układu współrzędnych nazywana jest osią rzędnych.
Pierwsza współrzędna punktu, odczytywana na osi x, nazywana jest odciętą.
Druga współrzędna punktu, odczytywana na osi y, nazywana jest rzędną.
Osie układu współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki. Ponumerowane są one tak jak na rysunku. MoŜna określić
następujące własności współrzędnych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych:
− w pierwszej ćwiartce obie współrzędne punktów są dodatnie,
− w drugiej ćwiartce pierwsza współrzędna punktu jest ujemna, a druga dodatnia,
− w trzeciej ćwiartce obie współrzędne punktów są ujemne,
− w trzeciej ćwiartce pierwsza współrzędna punktu jest dodatnia, a druga ujemna.
36
Długość odcinka w układzie współrzędnych.
Aby znaleźć długość odcinka w układzie współrzędnych, konieczna jest znajomość współrzędnych końców tego odcinka.
MoŜliwe są dwie sytuacje:
a)
Odcinek jest równoległy do osi x lub osi y. Wówczas jego długość obliczamy jako róŜnice odpowiednich
współrzędnych.
PRZYKŁAD. Odcinek AB ma końce w punktach A = ( -2, 4) i B = (-2, -5). Oblicz
długość odcinka.
Zaznaczamy odcinek w układzie współrzędnych.
Odcinek jest równoległy do osi y, więc jego długość moŜna obliczyć odejmując
od siebie drugie współrzędne punktu:
4 – ( – 5) = 4 + 5 = 9
Odcinek AB ma długość 9 jednostek.
W obliczaniu odcinka AB moŜna posłuŜyć się bezpośrednio rysunkiem w
układzie współrzędnych i policzyć „kratki jednostkowe” z góry w dół.
b)
Odcinek nie jest równoległy do Ŝadnej z osi. Wówczas jego długość obliczamy korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
PRZYKŁAD. Odcinek AB ma końce w punktach A = ( -3, -1) i B = (5, 5). Oblicz długość odcinka.
Zaznaczamy odcinek w układzie współrzędnych.
Zaznaczamy w układzie trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest
odcinek AB, a przyprostokątne są równoległe do osi x i do osi y.
Obliczamy długość odcinka korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
a2 + b2 = c 2
62 + 82 = c 2
c 2 = 36 + 64
c 2 = 100
c = 10
Odcinek AB ma długość:
IABI = 10 jednostek
Obliczanie pola wielokąta w układzie współrzędnych.
Aby obliczyć pole wielokąta w układzie współrzędnych konieczna jest znajomość współrzędnych jego wierzchołków. MoŜna
wówczas obliczyć pole tego wielokąta „zamykając” go w prostokąt o bokach równoległych do osi układu współrzędnych.
Następnie obliczamy pole tego prostokąta i odejmujemy od niego pola odpowiednich trójkątów.
PRZYKŁAD.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A = (-5, -4), B = (3, -1), C = (-1, 6).
Zaznaczamy trójkąt w układzie współrzędnych.
„Zamykamy” trójkąt w prostokąt. Aby obliczyć pole trójkąta ABC naleŜy od pola
prostokąta odjąć pola trójkątów P1, P2 i P3.
P
= ab = 9 · 8 = 72 jednostki kwadratowe,
ah 4 ⋅ 6
=
= 12 jednostek kwadratowych,
2
2
ah 4 ⋅ 9
P2 =
=
= 18 jednostek kwadratowych,
2
2
ah 8 ⋅ 3
=
= 12 jednostek kwadratowych.
P2 =
2
2
P1 =
2
Pole trójkąta ABC wynosi: P = 72 – (12 + 18 + 12) = 72 – 42 = 30 j
37
Symetrie w układzie współrzędnych.
Symetria względem osi x: Jeśli obrazem punktu A w symetrii względem osi x jest punkt A’, to punkty A i A’ róŜnią się jedynie
znakiem drugiej współrzędnej.
MoŜna zapisać to symbolicznie jako: S ox ((x, y )) = (x,− y ) . Oznacza to, Ŝe obrazem punktu o współrzędnych (x, y) w symetrii
względem osi x (Sox) jest punkt (x, -y).
PRZYKŁAD. Znajdź obraz trójkąta ABC w symetrii względem osi x, wiedząc Ŝe
wierzchołki trójkąta mają współrzędne A = (-6, -2), B = (3, 4), C = (-1, 6). Podaj
współrzędne wierzchołków obrazu.
Rysujemy trójkąt ABC w układzie współrzędnych.
Przekształcamy wierzchołki w symetrii osiowej względem osi x.
Zgodnie z zasadą drugie współrzędne wierzchołków obrazu będą mieć
przeciwne znaki w porównaniu ze współrzędnymi wierzchołków trójkąta ABC:
A’ = (-6, 2)
B’ = ( 3, -4)
C’ = (-1, -6)
Symetria względem osi y: Jeśli obrazem punktu A w symetrii względem osi y jest punkt A’, to punkty A i A’ róŜnią się jedynie
znakiem pierwszej współrzędnej.
MoŜna zapisać to symbolicznie jako: S oy ((x, y )) = (− x, y ) . Oznacza to, Ŝe obrazem punktu o współrzędnych (x, y) w
symetrii względem osi y (Soy) jest punkt (-x, y).
PRZYKŁAD. Znajdź obraz trójkąta ABC w symetrii względem osi y, wiedząc Ŝe
wierzchołki trójkąta mają współrzędne A = (-6, -2), B = (3, 4), C = (-1, 6). Podaj
współrzędne wierzchołków obrazu.
Przekształcamy wierzchołki w symetrii osiowej względem osi y.
Zgodnie z zasadą pierwsze współrzędne wierzchołków obrazu będą mieć
przeciwne znaki w porównaniu ze współrzędnymi wierzchołków trójkąta ABC:
A’ = (6, -2)
B’ = (-3, 4)
C’ = (1, 6)
Symetria względem początku układu współrzędnych: Jeśli obrazem punktu A w symetrii względem początku układu
współrzędnych jest punkt A’, to punkty A i A’ róŜnią się jedynie znakami obu współrzędnych.
MoŜna zapisać to symbolicznie jako: S (o,o ) ((x, y )) = (− x,− y ) . Oznacza to, Ŝe obrazem punktu o współrzędnych (x, y) w
symetrii względem początku układu współrzędnych (S(o,o)) jest punkt (-x, -y).
PRZYKŁAD. Znajdź obraz trójkąta ABC w symetrii względem początku układu
współrzędnych, wiedząc, Ŝe wierzchołki trójkąta mają współrzędne A = (-6, -2),
B = (3, 4), C = (-1, 6). Podaj współrzędne wierzchołków obrazu.
Przekształcamy wierzchołki w symetrii osiowej względem początku układu.
Zgodnie z zasadą obie współrzędne wierzchołków obrazu będą mieć przeciwne
znaki w porównaniu ze współrzędnymi wierzchołków trójkąta ABC:
A’ = (6, 2)
B’ = (-3,-4)
C’ = (1, -6)
38
Opracował: Paweł Góralczyk
Wszelkie prawa zastrzeŜone
Gimnazjum Społeczne im. Lady Sue Ryder w Woli Batorskiej
39

geometria płaska - Gimnazjum im. Lady Sue Ryder w Woli Batorskiej

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wzory i twierdzenia matematyczne dla gimnazjum