Dynamic and Distributed Scheduling in

Co powiedział James F. Allen na temat
interwałów i jakie są tego skutki
Tomasz Kubik
Wiadomości podstawowe
n
n
Istnieje wiele moŜliwości modelowania czasu, obowiązuje jednak zasada:
„róŜne zadania wymagają róŜnych modeli.”
Obiekty temporalne:
Zdarzenia, procesy, stany
g Punkty, rozpoczynające i kończące jakieś zdarzenia
g Interwały, przedziały czasu, w których zachodzą jakieś zdarzenia bądź prawdziwe są
jakieś twierdzenia
g
n
n
n
Dziedzina:
g Czas dyskretny lub ciągły
g Czas wyraŜany bezwzględnie lub względnie
g RóŜne rozmiary ziarna czasu (najmniejszej jednostki czasu)
g Model czasu liniowy, równoległy lub rozgałęziony
Podejście jakościowe (Qualitative Temporal Networks)
g Algebra punktu, algebra interwału
Podejście ilościowe (Quantitative Temporal Networks)
g Simple Temporal Problem
g General TCSP
g Path consistency in quantitative networks
g Network-based algorithms
2
Punkty, przedziały, czas dyskretny i ciągły
n
Punkty czasu:
g zdarzenie E występuje w chwili Ti.
g własność P zachodzi w chwili Ti.
n
Przedziały czasu:
g zdarzenie E dzieje się w przedziale czasu ( Ti,Tj ).
g własność P zachodzi (istnieje) w przedziale czasu ( Ti,Tj ).
n
Czas dyskretny
g kroki w czasie, następny/poprzedni punkt czasu
g jak liczby całkowite
g t1 t2 t3 t4
n
Czas ciągły
g miejsca pomiędzy dwoma punktami w czasie
g jak liczby rzeczywiste
g t0
t0.5 t1
3
Opis absolutny i względny
Przykład:
Jan przyjedzie w środę, 21-ego.
Środa 6.12.2006
Przyjazd Jana
Jan przyjedzie jutro.
Dzisiaj
Jutro
Przyjazd Jana
4
Rozmiar ziarna czasu
n
RozróŜnienie punktów i przedziałów czasu to nie to samo co
rozróŜnienie przypadku ciągłego i dyskretnego.
n
Rozmiar ziarna dotyczy przypadku dyskretnego, gdzie mamy:
g
n
Wybór ziarna wpływa na:
g
g
n
rok, miesiąc, dzień, godzina, minuta, sekunda, …
dokładność i precyzję
koszt (składowanie, wydajność)
Czasem uŜywa się reprezentacji hierarchicznej, z róŜną
rozdzielczością dla róŜnych poziomów
5
Reprezentacja ilościowa oraz jakościowa
n
UŜywa się zarówno dla przypadku ciągłego, jak i dyskretnego
g
Reprezentacja jakościowa:
• punkty czasu są uporządkowane: Tk > T0
• właściwości wyraŜane są względnie: |Tk - T0| < |Tx - Ty|
g
Reprezentacja ilościowa:
• wymiar absolutny: Tk = 1.5, T0 = 0
• właściwości absolutne: |Tk - T0| = 1.5
6
Jakościowa reprezentacja i wnioskowanie
temporalne: motywacja
n
Często nie chcemy (lub teŜ nie moŜemy) mówić o dokładnym
czasie
LP: nie potrafimy określić precyzyjnie punktów w czasie
g Planowanie: nie chcemy dopuścić do osiągnięcia punktów czasu
zbyt wcześnie
g Opisy scenariusza: nie mamy dokładnego czasu lub nie chcemy
go wyraŜać jawnie
g
n
Jak jest reprezentowana taka informacja?
Punkty czasu: akcje lub zdarzenia są natychmiastowe, lub
rozwaŜane są chwile ich rozpoczęcie i zakończenie
g Przedziały czasu: wszystkie akcje i zdarzenia trwają jakiś czas
g
7
Algebra interwału Allen’a (James F. Allen [1983])
n
Algebra interwału Allen’a definiuje przedziały czasu oraz
binarne relacje na nich
n
Przedziały czasu
g
n
Relacje pomiędzy przedziałami
g
g
g
n
X = (X- , X+), gdzie dziedziny X- i X+ są liczbami rzeczywistymi,
oraz X- < X+
(1.0,2.0) przed (before) (3.0,5.3)
(1.0,3.0) spotyka (meets) (3.0,5.3)
(1.0,4.0) pokrywa (overlaps) (3.0,5.3)
Które relacje są poprawne?
8
Relacje podstawowe
n
Na ile sposobów moŜna uszeregować cztery punkty dwóch przedziałów?
Relacj
a
nazwa
{(X,Y) | X- < X+ < Y- < Y+}
<
before
{(X,Y) | X- < X+ = Y- < Y+}
m
meets
{(X,Y) | X- < Y- < X+ < Y+}
o
overlaps
{(X,Y) | X- = Y- < X+ < Y+}
s
starts
{(X,Y) | Y- < X- < X+ = Y+}
f
finishes
{(X,Y) | Y- < X- < X+ < Y+}
d
during
{(X,Y) | Y- = X- < X+ = Y+}
=
equal
Zbiór
Zamieniając X i Y
otrzymamy relacje
odwrotne:
>,mi,oi,si,fi,di,e
Relacje te są parami
rozłączne
9
13 Relacji podstawowych wyraŜonych graficznie
10
Algebra Interwału Allen’a
Alspaugh
Allen
Krokhin et al.
precedes
p
before
<
precedes
p
meets
m
meets
m
meets
m
overlaps
o
overlaps
o
overlaps
o
finished-by
F
finished-by
fi
finished-by
f-1
contains
d
contains
di
contains
d-1
starts
s
starts
s
starts
s
equals
e
equals
=
equals
≡
started-by
s
started-by
si
started-by
s-1
during
d
during
d
during
d
finishes
f
finishes
f
finishes
f
overlapped-by O overlapped-by oi overlapped-by o-1
met-by
M
met-by
mi
met-by
m-1
preceded-by P
after
> preceded-by p-1
11
Algebra Interwału
n
n
n
n
n
n
n
Zmienne: dwa interwały X, Y reprezentujące dwa zdarzenia
Istnieje 13 podstawowych relacji pomiędzy interwałami
r = { p, m, o, s, d, f, P, M, O, S, D, F, e }
MoŜemy mieć „nieprecyzyjną” informację o relacji pomiędzy X i Y, tzn. wyraŜenie:
(X o Y ) ∨ (X m Y)
Klauzule dysjunktywne z wyróŜnionymi atomowymi relacjami pomiędzy zmiennymi
mają równowaŜny opis za pomocą zbioru relacji
(X r1 Y) ∨ (X r2 Y) ∨ … ∨ (X rk Y) ⇔ X { r1, r2, …, rk } Y
na przykład:
X {o,m} Y (inny zapis: X (om) Y )
Stąd mamy 213 (tj. 8192) relacji „nieprecyzyjnych”
Przykład jakościowego opisu temporalnego:
X {o,m} Y, Y {m} Z, X {o,m} Z
W ogólności pełna relacja { p, m, o, s, d, f, P, M, O, S, D, F, e } zachodzi pomiędzy
interwałami, o których nic nie wiadomo. Pusta relacja {} nie ma interpretacji w
terminach wzajemnej relacji dwóch interwałów, jednak moŜe być wynikiem pewnych
operacji na relacjach interwałów i jest potrzebna dla podalgebr algebry interwału
Allen’a.
12
Przykład [Allen1983].
„Jana nie było w pokoju kiedy dotknąłem przełącznika, aby zapalić światło, ale za to był w pokoju
później, kiedy juŜ paliło się światło”
n
n
n
Zdefiniujmy interwały:
g J – Jan był w pokoju
g D – Dotknąłem przełącznika światła
g Ś – Światło było zapalone
Ograniczenia:
g D {o, m} Ś
g D {p, m, M, P} J
g Ś {o, s, d} J
Zacieśnianie
ograniczeń
Ś
Ś
{o, m}
{o, s, d}
{o, m}
D
J
D
{p, m, mi, P}
Minimalna sieć:
g jednoznaczna sieć równowaŜna sieci oryginalnej
g wszystkie ograniczenia są podzbiorem oryginalnych ograniczeń
g dostarcza reprezentacji bardziej wprost
g uŜyteczna w odpowiadaniu wielu rodzajów pytań
{o, s}
{p, m}
J
13
Przykład „inteligentnego” doradcy
n
RozwaŜmy scenariusz działania „inteligentnego” doradcy:
g
g
g
g
P1: wyświetl rysunek 1
P2: powiedz „podłącz wtyczkę”
P3: powiedz „wtyczka pewnie jest wyłączona”
P4: wskaŜ na właściwą wtyczkę na rysunku
14
Przykład „inteligentnego” doradcy
n
Relacje temporalne pomiędzy zdarzeniami:
g
g
g
g
P2 powinno zajść w czasie P1
P3 powinno zajść w czasie P1
P2 powinno poprzedzać lub zajść bezpośrednio przed P3
P4 powinno zajść w czasie trwania lub skończyć się razem z P2
P1
d
d
p,m
P2
P3
?
d,f
P4
Czy zachodzi P4{d}P1 ?
15
Przykład
n
Fred czytał gazetę w trakcie jedzenia śniadania. OdłoŜył gazetę
i wypił ostatnią kawę. Po śniadaniu wyszedł na spacer.
{p}
{p}
Śniadanie
Spacer
Śniadanie
{d}
{o,O,s,S,d,D,f,F,e}
Gazeta
{o,s,d}
Kawa
{o,s,d}
{p}
Gazeta
moŜliwe relacje
Spacer
{d}
{o,s,d}
{p}
Kawa
realizowalne relacje
Gazeta
Spójny scenariusz
Kawa
Śniadanie
Spacer
16
Operacje na relacjach algebry interwałów
n
Dopełnienie:
g dopełnienie ~r relacji r jest relacją składającą się ze wszystkich relacji
podstawowych nie występujących w r, stąd dla kaŜdej relacji r mamy ~(~r) = r.
g przykłady:
~(p) = (moFDseSdfOMP) ~(pmoFD) = (seSdfOMP) ~() = (pmoFDseSdfOMP)
n
ZłoŜenie (composition):
g ZłoŜeniem (r.s) dwóch relacji (r) i (s) jest relacja, która zachodzi pomiędzy X i Z,
jeśli istnieje takie Y, Ŝe X(r)Y oraz Y(s)Z. Zapisujemy wtedy X(r.s)Z. Obliczanie
złoŜenia nie jest łatwe. ZłoŜenie moŜna określić wracając do początkowych
definicji relacji albo dokonując kompozycji kaŜdej podstawowej relacji z r z kaŜdą
podstawową relacją z s, i biorąc część wspólną wyników. ZłoŜenie nie jest
przemienne, ale jest lewo i prawo stronnie łączne (associative), oraz rozdzielne
względem sumy (union)
R ◦ R' = R" = {r" | r"∈ R ∨ r"∈ R'}
g przykłady:
(m).(m) = (p)
(pm).(pm) = (p) (oFD).(oFDseS) = (pmoFD)
17
Operacje na relacjach algebry interwałów
n
Odwrotność:
g Odwrotność !r relacji r jest relacją składającą się z odwrotności wszystkich
podstawowych relacji w r. Stąd dla kaŜdej relacji r mamy !(!r) = r.
g przykłady: !(p) = (P)
!(pmoFD) = (dfOMP) !(mM) = (mM) !() = ()
n
Przecięcie:
g Przecięcie (r^s) dwóch relacji (r) i (s) jest częścią wspólna zbiorów dwóch relacji;
jest relacją składającą się ze wszystkich podstawowych relacji zawartych
zarówno w (r) jak i w (s). Przecięcie jest przemienne i łączne.
g przykłady: (pmo)^(FDseS) = () (pFsSf)^(pmoFD) = (pF) (pmo)^(pmo) = (pmo)
n
Suma (union):
g Suma (r+s) dwóch relacji (r) i (s) jest sumą zbiorów dwóch relacji; jest relacją
złoŜoną ze wszystkich podstawowych relacji wchodzących w skład (r) lub
(s). Suma jest przemienna i łączna (associative).
g przykład: (pmo)+(FDseS) = (pmoFDseS) (pFsSf)+(pmoFD) = (pmoFDsSf)
(pmo)+(pmo) = (pmo)
R ∩ R' = R" = {r" | r"∈ R ∧ r"∈ R'}
18
ZłoŜenie relacji podstawowych
19
ZłoŜenie relacji podstawowych
W tabeli poniŜej full=(pmoFDseSdfOMP) oraz
concur=(oFDseSdfO)
n
.
p
m
o
F
D
s
e
S
d
f
O
M
P
p
(p)
(p)
(p)
(p)
(p)
(p)
(p)
(p)
(pmosd)
(pmosd)
(pmosd)
(pmosd)
full
m
(p)
(p)
(p)
(p)
(p)
(m)
(m)
(m)
(osd)
(osd)
(osd)
(Fef)
(DSOMP)
o
(p)
(p)
(pmo)
(pmo)
(pmoFD)
(o)
(o)
(oFD)
(osd)
(osd)
concur
(DSO)
(DSOMP)
F
(p)
(m)
(o)
(F)
(D)
(o)
(F)
(D)
(osd)
(Fef)
(DSO)
(DSO)
(DSOMP)
D
(pmoFD)
(oFD)
(oFD)
(D)
(D)
(oFD)
(D)
(D)
concur
(DSO)
(DSO)
(DSO)
(DSOMP)
s
(p)
(p)
(pmo)
(pmo)
(pmoFD)
(s)
(s)
(seS)
(d)
(d)
(dfO)
(M)
(P)
e
(p)
(m)
(o)
(F)
(D)
(s)
(e)
(S)
(d)
(f)
(O)
(M)
(P)
S
(pmoFD)
(oFD)
(oFD)
(D)
(D)
(seS)
(S)
(S)
(dfO)
(O)
(O)
(M)
(P)
d
(p)
(p)
(pmosd)
(pmosd)
full
(d)
(d)
(dfOMP)
(d)
(d)
(dfOMP)
(P)
(P)
f
(p)
(m)
(osd)
(Fef)
(DSOMP)
(d)
(f)
(OMP)
(d)
(f)
(OMP)
(P)
(P)
O
(pmoFD)
(oFD)
concur
(DSO)
(DSOMP)
(dfO)
(O)
(OMP)
(dfO)
(O)
(OMP)
(P)
(P)
M
(pmoFD)
(seS)
(dfO)
(M)
(P)
(dfO)
(M)
(P)
(dfO)
(M)
(P)
(P)
(P)
P
full
(dfOMP)
(dfOMP)
(P)
(P)
(dfOMP)
(P)
(P)
(dfOMP)
(P)
(P)
(P)
(P)
20
Obserwacje
n
UŜywając tabeli składania i reguł dotyczących operacji na
relacjach, moŜemy wydedukować nowe relacje pomiędzy
interwałami.
n
Jak jednak usystematyzować to podejście?
n
Jakie będą koszty takiej systematyzacji?
n
Czy jest ona zupełna?
n
Jeśli nie, czy mogłaby być zupełna na podzbiorze systemu
relacji?
21
CSP (Constraint Satisfaction Problem)
n
Binarna relacja R nad dziedziną D jest zbiorem par elementów z dziedziny
D, tzn., R⊆D×D. Binarne ograniczenie xRy pomiędzy dwiema zmiennymi x
oraz y ogranicza moŜliwe wartościowania x oraz y do par zawartych w relacji
R.
n
Problem CSP (Constraint Satisfaction Problem) składa się ze skończonego
zbioru zmiennych V, dziedziny D z moŜliwymi wartościowaniami dla kaŜdej
zmiennej vi∈V i skończonego zbioru C ograniczeń (tj. relacji zachodzącymi
pomiędzy wyróŜnionymi zmiennymi zbioru V).
n
Rozwiązaniem CSP jest wartościowanie kaŜdej zmiennej vi ∈ V wartością di
∈ D taką, Ŝe wszystkie ograniczenia C są spełnione, tzn. dla kaŜdego
ograniczenia viRvj ∈ C mamy (di , dj ) ∈ R. Jeśli CSP ma rozwiązanie,
nazywane jest consistent lub satisable.
n
W CSP ograniczenia mogą być definiowane extensjonalnie (przez zbiór
dopuszczalnych lub niedopuszczalnych tuples) lub intensjonalnie (przez
predykaty lub funkcje arytmetyczne).
22
Sieć ograniczeń algebry interwału
n
Sieć IA jest siecią binarnych ograniczeń, gdzie:
g zmiennymi
są interwały,
g binarnymi ograniczeniami pomiędzy zmiennymi są relacje występujące pomiędzy
interwałami.
n
Dziedziną jest zbiór uporządkowanych par liczb rzeczywistych (tj. interwałów)
Di={(X- , X+) | (X-, X+) ∈ R, X- < X+}
n
Ograniczenia: 13 relacji podstawowych
Cij ⊆ { p, m, o, s, d, f, P, M, O, S, D, F, e }
n
Rozwiązanie: przyporządkowanie kaŜdej parze liczb takich wartości, Ŝe Ŝadne
z ograniczeń nie jest naruszone
n
Oczywiście sieci temporalne mogą być przedstawiane jako problemy CSP.
23
Temporal CSP (TCSP)
n
Rozwiązanie:
g wyznaczenie spójnych etykiet singletonowych (consistent singleton
labellings).
g ograniczenie z „single disjunct” nazywane jest singleton.
g etykietą singletonową to podstawowa relacja temporalna r,
przyporządkowana parze zmiennych (vi , vj), vi , vj ∈ V , taka, Ŝe r⊆Cij
g r jest realizowalna dla pary, jeśli istnieje rozwiązanie z r zachodzącym dla
tej pary. Realizowalność r dla (vi , vj) implikuje:
• w przypadku jakościowym r ∈Cij
• w przypadku ilościowym r ⊆ Cij.
n
n
n
TCSP skupia się na dwóch punktach:
g określenia spójności, co jest bliskie zadaniu znalezienia jednego
rozwiązania
g znalezienia minimalnej reprezentacji, co w pewnym sensie odpowiada
reprezentacji wszystkich rozwiązań
Minimalne ograniczenie Cminij jest zbiorem realizowalnych relacji pomiędzy vi
, vj.
TCSP, gdzie wszystkie ograniczenia są minimalne nazywany jest
minimalnym.
24
TCSP i lokalna k-spójność
n
Wymuszenie lokalnej k-spójności (k ≤ n)
g Eliminacja
nierealizowanych etykiet ze zbioru ograniczeń.
g W większości przypadków da się to zrobić w wielomianowym
czasie
• spójność łuków - arc-consistency
• spójność ścieŜki - path-consistency)
n
Spójność ścieŜki jest mniej lokalna, gdyŜ obejmuje wszystkie
ścieŜki pomiędzy dwiema zmiennymi. Wiadomym jest, Ŝe
wystarczy wymusić 3-spójność, aby zagwarantować spójność.
25
Spójność ścieŜki CSP (path-consistency)
n
Definiuje się jak następuje:
g CSP
jest path-consistent jeśli dla kaŜdego wartościowania dwóch
zmiennych vi , vj ∈ V, które spełnia viRijvj ∈ C, istnieje takie
wartościowanie dla kaŜdej trzeciej zmiennej vk ∈ V, Ŝe viRikvk ∈ C
oraz vkRkjvj ∈ C są równieŜ spełnione. Formalnie: dla kaŜdej trójki
zmiennych vi , vj , vk ∈ V:
∀di,dj : [(di, dj ) ∈ Rij → ∃dk : ((di, dk) ∈ Rik ∧ (dk, dj ) ∈ Rkj )].
n
Montanari zaproponował algorytm robiący CSP path-consistent, który został
następnie uproszczony i nazwany path-consistency algorithm lub enforcing
path-consistency. Algorytm ten eliminuje lokalnie niespójne tuples z relacji
pomiędzy zmiennymi przez sukcesywne zastosowanie następującej operacji
Rij := Rij ^ (Rik . Rkj ) do wszystkich trójek zmiennych vi , vj , vk ∈ V aŜ do
momentu osiągnięcia stanu ustalonego. Jeśli w wyniku zastosowania
operacji osiągnięta zostaje relacja pusta, znaczy to, Ŝe CSP jest niespójny
(is inconsistent). W przeciwnym przypadku CSP is path-consistent.
26
Spójność ścieŜki (PC): rozwiązanie O(n5)
n
n
Niech R [i,j] jest tablicą rozmiaru n×n (n: liczba interwałów), w
której zapisano wszystkie relacje występujące pomiędzy
odpowiednimi interwałami.
Algorytm PC:
Repeat
Old := R;
For each pair (i,j), 1 ≤ i,j ≤ n
For each k, 1 ≤ k ≤ n
R [i,j] := R [i,j] ^ (R [i,k] . R [k,j]);
Until Old = Tab;
n
Algorytm kończy się, ale wymaga O(n5) przecięć i złoŜeń
27
Spójność ścieŜki (PC): rozwiązanie O(n3)
Algorytm PC:
1. Q := {(i, k, j), (i < j) and (k ≠ i, j)}
2. while Q ≠ {} do
3.
select and delete a path (i, k, j) from Q
4.
if R[i,i] ≠ R[i,k] . R[k,i] then
5.
R[i,i] := R[i,i] ^ (R[i,k] . R[k,i])
6.
if R[i,i] = {} then exit (inconsistency)
7.
Q := Q ∪ {(i, j, k); (k, i, j) | 1 ≤ k ≤ n; i ≠ k ≠ j }
8.
end-if
9. end-while
10. end-algorithm
28
Wnioskowanie w algebrze interwałów Allen’a
n
Algorytm propagacji ograniczeń
g
spójność ścieŜki (path consistency)
Niezupełność
NP-trudność
n Ciągła klasa punktów końcowych (The continuous endpoint
class)
n Zupełność dla ciągłej klasy punktów końcowych (Completeness
for the continuous endpoint class)
n
29
Planowanie w logice temporalnej
n
n
Zadanie:
wejście: jest stół, na którym leŜą klocki A, B, C;
wyjście: kolumna klocków (A na B, B na C), szukamy sekwencji akcji.
Stany, akcje, własności:
g Początek – stan początkowy
g Wolny(K) – stan, w którym na klocku K nic nie leŜy
g Koniec – stan końcowy
g Na(K1, K2) – stan, w którym klocek K1 leŜy na klocku K2
g PołóŜ(K1,K2) – akcja, której efektem jest Na(K1, K2); oczywiście aby
akcja była moŜliwa, wcześniej musi być Wolny(K1) i Wolny(K2); mamy
dwie tylko akcje: PołóŜ(A,B), PołóŜ(B,C).
A
B
A
B
C
C
30
Formalizacja
n
Relacje początkowe:
Początek (d) Wolny(A)
Początek (d) Wolny(B)
Początek (d) Wolny(C)
n
Relacje końcowe:
Koniec (d) Na(A,B)
Koniec (d) Na(B,C)
n
Ograniczenia:
PołóŜ(A,B) (BM) Początek
PołóŜ(A,B) (d) Wolny(A)
Stack(A,B) (f) Wolny(B)
Stack(A,B) (m) Na(A,B)
PołóŜ(B,C) (BM) Początek
PołóŜ(B,C) (d) Wolny(B)
PołóŜ(B,C) (f) Wolny(C)
PołóŜ(B,C) (m) Na(B,C)
31
Realizacja
BM
sieć
d
d
Początek
PołóŜ(A,B)
d
Wolny(A)
m
f
Na(A,B)
d
Koniec
Wolny(B)
d
Wolny(C)
BM
d
Na(B,C)
d
spójny scenariusz
f
m
PołóŜ(B,C)
PołóŜ(B,C)
Początek
PołóŜ(B,C)
Wolny(C)
Koniec
Na(B,C)
Wolny(B)
Na(A,B)
Wolny(A)
32
Przykład niepełności
{s,m}
A
D
{s,m}
{f,f^}
C
{o}
{d,d^}
{d,d^}
B
{f,f^}
D
B
A
C
33
NP-trudność
n
Twierdzenie (Kautz & Vilain):
g
n
Istnieją specjalne przypadki, które są łatwe (wielomianowe)
g
n
Określenie spójności (CSP) w algebrze Allen’a jest NP-trudne
Zbiory relacji (podzbiory całego zbioru) dla których problem
spójności jest łatwy
Formuła interwałowa X r Y moŜe być wyraŜona jako klauzula
nad atomami w postaci (a op b) gdzie
g a i b są punktami końcowymi X- , X+ , Y- , Y+
g op ∈ {<, >, =, ≤, ≥}
34
Algebra punktu [Vilain & Kautz 1986]
n
n
n
n
n
n
KaŜda zmienna reprezentuje punkt czasu
Dziedziną zmiennych jest zbiór liczb rzeczywistych
Ograniczenia wyraŜają względne połoŜenie dwóch punktów
Istnieją trzy podstawowe relacje:
{<, >, =}
Zbiór wszystkich moŜliwych relacji:
{∅, < , ≤, > , ≥ , =, ≠}
Mniejsze koszty niŜ w algebrze interwału:
g
n
zadania wnioskowania są wielomianowe O(n3)
Relacja pomiędzy dwoma punktami czasu moŜe być dysjunkcją
podstawowych relacji (informacja nieprecyzyjna)
(A < B) ∨ (A = B) ⇔ A {<,=} B
35
Przykład
„Fred odłoŜył gazetę i dopił kawę”
g Algebra
interwałów (IA): Gazeta { s, d, f, = } Kawa
g Algebra punktów (PA): Gazeta=[X-, X+],
Kawa=[Y-, Y+]
• Ograniczenia: X-<X+, Y-<Y+, X-<Y+, X->=Y-, X+<=Y+, X+>YGazeta
Kawa
X<
X+
Gazeta
Kawa
Gazeta
Kawa
Gazeta
Kawa
Y-
<
<
>
Gazeta
Kawa
<
Y+
Spójny scenariusz (consistent)
36
Tłumaczenia pomiędzy algebrami
n
Ograniczona klasa sieci IA (SA) moŜe być przetłumaczona na
sieć PA bez straty informacji
W sieciach SA dozwolone są relacje pomiędzy dwoma
interwałami, które dotyczą tylko podzbiorów I, które mogą być
przetłumaczone za pomocą relacji {< , ≤, > , ≥ , =, ≠} na koniunkcję
relacji pomiędzy końcami interwałów
g Przykład: X(osd)Y moŜna wyrazić jako koniunkcję relacji punktów
(X- < X+) ∧ (Y- < Y+) ∧ (X+ > Y-) ∧ (X+ < Y+)
g
g
Dozwolone relacje SA stanowią mały, ale uŜyteczny podzbiór
algebry Allen’a
37
Klasa punktów ciągłych
n
Klasa punktów ciągłych (Continuous Endpoint Class) jest
podzbiorem relacji Allen’a A takim, Ŝe
istnieje postać klauzulowa dla kaŜdej relacji zawierająca tylko
klauzule jednostkowe
g (a ≠ b) jest zabronione
g
n
Przykład: Wszystkie podstawowe relacje i {d,o,s}
X (dos) Y ≡ {X- < X+ , Y- < Y+,
X- < Y+ , X+ > Y-,
X+ < Y+}
X
Y
38
Klasa punktów ciągłych
n
Przykład: Wszystkie podstawowe relacje oraz {d,o}
X (do) Y ≡ {X- < X+ , Y- < Y+,
X- < Y+ , X+ > Y-, X- ≠ YX+ < Y+}
X
Y
39
Tłumaczenia pomiędzy algebrami
n
Co moŜe być wyraŜone w IA a nie moŜe być wyraŜone w SA to
rozłączność interwałów
n
Przykład:
g relacja
X(pP)Y wyraŜona za pomocą relacji punktów:
((X-<Y-) ∧ (X-<Y+) ∧ (X+<Y-) ∧ (X+<Y+)) ∨ ((X->Y-) ∧ (X->Y+) ∧ (X+>Y-) ∧ (X+>Y+))
najbliŜsza aproksymacja uŜywająca tylko koniunkcji jest
następująca:
(X-≠Y-) ∧ (X-≠Y+) ∧ (X+≠Y-) ∧ (X+≠Y+)
co tłumaczy się na:
X (pPoOdD) Y
g oczywiście nie jest to ta sama relacja wyjściowa
g
40
Ograniczenia algebry punktu
n
Istnieją przypadki, w których za pomocą PA nie moŜna w pełni
wyrazić wszystkich ograniczeń
n
Przykład:
g IA:
Gazeta (ba) Kawa
g PA: y<z oraz t<x nie mogą istnieć jednocześnie
Gazeta
x
Kawa
y
z
t
Gazeta
x
y
Kawa
z
t
Czas
41
Klasa punktów ciągłych
n
Twierdzenie (van Beek):
g
g
n
CMIN(C)
moŜe być obliczony w czasie O(n3) uŜywając
CMIN
algorytmu spójności ścieŜki
g
n
CSP(C) and CMIN(C)
są rozwiązane przez spójność ścieŜki
CMIN
Jeśli problem w CEC jest 3-spójny, wtedy jest on mocno k-spójny
n jest liczbą interwałów
C zawiera 83 relacje
g
czy istnieje większe zbiory, takie, Ŝe spójność ścieŜki oblicza
CMIN ?
• prawdopodobnie nie
g
czy istnieją większe zbiory, które pozwolą na wielomianowe
testowanie spójności?
• tak
42
Klasa ORD-Horn
n
Klasa ORD-Horn H jest podzbiorem relacji Allen’a A która
zezwala na postacie klauzulowe zawierające tylko klauzule
Horna
g
g
n
dozwolone są tylko literały (a ≤ b) , (a = b) , (a ≠ b)
(a > b) jest niedozwolona
Przykład: Wszystkie R ∈ P oraz (osF)
X (os) Y ≡ {(X- ≤ X+), (X- ≠ X+),
(Y- ≤ Y+), (Y- ≠ Y+),
(X- ≤ Y-), (X- ≤ Y+), (X- ≠ Y+),
(Y- ≤ X+), (X+ ≠ Y-), (X+ ≤ Y+),
(X- ≠ Y-) ∨ (X+ ≠ Y+)}
43
Podklasa ORD-Horn
n
Twierdzenie:
g
n
Zachodzi poniŜszy związek:
g
g
n
CSAT(H)
moŜe być rozwiązany w wielomianowym czasie
CSAT
uŜywając path consistency
C⊂P⊂H
|C|=83 , |P|=188 , |H|=868
Czy istnieją inne interesujące podklasy algebry Allen’a?
interesująca podklasa powinna zawierać wszystkie podstawowe
relacje.
g ORD-Horn jest (only maximal tractable) podklasą, która jest
interesująca
g
44
Koniec
45