Funkcje analityczne Lista 4
Transkrypt
Funkcje analityczne Lista 4
Funkcje analityczne B38. Oblicz całki Z γ Lista 4 ez dz; z(z − 2i) Z γ sin z dz, − 2i)3 z 2 (z gdzie γ jest dodatnio zorientowanym okręgiem (a) o środku w 3i i promieniu 2; (b) o środku w −2i i promieniu 3. B39. Jeśli Ω ⊂ C jest otwarty, f ∈ C([a, b] × Ω) oraz f (t, ·) ∈ H(Ω) dla każdego t ∈ [a, b], to Rb funkcja g(z) = a f (t, z) dt jest holomorficzna na Ω. Wskazówka: Twierdzenie Morery. B40. Uzasadnij, że podane funkcje są holomorficzne Z 1 Z 1 etz dt dt na {z : Re z > 0}; f (z) = dt na C; g(z) = 2 −1 1 + t 0 1 + tz Z ∞ tz e h(z) = dt na {z : Re z < 0}. 1 + t2 0 B41. Niech Ω ⊂ C będzie zbiorem otwartym, Ω = Ω1 ∪ Ω2 , gdzie Ωk są otwarte i niepuste. Niech fk ∈ H(Ωk ) oraz f1 (z) = f2 (z) dla z ∈ Ω1 ∩ Ω2 . Określamy funkcję h następująco: h(z) = f1 (z) dla z ∈ Ω1 oraz h(z) = f2 (z) dla z ∈ Ω2 \ Ω1 . Sprawdź, że h ∈ H(Ω). B42. Jeśli f ∈ H(D(a, r)) dla pewnego r, to a jest m–krotnym zerem funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f (m) (a) = 0 oraz f (k) (a) = 0 dla 0 ≤ k < m. B43. Znajdź krotność zera z = 0 dla funkcji 2 f1 (z) = (ez −1)z 2 ; f2 (z) = 2 cos z 2 +z 4 −2; f3 (z) = esin z −1; f4 (z) = sin2009 (z 100 ). B44. Czy istnieje funkcja holomorficzna w otoczeniu 0 i taka, że (a) f ( n1 ) = f (− n1 ) = n ∈ N; (b) f ( n1 ) = f (− n1 ) = n13 dla n ∈ N? 1 n2 dla 1 B45. Funkcja f (z) = sin z−1 ma ciąg zer zbieżny do 1, ale nie jest stała. Czy to nie sprzeczność z twierdzeniem o zerach? B46. Zbadaj, czy funkcja f ma funkcję pierwotną na Ω, jeśli z , Ω = D(0, 1); z2 + 1 z , Ω = C \ D(0, 1); (b) f (z) = 2 z +1 1 (c) f (z) = 2 , Ω = C \ [−1, 1]. z −1 (a) f (z) = B47. (Funkcje holomorficzne o niezerowej pochodnej zachowują kąty) Niech γ1 , γ2 : [α, β] → Ω będą drogami klasy C 1 , niech γ1 (t0 ) = γ2 (t0 ) dla pewnego t0 ∈ (α, β). Uzasadnij, że jeśli f ∈ H(Ω) ma niezerową pochodną na Ω, to f ◦ γk są drogami w Ω. Ponadto kąt pomiędzy drogami γ1∗ i γ2∗ w punkcie γ1 (t0 ) jest taki sam, jak pomiędzy drogami (f ◦γ1 )∗ i (f ◦ γ2 )∗ w punkcie f ◦ γ1 (t0 ). Wskazówka. Znaleźć wektory styczne do tych dróg. az + b , gdzie ad − bc 6= 0. Przy cz + d rozpatrywaniu homografii wygodnie jest do C dołączyć „punkt w nieskończoności” ∞; oznaczamy S 2 = C ∪ {∞}. Wówczas homografie są odwzorowaniami z S 2 w S 2 , jeśli przyjmiemy, że f (∞) = a/c i f (−d/c) = ∞, gdy c 6= 0; f (∞) = ∞, gdy c = 0. Przyjmujemy także, że punkt ∞ należy do każdej prostej i nie należy do żadnego okręgu. Homografią nazywamy odwzorowanie postaci f (z) = B48. Sprawdź, że odwzorowanie z 7→ 1/z, jako odwzorowanie S 2 w S 2 , przekształca rodzinę okręgów i prostych w siebie. Wywnioskuj stąd, że tą samą własność mają wszystkie homografie. B49. Homografie tworzą grupę przekształceń S 2 . Wsk. Zadanie 11 z listy dra Ryczaja. B50. Napisz ogólną postać homografii, które przekształcają (a) punkty −1, 0, 1 odpowiednio na i, −i, ∞; (b) punkt ∞ na ∞; (c) trzy różne punkty a, b, c ∈ C na, odpowiednio, punkty 0, 1, ∞; (d) trzy różne punkty a, b, ∞ ∈ S 2 na, odpowiednio, punkty 0, 1, ∞; (e) ♥ okrąg ∂D(0, 1) na siebie oraz punkt 0 na punkt 0. B51. Niech α ∈ D(0, 1). Sprawdź, że homografia ϕα (z) = z−α 1 − αz przekształca D(0, 1) na siebie oraz punkt α na 0. B52. ♥ Jaka jest ogólna postać homografii, które przekształcają dysk D(0, 1) na siebie? Wskazówka. Zadania 49, 50(e), 51. B53. ♥ Znajdź homografię przekształcającą dysk D(0, 1) na półpłaszczyznę {z : Im z > 0} oraz punkt 0 na punkt i. B54. Określ rodzaj osobliwości funkcji f (z) = 1 z − πi , g(z) = exp . z 1+e z−1 B55. Uzasadnij, że jeśli f ∈ H(C) i f nie jest stała, to f (C) jest gęsty w C. Wskazówka. Twierdzenie Liouville’a. B56. Jeśli f ∈ H(C) i jej część rzeczywista lub urojona jest funkcją ograniczoną z dołu lub z góry, to f jest stała. Wskazówka do jednego z przypadków. Twierdzenie Liouville’a dla funkcji ef . B57. Niech f, g ∈ H(C) spełniają nierówność |f (z)| ≤ |g(z)| dla wszystkich z ∈ C. Co można wywnioskować stąd o funkcjach f i g? B58. Niech Ω będzie obszarem w C i f ∈ H(Ω). Przypuśćmy, że funkcja f jest różna od stałej, i że |f | ma minimum lokalne w punkcie z0 ∈ Ω. Co można powiedzieć o wartości funkcji f w punkcie z0 ?