Andrzej Komisarski O pewnych deskryptywnych własnościach

Uniwersytet Warszawski
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Andrzej Komisarski
O pewnych deskryptywnych własnościach
relacji izomorfizmu
między ośrodkowymi przestrzeniami Banacha
Praca magisterska
Maj 1999
Promotor: prof. dr hab. Roman Pol
2
Spis treści
1 Wprowadzenie i główny wynik
5
2 Przestrzenie borelowskie, zbiory analityczne i przestrzenie Effrosa
7
2.1
Przestrzenie borelowskie i zbiory analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Przestrzenie Effrosa F(E), V(E) i H(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Relacja izomorfizmu na V(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3 Indeks Cantora-Bendixsona i indeksy parametryzowalne
13
3.1
Liczby porządkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
Hiperprzestrzenie oraz pochodna i indeks Cantora-Bendixsona . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3
Indeksy parametryzowalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4 Przygotowanie do dowodu: przekształcenie Φ
17
5 Dowód głównego wyniku
21
6 Wnioski i komentarz do Twierdzenia 1.1
25
7 Inny wariant dowodu Twierdzenia 1.1
27
3
4
SPIS TREŚCI
Rozdział 1
Wprowadzenie i główny wynik
Deskryptywna teoria mnogości zajmuje się, mówiąc w dużym uproszczeniu, badaniem złożoności struktury podzbiorów i przekształceń ośrodkowych, metryzowalnych przestrzeni topologicznych. Rozwija
w tym celu pojęcia zbiorów i funkcji borelowskich, zbiorów analitycznych, koanalitycznych oraz, bardziej skomplikowanych, zbiorów rzutowych wyższych klas, ustala ich regularne własności i wzajemne
powiązania. W wielu przypadkach topologia rozpatrywanych przestrzeni nie jest istotna, a znaczenie
ma jedynie generowane przez nią σ-ciało zbiorów borelowskich. Prowadzi to do pojęcia przestrzeni
borelowskich, będących podstawowymi obiektami w naszej pracy.
Na szczególną uwagę zasługują te wątki teorii deskryptywnej, w których analizuje się z punktu
widzenia tej teorii obiekty pojawiające się w naturalny sposób w innych gałęziach matematyki.
Przedmiotem niniejszej pracy są pewne deskryptywne własności relacji liniowego homeomorfizmu
między ośrodkowymi przestrzeniami Banacha, badanie których zapoczątkował B. Bossard [Bo].
Dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni Banacha E, oznaczmy przez V(E) rodzinę domkniętych podprzestrzeni liniowych przestrzeni E, wyposażoną w strukturę borelowską Effrosa. Struktura Effrosa
na V(E) to σ-ciało generowane przez zbiory {F ∈ V(E) : F ∩ U = ∅}, gdzie U jest otwartym
podzbiorem E.
Podzbiór produktu V(E) × V(E) nazywamy analitycznym, jeśli jest rzutem borelowskiego podzbioru produktu V(E) × V(E) × [0, 1]. Podobnie, podzbiór przestrzeni V(E) jest analityczny, gdy jest
rzutem zbioru borelowskiego w produkcie V(E) × [0, 1]. Pojęcia te są bardziej szczegółowo omówione
w części 2.1 pracy.
Bossard [Bo] badał deskryptywne własności relacji izomorfizmu między przestrzeniami Banacha,
będącymi elementami przestrzeni V(E) i dowiódł, że relacja ta jest analitycznym podzbiorem produktu
V(E) × V(E). Ponadto, jeśli E = C(2N ) jest przestrzenią funkcji ciągłych na zbiorze Cantora, wówczas
5
ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE I GŁÓWNY WYNIK
6
nie istnieje analityczny selektor dla rodziny klas abstrakcji tej relacji ([Bo], Theorem 2).
Celem pracy jest dowód następującego wzmocnienia twierdzenia Bossarda o selektorach.
Twierdzenie 1.1. Niech E będzie dowolną ośrodkową przestrzenią Banacha i niech A ⊂ V(E) będzie
zbiorem analitycznym takim, że dla każdej przestrzeni Banacha L o przestrzeni sprzężonej l1 , istnieje
izomorficzna kopia L w A. Wówczas A zawiera nieprzeliczalnie wiele parami izomorficznych elementów,
mających jako przestrzeń sprzężoną l1 .
Układ pracy jest następujący.
W Rozdziałach 2 i 3 przedstawiam pojęcia oraz podstawowe fakty używane w dalszej części pracy.
W Rozdziale 4 wprowadzone zostanie przekształcenie Φ, wiążące przestrzeń borelowską Effrosa V(C(2N ))
z hiperprzestrzenią kostki Hilberta. Przekształcenie to wykorzystane będzie w dowodzie Twierdzenia 1.1, który stanowi treść Rozdziału 5. W Rozdziale 6 wyjaśniam związki Twierdzenia 1.1 z pewnymi klasycznymi zagadnieniami dotyczącymi konstytuent Łuzina. W ostatnim rozdziale naszkicuję
inne ujęcie dowodu Twierdzenia 1.1, nie odwołujące się do przekształcenia Φ z Rozdziału 4.
Rozdział 2
Przestrzenie borelowskie, zbiory
analityczne i przestrzenie Effrosa
Występująca w pracy terminologia dotycząca deskryptywnej teorii mnogości pochodzi z książek A. S. Kechrisa [Ke] i K. Kuratowskiego [Ku1]. Materiał związany z przestrzeniami Banacha i liczbami porządkowymi (zwłaszcza w ich topologicznym ujęciu) jest szerzej opisany w książce Z. Semadeniego
[Se]. Pozostałe fakty odnoszące się do liczb porządkowych można znaleźć w książce K. Kuratowskiego
i A. Mostowskiego [K-M].
2.1
Przestrzenie borelowskie i zbiory analityczne
Przestrzeń borelowska (lub mierzalna) to para (A, S), gdzie A jest dowolnym zbiorem, a S jest σ-ciałem,
którego elementami są podzbiory A. Elementy S nazywać będziemy zbiorami borelowskimi. Jeśli
σ-ciało S podzbiorów A jest ustalone, zwykle będziemy mówić o przestrzeni mierzalnej A, zamiast
o parze (A, S). Każda przestrzeń topologiczna ma naturalną strukturę borelowską — σ-ciało generowane przez zbiory otwarte.
Przestrzeń borelowska (A, S) jest standardowa gdy istnieje ośrodkowa, metryzowalna w sposób
zupełny topologia na A taka, że rodzina zbiorów borelowskich tej topologii pokrywa się z rodziną S.
Będziemy zatem traktować każdą przestrzeń topologiczną jako przestrzeń borelowską, a każdą ośrodkową zupełną przestrzeń metryczną jako standardową przestrzeń borelowską.
Podprzestrzenią przestrzeni borelowskiej (A, S) nazywamy każdą przestrzeń borelowską (C, SC )
taką, że C ⊂ A oraz SC = {C ∩ S : S ∈ S}. Rodzinę SC nazywamy indukowaną strukturą borelowską
na C. Każdy borelowski podzbiór standardowej przestrzeni borelowskiej wyposażony w indukowaną
7
8ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE BORELOWSKIE, ZBIORY ANALITYCZNE I PRZESTRZENIE EFFROSA
strukturę borelowską jest standardową przestrzenią borelowską.
Produktem przestrzeni borelowskich (A, S) i (B, T ) jest przestrzeń borelowska (A × B, S ⊗ T ),
gdzie rodzina S ⊗ T jest σ-ciałem podzbiorów iloczynu kartezjańskiego A × B, generowanym przez
zbiory postaci S × T , gdzie S ∈ S i T ∈ T . Produkt standardowych przestrzeni borelowskich jest
standardową przestrzenią borelowską.
Uwaga. W klasie przestrzeni topologicznych pojęcie podprzestrzeni borelowskiej jest zgodne z pojęciem podprzestrzeni topologicznej. Dokładniej, jeśli A jest przestrzenią topologiczną oraz C ⊂ A jest
jej dowolnym podzbiorem, wówczas struktury borelowskie na zbiorze C, rozpatrywanym jako podprzestrzeń borelowska lub jako podprzestrzeń topologiczna A, są identyczne. W przypadku produktu
(A × B, S ⊗ T ), struktura borelowska S ⊗ T jest generowana przez topologię produktową, jeśli przestrzenie A i B mają przeliczalne bazy (choć w ogólnej sytuacji tak być nie musi).
Dla dowolnych dwu przestrzeni borelowskich (A, S) i (B, T ) przekształcenie f : A → B jest borelowskie, gdy f −1 (T ) ∈ S dla T ∈ T .
Zbiór K ⊂ B jest suslinowski w przestrzeni borelowskiej (B, T ), gdy jest rzutem zbioru borelowskiego w produkcie (B × [0, 1], T ⊗ B), gdzie [0, 1] jest odcinkiem jednostkowym, a B rodziną zbiorów
borelowskich topologii odcinka. Każdy zbiór borelowski jest suslinowski. Zbiory suslinowskie w standardowych przestrzeniach borelowskich nazywa się zbiorami analitycznymi.
Zbiory analityczne są jednymi z najważniejszych obiektów rozpatrywanych w deskryptywnej teorii
mnogości. Przypomnę kilka związanych z nimi podstawowych faktów.
Dla dowolnej standardowej przestrzeni borelowskiej (A, S) rodzina zbiorów analitycznych w A zawiera zbiór pusty i całą przestrzeń A oraz jest zamknięta za względu na przeliczalne sumy i przecięcia.
Nie jest jednak zamknięta ze względu na dopełnienia. Zbiory analityczne, których dopełnienia są także
analityczne są zbiorami borelowskimi (Twierdzenie Suslina).
Dla dowolnego przekształcenia borelowskiego między dwiema standardowymi przestrzeniami borelowskimi zarówno obrazy, jak i przeciwobrazy zbiorów analitycznych są analityczne.
Więcej informacji na temat zbiorów analitycznych i przestrzeni borelowskich oraz dowody przytoczonych tu faktów można znaleźć w książce A. Kechrisa [Ke].
2.2
Przestrzenie Effrosa F (E), V(E) i H(E)
Ważnym pojęciem, które pozwala rozpatrywać rodziny ośrodkowych przestrzeni Banacha i relacje między nimi z punktu widzenia deskryptywnej teorii mnogości jest struktura borelowska Effrosa, wprowa-
2.2. PRZESTRZENIE EFFROSA F(E), V(E) I H(E)
9
dzona w pracy Effrosa [Eff]. Poniżej wyjaśniam najważniejsze dla nas fakty związane z tym pojęciem.
Dla dowolnej przestrzeni topologicznej E symbolem F(E) będę oznaczać przestrzeń borelowską
niepustych, domkniętych podzbiorów E, wyposażoną w σ-ciało generowane przez zbiory postaci
BU = {F ∈ F(E) : F ∩ U = ∅},
(2.1)
gdzie U jest zbiorem otwartym w E. Określone tak na F(E) σ-ciało nazywamy strukturą borelowską
Effrosa, a przestrzeń F(E) — przestrzenią borelowską Effrosa.
Uwaga. Gdy topologia przestrzeni E ma bazę przeliczalną, wówczas we wzorze (2.1) wystarczy ograniczyć się do U należących do dowolnej bazy topologii przestrzeni E. Jeśli dodatkowo przestrzeń E jest
metryzowalna w sposób zupełny, przestrzeń Effrosa F(E) jest standardową przestrzenią borelowską,
zob. [Ke], Theorem 12.6.
Dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni Banacha E niech V(E) ⊂ F(E) będzie zbiorem, którego
elementami są domknięte podprzestrzenie liniowe przestrzeni E. Udowodnię teraz następujący fakt:
Twierdzenie 2.2.1. Zbiór V(E) jest borelowski w F(E), zatem przestrzeń V(E) wyposażona w indukowaną strukturę borelowską jest standardową przestrzenią borelowską.
Dowód. Przestrzeń E jest przestrzenią metryczną ośrodkową, więc jej topologia ma przeliczalną bazę
B. Niech ponadto C będzie przeliczalną bazą prostej rzeczywistej R. Zbiór F ∈ F(E) nie jest
podprzestrzenią liniową E gdy jest pusty, lub gdy istnieją f, g ∈ F takie, że f + g ∈ F , lub też gdy
istnieją f ∈ F i t ∈ R, dla których tf ∈ F .
Jeśli f, g ∈ F i f + g ∈ F , wówczas, ponieważ F ⊂ E jest domknięte, istnieje W ∈ B, dla
którego f + g ∈ W oraz W ∩ F = ∅. Z ciągłości dodawania w przestrzeni Banacha E wynika istnienie
U, V ∈ B takich, że f ∈ U , g ∈ V (zatem U ∩ F = ∅ i V ∩ F = ∅) oraz U + V ⊂ W , gdzie
U + V = {u + v : u ∈ U, v ∈ V }.
Na odwrót, jeśli istnieją zbiory U, V, W ∈ B spełniające warunki U ∩ F = ∅, V ∩ F = ∅, W ∩ F = ∅
i U + V ⊂ W , wówczas zbiór F nie jest zamknięty ze względu na dodawanie.
Analogicznie brak zamkniętości zbioru F ze względu na mnożenie przez skalar jest równoważny
istnieniu zbiorów U, W ∈ B oraz V ∈ C takich, że U ∩ F = ∅, V = ∅, W ∩ F = ∅ i V U ⊂ W , gdzie
V U = {ru : r ∈ V, u ∈ U }. Zbiór elementów F(E) nie będących podprzestrzeniami liniowymi E może
być zatem zapisany w postaci
F(E) \ V(E) ={∅} ∪
∪
{F : F ∩ U = ∅} ∩ {F : F ∩ V = ∅} ∩ {F : F ∩ W = ∅}
(U,V,W )
{F : F ∩ U = ∅} ∩ {F : F ∩ W = ∅},
(U,V,W )
10ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE BORELOWSKIE, ZBIORY ANALITYCZNE I PRZESTRZENIE EFFROSA
gdzie pierwsza suma przebiega po trójkach (U, V, W ) ∈ B × B × B takich, że U + V ⊂ W , a druga
po trójkach (U, V, W ) ∈ B × C × B takich, że V U ⊂ W oraz V = ∅. Obie te sumy są przeliczalne,
składniki są borelowskie, więc F(E) \ V(E) jest zbiorem borelowskim. Ostatecznie, zbiór V(E) jest
borelowski w standardowej przestrzeni borelewskiej F(E). Po wyposażeniu go w indukowaną strukturę
podprzestrzeni staje się więc standardową przestrzenią borelowską.
Niech C(2N ) będzie przestrzenią Banacha funkcji ciągłych na zbiorze Cantora. Przestrzeń ta jest
uniwersalna w klasie ośrodkowych przestrzeni Banacha, tzn. C(2N ) jest ośrodkowa i dla każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha E istnieje domknięta podprzestrzeń liniowa C(2N ) izomorficzna z E. Pozwala
to, dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni Banacha E, taktować przestrzeń V(E) jako zbiór borelowski
w V(C(2N )), identyfikując E z pewną kopią E w C(2N ).
Niech C(X) oznacza algebrę funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych, określonych na zwartej
przestrzeni topologicznej X, wyposażoną w normę supremum. Algebra C(X) ma jedynkę — funkcję
1X tożsamościowo równą 1. Podalgebrę algebry C(X) będę nazywał podalgebrą z jedynką, jeśli zawiera
funkcję 1X .
Jeśli E = C(X), symbolem H(E) oznaczać będziemy podzbiór V(E) złożony z domkniętych podalgebr z jedynką w C(X).
Twierdzenie 2.2.2. Dla E = C(X), H(E) jest zbiorem borelowskim w V(E), a więc jest standardową
przestrzenią borelowską, z indukowaną strukturą borelowską.
Dowód. Niech B będzie przeliczalną bazą topologii przestrzeni E. Zbiór F ∈ V(E) nie jest podalgebrą
z jedynką algebry E, gdy nie jest zamknięty ze względu na mnożenie lub nie zawiera 1X .
Podobnie jak w dowodzie Twierdzenia 2.2.1, brak zamkniętości zbioru F ze względu na mnożenie
jest równoważne istnieniu U, V, W ∈ B takich, że U ∩ F = ∅, V ∩ F = ∅, W ∩ F = ∅ oraz U V ⊂ W .
Zbiór F nie zawiera funkcji 1X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie U ∈ B, że U ∩ F = ∅
i 1X ∈ U .
Zbiór V(E) \ H(E) może być więc zapisany w postaci
{F : F ∩ U = ∅} ∩ {F : F ∩ V = ∅} ∩ {F : F ∩ W = ∅}
V(E) \ H(E) =
(U,V,W )
∪
{F : F ∩ U = ∅},
U
gdzie pierwsza suma przebiega po trójkach (U, V, W ) ∈ B × B × B takich, że U V ⊂ W , a druga po
zbiorach U ∈ B zawierających 1X . Dowodzi to borelowskości H(E) w V(E), a więc i standardowości
H(E).
2.3. RELACJA IZOMORFIZMU NA V(E)
11
Ponieważ w dalszej części pracy będę rozważał głównie algebrę E = C(2N ), wygodnie jest więc
ustalić następujące oznaczenia
F = F(C(2N )),
V = V(C(2N )) oraz H = H(C(2N )).
Relacja izomorfizmu na V(E)
2.3
Dwie przestrzenie Banacha nazywamy izomorficznymi, gdy są liniowo homeomorficzne. Niech RE
będzie relacją izomorfizmu na V(E), to znaczy para przestrzeni Banacha (L, M ) ∈ V(E) × V(E) jest
w relacji RE wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzenie L i M są izomorficzne.
Deskryptywną charakteryzację relacji RE jako podzbioru produktu V(E) × V(E) podaje następujące, pochodzące od Bossarda twierdzenie ([Bo] Theorem 2).
Twierdzenie 2.3.1. (Bossard) Dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni Banacha E relacja izomorfizmu
RE określona na przestrzeni Effrosa V(E) jest analitycznym podzbiorem produktu V(E) × V(E).
Ponieważ w pracy Bossarda [Bo] nie ma uzasadnienia tego faktu, podaję poniżej szkic dowodu.
Niech S ⊂ V(E)×V(E)×V(E×E) będzie zbiorem trójek (L, M, N ), dla których N jest zanurzonym
w E × E wykresem pewnego izomorfizmu między przestrzeniami L i M . Ponieważ RE jest rzutem
zbioru S na pierwsze dwie współrzędne, więc wystarczy pokazać, że S jest borelowskim podzbiorem
produktu V(E) × V(E) × V(E × E).
Zauważmy w tym celu, że trójka (L, M, N ) jest elementem zbioru S gdy spełnia następujące warunki:
i) dla każdego zbioru otwartego V ⊂ E przecinającego podprzestrzeń M istnieje otwarte U ⊂ E
takie, że U ∩ L = ∅, N ∩ (U × Int(E \ V )) = ∅ oraz N ∩ (U × V ) = ∅,
ii) dla każdego zbioru otwartego U ⊂ E przecinającego podprzestrzeń L istnieje otwarte V ⊂ E
takie, że V ∩ M = ∅, N ∩ (Int(E \ U ) × V ) = ∅ oraz N ∩ (U × V ) = ∅,
iii) dla dowolnego zbioru otwartego V ⊂ E takiego, że V ∩M = ∅ przecięcie N ∩(E ×V ) jest zbiorem
pustym,
iv) dla dowolnego zbioru otwartego U ⊂ E takiego, że U ∩ L = ∅ przecięcie N ∩ (U × E) jest zbiorem
pustym,
12ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE BORELOWSKIE, ZBIORY ANALITYCZNE I PRZESTRZENIE EFFROSA
przy czym wystarczy ograniczyć się do zbiorów U i V będących elementami dowolnej przeliczalnej bazy
topologii przestrzeni E. Istotną rolę w sprawdzeniu, że wymienione warunki charakteryzują zbiór S
odgrywa zupełność przestrzeni E oraz liniowość N .
Zbiór S można zatem opisać używając jedynie przeliczalnych sum i przecięć zbiorów borelowskich.
Dowodzi to tezy twierdzenia.
Rozdział 3
Indeks Cantora-Bendixsona i indeksy
parametryzowalne
3.1
Liczby porządkowe
Liczbę porządkową będę utożsamiać z uporządkowanym zbiorem wszystkich liczb porządkowych mniejszych od niej, tzn. ξ = {α : α < ξ}. Najmniejszą nieskończoną liczbę porządkową, typ porządkowy
zbioru liczb naturalnych, będę oznaczać symbolem ω, a najmniejszą liczbę nieprzeliczalną, a więc zbiór
wszystkich liczb porządkowych przeliczalnych – symbolem ω1 .
Każda liczba porządkowa ξ może być traktowana jako przestrzeń topologiczna. Jej elementami są
liczby porządkowe mniejsze od ξ natomiast topologia jest określona przez bazę składającą się z przedziałów postaci (α, β) i [0, β), gdzie α < β ξ. Jest to tak zwana topologia porządkowa. Przestrzeń
postaci ξ + 1, gdzie ξ < ω1 jest przeliczalną przestrzenią zwartą. Z kolei każda przeliczalna przestrzeń zwarta jest homeomorficzna z przestrzenią postaci ω ξ n + 1, gdzie ξ < ω1 i n < ω. Indeks
Cantora-Bendixsona (patrz część 3.2) takiej przestrzeni jest równy ξ, a jej ξ-ta pochodna jest zbiorem
składającym się z n punktów. Dowód tego faktu znaleźć można w książce Semadeniego [Se].
Następujące twierdzenie Bessagi i Pełczyńskiego, pochodzące z pracy [B-P], będzie odgrywało
istotną rolę w dowodzie Twierdzenia 1.1.
Twierdzenie 3.1.1. (Bessaga, Pełczyński) Dla dowolnych przeliczalnych, nieskończonych liczb porządkowych ξ i ζ przestrzenie Banacha C(ξ + 1) i C(ζ + 1) są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy ξ < ζ ω
oraz ζ < ξ ω .
Potrzebny nam będzie także następujący prosty fakt, opisujący przestrzenie sprzężone (C(ξ + 1))∗
13
ROZDZIAŁ 3. INDEKS CANTORA-BENDIXSONA I INDEKSY PARAMETRYZOWALNE
14
dla ξ przeliczalnych.
Twierdzenie 3.1.2. Dla dowolnej przeliczalnej liczby porządkowej ξ ω przestrzeń (C(ξ + 1))∗ jest
izomorficzna z l1 .
Szkic dowodu. Przestrzeń ξ+1 jest zwarta, więc w myśl twierdzenia Riesza (C(ξ+1))∗ jest izomorficzna
z przestrzenią ograniczonych, przeliczalnie addytywnych, regularnych miar rzeczywistych na ξ + 1.
Ponieważ ξ + 1 jest przeliczalna, więc wszystkie jej podzbiory są borelowskie, a miary przeliczalnie
addytywne są regularne i atomowe, tzn. wyznaczone przez wartości na zbiorach jednoelementowych.
Zatem każdą taką miarę można utożsamić z funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na ξ + 1,
dla której suma modułów jej wartości jest skończona. Obserwacje te pozwalają utożsamiać przestrzeń
(C(ξ + 1))∗ z l1 .
Zbiór A ⊂ ω1 nazywamy c.u.b. zbiorem gdy jest nieprzeliczalny oraz domknięty w ω1 , rozpatrywanej z topologią porządkową. Przecięcie dowolnych dwóch c.u.b. podzbiorów ω1 (a nawet dowolnej
przeliczalnej rodziny c.u.b. zbiorów) jest c.u.b. zbiorem.
Niech Λ ⊂ ω1 będzie zbiorem przeliczalnych liczb porządkowych ξ takich, że ξ = ω ξ . Oczywiście zbiór Λ jest domknięty w ω1 . Ponadto dla dowolnej przeliczalnej liczby porządkowej ξ liczba
ξ
lim(ξ, ω ξ , ω ω , . . .) ξ jest elementem zbioru Λ, który jest wobec tego nieograniczony w ω1 . Tak więc
Λ jest c.u.b. zbiorem.
Jeżeli λ ∈ Λ, ξ < λ i n < ω, to (ω ξ n)ω (ω ξ+1 )ω = ω (ξ+1)ω ω ω
ξ+1 ω
= ωω
ξ+2
λ
ωω = ωλ
i z Twierdzenia 3.1.1 otrzymujemy następujący
Wniosek 3.1.3. Dla dowolnych λ ∈ Λ, ξ < λ i n < ω przestrzenie Banacha C(ω λ + 1) i C(ω ξ n + 1)
nie są izomorficzne.
3.2
Hiperprzestrzenie oraz pochodna i indeks Cantora-Bendixsona
Dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni metrycznej X jej hiperprzestrzenią K(X) nazywamy przestrzeń
zwartych podzbiorów X z metryką Hausdorffa, zob. [Ke], §4.F. Jeśli X jest przestrzenią ośrodkową,
zupełną, wówczas K(X) też ma tą własność. Gdy X jest przestrzenią zwartą, struktura borelowska
hiperprzestrzeni K(X) jest identyczna ze strukturą Effrosa opisaną w części 2.2.
W dalszej części pracy szczególną rolę będzie odgrywać hiperprzestrzeń K([−1, 1]N ) kostki Hilberta,
dla oznaczenia której rezerwuję literę K.
3.3. INDEKSY PARAMETRYZOWALNE
15
Dla dowolnego K ∈ K(X) pochodną Cantora-Bendixsona zbioru K nazywamy zbiór K ∈ K(X)
wszystkich punktów skupienia zbioru K. Ponieważ K jest domknięte w X, więc K ⊂ K. Ogólniej, jeśli
ξ jest liczbą porządkową, dla dowolnego K ∈ K(X) definiujemy indukcyjnie ξ-tą pochodną Cantoraξ
0 (K) = K, D ξ (K) = (D ζ (K)) gdy ξ = ζ + 1 oraz
(K) w następujący sposób: DCB
Bendixsona DCB
CB
CB
ξ
ζ
DCB (K) = ζ<ξ DCB (K) gdy ξ jest liczbą graniczną.
ξ
(K)}ξ zwartych podzbiorów przestrzeni X jest zstępujący, więc od pewPozaskończony ciąg {DCB
ξ
ξ+1
(K) = DCB
(K) = . . ., dla pewnej liczby porządkowej ξ. Liczba ξ
nego miejsca stabilizuje się, tzn. DCB
ξ
(K) jest albo pusty, albo w sobie gęsty, czyli każdy jego element
jest wówczas przeliczalna, a zbiór DCB
jest jego punktem skupienia.
Indeksem
Cantora-Bendixsona
na
hiperprzestrzeni
K(X)
nazywamy
przekształcenie
δCB : K(X) → ω1 ∪ {∞} takie, że δCB (K) jest najmniejszą liczbą porządkową ξ spełniającą waξ+1
ξ
(K) = ∅, jeśli takie ξ istnieje, lub δCB (K) = ∞, jeśli DCB
(K) = ∅ dla każdej liczby
runek DCB
porządkowej ξ.
W dalszym ciągu przydatne będą następujące oznaczenia:
K<∞ (X) = {K ∈ K(X) : δCB (K) < ∞}
oraz
K<∞ = K<∞ ([−1, 1]N ).
Lemat 3.2.1. K<∞ jest rodziną zwartych, przeliczalnych podzbiorów kostki Hilberta [−1, 1]N .
Dowód. Niech B będzie przeliczalną bazą topologii kostki [−1, 1]N .
Gdy K ∈ K jest zbiorem przeliczalnym, wówczas jest on homeomorficzny z pewną liczbą porządkową postaci ω ξ n + 1, gdzie ξ < ω1 , n < ω i wtedy δCB (K) = ξ (patrz część 3.1). Zatem K ∈ K<∞ .
Niech teraz K ∈ K będzie nieprzeliczalne. Oznaczmy przez BK rodzinę tych elementów bazy B,
których przecięcie ze zbiorem K jest przeliczalne. Wówczas K \ U ∈BK U ⊂ K jest nieprzeliczalnym,
domkniętym, w sobie gęstym podzbiorem K. Zatem δCB (K) = ∞ i K ∈ K<∞
3.3
Indeksy parametryzowalne
Przytoczę teraz pewne fakty i pojęcia pochodzące z prac [Ch-P] i [CGP], które będą potrzebne w dalszej
części pracy, stanowiąc podstawowe narzędzie wykorzystywane w dowodzie Twierdzenia 1.1.
Niech E będzie ośrodkową przestrzenią metryczną. Funkcję δ : E → ω1 nazywać będę indeksem
parametryzowalnym, jeśli istnieje zupełna metryczna przestrzeń M , ciągła surjekcja π : M → E
(parametryzacja indeksu δ) oraz rodzina {Pξ }ξ∈ω1 podzbiorów M , spełniające następujące warunki:
ROZDZIAŁ 3. INDEKS CANTORA-BENDIXSONA I INDEKSY PARAMETRYZOWALNE
16
i) Pξ są parami rozłączne i M =
ii)
iii)
ζξ
ζξ
ζ∈ω1
Pζ ,
Pζ jest podzbiorem ośrodkowym i domkniętym w M , dla ξ ∈ ω1 ,
Pζ =
ζ<ξ
Pζ , dla każdej granicznej liczby porządkowej ξ ∈ ω1 ,
iv) (δ ◦ π)−1 ({ξ}) = Pξ i
ζ<ξ (δ
◦ π)−1 ({ξ}) =
ζ<ξ
Pξ , dla ξ z pewnego c.u.b. zbioru w ω1 .
Ważnym przykładem indeksu parametryzowalnego jest opisany w części 3.2 indeks Cantora-Bendixsona δCB : K<∞ (X) → ω1 , gdzie X jest przestrzenią zwartą. W pracy [Ch-P] J. Chaber i R. Pol
dowiedli następujące twierdzenie dotyczące indeksów parametryzowalnych.
Twierdzenie 3.3.1. Niech δ : E → ω1 będzie indeksem parametryzowalnym określonym na ośrodkowej
przestrzeni metrycznej E i niech A będzie zbiorem suslinowskim w E. Ponadto, niech Z ⊂ A przecina
δ−1 ({ξ}) dla każdego ξ z pewnego c.u.b. podzbioru ω1 . Wówczas istnieje c.u.b. zbiór Θ ⊂ ω1 taki,
że dla każdego ξ ∈ Θ, każdy zbiór typu Fσ zawierający A ∩ δ−1 ({ξ}) przecina zbiory Z ∩ α<ξ δ−1 ({α})
oraz Z ∩ α>ξ δ−1 ({α}).
Rozdział 4
Przygotowanie do dowodu:
przekształcenie Φ
W tym rozdziale określę przekształcenie borelowskie Φ : H → K takie, że dla każdego H ∈ H, algebry H
i C(Φ(H)) są izomorficzne. Istotnym elementem tej konstrukcji jest następujący wniosek z twierdzenia
Kuratowskiego i Rylla-Nardzewskiego o selekcjach borelowskich (zob. [Ke], Theorem 12.13).
Twierdzenie 4.1. Niech E będzie ośrodkową przestrzenią Banacha. Istnieje wówczas ciąg funkcji
borelowskich en : F(E) → E takich, że dla każdego niepustego F ∈ F(E) zbiór {en (F ) : n ∈ N} jest
gęsty w F .
Twierdzenie to pozwala określić funkcje borelowskie dn : H → C(2N ) takie, że dla każdej algebry
H ∈ H zbiór {dn (H) : n ∈ N} jest gęstym podzbiorem kuli jednostkowej w H.
Niech bowiem k : H → F będzie przekształceniem przyporządkowującym elementom H ich kule
jednostkowe i niech en : F → C(2N ) będą funkcjami otrzymanymi przez zastosowanie Twierdzenia 4.1
do przestrzeni E = C(2N ). Wówczas przekształcenia dn można określić formułą dn = en ◦ k. Przekształcenia te są borelowskie, gdyż zarówno en jak i k są borelowskie.
Dla uproszczenia zapisu przyjmijmy dH
n = dn (H).
Określam teraz przekształcenie Φ : H → K wzorem
H
N
N
Φ(H) = {(dH
1 (x), d2 (x), . . .) ∈ [−1, 1] : x ∈ 2 },
(4.1)
przy czym inkluzja Φ(H) ⊂ [−1, 1]N jest konsekwencją nierówności dH
i 1, a niepustość i zwartość
Φ(H) wynika z tego, że jest to obraz niepustego, zwartego zbioru 2N przy przekształceniu ciągłym
H
x → (dH
1 (x), d2 (x), . . .).
17
ROZDZIAŁ 4. PRZYGOTOWANIE DO DOWODU: PRZEKSZTAŁCENIE Φ
18
Dowód własności przekształcenia Φ, które będą nam potrzebne, rozbiję na kilka lematów.
Dla dowolnej algebry H ∈ H określmy relację równoważności ∼H ⊂ 2N × 2N , przyjmując
x1 ∼H x2 ⇔ ∀h∈H h(x1 ) = h(x2 ) dla x1 , x2 ∈ 2N .
(4.2)
Lemat 4.2. Niech H ∈ H. Wówczas przestrzeń Φ(H) jest homeomorficzna z przestrzenią ilorazową
2N / ∼H .
Dowód. Określam przekształcenie f : 2N / ∼H → Φ(H) wzorem
H
f ([x]) = (dH
1 (x), d2 (x), . . .).
Z definicji relacji ∼H i zbioru Φ(H) wynika, że f jest dobrze określoną surjekcją. Jeśli f ([x1 ]) = f ([x2 ]),
H
H
to dH
i (x1 ) = di (x2 ) dla i ∈ N oraz, z gęstości {di : i ∈ N} w kuli jednostkowej w H, h(x1 ) = h(x2 )
dla h ∈ H, czyli [x1 ] = [x2 ]. Zatem f jest także przekształceniem różnowartościowym.
Przestrzeń 2N / ∼H jest zwarta, a Φ(H) jest przestrzenią Hausdorffa, więc aby dowieść, że f jest homeomorfizmem wystarczy pokazać, że jest funkcją ciągłą. Rozpatrzmy podzbiory przestrzeni Φ(H) postaci AU,k = Φ(H) ∩ ([−1, 1]k−1 × U × [−1, 1]N ), gdzie U jest otwarty w [−1, 1] oraz k ∈ N. Φ(H) jest
podprzestrzenią kostki Hilberta [−1, 1]N , więc zbiory AU,k tworzą podbazę topologii Φ(H). Zbiory
N
H
N
BU,k = {x ∈ 2N : dH
k (x) ∈ U } są otwarte w 2 , gdyż dk : 2 → [−1, 1] są funkcjami ciągłymi
oraz nasycone ze względu na relację ∼H (to znaczy x1 ∈ BU,k , x1 ∼H x2 pociąga x2 ∈ BU,k ), więc
przeciwobrazy f −1 (AU,k ) = {[x] ∈ 2N / ∼H : x ∈ BU,k } są otwarte w 2N / ∼H . To kończy dowód
lematu.
Lemat 4.3. Dla dowolnego H ∈ H algebra C(2N / ∼H ) jest izometrycznie izomorficzna z algebrą H.
Dowód. Określam żądany izomorfizm ψ : H → C(2N / ∼H ) przyjmując dla h ∈ H i [x] ∈ 2N / ∼H
ψ(h)([x]) = h(x).
Z definicji (4.2) relacji ∼H , określenie to nie zależy od wyboru x. Aby dla ustalonego h dowieść
ciągłości odwzorowania ψ(h) : 2N / ∼H → R, rozważmy dowolny zbiór otwarty U ⊂ R.
Zbiór {x ∈ 2N : ψ(h)([x]) ∈ U } = {x ∈ 2N : h(x) ∈ U } jest otwarty w 2N i nasycony ze względu
na relację ∼H , zatem zbiór (ψ(h))−1 (U ) = {[x] ∈ 2N / ∼H : ψ(h)([x]) ∈ U } jest otwarty. Tak więc
przekształcenie ψ(h) jest ciągłe i ψ jest dobrze określone.
Oczywiście, ψ jest zachowującym normę homomorfizmem algebr (obie algebry są wyposażone
w normę supremum). Zauważmy ponadto, że ψ(H) jest domkniętą podalgebrą C(2N / ∼H ) zawierającą wszystkie funkcje stałe i rozdzielającą elementy 2N / ∼H . Z twierdzenia Stone’a-Weierstrassa
ψ(H) = C(2N / ∼H ), czyli ψ jest także surjekcją.
19
Podsumowując, ψ jest zachowującym normę izomorfizmem algebr, a więc algebry H i C(2N / ∼H )
są izometrycznie izomorficzne.
Z Lematów 4.2 i 4.3 otrzymujemy natychmiast
Wniosek 4.4. Dla dowolnego H ∈ H, algebry C(Φ(H)) i H są izometrycznie izomorficzne.
Lemat 4.5. Niech h : 2N → X będzie ciągłym przekształceniem zbioru Cantora na przestrzeń topologiczną Hausdorffa X. Wówczas, dla algebry Banacha Hh = {f ◦ h : f ∈ C(X)}, przestrzenie X
i 2N / ∼Hh są homeomorficzne.
Dowód. Zauważmy, że relacja ∼Hh utożsamia te punkty zbioru Cantora, na których funkcja h przyjmuje
tą samą wartość. Istotnie, jeżeli x1 , x2 ∈ 2N oraz h(x1 ) = h(x2 ), wówczas oczywiście f ◦h(x1 ) = f ◦h(x2 )
dla każdego f ∈ C(X) i x1 ∼Hh x2 . Jeśli z kolei h(x1 ) = h(x2 ), wtedy z normalności przestrzeni zwartej
X istnieje funkcja f ∈ C(X) taka, że f (h(x1 )) = f (h(x2 )) i para (x1 , x2 ) nie jest w relacji ∼Hh .
Ponieważ zbiór Cantora 2N jest przestrzenią zwartą, a funkcja h jest surjekcją, więc przestrzenie X
i 2N / ∼Hh są homeomorficzne.
Lemat 4.6. Przekształcenie Φ : H → K określone formułą (4.1) jest borelowskie.
Dowód. Niech M ⊂ 2N będzie przeliczalnym, gęstym podzbiorem zbioru Cantora.
Strukturą borelowską hiperprzestrzeni K([−1, 1]N ) kostki Hilberta jest struktura Effrosa generowana
przez zbiory BU1 ,...,Uk = {K ∈ K([−1, 1]N ) : K ∩ (U1 × · · · × Uk × [−1, 1]N ) = ∅}, gdzie U1 , . . . , Uk ⊂
[−1, 1] otwarte, k ∈ N (patrz części 2.2 i 3.2).
Algebra H ∈ H jest elementem przeciwobrazu Φ−1 (BU1 ,...,Uk ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
H
H
x ∈ 2N takie, że dH
1 (x) ∈ U1 , d2 (x) ∈ U2 , . . . , dk (x) ∈ Uk .
N
N takiego,
Ponieważ funkcje dH
i są ciągłe, a zbiór M jest gęsty w 2 , więc istnienie x ∈ 2
H
H
że dH
1 (x) ∈ U1 , d2 (x) ∈ U2 , . . . , dk (x) ∈ Uk jest równoważne istnieniu x ∈ M mającego tą własność.
H
H
Zatem Φ−1 (BU1 ,...,Uk ) = x∈M {H ∈ H : dH
1 (x) ∈ U1 , d2 (x) ∈ U2 , . . . , dk (x) ∈ Uk }
= x∈M ki=1 {H ∈ H : dH
i (x) ∈ Ui }
Dla ustalonego x ∈ 2N zbiory Ui,x = {H ∈ H : dH
i (x) ∈ Ui } są borelowskie, ponieważ są przeciwobrazami zbiorów otwartych Ui przy przekształceniu, będącym złożeniem funkcji borelowskiej H → dH
i
i ciągłej ewaluacji f → f (x).
Ostatecznie, zbiór Φ−1 (BU1 ,...,Uk ) jest borelowski jako przeliczalna suma skończonych przecięć zbiorów borelowskich Ui,x . To kończy dowód lematu.
20
ROZDZIAŁ 4. PRZYGOTOWANIE DO DOWODU: PRZEKSZTAŁCENIE Φ
Rozdział 5
Dowód głównego wyniku
Zauważmy, że dla dowodu Twierdzenia 1.1 wystarczy ograniczyć się do przypadku E = C(2N ). Jeśli
bowiem E jest dowolną ośrodkową przestrzenią Banacha, wówczas, dzięki uniwersalności C(2N ), można
traktować E jako domkniętą podprzestrzeń C(2N ). Zbiór V(E) jest wówczas borelowski w przestrzeni
V(C(2N )), a zatem zbiór A jest w niej analityczny (zob. część 2.2) i spełnia założenia Twierdzenia 1.1
dla E = C(2N ).
Na mocy Twierdzenia 2.2.1 przestrzeń V jest standardową przestrzenią borelowską, czyli jej struktura borelowska jest σ-algebrą generowaną przez pewną ośrodkową, metryzowalną w sposób zupełny
topologię. W dalszym ciągu będę traktował V jako ośrodkową, zupełną przestrzeń metryczną.
Niech R = RC(2N ) ⊂ V × V będzie relacją izomorfizmu między należącymi do V przestrzeniami
Banacha. Ponieważ, na mocy Twierdzenia 2.3.1 R jest zbiorem analitycznym w V × V, więc zbiór
R ∩ (V × H) jest analityczny w V × H.
Przyjmijmy
= (IdV × Φ)(R ∩ (V × H)),
R
jest zbiorem
gdzie Φ jest przekształceniem określonym wzorem (4.1), a IdV jest identycznością na V. R
analitycznym w V × K jako obraz zbioru analitycznego w standaedowej przestrzeni borelowskiej V × H
przy przekształceniu borelowskim (IdV × Φ) : V × H → V × K.
oraz Wniosku 4.4 wynika, że jego elementami są dokładnie te pary
Z określenia zbioru R
(L, K) ∈ V ×K, dla których L jest izomorficzne z C(K) oraz istnieje algebra H ∈ H taka, że Φ(H) = K.
Na przestrzeni V × K określam indeks δ : V × K → ω1 ∪ {∞} wzorem
δ(L, K) = δCB (K),
(5.1)
gdzie δCB jest indeksem Cantora-Bendixsona na K, opisanym w części 3.2. Indeks δ|V×K<∞ : V × K<∞ → ω1
21
ROZDZIAŁ 5. DOWÓD GŁÓWNEGO WYNIKU
22
jest parametryzowalny (zob. część 3.3). Jeśli bowiem π : M → K<∞ jest parametryzacją indeksu δCB ,
to IdV × π : V × M → V × K<∞ jest parametryzacją indeksu δ|V×K<∞ .
Dowód Twierdzenia 1.1 (przypadek E = C(2N )). Niech A będzie zbiorem analitycznym w V, zawierającym izomorficzne kopie wszystkich przestrzeni Banacha, których przestrzeń sprzężona jest izomorficzna z l1 i niech
∩ (A × K).
A = R
Zbiór A jest analityczny w V × K.
Ponieważ, jak zauważyliśmy w Twierdzeniu 3.1.2, dla dowolnej przeliczalnej liczby porządkowej
ξ > 0, przestrzenie C(ω ξ + 1) mają przestrzeń sprzężoną l1 , więc zbiór A zawiera element Lξ izomorficzny z C(ω ξ + 1). Ponadto istnieje algebra Hξ ∈ H taka, że Φ(Hξ ) jest homeomorficzne z ω ξ + 1.
Istotnie, możemy określić Hξ jako {f ◦ h : f ∈ C(ω ξ + 1)}, gdzie h : 2N → ω ξ + 1 jest ciągłą surjekcją.
Homeomorficzność Φ(Hξ ) i ω ξ + 1 wynika z Lematów 4.2 i 4.5. Mamy więc (Lξ , Φ(Hξ )) ∈ A oraz
δ(Lξ , Φ(Hξ )) = ξ.
Zatem dla każdej nieskończonej liczby porządkowej ξ ∈ ω1 przecięcie A ∩ δ−1 ({ξ}) jest niepuste
i
spełnione
są
założenia
Twierdzenia
3.3.1
dla
E
=
V × K<∞ ,
indeksu
δ|V×K<∞
oraz A = Z = A ∩ (V × K<∞ ).
Teza Twierdzenia 3.3.1 mówi, że istnieje c.u.b. zbiór Θ ⊂ ω1 taki, że dla wszystkich ξ ∈ Θ każdy
zbiór typu Fσ zawierający A ∩ δ−1 ({ξ}) przecina A ∩ ζ<ξ δ−1 ({ζ}).
Niech Λ będzie zbiorem określonym w 3.1. Pokażę, że jeżeli 0 < ξ ∈ Λ ∩ Θ, to zbiór A zawiera
nieprzeliczalnie wiele izomorficznych kopii C(ω ξ +1). To zakończy dowód twierdzenia, gdyż zbiór Λ∩Θ
jest niepusty jako c.u.b. zbiór.
Załóżmy przeciwnie, że istnieje 0 < ξ ∈ Λ ∩ Θ takie, że zbiór
Iξ = {L ∈ A : L jest izomorficzne z C(ω ξ + 1)}
jest przeliczalny. Zauważmy, że
A ∩ δ−1 ({ξ}) ⊂ Iξ × K<∞ .
Niech bowiem (L, K) ∈ A ∩ δ−1 ({ξ}). Wówczas δCB (K) = ξ i przestrzenie L i C(K) są izomorficzne.
Oznacza to, że zbiór K jest homeomorficzny z ω ξ n+1 dla pewnego n < ω i zgodnie z Twierdzeniem 3.1.1
przestrzenie L i C(K) są izomorficzne z C(ω ξ + 1), czyli (L, K) ∈ Iξ × K<∞
Ponieważ zbiór Iξ × K<∞ ⊂ V × K<∞ jest typu Fσ i zawiera A ∩ δ−1 ({ξ}), więc musi istnieć ζ < ξ
spełniające warunek (Iξ × K<∞ ) ∩ A ∩ δ−1 ({ζ}) = ∅. Ostatnie stwierdzenie oznacza, że istnieje L ∈ Iξ
23
izomorficzne z C(ω ζ n + 1) dla pewnego n < ω. W takim razie C(ω ξ + 1) jest izomorficzne z C(ω ζ n + 1),
a to przeczy Wnioskowi 3.1.3. Otrzymana sprzeczność kończy dowód naszego twierdzenia.
24
ROZDZIAŁ 5. DOWÓD GŁÓWNEGO WYNIKU
Rozdział 6
Wnioski i komentarz do Twierdzenia 1.1
Selektorem dla rodziny {Pi }i∈I parami rozłącznych podzbiorów dowolnego zbioru A nazywamy zbiór
B ⊂ A taki, że B ⊂ i∈I Pi oraz przecięcia B ∩ Pi są jednoelementowe dla i ∈ I.
Wniosek 6.1. Niech E będzie ośrodkową przestrzenią Banacha, zawierającą jako liniowe podprzestrzenie domknięte izomorficzne kopie wszystkich ośrodkowych przestrzeni Banacha, których przestrzenie
sprzężone są izomorficzne z l1 . Niech ponadto L ⊂ V(E) będzie rodziną wszystkich takich podprzestrzeni. Wówczas nie istnieje zbiór suslinowski w L, będący selektorem dla rodziny klas abstrakcji
relacji izomorfizmu między elementami L.
Dowód. Załóżmy, dążąc do sprzeczności, że S ⊂ L jest suslinowskim selektorem, o którym mowa
w sformułowaniu wniosku. Wówczas, z definicji zbioru suslinowskiego i podprzestrzeni borelowskiej
podanych w części 2.1, wynika istnienie zbioru analitycznego A ⊂ V(E) takiego, że A ∩ L = S.
Zbiór A zawiera wówczas dokładnie po jednej izomorficznej kopii każdej przestrzeni Banacha, mającej
przestrzeń sprzężoną izomorficzną z l1 . Przeczy to Twierdzeniu 1.1, kończąc dowód wniosku.
Twierdzenie 1.1 i Wniosek 6.1 są związane z pewnymi rezultatami dotyczącymi konstytuent Łuzina
oraz relacji homeomorfizmu między elementami hiperprzestrzeni zwartej przestrzeni metrycznej.
Niech 2Q będzie zbiorem Cantora wszystkich podzbiorów zbioru liczb wymiernych Q (każdy podzbiór utożsamiamy z jego funkcją charakterystyczną). Elementy 2Q , traktowane jako podzbiory Q,
są zbiorami uporządkowanymi. Rozważmy na 2Q relację równoważności taką, że dwa elementy 2Q
są w relacji wtedy i tylko wtedy gdy mają ten sam typ porządkowy. Klasa abstrakcji dobrze uporządkowanego zbioru typu porządkowego α nosi nazwę α-tej konstytuenty Łuzina (patrz [Ku1], [Ke]).
W pracy [Ka], V. G. Kanovei pokazał, odpowiadając na pytanie Łuzina, że żaden analityczny podzbiór 2Q nie może przecinać każdej konstytuenty Łuzina w dokładnie jednym punkcie. Inny, prostszy
25
ROZDZIAŁ 6. WNIOSKI I KOMENTARZ DO TWIERDZENIA ??
26
dowód tego faktu znajduje się w pracy [CGP]. Polega on na pokazaniu, że każdy zbiór analityczny
w 2Q przecinający każdą konstytuentę Łuzina musi mieć z którąś z nich nieprzeliczalną część wspólną.
Analogiczne wyniki dotyczące pochodnej Cantora-Bendixsona są rozważane w pracy [Ch-P].
Dla dowolnej przestrzeni metrycznej zwartej X zawierającej zbiór Cantora rozważamy hiperprzestrzeń K(X) i relację homeomorfizmu między jej elementami. Z faktów opisanych w pracy wynika,
że nie istnieje zbiór analityczny w K(X) przecinający każdą z klas abstrakcji tej relacji w dokładnie
jednym punkcie. Co więcej, każdy zbiór analityczny przecinający wszystkie klasy abstrakcji zbiorów
przeliczalnych ma nieprzeliczalne przecięcie z którąś z nich.
Oba te fakty można udowodnić opierając się na Twierdzeniu 3.3.1 zastosowanym do naturalnych
indeksów określonych na rozpatrywanych przestrzeniach: w pierwszym przypadku rozważa się indeks
przyporządkowujący α-tej konstytuencie Łuzina liczbę porządkową α, natomiast w drugim indeks
Cantora-Bendixsona.
Niniejsza praca pokazuje, że podobne własności wykazuje relacja izomorfizmu między przestrzeniami Banacha mającymi ośrodkową przestrzeń sprzężoną.
Rozdział 7
Inny wariant dowodu Twierdzenia 1.1
Przedstawię teraz pewną modyfikację dowodu Twierdzenia 1.1, nie korzystającą z przekształcenia Φ
opisanego w Rozdziale 4. Podobnie jednak jak poprzedni dowód, wykorzystuje ona pewne fakty z pracy
[Ch-P], opisane w części 3.3.
Idea modyfikacji oparta jest na następującej obserwacji. Przekształcenie Φ służy do zdefinio rozpatrywanego w Rozdziale 5. Pokażę,
wania, a następnie uzasadnienia analityczności zbioru R,
można zastąpić większym zbiorem złożonym z par
że omijając użycie przekształcenia Φ, zbiór R
(L, K) ∈ V × K([−1, 1]N ) takich, że przestrzenie L i C(K) są izomorficzne, przy czym z kolei wygodniej
będzie posłużyć się hiperprzestrzenią zbioru Cantora 2N , niż hiperprzestrzenią kostki Hilberta [−1, 1]N .
Możliwość takiej modyfikacji wynika z następujących lematów.
Będziemy rozpatrywać zbiór Cantora z ustaloną metryką. Oznaczmy przez C(2N , 2N ) przestrzeń
funkcji ciągłych zbioru Cantora w siebie, wyposażoną w metrykę supremum. Przestrzeń ta jest ośrodkową przestrzenią zupełną.
Lemat 7.1. Każdemu niepustemu, domkniętemu podzbiorowi K zbioru Cantora 2N można przyporządkować funkcję ciągłą fK : 2N → K, spełniającą równość fK (x) = x dla x ∈ K, w taki sposób,
że przyporządkowanie to, traktowane jako funkcja z K(2N ) \ {∅} w C(2N , 2N ), jest borelowskie.
Nie będę dowodził tego lematu, gdyż wymagałoby to dokładnego przyjrzenia się strukturze zbioru
Cantora co, ze względu na uzupełniający charakter tego rozdziału, jest niecelowe. Ograniczę się jedynie do uwagi, że jako funkcje fK można wykorzystać retrakcje zbioru Cantora na zbiory K, opisane
w książce [Ku2] Rozdział XVI §9.
Lemat 7.2. Dla dowolnej funkcji h ∈ C(2N , 2N ) niech Kh oznacza zbiór jej wartości. Wówczas przekształcenie T : C(2N , 2N ) → V określone formułą T (h) = {f ◦ h : f ∈ C(Kh )} jest borelowskie.
27
ROZDZIAŁ 7. INNY WARIANT DOWODU TWIERDZENIA ??
28
Istotnie, rodzina zbiorów borelowskich w V jest σ-ciałem generowanym przez zbiory postaci
{L ∈ V : L ∩ U = ∅}, gdzie U jest otwarte w C(2N ) (patrz część 2.2). Łatwo sprawdzić, że przeciwobrazy takich zbiorów przy przekształceniu T są otwartymi podzbiorami przestrzeni C(2N , 2N ).
Lematy 7.1, 7.2, 4.3 oraz 4.5 pozwalają nam rozważać funkcję borelowską
ϕ : K(2N ) \ {∅} → V,
(7.1)
przyporządkowującą każdemu niepustemu zwartemu podzbiorowi K kostki Hilberta domkniętą podprzestrzeń liniową przestrzeni C(2N ) izomorficzną z C(K). Funkcja ta przejmuje rolę przekształcenia
Φ, określonego w Rozdziale 4, pozwala bowiem związać w regularny sposób elementy hiperprzestrzeni
K(2N ) z elementami przestrzeni V.
Zakończę ten rozdział dowodem faktu, który pozwala na powtórzenie argumentów użytych w zamieszczonym w Rozdziale 5 dowodzie bez żadnych istotnych zmian.
Lemat 7.3. Zbiór
= {(L, K) ∈ V × K(2N ) : L jest izomorficzne z C(K)}
R
(7.2)
jest analityczny w V × K(2N ).
Dowód. Rozważmy zbiór S ⊂ K(2N ) × V × V trójek (K, H, L) spełniających warunki:
i) K = ∅,
ii) H = ϕ(K), gdzie ϕ : K(2N ) \ {∅} → V jest opisane w (7.1),
iii) H jest izomorficzne z L.
Tak określony zbiór S jest analityczny w K(2N ) × V × V jako przecięcie dwóch zbiorów analitycznych:
S1 = {(K, H, L) ∈ K(2N ) × V × V : H = ϕ(K)}
oraz
S2 = {(K, H, L) ∈ K(2N ) × V × V : H jest izomorficzne z L}.
Analityczność zbioru S1 wynika z borelowskości przekształcenia ϕ, natomiast analityczność S2 z Twierdzenia 2.3.1.
Niech π : K(2N ) × V × V → V × K(2N ) będzie rzutem na ostatnią i pierwszą współrzędną, to zna = π(S). Dowodzi to
czy π(K, H, L) = (L, K). Wówczas przekształcenie π jest borelowskie oraz R
analityczności zbioru R.
Bibliografia
[B-P]
C. Bessaga, A. Pełczyński Spaces of continuous functions (IV) (On isomorphical classification
of spaces of continuous functions), Studia Mathematica, 19(1960), 53–62.
[Bo]
B. Bossard, Codages des espaces de Banach séparables. Familles analytiques ou coanalytiques
d’espaces de Banach, C. R. Acad. Sci. Paris, t.316, Série I (1993), 1005–1010.
[CGP] J. Chaber, G. Gruenhage, R. Pol, On a perfect set theorem of A. H. Stone and N. N. Lusin’s
constituents, Fundamenta Mathematicae 148(1995), 309–318.
[Ch-P] J. Chaber, R. Pol, On the Cantor-Bendixson derivative, resolvable ranks and perfect set theorems of A. H. Stone, Israel Journal of Mathematics 20(1999), 1–21.
[Eff]
E. G. Effros, Convergence of closed subsets in a topological space, Proceedings of the American
Mathematical Society 16(1965), 929–931.
[Ka]
V. G. Kanovei, On uncountable sequences of sets determined by sieve operations, Doklady
Akademii Nauk SSSR 257(1981), 808–812.
[Ke]
A. S. Kechris, Classical descriptive set theory, Springer–Verlag, New York, 1995.
[Ku1] K. Kuratowski, Topology, Vol. I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966.
[Ku2] K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1972.
[K-M] K. Kuratowski, A. Mostowski Teoria mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa,
1978.
[Se]
Z. Semadeni, Banach spaces of continuous functions, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1971.
29