Technologie informacyjne – Wykład VII-IX

Transkrypt

Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
A. Matuszak
19 marca 2013
A. Matuszak
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Wykład VII
Algorytm
Pseudokod
Wykład VIII
Rekurencja
Wykład IX
Dobry algorytm
Złożoność algorytmu
Rząd zbieżności algorytmu
A. Matuszak (2)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
Algorytm
Gotowanie jajek na miękko
I
weż czysty garnek
I
włóż potrzebną ilość jajek
I
nalej zimnej wody, tak aby przykryła jajka
I
postaw na kuchence
I
zaczekaj, aż woda zcznie wrzeć
I
od momentu wrzenia gotuj jeszcze 2.5 minuty
I
wyjmij jajka, ochłodź w zimnej wodzie
I
jajka są gotowe do jedzenia
A. Matuszak (3)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
Ciąg instrukcji, operacji
weź czysty garnek
2: włóż potrzebną ilość jajek
3: nalej zimnej wody, tak aby przykryła jajka
4: . . .
1:
∆ ←− b 2 −√4ac
∆
2: x1 ←− −b−
2a
1:
x2 ←−
4: . . .
3:
√
−b+ ∆
2a
...
2: Znajdź najmniejszy pierwiastek równania kwadratowego
3: . . .
1:
A. Matuszak (4)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
Schemat Hornera
an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 =
(. . . ((an x + an−1 ) x + an−2 ) x + · · · + a1 ) x + a0
A. Matuszak (5)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
Wyszukiwanie binarne
Zgadnij liczbę z przedziału 1...100
A. Matuszak (6)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
Za dużo – za mało (bisekcja)
√
3 =?
12 = 1 < 3 za mało, 22 = 4 > 3 za dużo
√
1< 3<2
połowa: 1+2
= 1.5,
1.52 = 2.25 < 3 za mało
√ 2
1.5 < 3 < 2
1.5+2
= 1.75, 1.752 = 3.0625 > 3 za dużo
2
√
1.5 < 3 < 1.75
1.5+1.75
= 1.625, 1.6252 = 2.64.. < 3 za mało
2
√
1.625 < 3 < 1.75
1.625+1.75
= 1.6875, 1.68752 = 2.847.. < 3 za mało
2
√
1.6875 < 3 < 1.75
1.6875+1.75
= 1.71875, . . . ....
2
A. Matuszak (7)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
Sortowanie
51 5 77 35 12 15
Jedynie dwie wartości są widoczne – możliwe są różne strategie
(algorytmy)
Sortowanie proste (min):
51 5 X X X X
X 5 77 X X X
X 5 X 35 X X
X 5 X X 12 X
X 5 X X X 15
5 51 77 35 12 15
A. Matuszak (8)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
Sortowanie
I
proste
[ 151 5 77 35 12 15 ]
[ 5 k 151 77 35 12 15 ]
I
przez scalanie
[ 5 12 k 77 35 151 15 ]
A. Matuszak (9)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
————————————————————
A. Matuszak (10)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
Sito Eratostenesa
1,
1,
1,
1,
2,
2
2,
2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
, 3, 4 , 5, 6 , 7,
3 , 4 , 5, 6 , 7,
3, 4 , 5 , 6 , 7,
10, 11, 12, 13, 14, 15
8 , 9, 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15
8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15
8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15
A. Matuszak (11)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
Zapis algorytmu: pseudokod
A. Matuszak (12)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
Instrukcja warunkowa
1:
2:
3:
4:
5:
6:
∆ ←− b 2 − 4ac
if ∆ < 0 then
brak pierwiastków rzeczywistych
end if
if ∆ ≥ 0 then √
∆
x1 ←− −b−
2a
x2 ←−
8: end if
7:
√
−b+ ∆
2a
A. Matuszak (13)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
Pętle
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
while || limx→0 f (x)||∞ ≥ do
...
end while
...
repeat
...
until warunek
...
for i = 1 do n co 5 do
...
end for
A. Matuszak (14)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
27
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
Wyszukiwanie binarne(d,g,s)
while g − d > 0 do
p ←−(g+d)/2
if p > s then
g ←−p
else
d ←−p
end if
end while
[1 5 17 35 62 151]
A. Matuszak (15)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
while warunek do
...
if przypadek A then
...
else
...
repeat
...
until kryterium
...
end if
end while
...
for i = 1 do n co 5 do
...
end for
A. Matuszak (16)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Algorytm
Pseudokod
Algorytm Euklidesa (NWD)
1:
Euklides(a,b)
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
r ←−(a mod b)
while r > 0 do
a ←−b
b ←−r
r ←−(a mod b)
end while
Wynik: b
A. Matuszak (17)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Rekurencja
Algorytmy rekurencyjne
A. Matuszak (18)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Rekurencja
Rekurencja (Rekursja)
Rekurencja albo rekursja (ang. recursion, z łac. recurrere, przybiec
z powrotem) to w programowaniu i w matematyce odwoływanie się
funkcji (sformułowania) do samej siebie.
A. Matuszak (19)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Rekurencja
Matematyka
Ciąg geometryczny
Silnia
xn = k · xn−1
n! = 1 · 2 · · · · · n − 1 · n
n! = n · (n − 1)!
A. Matuszak (20)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Rekurencja
Programowanie rekurencyjne
function y=silnia(n)
if (n==0)|(n==1))
y=1;
else
y= n*silnia(n-1);
endif
endfunction
A. Matuszak (21)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Rekurencja
xn




x0
x −p
n
x =
x 2p+1



x 2p
wykładnik
potęgi
1
10
100
1000
10000
A. Matuszak (22)
=
1
1
=
xp
= x · x 2p
= (x · x)p
liczba
mnożeń
2
6
10
16
19
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Rekurencja
Stos
25
81
42
2 · 24
A. Matuszak (23)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Rekurencja
Ciąg Fibonacciego

 F (0) = 1
F (1) = 1
F (n) =

F (n) = F (n − 1) + F (n − 2)
A. Matuszak (24)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
function y=ifibb(n)
foo=1;
fo=1;
f=1;
for i=2:n
f=foo+fo;
foo=fo;
fo=f;
endfor
y=f;
endfunction
Rekurencja
function y=rfibb(n)
if (n<2)
y=1;
else
y=rfibb(n-1)+rfibb(n-2);
endif
endfunction
A. Matuszak (25)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Rekurencja
Drzewo wywołań
A. Matuszak (26)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Rekurencja
Każde zadanie sformułowne rekurencyjnie można
zaprogramować iteracyjnie i na odwrót
A. Matuszak (27)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Dobry algorytm
„Dobry” algorytm
A. Matuszak (28)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
A. Matuszak (29)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
A. Matuszak (30)
Dobry algorytm
Dobry algorytm
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Dobry algorytm
Cechy dobrego algorytmu
niezawodny, zbieżny powinien zawsze dawać wyniki niezależnie od
danych
stabilny (numerycznie) zaburzenia w procesie rozwiązania (np.
zaokrąglenia) nie powinny wpływać na wynik
końcowy
szybki wynik powinien być uzyskiwany jak najszybciej
A. Matuszak (31)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Dobry algorytm
Zadanie z kulami
Dane jest n kul identycznych co do wyglądu, z których dokładnie
jedna lżejsza niż pozostałe. Mamy do dyspozycji wagę szalkową.
Znaleźć lżejszą kulę używając najmniejszej możliwej liczby ważeń.
A. Matuszak (32)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Dobry algorytm
Iloczyn skalarny wektorów
a2
[a1
...
an ] · [b1
b2
...
bn ] T
n mnożeń i n − 1 dodawań
A. Matuszak (33)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Dobry algorytm
Iloczyn macierzy przez wektor

a11
 a21

 ...
an1
a12
a22
...
an2
...
...
...
...
n2 mnożeń i (n − 1)n dodawań
A. Matuszak (34)
 
x1
a1n

a2n 
 ·  x2
...   ...
xn
ann




Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Dobry algorytm
Schemat Hornera (znowu)
an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x +a0
|{z}
|{z} | {z }
|{z}
n mnożeń
2 mnożenia
n-1 mnożeń
n + (n − 1) + · · · + 2 + 1 =
1 2
2 (n
1 mnożenie
1
1
(n + 1)n
= n2 + n
2
2
2
+ n) mnożeń i n dodawań
(. . . ((an x + an−1 ) x + an−2 ) x + · · · + a1 ) x + a0
n mnożeń i n dodawań
A. Matuszak (35)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Dobry algorytm
Złożoność obliczeniowa (I)
Rząd złożoności:
f (n) = O(g (n))
istnieje stała c : f (n) ≤ cg (n)
1 2
2n
+ 32 n −→ O(n2 )
Asymptotyczność oszacowania!!
(algorytm Strassena mnożenia macierzy O(n log n))
A. Matuszak (36)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Dobry algorytm
(Czasowa) Złożoność obliczeniowa (II)
Dominująca operacja
I
pesymistyczna złożoność czasowa
I
oczekiwana złożoność czasowa
A. Matuszak (37)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Dobry algorytm
T (1) = 1
T (n) = T ( n2 ) + c
Niech n = 2k (oszacowanie)
T (n) = T (2k ) = T (2k−1 )+c = T (2k−2 )+c +c = · · · = T (20 )+kc
k = log2 n
T (n) = c log2 n + 1
O(log10 n)
A. Matuszak (38)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Dobry algorytm
Popularne rzędy
log n zadanie rozmiaru n zostaje sprowadzone do zadania
rozmiaru n/2 plus pewna stała liczba działań
n złożoność liniowa (schemat Hornera, przeszukiwanie
ciągu)
n log n złożoność liniowo–logarytmiczna (mergesort)
n2 złożoność kwadratowa (rozwiązywanie układu
równań)
n3 n4 . . .np złożoności wielomianowe (odwracanie macierzy)
2n złożoność wykładnicza
n! złożoność wykładnicza n!
A. Matuszak (39)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Dobry algorytm
A. Matuszak (40)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Dobry algorytm
Dwa ciągi w postaci rekurencyjnej:
2
1. xn+1 = − xn5+2
xn2 +5xn +2
2xn +5
2. xn+1 = xn −
=
xn2 −2
2xn +5
Dla początkowego x0 = 0 oba zmierzają do tej samej granicy:
√
−5 + 17
g = lim xn =
≈ −0.43847187
n→∞
2
A. Matuszak (41)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
n
0
1
2
3
4
5
6
7
..
15
16
17
18
19
20
2
xn+1 = − xn5+2
0
-0.4
-0.4320000000000001
-0.4373248
-0.438250596139008
-0.4384127170032392
-0.4384411420860325
-0.4384461270147409
..
-0.4384471871902209
-0.4384471871910033
-0.4384471871911406
-0.4384471871911647
-0.4384471871911688
-0.4384471871911695
A. Matuszak (42)
Dobry algorytm
2
xn −2
xn+1 = 2x
n +5
0
-0.4
-0.4380952380952381
-0.4384471571538546
-0.4384471871911695
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
n
0
1
2
3
4
5
6
7
..
15
16
17
18
19
20
en = g − xn
-4.384e-01
-3.845e-02
-6.447e-03
-1.122e-03
-1.966e-04
-3.447e-05
-6.045e-06
-1.060e-06
..
-9.489e-13
-1.664e-13
-2.914e-14
-5.052e-15
-8.882e-16
-1.665e-16
Dobry algorytm
en = g − xn
-4.384e-01
-3.845e-02
-3.519e-04
-3.004e-08
-1.665e-16
A. Matuszak (43)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Dobry algorytm
Rząd zbieżności algorytmu (II)
Ciąg przybliżeń rozwiązania:
x0 , x1 , x2 . . . −→ r
błąd rozwiązania:
en = |xn − r |
zbieżność kwadratowa:
en+1 ≤ C · en2
zbieżność liniowa:
en+1 ≤ C · en1
A. Matuszak (44)
Wykład VII
Wykład VIII
Wykład IX
Dobry algorytm
Koszt
flops: Floating Point OperationS (Floating Points Operations per
Second)
ciąg 1:
ciąg 2:
20 × 3 = 60 flops
4 × 5 = 20 flops
A. Matuszak (45)

Technologie informacyjne – Wykład VII-IX

Transkrypt

Podobne dokumenty

BD21

BOGUS£AW SCHAEFFER

Algorytmy online Lista 1

Konspekt lekcji w klasie VI – przedmiot INFORMATYKA

ASTRA TECH SP. Z O.O. oraz POLSKIE TOWARZYSTWO

Hasło zlozonosc

przejdź - Studia Doktoranckie - Akademia Morska w Szczecinie

Pobierz PDF - e-Swoi