1 Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 22

Odpowiedzi i schematy oceniania
Arkusz 22
Zadania zamknięte
Numer
Poprawna
Wskazówki do rozwiązania
zadania odpowiedź
1.
D.
( 10 − x )(ax + b) = ax 10 + b 10 − ax 2 − xb = − ax 2 + (a 10 − b) x + b 10
− ax 2 + (a 10 − b) x + b 10 = − 10 x 2 + 10 10
WyraŜenia po obu stronach równości przyjmują te same wartości
liczbowe, jeŜeli współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej są
równe.
− a = − 10
a = 10
a 10 − b = 0
10 ⋅ 10 − b = 0
b = 10
2.
A.
Wykresem funkcji f jest parabola o ramionach skierowanych ku górze i
wierzchołku w punkcie W = (0, 3 ) .
Wykresem funkcji g jest prosta y = sin 60 =
3
. Przecina ona oś OY w
2

3
 , leŜącym poniŜej punktu P . Wartości funkcji f są
punkcie P =  0,

2


większe od wartości funkcji g dla kaŜdej liczby rzeczywistej x .
f ( x) > g ( x)
3.
C.
1
– część pracy wykonanej przez Marka w ciągu jednego dnia
a
3 1
3
2⋅ ⋅ =
– część pracy wykonywana przez obie panie w ciągu dnia
4 a 2a
1 3
5
+
=
– część pracy wykonanej w ciągu jednego dnia przez
a 2a 2 a
wszystkie trzy osoby
1
1
– część pracy do wykonania jednego dnia
p
1
5
=
p 2a
p=
4.
C.
2a
5
1
1
1
1
k = 1 ⋅ log10 + log100 + log1000 + log10000 + log100000
2
3
4
5
k = 1⋅1 +
5.
D.
1
1
1
1
⋅ 2 + ⋅3 + ⋅ 4 + ⋅5 = 1+1+1+1+1 = 5
2
3
4
5
KaŜdy z wyrazów wielomianu
W ( x) = x10 + 10 x 8 + 8 x 6
dla kaŜdej liczby rzeczywistej przyjmuje wartość dodatnią lub 0 (parzysta
potęga liczby jest nieujemna).
Suma liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, zatem wartość liczbowa
wielomianu dla kaŜdej liczby rzeczywista jest nieujemna.
6.
B.
Po 1 cięciu otrzymaliśmy 2 kartki.
Po 2 cięciu otrzymaliśmy 3 kartki.
Po 3 cięciu otrzymaliśmy 4 kartki.
………………
……………….
Po n − tym cięciu otrzymujemy n + 1 kartek.
n + 1 = 100
n = 99
7.
D
Jeśli prosta y = ax + b przecina tylko jedną oś układu współrzędnych, to
a = 0 . Prosta y = b jest prostopadła do osi OY . Zatem prosta doń
prostopadła będzie równoległa do osi OX .
8.
A
x – cena towaru przed wprowadzeniem podatku VAT
(22 − 7)% x = 5,55
15
x = 5,55
100
15 x = 555
2
x = 37 (zł)
9.
C.
Długość podstawy trójkąta ABC ( | AB | ) jest równa długości podstawy
trójkąta ABD . Wysokość poprowadzona do tej podstawy jest w kaŜdym z
trójkątów równa 4 .
Trójkąty, które mają równe podstawy i wysokości, mają równe pola.
10.
D.
x2 − π = 0
( x − π )( x + π ) = 0
x= π
lub x = − π
Liczby
11.
B.
π i − π to liczby niewymierne.
JeŜeli α jest kątem ostrym i sin α = cos α , to α = 45 . Trójkąt jest zatem
równoramienny.
a – długość ramienia trójkąta
a 2 + a 2 = 42
2a 2 = 16
a2 = 8
a=2 2
Obwód trójkąta: 2 2 + 2 2 + 4 = 4 2 + 4 = 4(1 + 2 ) .
12.
D.
Wzór funkcji g : g ( x) = ( x − 1) 3 + 7
g (−1) = (−1 − 1) 3 + 7 = −8 + 7 = −1
a+2
= −1
2
a + 2 = −2
a = −4
13.
B.
w = sin α − 1 = 1 − sin α , bo 0 < sin α < 1 , gdy α jest kątem ostrym
Stąd:
− 1 < − sin α < 0
− 1 + 1 < 1 − sin α < 0 + 1
0 < 1 − sin α < 1,
0 < w < 1.
14.
C.
f ( x) = ( x − 1)( x + 1) = x 2 − 1
g ( x) = (1 − x)(1 + x) = 1 − x 2 = −( x 2 − 1) = − f ( x)
3
Wykresy są symetryczne względem osi OX .
15.
A.
Określamy zdarzenia:
M – Maria zda egzamin z matematyki,
Z – Maria zda egzamin z języka polskiego.
P( M ) = 0,3
P( M ∪ Z ) = 0,72
P( M ∩ Z ) = 0,18
P( Z ) = P(M ∪ Z ) + P( M ∩ Z ) − P( M )
P( Z ) = 0,72 + 0,18 − 0,3 = 0,6
16.
B.
a = 3 + 3 2 + 33 + 3 4 + 35
Składniki sumy to wyrazy ciągu geometrycznego o ilorazie 3 i pierwszym
wyrazie równym 3 .
Obliczamy sumę pięciu wyrazów tego ciągu.
S=
1− q5
⋅a 1
1− q
S=
1 − 35
− 242
⋅3 =
⋅ 3 = 363
1− 3
−2
Liczba a jest liczbą nieparzystą, więc nie moŜe być podzielna przez liczbę
parzystą.
a = 363 = 11 ⋅ 33 – liczba podzielna przez 11.
17.
D
an = S n − S n −1 =
n − 1 n − 1 − 1 n − 1 n − 2 (n − 1)(n − 1) − n(n − 2)
−
=
−
=
=
n
n −1
n
n −1
n(n − 1)
n 2 − 2n + 1 − n 2 + 2n
1
=
n(n − 1)
n(n − 1)
18.
C.
Promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności, zatem
∠ABS = ∠ACS = 90 .
Suma kątów utworzonego czworokąta ABSC jest równa 360 .
Stąd:
80 + 90 + 90 + ∠BSC = 360 ,
∠BSC = 100 .
19.
A.
Oznaczmy: A, B, C , D – wierzchołki prostokąta, który jest przekrojem
4
osiowym walca, S – punkt przecięcia przekątnych,
h = BC = AD .
Trójkąt BSC jest trójkątem równoramiennym, w którym jeden z kątów
ma miarę 60 . Jest to zatem trójkąt równoboczny o boku h . Zatem
przekątna prostokąta jest równa 2h . Trójkąt ADC jest trójkątem
prostokątnym, w którym przeciwprostokątna jest równa 2h , a jedna z
przyprostokątnych jest równa h .
DC = (2h) 2 − h 2 = 3h 2
2
DC = h 3
Promień jest połową boku DC .
r=
h 3
2
Pole podstawy:
2
h 3
3πh 2
 =
.
πr = π ⋅ 

4
 2 
2
20.
B.
h – wysokość ostrosłupa
270 =
1
⋅ 81 ⋅ h
3
h = 10
a – krawędź podstawy
a 2 = 81
a=9
c – połowa przekątnej podstawy
c=
9 2
2
α – kąt między wysokością a krawędzią boczną
9 2
c
9 2
tgα = = 2 =
h
10
20
Zadania otwarte
5
Numer
Modelowe etapy rozwiązania
zadania
21.
Liczba
punktów
Obliczenie, o ile wyŜej metrów znalazła się kokardka po podniesieniu
1
szlabanu:
h
= sin 60 ,
4
h = 4⋅
3
=2 3.
2
Obliczenie, na jakiej wysokości nad ziemią znajduje się kokardka:
1
h + 1 = 2 3 + 1 ≈ 3,5 + 1 = 4,5 .
Kokardka znajduje się na wysokości około 4,5 m nad ziemią.
22.
Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i obliczenie y oraz
1
róŜnicy r ciągu:
3+ y
,
2
− 2 y = 3 + y,
−y=
y = −1,
r = 3 − [− (−1)] = 3 − 1 = 2 .
Obliczenie x :
1
x = −1 − 2 = −3 .
23.
Zapisanie nierówności w postaci iloczynowej i rozwiązanie jej:
1
( x − 5)( x + 5) < 0 ,
−5 < x < 5.
Wypisanie liczb całkowitych naleŜących do zbioru rozwiązań
1
nierówności:
− 4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4 .
24.
Obliczenie a10 :
a) a 10 =
10 − 2 8
=
10 + 3 13
Obliczenie n :
b)
1
1
n−2 4
=
n+3 9
6
9n − 18 = 4n + 12
5n = 30
n=6
25.
ZauwaŜenie, Ŝe mediana trzech liczb, to liczba środkowa:
1
a,4, b - liczby, których mediana jest równa 4 .
Zapisanie i przekształcenie równania, wynikającego z treści zadania:
1
a+4+b
= 5,
3
a + b + 4 = 15,
a + b = 11.
26.
Przekształcenie układu równań i otrzymanie równania kwadratowego:
1
x 2 + 1 = y
,

x + y = 7
 x 2 + 1 = y
,

 x + x 2 + 1 = 7
 x 2 + 1 = y
.
 2
 x + x − 6 = 0
Obliczenie wyróŜnika trójmianu kwadratowego i określenie jego znaku:
1
∆ = 1 + 24 = 25 > 0 .
Obliczenie pierwiastków równania:
x1 =
1
−1− 5
−1+ 5
= −3, x 2 =
= 2.
2
2
Znalezienie rozwiązań i podanie ich liczby:
1
x = −3, y = 10 lub x = 2, y = 5 .
W zbiorze liczb całkowitych układ równań ma dwa rozwiązania.
27.
Określenie promienia półsfery: R = 6 m, promienia walca: r = 6 m,
1
wysokości walca h = (10 − 6)m = 4 m.
Obliczenie pola powierzchni bocznej walca:
1
2πrh = 2π ⋅ 6 ⋅ 4 = 48π .
Obliczenie pola powierzchni półsfery:
1
4πR 2
= 2π ⋅ 6 2 = 72π .
2
7
Obliczenie pola powierzchni dachu:
1
48π + 72π = 120π ≈ 120 ⋅ 3,2 = 384 (m2).
Uwaga – określamy przybliŜenie liczby π z nadmiarem (aby nie
zabrakło blachy).
Na pokrycie dachu potrzeba około 384 m2 blachy.
28.
Określenie długości promieni okręgu opisanego i wpisanego w kwadrat
1
w zaleŜności od długości boku kwadratu:
a – długość boku kwadratu,
r=
1
a – promień okręgu wpisanego w kwadrat,
2
R=
a 2
– promień okręgu opisanego na kwadracie.
2
Obliczenie pola koła wpisanego w kwadrat:
a
2
2
π  =
1
πa 2
4
Obliczenie pola koła opisanego na kwadracie.
1
2
a 2
a 2π
 =
.
π 

2
2


Zapisanie równania, wynikającego z treści zadania:
1
a 2π πa 2
−
= 4π .
2
4
Obliczenie długości boku kwadratu:
1
2πa 2 − πa 2 = 16π ,
πa 2 = 16π ,
a 2 = 16,
a = 4 , bo a > 0 .
Obliczenie pola kwadratu:
1
a 2 = 16 .
29.
ZauwaŜenie, Ŝe jadąc ku końcowi karawany posłaniec przebywa drogę
1
długości 6t km, o 4t km krótszą niŜ długość karawany.
Zapisanie i przekształcenie odpowiedniego równania:
1
s km – długość drogi, jaką przebywa posłaniec,
8
t h – czas, w ciągu którego posłaniec jedzie ku końcowi karawany,
T h – czas, w ciągu którego posłaniec jedzie od końca karawany ku jej
przodowi,
6t = 1 − 4t ,
10t = 1 ,
t=
1
.
10
ZauwaŜenie, Ŝe w drodze powrotnej posłaniec przebywa drogę długości
1
6T km , o 4T km dłuŜszą niŜ długość karawany.
Zapisanie i przekształcenie odpowiedniego równania:
1
6T = 1 + 4T ,
2T = 1,
1
T= .
2
Obliczenie czasu, w ciągu którego posłaniec pokonuje drogę tam i z
1
powrotem:
t +T =
1 1 6
+ =
(h),
10 2 10
6
godziny to 36 minut.
10
Obliczenie długości pokonywanej przez posłańca drogi:
s=
1
6
⋅ 6 = 3,6 (km).
10
Posłanie przebywa drogę długości 3,6 km w ciągu 36 minut.
9