0 0 1 1 0 1 1 1

Podstawy Informatyki
Wykład 2
Reprezentacja liczb w komputerze
Jednostki informacji
Bit (ang. bit) (Shannon, 1948) Najmniejsza ilość informacji
potrzebna do określenia, który z dwóch równie
prawdopodobnych stanów przyjął układ.
Jednostka informacji (1b).
Bajt (ang. byte) (Shannon, 1948) Najmniejsza adresowalna
jednostka informacji pamięci komputerowej, składająca się z
bitów.
Zazwyczaj przyjmuje się, że 1B = 8b (oktet), ale nie jest to
reguła!
Najbardziej znaczący bit (bajt) - bit (bajt) o największej wadze
(w zapisie z lewej strony).
Najmniej znaczący bit (bajt) - bit (bajt) o najmniejszej wadze
(w zapisie z prawej strony).
Prefiksy SI
Nazwa
(symbol)
Standard SI
dziesiętny dwójkowy Różnica,
%
kilobit (kb)
103
210
2.4
megabit (Mb)
106
220
4.86
gigabit (Gb)
109
230
7.37
terabit (Tb)
1012
240
9.95
petabit (Pb)
1015
250
12.59
exabit (Eb)
1018
260
15.29
zettabit (Zb)
1021
270
18.06
yottabit (Yb)
1024
280
20.89
Prefiksy
binarne
Nazwa
(symbol)
kibibit (Kibit)
mebibit (Mibit)
gibibit (Gibit)
tebibit (Tibit)
pebibit (Pibit)
exbibit (Eibit)
zebibit (Zibit)
yobibit (Yibit)
Sposoby zapisu danych w pamięci
•Pamięć w komputerach adresowana jest (najczęściej)
liniowo.
•Jak zapisać wielobajtowe dane pod danym adresem?
•W jakiej kolejności przesyłać kolejne bajty?
4A3B2C1D(h)
Big-endian
Najbardziej znaczący bajt jest umieszczany jako pierwszy.
99
100
101
102
103
104
...
4A
3B
2C
1D
...
np. procesory: SPARC, Motorola 68000, PowerPC.
Little-endian
Najmniej znaczący bajt jest umieszczany jako pierwszy.
99
100
101
102
103
104
...
1D
2C
3B
4A
...
np. procesory: Intel x86, AMD64.
Systemy pozycyjne
•dwójkowy,
•ósemkowy,
•dziesiętny (Indie → Arabowie → Europa),
•dwunastkowy (Babilonia, Rzym, średnowieczna Europa,
W.Brytania, USA – szyling=12 pensów, stopa=12cali, cal=12
linii, linia =12 punktów),
•szesnastkowy,
•phi-base system (wsp. złotego podziału jako podstawa).
Systemy pozycyjne
W pozycyjnych systemach liczbowych ten sam symbol
(cyfra) ma różną wartość w zależności od pozycji, którą
zajmuje w zapisie danej liczby.
4
x = c 4 c3c 2 c1c0 =
∑c p
i
i
i=0
p — podstawa systemu pozycyjnego.
Do zapisu liczby służą cyfry ci (których jest p) ustawiane na
kolejnych pozycjach.Pozycje numerujemy od 0 zaczynając
od strony prawej zapisu.
Każda pozycja posiada swoją wagę równą pi .
Wartość liczby obliczamy sumująć iloczyny cyfr przez wagi
ich pozycji.
Systemy pozycyjne – zapis liczby ułamkowej
.
x = c n −1 ... c 2 c1c0 c −1c − 2 ... c − m =
n −1
i
c
p
∑ i
i=− m
•Część ułamkowa liczby — m pozycji.
•Część całkowita liczby — n pozycji.
•Wartość liczby obliczamy sumując iloczyny cyfr przez
wagi ich pozycji.
System dziesiętny
Cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Przykład:
55.8125 = 5*101+5*100+8*10-1+1*10-2+2*10-3+5*10-4
•System ten jest wygodny dla człowieka, ale nie dla
maszyny.
•Reprezentacja cyfry dziesiętnej cyfra zajmuje cztery bity
pamięci komputera.
•W ten sposób marnujemy pamięć — niektóre kombinacje
(np. 1111) są niewykorzystane.
System dwójkowy (binarny)
Gottfried Leibnitz, XVIIw.
Cyfry: 0, 1.
Przykład:
110111.11012 = 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20 .
+ 1*2-1 + 1*2-2 + 0*2-3 + 1*2-4
•System ten jest wygodny maszyny.
•Reprezentacja cyfry binarnej zajmuje dokładnie jeden bit.
•n-cyfrowa liczba binarna bez znaku zajmuje n bitów w
pamięci komputera.
Konwersja kodu dziesiętnego na dwójkowy
55.8125
Część ułamkową liczby
Część całkowitą liczby
dzielimy sukcesywnie przez mnożymy sukcesywnie przez 2 i
bierzemy część całkowitą
2 i bierzemy reszty
55
1
27
13
6
3
1
1
1
0
1
1
55(10)=110111(2)
8125
1
1
0
1
625
25
5
0
0.8125(10)=0.1101(2)
55.8125(10)=110111.1101(2)
Konwersja kodu dziesiętnego na dwójkowy
Nie każdy ułamek skończony w systemie dziesiętnym jest
ułamkiem skończonym w systemie dwójkowym!
0.1(10)=?
1
0 2
0 4
0 8
1 6
1 2
0 4
0 8
0.1(10)=0.000110011...(2)=
0.0(0011)
1 6
1 2
... ...
System szesnastkowy
•Cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
•System łaczy zalety systemu binarnego (dobre wykorzystanie pamięci)
oraz dziesiątkowego (zwięzłość).
•Reprezentacja cyfry szesnastkowej zajmuje 4 bity:
Cyfra
(10)
(2)
Cyfra
(10)
(2)
0
0 0
8
8 1000
1
1 1
9
9 1001
2
2 10
A
10 1010
3
3 11
B
11 1011
4
4 100
C
12 1100
5
5 101
D
13 1101
6
7
6 110
7 111
E
F
14 1110
15 1111
Przykład: 37.D = 3*161 + 7*160 + D*16-1
Reprezentacja liczb całkowitych
Założenie: liczba całkowita ze znakiem jest zapisywana w
słowach n-bitowych. (Dla przykładu weźmy n = 8).
00110111
znak (najbardziej znaczący bit)
moduł liczby (7 bitów).
Liczba nieujemna
jest kodowana jako: znak 0 i kod binarny modułu tej liczby.
np. liczba 55 w przykładzie powyżej.
Liczba ujemna
jest kodowana jako: znak 1 i kod binarny modułu tej liczby.
Liczba -55
10110111
bo 0110111(2) =55(10) =|-55|
+ Sposób wygodny dla człowieka.
– Przy operacjach arytmetycznych trzeba porównać znaki.
– Reprezentacja liczby 0: 00000000 oraz 10000000
(redundancja).
Zakres liczb: [-2n-1 + 1, 2n-1 - 1] (2n - 1 liczb).
Kod uzupełnień do 1 (U1)
Liczba ujemna x (analogicznie przeciwna) jest kodowana na
jeden z dwóch (równoważnych) sposobów:
negujemy (bitowo) kod binarny modułu x
albo bierzemy kod binarny liczby 2n -1 +x.
Sposób 2: liczba -55
Sposób 1: liczba -55
1) Kod binarny modułu (=55):
1) Kod binarny liczby
00110111
8 -1 -55 =256 -56 =200:
2
2) Negacja bitowa:
11001000
11001000
– Sposób mało wygodny dla człowieka.
+ Łatwe operacje arytmetyczne.
– Reprezentacja liczby 0: 00000000 oraz 11111111.
Zakres liczb: [-2n-1 + 1, 2n-1 - 1] (2n - 1 liczb).
Zasady dodawania
1 Liczby zapisane w kodzie U1 dodajemy zgodnie z zasadami
dodawania dwójkowego, ale
2 jeżeli wystąpi przeniesienie poza bit znaku, to do wyniku
należy dodać 1.
Bez przeniesienia
1111
0 1 0 0 1 1 0 1 (77)
+ 0 0 1 0 1 0 1 1 (43)
0 1 1 1 1 0 0 0 (120)
1
1
1 0 1 1 0 0 1 0 (-77)
+ 0 0 1 0 1 0 1 1 (43)
1 1 0 1 1 1 0 1 (-34)
Zasady dodawania
1 Liczby zapisane w kodzie U1 dodajemy zgodnie z zasadami
dodawania dwójkowego, ale
2 jeżeli wystąpi przeniesienie poza bit znaku, to do wyniku
należy dodać 1.
Z przeniesieniem
11
111
0 1 0 0 1 1 0 1 (77)
+ 1 1 0 1 0 1 0 0 (-43)
1111
1 0 1 1 0 0 1 0 (-77)
+ 1 1 0 1 0 1 0 0 (-43)
00100001
10000110
+00000001
+00000001
0 0 1 0 0 0 1 0 (34)
1 0 0 0 0 1 1 1 (-120)
Kod uzupełnień do 2 (U2)
Liczba ujemna x (analogicznie przeciwna) jest kodowana na
jeden z dwóch (równoważnych) sposobów:
•negujemy (bitowo) kod binarny modułu x i dodajemy 1;
•bierzemy kod binarny liczby 2n +x.
Sposób 1: liczba -55
Sposób 2: liczba -55
1) Kod binarny modułu (=55):
00110111
1) Kod binarny liczby
2) Negacja bitowa:
8 -55 =256 -55 =201:
2
11001000
3) Dodanie 1:
11001001
11001001
– Sposób mało wygodny dla człowieka.
+ Łatwe operacje arytmetyczne.
– Jedna reprezentacja liczby 0: 00000000
Zakres liczb: [-2n-1 , 2n-1 -1] (2n liczb).
Dodawanie w kodzie U2
Dodawanie w kodzie U2 odbywa się zgodnie z zasadami
dodawania dwójkowego
1
11
11
1 0 1 1 0 0 1 1 (-77)
1
0 1 0 0 1 1 0 1 (77)
+ 0 0 1 0 1 0 1 1 (43)
+ 1 1 0 1 0 1 0 1 (-43)
1 1 0 1 1 1 1 0 (-34)
1111
111
0 0 1 0 0 0 1 0 (34)
111
1 0 1 1 0 0 1 1 (-77)
+ 1 1 0 1 0 1 0 1 (-43)
1 0 0 0 1 0 0 0 (-120)
Nadmiar (integer overflow)
•Nadmiar występuje wtedy, gdy wynik działania nie mieści
się w dopuszczalnym zakresie liczb, które mogą być
zapisane w danej reprezentacji.
•Nadmiar występuje tylko przypadku dodawania liczb tego
samego znaku.
Założenie: reprezentacja 4-bitowa bez znaku.
Liczba 9 +11 = 20
1
11
1 0 0 1 (9)
1 0 1 1 (11)
1 0 1 0 0 (4)
bit nadmiaru ustawiony na 1,
przeniesienie.
Liczby ułamkowe stałoprzecinkowe
Liczba stałopozycyjna (n +m)-bitowa
00110111
posiada n bitów przeznaczonych na część całkowitą oraz
m bitów przeznaczonych na kodowanie części ułamkowej.
n −1
cn −1...c3c2c1c0 .c−1c−2 ...c−m =
∑c p
i
i =− m
Założenie: liczba bez znaku.
Wartość największa:
2n-1 + 1 – 2-m = 2n – 2-m
Wartość najmniejsza:
0+ 2-m = 2-m
i
Liczby ułamkowe stałoprzecinkowe
•Rozkład reprezentowanych wartości: równomierny.
•Błąd zaokrągleń/obcięcia (rounding error, cancellation error) =
moduł róznicy pomiędzy wartością dokładną liczby a wartością
jej reprezentacji.
błąd bezwzględny δe < 2-m
Reprezentacja liczby 0.1 za pomocą pięciu bitów ułamkowych
0.110 ≅0.000112 =3/32 =0.0937510
δe =|0.1-0.09375|=0.00625 =1/160 (błąd bezwzględny)
δe /0.1 =0.0625 =6:25%(błąd względny)
Liczby zmiennoprzecinkowe — przykłady
W wielu zagadnieniach zapis dużych lub bardzo małych liczb
w normalnej notacji pozycyjnej jest niewygodny, gdyż
wymaga sporej ilości cyfr.
Dlatego liczby takie zapisuje się w bardziej wygodny sposób:
me = 9.109 x 10-31 kg
G = 6.67 x 10-11m3kg-1s-2
NA = 6.022 x 1023mol-1
Liczby zmiennoprzecinkowe (floating-point
numbers)
Liczba zmiennoprzecinkowa
x =(-1)s · m · pc
s — znak liczby,
m — mantysa,
p — podstawa systemu,
c — cecha.
me = 9.109 x 10-31 kg
G = 6.67 x 10-11 m3kg-1s-2
NA = 6.022 x 1023 mol-1
Normalizacja liczby zmiennoprzecinkowej
Położenie przecinka w liczbie zmiennoprzecinkowej nie jest
ustalone.
273.16 = 2.7316 x 102 = 0.27316 x 103 = 27316 x 10-2
Znormalizowana liczba zmiennoprzecinkowa
to taka liczba, której mantysa spełnia zależność:
1≤ |m|<p
W systemie dwójkowym znormalizowana liczba
zmiennoprzecinkowa ma zawsze część całkowitą równą ±1.
Zatem, do zakodowania liczby zmiennoprzecinkowej
potrzeba zakodować (przyjmujemy, ze podstawa będzie
równa 2):
•znak,
•mantysę,
•cechę.
Precyzja liczb zmiennoprzecinkowych
Założenia:
mantysa: 3 bity, bez znaku, liczba stałoprzecinkowa,
przecinek po pierwszym bicie,
cecha: 3 bity bez znaku,
x.xx ·2xxx
Możliwe wartości:
0.00 0.01 0.10 0.11 1.00 1.01 1.10 1.11
000
001
010
011
100
101
110
111
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0.5
1
2
4
8
16
32
0.5 0.75 1
1.25 1.5 1.75
1
1.5 2
2.5
3 3.5
2
3
4
5
6
7
4
6
8
10
12 14
8
12 16
20
24 28
16 24 32
40
48 56
32 48 64
80
96 112
64 96 128 160 192 224
Brak wielu liczb! (np. 9, 11, 13, 15, . . . )
Precyzja liczb zmiennoprzecinkowych
Próba zakodowania liczby 9
9 =9 · 20 = 4.5 · 21 =2.25 · 22 =1.125 · 23 =(1.001 · 2011)2
Ale mamy do dyspozycji tylko format:
x:xx · 2xxx
A zatem mantysa 1.001 zostanie obcięta do 1.00 i w ten
sposób dostaniemy liczbę: (1.00 · 2011)2 =810
Mamy tu do czynienia z błędem zaokrąglenia.
Wniosek: liczba 9 wymaga większej precyzji.
Standard IEEE 754
W celu ujednolicenia reprezentacji binarnej oraz operacji
numerycznych na różnych platformach sprzętowych,
wprowadzono standard zapisu zmiennoprzecinkowego
IEEE 754 (William Kahan).
Standard ten definiuje:
•formaty reprezentacji liczb zmiennoprzecinkowych:
single-precision (32 bity),
double-precision (64bity),
single-extended precision (≥ 43 bitów)
double-extended precision (≥ 79 bitów, zazwyczaj 80 bitów),
•wartosci specjalne (np. nieskończoność, NaN),
•zmiennoprzecinkowe operacje,
•modele zaokrąglania,
•wyjątki.
Ogólny format w standardzie IEEE 754
sign(bit znaku): 0 — liczba dodatnia, 1 — liczba ujemna,
exponent (cecha): kod z nadmiarem (BIAS = 2e-1 - 1),
fraction (mantysa): liczba stałoprzecinkowa, kod U1,
pozbawiona najbardziej znaczącego bitu reprezentującego
część całkowitą — bit ten nie jest przechowywany.
Typ
zera
liczby nieznormalizowane
liczby znormalizowane
nieskończoności
NaN (nieokreślone)
Cecha
0
0
od 1 do 2e-1
2e-1
2e-1
Mantysa
0
≠0
dowolna
0
≠0
Liczby pojedynczej precyzji
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
31
23
•bit znaku: 0 — liczba dodatnia, 1 — liczba ujemna,
•cecha: (BIAS =127), zakres: -126 ÷127,
•mantysa: m =1.fraction
•Znormalizowane liczby o najmniejszym module:
±2-126 ≈±1.175494351 ·10-38
•Liczby o największym module:
±((1 - (1/2)24)2128)≈± 3.4028235 ·1038
0
Liczby podwójnej precyzji
63
52
•bit znaku: 0 — liczba dodatnia, 1 — liczba ujemna,
•cecha: (BIAS =1023), zakres: -1022 ÷1023,
•mantysa: m =1.fraction
•Znormalizowane liczby o najmniejszym module:
±2-1022 ≈±2.2250738585072020 ·10-308
•Liczby o największym module:
±(1+ (1 – 2-52)))21023≈± 1.7976931348623157 ·10308
0