Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „PIKOMAT” Finał – 17

Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „PIKOMAT”
Finał – 17 czerwca 2010 r.
KLASA IV
Zadanie 1
Zastąp litery odpowiednimi cyframi tak, aby powstało poprawne działanie.
ABC – DE = 574
Wszystkie cyfry występujące w tym działaniu są różne.
Zadanie 2
Marek napisał na papierowym pasku 10 cyfr:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Następnie pasek rozciął na cztery części, otrzymując cztery liczby. Dwie z nich dodał
i otrzymał 957, dwie pozostałe pomnożył, uzyskując wynik 5535. Jakie liczby otrzymał
Marek, rozcinając pasek papieru?
Zadanie 3
Mały Kubuś dostał od babci torebkę cukierków. Natychmiast wpadł na genialny pomysł, aby
wszystkie cukierki podzielić między swoich kolegów w celu zyskania ich przychylności.
1
Najmłodszemu z nich dał 1 cukierka i pozostałych, drugiemu koledze dał 2 cukierki
8
1
1
i pozostałych cukierków, trzeciemu dał 3 cukierki i pozostałych itp. W ten sposób
8
8
rozdzielił równo między kolegów wszystkie cukierki. Sobie oczywiście nie zostawił żadnego
cukierka. Między ilu kolegów dokonał podziału cukierków pomysłowy Kubuś i ile cukierków
dostał od babci?
KLASA V
Zadanie 1
Rozszyfruj poniższy przykład na dzielenie wiedząc, że wszystkie cyfry A, B i C są różne.
A
B
:
A
C
=
1
A
Zadanie 2
W czterech klasach piątych uczy się 118 uczniów. Wiadomo, że w klasie 5b uczy się
o 2 uczniów więcej niż w klasie 5a, w klasie 5c o 3 uczniów mniej niż w klasie 5a oraz
w klasie 5d o 3 uczniów mniej niż w klasie 5b. Ilu uczniów liczy każda z klas piątych?
Zadanie 3
Wojtek ułożył z 4 puzzli prostokątnych i 1 puzzla kwadratowego duży kwadrat (rys.). Puzzel
szary ma wymiary 7 × 4, a puzzel czerwony 8 × 5. Oblicz obwód puzzla żółtego.
4
7
8
5
KLASA VI
Zadanie 1
Wiadomo, że trójkąt ABC jest równoboczny, a trójkąt ABD prostokątny i równoramienny. Ile
wynosi miara kąta CAD? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 2
Uzupełnij brakujące mianowniki, aby powstało poprawne działanie.
1 1 1 1 1
1
1
+ + + +
+
+
=1
2 3
72 108 216
Zadanie 3
Dziś, 17 czerwca 2010 roku, są urodziny mojego dziadka. Z samego rana pobiegłem złożyć
mu serdeczne życzenia. Podczas rozmowy ze mną, dziadek zwrócił uwagę na fakt, że jego
wiek jest równy potrojonej sumie cyfr roku, w którym się urodził. W którym roku urodził się
mój dziadek? Które urodziny dzisiaj obchodzi?
KLASA I
Zadanie 1
Jasiu wypisał na tablicy wszystkie liczby dwucyfrowe, następnie skreślił dwie z nich. Marek
zauważył, że suma wszystkich liczb, bez skreślonych, jest 50 razy większa od jednej ze
skreślonych liczb. Znajdź liczby, które zostały skreślone przez Jasia.
Zadanie 2
Oblicz pole czworokąta AFBE oraz pola trójkątów BCE i BDF.
6 cm
Zadanie 3
Ktoś dowiedział się o trzech wynalazkach: pierwszy z nich daje 30% oszczędności paliwa,
drugi 45%, trzeci 25%. Postanowił on zastosować wszystkie trzy wynalazki uważając, że
uzyskana w ten sposób oszczędność paliwa wyniesie 30% + 45% + 25% = 100%. Czy tak jest
w istocie? Jaki procent oszczędności paliwa otrzyma on w rzeczywistości?
KLASA II
Zadanie 1
Prace wykopaliskowe prowadzone są w wykopie o szerokości |AB| = 8 m. Archeolodzy
przygotowujący się do pracy ustawili dwie drabiny AC i BD różnej długości, które przecinają
się na wysokości 2 m i opierają się na dole o jedną ze ścian wykopu, na górze zaś –
oczywiście o drugą (patrz rys.). Wiedząc, że drabina BD ma 10 m długości oblicz długość
drabiny AC.
D
C
E
A
F
B
Zadanie 2
Na zajęciach koła matematycznego uczniowie mieli do rozwiązania poniższe równanie:
a
b
b−a+
a
1+
b =1+ b − a ,
1
1+
a+b
2+
w którym nie sprecyzowano, która z liter oznacza niewiadomą. Kasia przyjęła, że niewiadomą
jest a, zaś Bożena przyjęła, że niewiadomą jest b. Jakie było rozwiązanie Kasi, a jakie
Bożeny?
Zadanie 3
Wyobraź sobie, że piechur, rowerzysta i motocyklista poruszają się po tej samej drodze w tym
samym kierunku i ze stałymi prędkościami. W pewnej chwili motocyklista ma do rowerzysty
1 km, a do piechura 4 km. W ciągu 6 minut motocyklista dogoni rowerzystę, a w ciągu
kolejnych 6 minut piechura. Ile minut potrzebuje rowerzysta aby dogonić piechura?
KLASA III
Zadanie 1
Na boku AB kwadratu ABCD zbudowano dwa przystające do siebie trójkąty rozwartokątne
równoramienne ABG i ABH (rys.). Wiadomo, że punkty E i F są środkami odpowiednio
boków AD i BC kwadratu oraz |GA| = |AB| = |BH| = 1. Oblicz odległość między
wierzchołkami G i H zbudowanych trójkątów.
C
D
G
H
E
F
A
B
Zadanie 2
Rowerowy rajd górski składa się z 5 odcinków o łącznej długości 53 km. Pierwszy odcinek
rajdu jest dłuższy od drugiego, drugi od trzeciego itd. Jakie są długości poszczególnych
odcinków rajdu, jeśli wiadomo, że każdy z nich ma całkowitą długość kilometrów i ostatni
odcinek jest dwukrotnie krótszy od pierwszego?
B
F (meta)
D
A (start)
C
E
Zadanie 3
Dwaj gimnazjaliści Kamil i Mateusz nawzajem przedstawiają sobie do rozwiązania różne
zadania matematyczne. Oto zadanie jakie Kamil przygotował dla Mateusza: „Rozwiąż
równanie
1 1 1
+ =
wiedząc, że x i y są liczbami naturalnymi różnymi od zera”. Kamil
x y 14
swoje rozwiązanie pokazał na zajęciach kółka matematycznego, zyskując aprobatę
nauczyciela prowadzącego zajęcia oraz uznanie kolegów, w szczególności Mateusza.
Rozwiąż i ty to równanie przedstawiając przy tym swój tok rozumowania.
Opracowanie: Jan Domaszewicz, Marek Kawałko, Katarzyna Sikora, Katarzyna Żak