Théoreme des résidus dans C2

Please cite this article as:
Grzegorz Biernat, Théoreme des résidus dans C<sup>2</sup>, Scientific Research of the Institute of Mathematics and
Computer Science, 2002, Volume 1, Issue 1, pages 19-24.
The website: http://www.amcm.pcz.pl/
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
THÉORÈME DES RÉSIDUS DANS C2
Grzegorz Biernat
Institute of Mathematics and Computer Science, Technical University of Częstochowa
Résumè. Dans cet article on propose la démonstration alternative du théorème des résidus
dans C2.
1. Le résidu à l’infini
Soit h(Y1 ,Y2 ) un polynôme dans C2. On définit
~
X 
~
~
1 
deg h  X
deg h  1

h ( X 1 , X 2 ) = X 1 h
, 2  et h ( X 1 , X 2 ) = X 1 h 2 ,
 X1 X1 
 X1 X1 
Soient g et f 1 , f 2 des polynômes dans C2. On pose s = deg f1 + deg f 2 − deg g − 3.
Dans ce qui suit on supposera deg f 1 ≥ 1 et deg f 2 ≥ 1. On considérera le cas de
s < 0.
P2
Soit l ∞ une droite á l’infini et soient C1 = V ( f 1 ) et C 2 = V ( f 2 )
{
}
P2
les fermetures
{
}
des courbes affinnes V ( f 1 ) = z ∈ C 2 : f 1 ( z ) = 0 et V ( f 2 ) = z ∈ C 2 : f 2 (z ) = 0
~
dans P2. Pour a ∈ l ∞ ⊂ P 2 on prend a~ et a~ comme leur images affins dans C2.
Lemme. On suppose que les polynômes f 1 et f 2 n’aient pas de facteurs communs.
Si le point (0 : 0 : 1) n’appartient pas aux courbes C1 et C2 , on a l’égalité
∑ Res
a~
g~
( ~f , X
1
−s
1
~
f2
)
a∈C1 ∩l∞
=
∑ Res
~
b
−s ~ ~
g~ X 1 f1 , f 2
(
)
b∈C2 ∩ l∞
Preuve. D’après la règle de transformation [1, 5], on a
~~
~
~
Res a~ g~ f 1 f 2 , X 1− s = Res a~ g~ f 1 , X 1− s f 2
(
)
(
)
(1)
~
si a ∈ C1 ∩ l ∞ et f 2 (a~ ) ≠ 0. De même
~~
~
~
~ ~
Res b~ g~ f1 f 2 , X 1− s = Res b~ g~ f 2 , X 1− s f 1 = − Res b~ g~ X 1− s f 1 , f 2
(
)
(
)
(
)
(2)
~ ~
si b ∈ C 2 ∩ l ∞ et f1 b ≠ 0.
()
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Soit maintenant c ∈ (C1 ∩ C 2 ) ∩ l ∞ . Supposons pour l’instant que chacun de germes
~ˆ
~ˆ
~ˆ
f 1 et f 2 au point c~ ait la décomposition sans facteurs multiples. Soient f1 = fˆ11 ⋅ K⋅ fˆ1p
~ˆ
et f 2 = fˆ21 ⋅ K ⋅ fˆ2 q au voisinage du point ~
c . En prenant des paramétrisation
(
)
Φ i = (ϕ 1i ,ϕ 2i ) et Ψ j = ψ 1 j ,ψ 2 j des zéros de f 1i et f 2 j , on obtient [2]
~~
Res c~ g~ f1 f 2 , X 1− s =
(
)
( )
g~ Ψ j ψ 1′ j
g~ (Φ i )ϕ 1′i
−
−
=
res 0 ~ ~
res 0 ~ ~
∂  f 1 f 2 
∂  f 1 f 2 
1≤i ≤ p
1≤ j ≤ q




(Φ i )ϕ 1−i s
Ψ j ψ 1−js
∂X 2
∂X 2
∑
∑
( )
−
∑ res
g~ (Φ i )ϕ 1′i
( )
( ) ( )
g~ Ψ j ψ 1′ j
∑
res 0 ~
=
−
~
∂f 2
∂f 1
~
~
1≤ j ≤ q
−s
−s
(Φ i ) f 2 (Φ i )ϕ 1i
Ψ j f1 Ψ j ψ 1 j
∂X 2
∂X 2
0
1≤i ≤ p
~
~
Res c~ g~ f1 , X 1− s f 2 + Res c~
~
~
Res c~ g~ f1 , X 1− s f 2 − Res ~c
(
(
~
~
g~ f 2 , X 1− s f 1 =
~ ~
g~ X 1− s f 1 , f 2
)
)
(
(
)
)
Si quelconque de germes au point ~
c admet les facteurs multiples on choisit des
~
~ ˆ
constants α 1 et α 2 de telle manière que les germes  f1 + α 1 X 1− s f 2  et


~
−s ~  ˆ
~
 f 2 + α 2 X 1 f 1  restent sans facteurs multiple au point c [2]. On peut appeler


maintenant l’égalité précedente et appliquer la régle de transformation
~~
Res ~c g~ f1 f 2 , X 1− s =
(
)
(
Res g~ (1 + α α X
− Res g~ (1 + α α X
Res g~ (1 − α α X
Res c~ g~ 1 + α 1α 2 X 1− 2 s
c~
1
c~
1
c~
1
−2 s
1
2
2
2
) (( ~f + α X ~f )( ~f + α X ~f ), X ) =
) ( ~f + α X ~f , X ( ~f + α X ~f ))
) (X ( ~f + α X ~f ), ~f + α X ~f ) =
) ( ~f + α X ~f , X ( ~f + α X ~f ))
−2 s
1
(
− Res c~ g~ 1 − α 1α 2 X 1− 2 s
− Res c~ g~ ⋅ 2α 1α 2 X 1− 2 s
−s
1
1
1
−s
1
1
−2 s
1
+ Res c~ g~ ⋅ 2α 1α 2 X 1− 2 s
20
1
−s
1
1
2
1
−s
1
−s
1
2
2
−s
1
2
−s
1
1
2
−s
1
2
1
1
2
2
2
2
−s
1
−s
1
1
2
−s
1
−s
1
1
2
( ~f + α X ~f , X ( ~f + α X ~f ))
) (X ( ~f + α X ~f ), ~f + α X ~f )
(X ( ~f + α X ~f ), ~f + α X ~f ) =
1
−s
1
1
−s
1
−s
1
1
1
−s
1
2
1
1
−s
1
−s
1
2
2
2
2
2
2
−s
1
1
2
2
−s
1
1
−s
1
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~
~
~
~ ~
~
Res ~c g~ f 1 , X 1− s f 2 + 2α 1α 2 Res ~c g~X 1− s f 1 + α 1 X 1− s f 2 , f 2 + α 2 X 1− s f 1
~ ~
~
~ ~
~
− Res ~c g~ X 1− s f 1 , f 2 − 2α 1α 2 Res ~c g~X 1− s f 1 + α 1 X 1− s f 2 , f 2 + α 2 X 1− s f 1 =
~
~
~ ~
Res ~c g~ f 1 , X 1− s f 2 − Res ~c g~ X 1− s f 1 , f 2
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
Par consequent
~~
~
~
~ ~
Res c~ g~ f1 f 2 , X 1− s = Res ~c g~ f1 , X 1− s f 2 − Res c~ g~ X 1− s f 1 , f 2
(
)
(
)
(
)
(3)
si c ∈ (C1 ∩ C2 ) ∩ l∞ .
D’après (1), (2) et (3) il vient
∑ Res
)
c~
~~
g~ f1 f 2 , X 1− s =
(
) ∑ Res
c∈(C1 ∪ C2 ∩ l∞
a~
a∈C1 ∩ l∞
~
~
g~ f 1 , X 1− s f 2 −
(
) ∑ Res
~
b
1 2
(
)
b∈C2 ∩l∞
( ~f ~f , X ) n’a pas de zéros à l’infini et
~~
deg g~ ≤ deg g = deg f + deg f − s − 3 = deg ( f f ) + deg X
L’application
~ ~
g~ X 1− s f 1 , f 2
−s
1
1
2
1 2
−s
1
−3
La formule d’Euler-Jacobi-Kronecker [1, 4, 5] conclut que la somme des résidus
ci-dessus à gauche s’annule. Ceci fini la preuve du lemme.
Pour le polynôme h soit h = h + + hn −1 + K + h0 sa decomposition en formes homogènes. Alors
~
h ( X 1 , X 2 ) = h + (1, X 2 ) + X 1 hn −1 (1, X 2 ) + K + X 1n h0
et
~
~
h ( X 1 , X 2 ) = h + ( X 2 ,1) + X 1 hn −1 ( X 2 ,1) + K + X 1n h0
où n = deg h.
Observation. Soit l = (l1 , l 2 ) un changement linnéaire des variables dans C2. Alors
n
~
h o l ( X 1 , X 2 ) = (l1 (1, X 2 )) h + (
 l 2 (1, X 2 ) 
 l (1, X 2 ) 
X1
 +
1,
 + K
hn −1 1, 2
(
)
(
)
(
)
l
1
,
X
l
1
,
X
l
1
,
X
1
2
1
2
1
2




n
 X1 
 h0 )
+ 
 l1 (1, X 2 ) 
où n = def h.
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Proposition 1. Soit l = (l1 , l 2 ) un changement linnéaire des variables dans C2 du
jacobien J l = 1 et tel que Y1/ f 1+ o l et Y1/ f 2+ o l . Alors
~
~
Res a~ g~ f 1 , X 1− s f 2 = Res ~l −1 (a ) g ~o l
(
)
(f
~o l , X − s f ~o l
1
2
)
~ ~
Res b~ g~ X 1− s f1 , f 2 = Res ~l −1 (b ) g ~o l X 1− s f 1 ~o l , f 2 ~o l
)
1
pour tout a ∈ C1 ∩ l∞ \ {(0 : 0 : 1)}. De même
(
)
(
pour tout b ∈ C2 ∩ l∞ \ {(0 : 0 : 1)}.
Preuve. On applique la régle de transformation des résidus [5] et l’observation cidessus. Avec m = deg g, n1 = deg f 1 , n 2 = deg f 2 et l1 = l1 (1, X 2 ), l 2 = l 2 (1, X 2 ) il
vient
(f
Res ~l −1 (a ) g ~o l
1
)
~o l , X − s f ~o l =
1
2
m
  l  X

l 
 l 
Res ~l −1 (a ) l1m  g + 1, 1  + 1 g m−1 1, 2  + K +  2  g 0 
 l1 
 l1 
  l1  l1

  l
Res ~l −1 (a ) l1m −(n1 + n2 − s )  g + 1, 2
  l1
 l
 X1
g m −1 1, 2
 +
 l1
 l1
l

 + K +  2
 l1

m


 g 0 


 n1  +  l 2 

 l1  f 1 1,  + K ,
   l1 



l


 X 1− s l n2  f 2+ 1, 2  + K
1

  l1 





=



  +  l2 

  f 1 1,  + K ,


   l1 


−s


l
X




 1 
f + 1, 2  + K
  l1   2  l1 



où m − (n1 + n2 − s ) = 3. En passant par le changement biholomorphe local des vaJ
l (1, X 2 ) 
 X1
, 2
riables ϕ ( X 1 , X 2 ) = 
 du jacobien J ϕ = 3l on retrouve le rél1
 l1 (1, X 2 ) l1 (1, X 2 ) 
sidu démandé. Cela finit la démonstration de la proposition.
Proposition 2. Soit a ∈ C1 ∩ l∞ . Si a ≠ (0 : 0 : 1) et a ≠ (0 : 1 : 0 ), on a l’égalité
~ ~
~
~
~
~
Res a~ g~ f 1 , X 1− s f 2 = − Res a~~ g~  f 1 , X 1− s f 2 


(
)
Preuve. On passe par le changement biholomorphe local des variables
X

ϕ( X 1 , X 2 ) =  1 , 1 .
X
X
2 
 2
22







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Corollaire. Il existe un nombre R tel que pour tout changement linnéaire l des
variables dans C 2 du jacobien
J l = 1 et tel que Y1/ f 1+ o l , Y1 / f 2+ o l et
Y2/ f 1+ o l , Y2 / f 2+ o l on ait
∑
R= −
a∈C1 ∩l∞
−
(f
Res ~l −1 (a ) g ~o l
)
~o l , X − s f ~o l =
1
2
1
(
Res ~l −1 (b ) g ~o l X 1− s f 1 ~o l , f 2 ~o l
∑
b∈C 2 ∩l∞
)
ou bien
R=
∑
Res ~~ −1
l
a∈C1 ∩l∞
∑
Res ~~ −1
l
b∈C 2 ∩ l∞
(b )
(a )
~
g ~o l
(f
1
~
~o l , X − s f ~
~
1
2 ol =
~
~
~
g ~o l X 1− s f 1 ~o l , f 2 ~o l
(
)
)
Preuve. On applique le lemme et les propositions 1 et 2.
Définition. Un nombre R étant donné ci-dessus on appellera résidu à l’infini de g
et f = ( f 1 , f 2 ) et on le notera par Res∞ g f .
Le théorème des résidus
Proposition 3. Soit
f = ( f1 , f 2 ) . Alors
Res x g
x = (x1 , x2 ),
x1 ≠ 0,
( f1 , f 2 ) = − Res ~x g~
ou bien
Res x g
( f1 , f 2 ) = Res ~~x g~~
( ~f , X
1
−s
1
un zéro isolé de l’application
~
~ ~
f 2 = − Res ~x g~ X 1− s f 1 , f 2
)
(
)
~
~
~  −s ~
~ ~
~ 
−s ~ 
~
~
 f 1 , X 1 f 2  = Res ~~x g  X 1 f1 , f 2 




Théorème des résidus. Soit f = ( f 1 , f 2 ) : C 2 → C 2 une application polynomiale
de zéros isolés. Pour tout polynôme g : C 2 → C on ait
∑ Res
x
g f + Res ∞ g f = 0
x∈ f −1 ( 0 )
Preuve. Le cas de s = deg f 1 + deg f 2 − deg g − 3 ≥ 0 étant prouvé dans [3]. Soit
s < 0. Prenons un changement linnéaire l des variables dans C2du jacobien J l = 1
et tel que Y1/ f 1+ o l , Y1 / f 2+ o l et Y2/ f 1+ o l , Y2 / f 2+ o l et l −1 (x ) ∉ V (Y1 ) pour
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tout x ∈ f −1 (0 ). D’après la proposition ci-dessus et de la définition d’un résidu
à l’infini on a
∑ Res
x
∑
g f + Res ∞ g f =
x∈ f −1 (0 )
x∈ f −1 (0 )
−
∑
x∈ f
−
−1
(0 )
∑
Res l −1 ( x ) g o l ( f 1 o l , f 2 o l ) + Res ∞ g f =
Res ~l −1 ( x ) g ~o l f 1 ~o l , X 1− s f 2 ~o l
(
)
(f
)
Res ~l −1 (a ) g ~o l
1
~o l , X − s f ~o l
1
2
a∈C1 ∩l∞
L’application
(f
1
)
~o l , X − s f ~o l n’a pas de zéros à l’infini et
1
2
(
)
deg( g ~o l ) ≤ deg g = deg f1 − s + deg f 2 − 3 = deg( f1 ~o l ) + deg X 1− s f 2 ~o l − 3
D’après la formule d’Euler-Jacobi-Kronecker [1, 3, 5] la somme des résidus
ci-dessus s’annule. Ceci conclut la preuve du théorème.
Bibliographie
[1] Arnold V.I., Singularities of Differentiable Maps, Vol. I, Boston 1985.
[2] Biernat G., Reduction of two-dimensional residues to the one-dimenional case, Bull. Soc. Sci.
Lettres Łódź 1989, Vol. XXXIX (15), No. 68.
[3] Biernat G., On the Jacobi-Kronecker formula for a polynomial mapping having zeros at infinity,
Bull. Soc. Sci. Lettres Łódź 1992, 42(29), Vol. XIV, 139.
[4] Biernat G., On the sum of residues for a polynomial mapping, Bull. Soc. Sci. Lettres Łódź 1990,
40(18), No. 88.
[5] Griffiths P., Harris J., Principles of Algebraic Geometry, New York 1978.
24