x - nazwa.pl

Mieczysław Wilk
Mielec, 2008
Popyt na dobra trwałego uŜytkowania ( artykuły AGD i TV, sprzęt komputerowy,
urządzenia sanitarne, samochody, itp. ) obserwuje się często, Ŝe początkowo wzrasta
on szybko, a po przekroczeniu pewnego poziomu popyt wzrasta coraz wolniej,
osiągając pewien stały poziom, zwany poziomem nasycenia ( asymptota y = a )
Do badania popytu na takie dobra wykorzystywana jest tzw. funkcja logistyczna,
której wykresem jest krzywa S-kształtna ( tzw.: sigmoidalna ), określana wzorem:
f (x) =
a
1 + b ⋅ e −c x
gdzie : ( a ; b ; c ) > 0
Badanie przebiegu zmienności funkcji logistycznej:
1. Dziedzina funkcji logistycznej:
Zał.:
1 + b ⋅ e −c x ≠ 0
⇒ Df : x∈ R
Wniosek: Dziedziną funkcji logistycznej jest zbiór liczb rzeczywistych.
2. Punkty charakterystyczne funkcji logistycznej:

1
A =  0 ;
1+ b

f (0 ) = 0 ⇔
a
1+ b
f (x) = 0 ⇔
a
= 0 ⇒
1 + b ⋅ e −c x



x∈φ
Wniosek: Funkcja logistyczna ma tylko jeden punkt wspólny z osiami układu
prostokątnego, tj.: osią rzędnych w punkcie A.
3. Przedziały wartości dodatnich i ujemnych funkcji logistycznej:
f (x) > 0 ⇔
a
> 0 ⇒
1 + b ⋅ e −c x
x∈ D f
f (x) < 0 ⇔
a
< 0 ⇒
1 + b ⋅ e −c x
x∈φ
Wniosek: Funkcja logistyczna przyjmuje zawsze wartości dodatnie.
2
4. Parzystość i nieparzystość funkcji logistycznej:
∧ [( − x ∈ D )
x ∈ D
f
∧ f ( x ) = f ( − x )]
f
f (x) =
a
1 + b ⋅ e −c x
a
f (− x) =
1 + b ⋅ e cx


 ⇒


∧ [( − x ∈ D )
f
x ∈ Df
f (−x ) =
a
1 + b ⋅ e cx
−a
− f ( x) =
1 + b ⋅ e − cx
Funkcja logistyczna nie jest funkcją parzystą
∧ f ( − x ) = − f ( x )]


 ⇒


Funkcja logistyczna nie jest funkcją nieparzystą
Wniosek: Funkcja logistyczna nie jest funkcją parzystą i nie jest funkcją nieparzystą,
a więc jej wykres nie jest symetrycznie połoŜony względem osi rzędnych
i początku układu współrzędnych.
5. Granice funkcji logistycznej i jej asymptoty:
lim f ( x ) = lim
x → −∞
x → −∞
"
a
"
+∞
a
=== 0
1 + b ⋅ e −c x
Wniosek: Prosta y = 0 jest równaniem asymptoty poziomej lewostronnej.
lim f ( x ) = lim
x → +∞
x → +∞
"
a
"
1
a
=== a
1 + b ⋅ e −c x
Wniosek: Prosta y = a jest równaniem asymptoty poziomej prawostronnej.
3
6. Analiza pierwszej pochodnej funkcji logistycznej:

a
f ' ( x ) = 
−cx
 1 + b ⋅e
f
'
f
'
(x) =
(x) >
⇔
0
⇔
0

− a ⋅ b ⋅ ( − c )⋅ e − c x
 =
=
−c x 2
1 + b⋅e

'
(
)
abc ⋅ e − c x
(1 + b ⋅ e )
−c x
−c x
(1 + b ⋅ e )
−c x
2
2
≠ 0 ⇒ brak miejsc zerowych
2
> 0 ⇒ x∈ Df
abc ⋅ e − c x
(1 + b ⋅ e )
abc ⋅ e − c x
Wniosek: Funkcja logistyczna jest stale rosnąca.
7. Analiza drugiej pochodnej funkcji logistycznej:
 abc ⋅ e − c x
''
f (x) = 
 1 + b ⋅ e −c x

(
(
−c x
−c x

(
)
a
b
c
⋅
−
c
⋅
e
⋅
1
+
b
⋅
e
 =
4

1 + b ⋅ e −cx

'
)
(
2
(
) (
)
− a bc ⋅ e − c x ⋅ 2 1 + b ⋅ e − c x ⋅ b ⋅ e − c x ⋅ ( − c )
=
=
=
(
)
)
(1 + b ⋅ e )
(
− a b c 2 ⋅ e −c x ⋅ 1 + b ⋅ e −c x − 2 b ⋅ e −c x
(1 + b ⋅ e )
−c x
(
3
− a b c 2 ⋅ e −c x ⋅ 1 − b ⋅ e −c x
(1 + b ⋅ e )
−c x
)
2
−
=
− a b c 2 ⋅ e − c x ⋅ 1 + b ⋅ e − c x + 2 a b 2 c 2 ⋅ e − 2c x
−c x 3
)
=
=
)
3
4
f
''
(x) =
0 ⇔
(
− a b c 2 ⋅ e −c x ⋅ 1 − b ⋅ e −c x
(1 + b ⋅ e )
−c x
)
= 0
3
(
)
− a b c 2 ⋅ e −c x ⋅ 1 − b ⋅ e −c x = 0
1 − b ⋅ e −c x = 0
e −c x =
1
b
ln
ln e − c x = ln
1
b
− c x = ln
1
b
c x = − 1 ⋅ ln
 1 

c x = ln 
b


f
''
(x) >
0 ⇔
1
b
−1
= ln b
x =
Wniosek: W punkcie x =
⋅ ( − 1)
:c
ln b
c
ln b
funkcja logistyczna moŜe mieć punkt przegięcia.
c
− a b c 2 ⋅ e − c x ⋅ (1 − b ⋅ e − c x )
(1 + b ⋅ e )
−c x
3
> 0
1 − b ⋅ e −c x < 0
x <
f
''
(x) >
ln b
c
ln b 

0 ⇔ x ∈  −∞ ;
 ⇒ funkcja wypukła
c


5
''
f
(x) <
0 ⇔
(
− a b c 2 ⋅ e −c x ⋅ 1 − b ⋅ e −c x
(1 + b ⋅ e )
−c x
)
< 0
3
1 − b ⋅ e −c x > 0
x >
''
f
(x) <
ln b
c
 ln b

0 ⇔ x∈ 
; + ∞  ⇒ funkcja wklęsła
 c

Wniosek: Funkcja posiada punkt przegięcia dla: x =
ln b
, dla którego wartość
c
funkcji logistycznej wynosi:
 ln b 
f 
 =
c


a
1 + b⋅e
 ln b 
−c ⋅ 

 c 
 e − ln b = z ln

ln e − ln b = ln z

= 
− ln b = ln z


1
= z

b
=
a
=
1 + b ⋅ e − ln b



a
a

=
 =
1
2

1 + b⋅
b


 ln a
a
;
2
 b
Wniosek: Punkt przegięcia funkcji logistycznej posiada współrzędne: 



8. Tabelka:
x
−∞
(− ∞ ;
ln b
)
c
f
'
( x)
+
+
f
''
( x)
+
+
f ( x)
ln b
c
+
(
ln b
; +∞ )
c
+
+∞
+
0
0
a
2
a
y=0
p. p
y=a
6
9. Wykres funkcji logistycznej:
y
y=a
a
a
2
Punkt przegięcia
a
1+ b
0
x
ln b
c
Rysunek 1. Wykres funkcji logistycznej: f ( x ) =
a
1 + b ⋅ e −c x
10. Analiza i wnioski:
Krzywa logistyczna zawsze przyjmuje wartości dodatnie. Posiada dwie poziome
asymptoty oraz punkt przegięcia. Jest to krzywa stale rosnąca – nie posiada
ekstremum funkcji. Nie jest funkcją parzystą i nie jest funkcją nieparzystą.
Dokonując analizy ekonomicznej naleŜy brać pod uwagę tylko dodatnie
argumenty – kształt krzywej logistycznej narysowany na czerwono.
11. Elastyczność funkcji logistycznej:
E f ( xo) =
f
'
(x)
=
f '(x o )
f (x o )
⋅ xo
abc ⋅ e − c x
(1 + b ⋅ e )
−c x
2
%
⇒
f
'
(x )
o
=
abc ⋅ e
−c x o
(1 + b ⋅ e )
−c x o
2
7
f (x) =
a
1 + b ⋅ e −c x
E f ( xo) =
=
f '(x o )
f (xo )
bc⋅e
f ( xo
⇒
⋅ xo =
−c x o
1 + b⋅e
⋅ xo
−c x o
abc⋅e
)=
a
−c x
1 + b⋅e o
−c x o
(1 + b ⋅ e )
−c x o 2
=
(
c ⋅ xo
b ⋅ e
cxo
+b
1 + b⋅e
⋅
a
)
−c x o
⋅ xo =
%
Przykład. Zbadaj przebieg zmienności funkcji logistycznej:
f (x) =
1
1 + e− x
1. Dziedzina funkcji logistycznej:
Zał.:
1 + e−x ≠ 0
⇒ Df : x∈ R
Wniosek: Dziedziną funkcji logistycznej jest zbiór liczb rzeczywistych.
2. Punkty charakterystyczne funkcji logistycznej:

1 

A =  0 ;
2


f (0 ) = 0 ⇔
1
1+1
f (x) = 0 ⇔
1
= 0 ⇒
1 + e− x
x∈φ
Wniosek: Funkcja logistyczna ma tylko jeden punkt wspólny z osiami układu
prostokątnego, tj.: osią rzędnych w punkcie A.
8
3. Przedziały wartości dodatnich i ujemnych funkcji logistycznej:
f (x) > 0 ⇔
1
> 0 ⇒
1 + e −x
x∈ D f
f (x) < 0 ⇔
1
< 0 ⇒
1 + e −x
x∈φ
Wniosek: Funkcja logistyczna przyjmuje zawsze wartości dodatnie.
4. Parzystość i nieparzystość funkcji logistycznej:
∧ [( − x ∈ D )
x ∈ D
f
∧ f ( x ) = f ( − x )]
f
f (x) =
1
1 + e− x
1
f (− x) =
1+ e x


 ⇒


∧ [( − x ∈ D )
f
x ∈ Df
f (−x ) =
1
1+ ex
−1
− f ( x) =
1 + e− x
Funkcja logistyczna nie jest funkcją parzystą
∧ f ( − x ) = − f ( x )]


 ⇒


Funkcja logistyczna nie jest funkcją nieparzystą
Wniosek: Funkcja logistyczna nie jest funkcją parzystą i nie jest funkcją nieparzystą,
a więc jej wykres nie jest symetrycznie połoŜony względem osi rzędnych
i początku układu współrzędnych.
9
5. Granice funkcji logistycznej i jej asymptoty:
"
lim f ( x ) = lim
x → −∞
x → −∞
1
"
+∞
1
=== 0
1 + e− x
Wniosek: Prosta y = 0 jest równaniem asymptoty poziomej lewostronnej.
1
" "
1
lim f ( x ) = lim
x → +∞
x → +∞
1
=== 1
1 + e− x
Wniosek: Prosta y = 1 jest równaniem asymptoty poziomej prawostronnej.
6. Analiza pierwszej pochodnej funkcji logistycznej:

1
f ' ( x ) = 
−x
 1+ e
f
'
f
'
(x) =
(x) >
(
(1 + e )
−x
(1 + e )
−x
e−x
)
(1 + e )
−x
2
2
≠ 0 ⇒ brak miejsc zerowych
2
> 0 ⇒ x∈ Df
e− x
⇔
0
'
e−x
⇔
0

− 1⋅ e − x ⋅ ( − 1 )
 =
=
−x 2
1
+
e

Wniosek: Funkcja logistyczna jest stale rosnąca.
7. Analiza drugiej pochodnej funkcji logistycznej:

e− x
''

f (x) =
 1 + e− x

(
(
)
⋅ e − x ⋅ ( −1 )
=
(
'
)
2
)
(
)
(
)
−x
−x 2

−
e
⋅
1
+
e
− e −x ⋅ 2 1 + e − x ⋅
 =
−x 4

1
+
e

(
)
)
(
− e − x ⋅ 1 + e − x + 2 e −2 x
(1 + e
−x 3
)
=
e − x ⋅ e −x − 1
(1+ e )
−x
3
10
f
''
(x) =
0 ⇔
(
)
e − x ⋅ e −x − 1
(1 + e )
−x
= 0
3
(
)
e−x ⋅ e−x −1 = 0
e−x −1 = 0
e−x = 1
ln
ln e − x = ln 1
− x = ln 1
x = 0
Wniosek: W punkcie x = 0 funkcja logistyczna moŜe mieć punkt przegięcia.
f
''
(x)
> 0 ⇔
e − x ⋅ ( e − x − 1)
(1 + e )
−x
> 0
3
e−x − 1 > 0 ⇒
f
''
f
''
(x) >
(x)
0 ⇔ x ∈ ( − ∞ ; 0 ) ⇒ funkcja wypukła
< 0 ⇔
e − x ⋅ ( e − x − 1)
(1 + e )
−x
< 0
3
e−x − 1 < 0 ⇒
f
''
(x) >
x <0
0 ⇔ x∈
( 0;
+∞
)
x >0
⇒ funkcja wklęsła
Wniosek: Funkcja posiada punkt przegięcia dla: x = 0 , dla którego wartość funkcji
logistycznej wynosi: f ( 0 ) =
1
1 + e −c ⋅0
=
1
2
Wniosek: Punkt przegięcia funkcji logistycznej posiada współrzędne: ( 0 ; 0 , 5 )
11
8. Tabelka:
x
−∞
(− ∞ ; 0 )
0
( 0 ; + ∞ )
+∞
+
+
+
+
+
+
+
f
'
( x)
f
''
( x)
f ( x)
0
0
1
2
1
y=0
p. p
y=1
9. Wykres funkcji logistycznej:
y
1
0,5
Punkt przegięcia
x
0
Rysunek 2. Wykres funkcji logistycznej: f ( x ) =
1
1 + e−x
10. Analiza i wnioski:
Krzywa logistyczna zawsze przyjmuje wartości dodatnie. Posiada dwie poziome
asymptoty oraz punkt przegięcia. Jest to krzywa stale rosnąca – nie posiada
ekstremum funkcji. Nie jest funkcją parzystą i nie jest funkcją nieparzystą.
Dokonując analizy ekonomicznej naleŜy brać pod uwagę tylko dodatnie
argumenty – kształt krzywej logistycznej narysowany na czerwono.
12
11. Elastyczność funkcji logistycznej:
f '(x o )
E f ( xo) =
f
'
(x)
=
f (x) =
e−x
(1 + e )
−x
2
1
1 + e− x
f '(xo )
E f ( xo) =
f (xo )
e
=
Wniosek:
⋅ xo
f (x o )
− xo
− xo
(x )
⇒
f
⇒
f ( xo
⋅ xo =
⋅ xo
1+ e
%
=
'
o
e
=
)=
− xo
(1 + e )
+1
2
1
−x
1+ e o
− xo 2
xo
− xo
(1 + e )
− xo
xo
e
e
1+ e
⋅
1
− xo
⋅ xo =
%
JeŜeli argument funkcji wzrośnie o 1 % to wartości funkcji wzrosną
o
xo
e
xo
+1
% licząc od poziomu x o.
Na przykład: JeŜeli: x o = 0 , 5 , to wartości funkcji logistycznej f ( x ) =
wzrosną o
0,5
e +1
1
1 + e− x
% ≈ 0 ,1 9 %
13
Przykład 1
3
4
2
1
Rysunek 3. Wykresy funkcji logistycznej wykonanych programem Varney Math 2.1
Rys. 1
f (x) =
1
1 + e −x
Rys. 2
f (x) =
2
1 + e −x
Rys. 3
f (x) =
2
1 + 5 / 3 ⋅ e −4x
Rys . 4
f (x) =
2,5
1 + 1, 5 ⋅ e − 2 x
14
Przykład 2
4
3
2
1
Rysunek 4. Wykresy funkcji logistycznych wykonanych przy uŜyciu programu
Advanced Grapher.
1. zielony:
f ( x) =
1
1 + e −x
3. niebieski:
f ( x) =
3
5
1 + ⋅ e −4 x
3
2. brązowy:
f ( x) =
2
1 + e −x
4. czerwony:
f ( x) =
2,5
1 + 1, 5 ⋅ e − 2 x
15
Przykład 3
f ( x) =
1
1 + e −x
f
f
Rysunek 5. Wykres funkcji logistycznej f ( x ) =
''
'
( x)
(x)
1
oraz jej pierwszej i drugiej
1 + e −x
pochodnej wykonany za pomocą programu Advanced Grapher.
Wzory na pierwszą i drugą pochodną funkcji logistycznej: f ( x ) =
f
'
f
''
(x)
=
(x) =
1
1 + e −x
e−x
(1 + e )
−x
2
(
)
e− x ⋅ e −x − 1
(1 + e )
−x
3
16
Przykład 4
f ( x) =
Rysunek 6. Wykres funkcji logistycznej f ( x ) =
2
1 + e −x
f
'
( x)
f
''
( x)
2
oraz jej pierwszej i drugiej
1 + e −x
pochodnej wykonany za pomocą programu Advanced Grapher.
Wzory na pierwszą i drugą pochodną funkcji logistycznej: f ( x ) =
f
'
f
''
(x)
(x)
=
=
2
1 + e −x
2e −x
(1 + e )
−x
2
(
)
2e − x ⋅ e −x − 1
(1 + e )
−x
3
17
Przykład 5
f ( x) =
Rysunek 7. Wykres funkcji logistycznej: f ( x ) =
f
'
( x)
f
''
( x)
2
1+
5
⋅ e −4x
3
2
oraz jej pierwszej
1 + 5/ 3 ⋅ e −4x
i drugiej pochodnej wykonany za pomocą programu Advanced Grapher.
Wzory na pierwszą i drugą pochodną funkcji logistycznej: f ( x ) =
f
'
f
''
(x)
=
(x) =
2
1 + 5/ 3 ⋅ e −4x
40 / 3 ⋅ e − x
(1 + 5 / 3 ⋅ e )
−x
2
(
)
160 / 3 ⋅ e − 4 x ⋅ 5 / 3 ⋅ e − 4 x − 1
(1 + 5 / 3 ⋅ e )
−4 x
3
18
Przykład 6
f ( x) =
Rysunek 8. Wykres funkcji logistycznej: f ( x ) =
2, 5
1 + 1, 5 ⋅ e − 2 x
2,5
1 + 1, 5 ⋅ e − 2 x
f
'
( x)
f
''
( x)
oraz jej pierwszej
i drugiej pochodnej wykonany za pomocą programu Advanced Grapher.
Wzory na pierwszą i drugą pochodną funkcji logistycznej: f ( x ) =
f
'
f
''
(x)
(x)
=
=
7 , 5 ⋅ e −2 x
(1 + 1 , 5 ⋅ e
−2 x
)
2, 5
1 + 1, 5 ⋅ e − 2 x
2
(
)
15 ⋅ e − 2 x ⋅ 1 , 5 ⋅ e − 2 x − 1
(1 + 1 , 5 ⋅ e
−2 x
)
3
19