Własnosci składki mean-value przy zniekształconym

Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
Własności składki mean-value przy
zniekształconym prawdopodobieństwie
Marek Kałuszka
Michał Krzeszowiec
Ogólnopolska Konferencja Naukowa
Zagadnienia Aktuarialne - teoria i praktyka
Wrocław 7 września 2010 r.
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Zarys referatu
1
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Własności składki mean-value
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Zarys referatu
1
Zniekształcone prawdopodobieństwo
2
Składka mean-value
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Własności składki mean-value
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Zarys referatu
1
Zniekształcone prawdopodobieństwo
2
Składka mean-value
3
Własności składki mean-value
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Własności składki mean-value
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
Prace o podobnej tematyce:
[1] Luan, C. (2001) Insurance premium calculations with
anticipated utility theory. ASTIN Bulletin 31, 27-39.
[2] Heilpern S. (2003) A rank-dependent generalization of zero
utility principle. Insurance: Mathematics and Economics 33,
67-73.
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
Funkcja zniekształcajaca
˛ prawdopodobieństwo
Załóżmy, że g : [0, 1] → [0, 1] jest funkcja˛ taka,
˛ że:
g (0) = 0,
g (1) = 1,
g jest niemalejaca.
˛
Wówczas mówimy, że g jest funkcja˛ zniekształcajac
˛ a˛
prawdopodobieństwo i piszemy g ∈ G.
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
Całka Choqueta
Jeżeli g ∈ G, to
Z 0
Eg X :=
(g (P (X > t)) − 1) dt +
−∞
Z ∞
g (P (X > t)) dt, (1)
0
nazywamy całka˛ Choqueta (o ile obie całki wystepuj
˛ ace
˛ we
wzorze sa˛ skończone).
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
Całka Choqueta
Jeżeli g ∈ G, to
Z 0
Eg X :=
(g (P (X > t)) − 1) dt +
−∞
Z ∞
g (P (X > t)) dt, (1)
0
nazywamy całka˛ Choqueta (o ile obie całki wystepuj
˛ ace
˛ we
wzorze sa˛ skończone).
Jeżeli g(p) = p, to Eg X = EX .
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Definicja składki mean-value
Założenia:
u - funkcja użyteczności
w ­ 0 - kapitał poczatkowy
˛
X ­ 0 - losowa strata
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Własności składki mean-value
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
Definicja składki mean-value
Założenia:
u - funkcja użyteczności
w ­ 0 - kapitał poczatkowy
˛
X ­ 0 - losowa strata
Składka H(X ) za ubezpieczenie ryzyka X jest rozwiazaniem
˛
równania:
u (w − H (X )) = Eg [u (w − X )] .
(2)
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Założenia o funkcji użyteczności
Założenia dotyczace
˛ funkcji użyteczności:
u jest rosnaca
˛ (jednoznaczność)
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Własności składki mean-value
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Założenia o funkcji użyteczności
Założenia dotyczace
˛ funkcji użyteczności:
u jest rosnaca
˛ (jednoznaczność)
u jest ciagła
˛
(istnienie)
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Własności składki mean-value
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Założenia o funkcji użyteczności
Założenia dotyczace
˛ funkcji użyteczności:
u jest rosnaca
˛ (jednoznaczność)
u jest ciagła
˛
(istnienie)
u(0) = 0 (unormowanie)
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Własności składki mean-value
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Założenia o funkcji użyteczności
Założenia dotyczace
˛ funkcji użyteczności:
u jest rosnaca
˛ (jednoznaczność)
u jest ciagła
˛
(istnienie)
u(0) = 0 (unormowanie)
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Własności składki mean-value
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
Założenia o funkcji użyteczności
Założenia dotyczace
˛ funkcji użyteczności:
u jest rosnaca
˛ (jednoznaczność)
u jest ciagła
˛
(istnienie)
u(0) = 0 (unormowanie)
Oznaczamy u ∈ U jeżeli u spełnia powyższe trzy założenia.
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
Założenia o funkcji użyteczności
Założenia dotyczace
˛ funkcji użyteczności:
u jest rosnaca
˛ (jednoznaczność)
u jest ciagła
˛
(istnienie)
u(0) = 0 (unormowanie)
Oznaczamy u ∈ U jeżeli u spełnia powyższe trzy założenia.
Bedziemy
˛
pisali ponadto u ∈ U0 , jeśli
u (x) = cx,
u (x) = (ecx − 1) /a lub
u (x) = (1 − e−cx ) /a
dla wszystkich x ∈ R oraz pewnych a, c > 0.
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
1. Brak nadmiernego ładowania bezpieczeństwa, tzn.
H (X ) ¬ sup X .
Warunek ten zachodzi dla dowolnych funkcji u ∈ U oraz g ∈ G
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
1. Brak nadmiernego ładowania bezpieczeństwa, tzn.
H (X ) ¬ sup X .
Warunek ten zachodzi dla dowolnych funkcji u ∈ U oraz g ∈ G
2. Brak nieuzasadnionego ładowania bezpieczeństwa,
tzn.H (a) = a dla wszystkich a ­ 0.
Warunek ten również jest spełniony dla wszystkich u ∈ U oraz
g ∈ G.
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
3. Zgodność, tzn. H (X + b) = H (X ) + b dla wszystkich b ­ 0.
Jeżeli składka nie zależy od wartości kapitału poczatkowego
˛
w,
to jest zgodna.
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
3. Zgodność, tzn. H (X + b) = H (X ) + b dla wszystkich b ­ 0.
Jeżeli składka nie zależy od wartości kapitału poczatkowego
˛
w,
to jest zgodna.
Twierdzenie
Niech u ∈ U i g ∈ G.
(i) Jeżeli u ∈ U0 , to składka H (X ) jest zgodna.
(ii) Jeżeli g jest ciagła
˛
oraz składka H (X ) jest zgodna, to
u ∈ U0 .
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
4. Proporcjonalność, tzn. H (aX ) = aH (X ) dla a > 0.
Twierdzenie
Niech u ∈ U i g ∈ G.
(i) Jeżeli u (x) = cx dla pewnego c > 0, to H (aX ) = aH (X ) dla
wszystkich a > 0.
(ii) Jeżeli g jest funkcja˛ ciagł
˛ a˛ i H (aX ) = aH (X ) dla wszystkich
a > 0, to u (x) = cx dla wszystkich x ∈ R i pewnego c > 0.
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
4. Proporcjonalność, tzn. H (aX ) = aH (X ) dla a > 0.
Twierdzenie
Niech u ∈ U i g ∈ G.
(i) Jeżeli u (x) = cx dla pewnego c > 0, to H (aX ) = aH (X ) dla
wszystkich a > 0.
(ii) Jeżeli g jest funkcja˛ ciagł
˛ a˛ i H (aX ) = aH (X ) dla wszystkich
a > 0, to u (x) = cx dla wszystkich x ∈ R i pewnego c > 0.
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
4. Proporcjonalność, tzn. H (aX ) = aH (X ) dla a > 0.
Twierdzenie
Niech u ∈ U i g ∈ G.
(i) Jeżeli u (x) = cx dla pewnego c > 0, to H (aX ) = aH (X ) dla
wszystkich a > 0.
(ii) Jeżeli g jest funkcja˛ ciagł
˛ a˛ i H (aX ) = aH (X ) dla wszystkich
a > 0, to u (x) = cx dla wszystkich x ∈ R i pewnego c > 0.
5. Addytywność dla ryzyk komonotonicznych.
Twierdzenie
Niech u ∈ U, zaś g ∈ G bedzie
˛
ciagła.
˛
Wtedy składka H (X ) jest
addytywna dla ryzyk komonotonicznych wtedy i tylko wtedy,
gdy u (x) = cx, dla pewnego c > 0.
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
6. Addytywność dla ryzyk niezależnych.
Twierdzenie
(i) Jeżeli g (p) = p oraz u ∈ U0 , to składka H (X ) jest
addytywna dla ryzyk niezależnych.
(ii) Jeżeli g (p) = p oraz składka H (X ) jest addytywna dla ryzyk
niezależnych, to u ∈ U0 .
(iii) Niech u ∈ U0 . Jeżeli g ∈ G jest funkcja˛ prawostronnie ciagł
˛ a˛
w 0, lewostronnie ciagł
˛ a˛ w 1 oraz ma pochodna˛ lewostronna˛ w
1, to składka H (X ) jest addytywna dla ryzyk niezależnych
wtedy i tylko wtedy, gdy g (p) = p.
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
6. Addytywność dla ryzyk niezależnych.
Twierdzenie
(i) Jeżeli g (p) = p oraz u ∈ U0 , to składka H (X ) jest
addytywna dla ryzyk niezależnych.
(ii) Jeżeli g (p) = p oraz składka H (X ) jest addytywna dla ryzyk
niezależnych, to u ∈ U0 .
(iii) Niech u ∈ U0 . Jeżeli g ∈ G jest funkcja˛ prawostronnie ciagł
˛ a˛
w 0, lewostronnie ciagł
˛ a˛ w 1 oraz ma pochodna˛ lewostronna˛ w
1, to składka H (X ) jest addytywna dla ryzyk niezależnych
wtedy i tylko wtedy, gdy g (p) = p.
Uwaga
Według naszej wiedzy wszystkie funkcje g rozważane w
literaturze spełniaja˛ założenia twierdzenia.
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
7. Subaddytywność, tzn. H (X + Y ) ¬ H (X ) + H (Y ).
Twierdzenie
Niech u (x) = cx, dla pewnego c > 0, zaś g ∈ G. Wówczas
składka H (X ) jest subaddytywna wtedy i tylko wtedy, gdy g jest
funkcja˛ wypukła.
˛
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
7. Subaddytywność, tzn. H (X + Y ) ¬ H (X ) + H (Y ).
Twierdzenie
Niech u (x) = cx, dla pewnego c > 0, zaś g ∈ G. Wówczas
składka H (X ) jest subaddytywna wtedy i tylko wtedy, gdy g jest
funkcja˛ wypukła.
˛
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
7. Subaddytywność, tzn. H (X + Y ) ¬ H (X ) + H (Y ).
Twierdzenie
Niech u (x) = cx, dla pewnego c > 0, zaś g ∈ G. Wówczas
składka H (X ) jest subaddytywna wtedy i tylko wtedy, gdy g jest
funkcja˛ wypukła.
˛
8. Zachowanie porzadku
˛
stop-loss, tzn.
X ¬sl Y =⇒ H (X ) ¬ H (Y ).
Twierdzenie
Jeżeli u ∈ U jest wypukła i g ∈ G, to składka H(X ) zachowuje
porzadek
˛
stop-loss.
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
9. Iteracyjność, tzn. H (X ) = H (H (X |Y )) dla dowolnych
zmiennych losowych X , Y .
Twierdzenie
Jeżeli u ∈ U i g ∈ G jest ciagła,
˛
to składka H (X ) jest iteracyjna
wtedy i tylko wtedy, gdy g (p) = p.
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
10. Warunek zysku netto, tzn. H(X ) ­ E(X ).
Twierdzenie
Jeżeli u ∈ U jest wklesła,
˛
g ∈ G jest taka, że g (p) ¬ p dla
p ∈ [0, 1], to H (X ) ­ E (X ).
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Własności składki mean-value
10. Warunek zysku netto, tzn. H(X ) ­ E(X ).
Twierdzenie
Jeżeli u ∈ U jest wklesła,
˛
g ∈ G jest taka, że g (p) ¬ p dla
p ∈ [0, 1], to H (X ) ­ E (X ).
Twierdzenie
Załóżmy, że u ∈ U, g ∈ G, zaś X jest nieujemna˛ i ograniczona˛
zmienna˛ losowa˛ oraz w < s = sup X . Wówczas składka H (X )
spełnia warunek H (X ) ­ E (X ), gdy
E (X ) ¬ w−u −1 [g (P (X < w)) u (w) + g (P (X = s)) u (w − s)] .
(3)
Gdy X przyjmuje jedynie wartości ze zbioru {0, w, s}, to
warunek (3) jest równoważny warunkowi H (X ) ­ E (X ).
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Zniekształcone prawdopodobieństwo
Składka mean-value
Dziekuj
˛ e˛ za uwage˛
Marek Kałuszka,Michał Krzeszowiec
Własności składki mean-value przy zniekształconym prawdopodobieństwie
Własności składki mean-value