Portret fazowy układu 2. rzędu

Konrad Słodowicz
sk30792
AR22
Zadanie domowe – Portret fazowy układu 2. rzędu
1. Równania stanu
Równanie ruchu podane w zadaniu możemy przekształcić do postaci
g
b
θ̈(t )=ω2 sin θ(t )cos θ(t )− sin θ(t)−
θ̇ .
R
mR
Wobec tego, przyjmując
x 1 (t)=θ(t )
,
x 2 (t)=θ̇(t )
oraz, dla uproszczenia obliczeń, przyjmując wartości g, R, m = 1 oraz b = 0.1,
otrzymujemy równania stanu:
x˙1=x 2
.
1
x˙2= ω2 sin2x1−sinx 1−0.1x 2
2
2. Punkty równowagi
Punkty równowagi określamy za pomocą warunku
ẋ i=0, i=1,2 , ...
gdzie x to kolejne zmienne stanu.
Wobec tego, podstawiając do równań stanu w naszym przypadku
0=x 2
,
1
0= ω2 sin2x1−sinx 1
2
dalej
1
sinx 1=ω2 sin2x 1
2
sinx1 =ω2 sinx1 cosx 1 ,
sinx1 (1−ω2 cosx 1)=0
a więc
sinx1=0 → x 1=k π , k ∈Z lub cosx 1=
1
.
ω2
Funkcja ilości różnych wartości x1 w punktach równowagi θ∈〈 0,π 〉
Dla małych wartości omega, istnieją 2 punkty: na samym dole obręczy (kąt 0) oraz na czubku
obręczy (kąt pi). Dla omega = 1 punkty które można odczytać z wykresu na poprzedniej stronie
pokrywają się z tymi już istniejącymi z warunku sinx1=0. Dla dużych wartości omega (>1) pojawia
się dodatkowy punkt gdzieś na obręczy. W tym momencie siła odśrodkowa przezwycięża
grawitację oraz tarcie.
3. Portrety fazowe dla różnych wartości omega
Używając środowiska Simulink modelujemy równania stanu otrzymane w punkcie 1.
Następnie używamy skryptu, aby wyznaczyć częściowe portrety fazowe – wykresy x2 od x1.
Warunki początkowe x1 dobieram losowo, lecz z przedziału 0-1.5 tak, aby wykresy otrzymane
pokrywały się z punktem drugim (kąt kulki będzie zawierał się w przedziale 0-pi). Prędkość
początkową ustawiam jako 0.
Dla omega=0.1:
Wszystkie spirale mają centrum w punkcie (0,0) – kąt i prędkośc kulki są równe 0. Punkt na
szczycie obręczy można by otrzymać jedynie ustawiając kąt początkowy jako pi.
Dla omega=1:
Spirale nadal dążą do (0,0).
Dla omega=3:
Spirale dążą do pewnego punktu, ok. (0, 1.46). Tym razem, zdążanie do punktu (0,0) będącego na
dole obręczy, jak również (0, pi), czubka obręczy, można uzyskać jedynie ustawiając tam kulkę na
samym początku.