Równania cząstkowe i całkowe.

Równania cząstkowe i całkowe.
We wszystkich poniższych przykładach u jest funkcją 2 zmiennych x i y.
1. Znaleźć rozwiązania równań
a) ux = 0,
b) ux = xe2x + y 5 ,
c) uy = xtgy, √
d) uy = ctg(2y) x,
e) ux = cos x, u(0, y) = 4y 2 + 1,
f) ux = cos2 x, u( π4 , y) = y,
g) uy = sin(2xy) + x, u(x, 1) = x,
h) uy = cos(3xy) − x, u(x, 2) = x.
2. Znaleźć rozwiązania ogólne równań
a) y ln yuy + sin xux = 0,
b) ctgyuy − tgxux = 0,
c) sin(2y)uy + sin(2x)ux = 0,
d) xux + (1 − x)yuy = 0,
2
e) xux + (y + 2xy 2 ex )uy = 0.
f) lnyy ux + cos xuy = 0,
g) tgxux + 2ctgyuy = 0,
h) cos(y/2)uy + cos(x/2)ux = 0,
i) xux + (y − x)uy = 0,
j) ux + xy(4y − 1)uy = 0.
3. Znaleźć powierzchnie całkowe równań
a) yux + 2xuy = 0, powierzchnia przechodzi przez okrąg x = sin t, y = 0, u = cos t,
b) 2ux + uy = 0, powierzchnia przechodzi przez krzywą x = t, y = 1, u = 2t .
c) yux − xuy = 0, powierzchnia przechodzi przez okrąg x = 0, y = cos t, u = sin t,
d) ux + 3x2 uy = 0, powierzchnia przechodzi przez krzywą x = t, y = 0, u = e−t .
4. Korzystając
R xz metody iteracyjnej rozwiązać równania
a) f (x) − R0 f (y)dy = 1,
x
b) f (x) + R 0 (x − y)f (y)dy = x,
x
c) f (x) + R0 xf (y)dy = 2x2 + 2,
x
d) f (x) − R 0 2f (y)dy = 2,
x
e) f (x) − R 0 (y − x)f (y)dy = 1,
x
f) f (x) − 0 x2 f (y)dy = x3 − 1,
R 1/3
g) f (x) − 0 f (y)dy = x2 ,
R 1/2
h) f (x) − 0 2xyf (y)dy = x.
R 1/2
i) f (x) − 0 f (y)dy = x,
R1
j) f (x) − 12 0 xyf (y)dy = 56 x.
5. Korzystając z metody jądra zdegenerowanego rozwiązać równania
R 1/3
a) f (x) − 0 f (y)dy = x2 ,
R2
b) f (x) − 3 0 x2 yf (y)dy = x,
R2
c) f (x) − 0 ex+2y f (y)dy = 1,
R2
d) f (x) − 0 2x−2y f (y)dy = −2,
R1
e) f (x) − 0 (x + y)f (y)dy = x − 1,
R1
f) f (x) − 13R 0 (x + y)f (y)dy = 56 x − 91 ,
π
g) f (x) − R0 sin(x + y)f (y)dy = 1,
π
h) f (x) − 0 cos(x + y)f (y)dy = 1,
R
1
i) f (x) − 32 −1 (x2 − 2xy)f (y)dy = x3 − x,
R1
j) f (x) − 0 2xf (y)dy = x2 − 23 x.
1